CC BY
34
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
2016, Т. 158, кн. 1 С. 90-105
ISSN 1815-6088 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)
УДК 517.5
НЕРАВЕНСТВО ТИПА БРУННА - МИНКОВСКОГО В ФОРМЕ ХАДВИГЕРА ДЛЯ СТЕПЕННЫХ МОМЕНТОВ
Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия
Настоящая работа посвящена построению одного класса функционалов области в евклидовом пространстве и доказательству для них неравенства типа Брунна-Минковского. При построении функционалов области используется точка минимума функции многих переменных, связанной с функционалами, доказательство существования которой является существенным моментом предложенных исследований. Приведены частные случаи функционалов, когда точку минимума удается найти в явном виде. Полученное в работе неравенство Брунна-Минковского обобщает соответствующее неравенство для моментов относительно центра масс и гиперплоскостей, доказанное Х. Хадвигером, на случай степенных моментов. Следует отметить, что точка минимума функционала в общем случае не совпадает с центром масс; совпадение имеет место только в частных случаях, что подтверждено в работе конкретными примерами.
Ключевые слова: неравенство Брунна-Минковского, неравенство Прекопа-Лайнд-лера, вогнутый функционал, выпуклая область
Введение
Классическое неравенство Брунна - Минковского позволяет сравнить меры Лебега областей, а именно справедливо неравенство
где |П| - мера множества П, По, П1 - выпуклые тела в М", По + П1 := {го + + г1 € М" : го € По, г1 € П1} - векторная сумма (сумма Минковского). В 1887 г. неравенство (1) было получено Брунном в случае п = 3 .В 1910 г. Минковский указал Брунну на ошибку в доказательстве, которую тот исправил, а также придумал свое доказательство. И Брунн, и Минковский показали, что равенство достигается тогда и только тогда, когда По и П1 являются равными с точностью до переноса и расширения.
Долгое время считалось, что неравенство Брунна-Минковского относится только к геометрии, где его значение широко известно. Но в середине XX века Л.А. Люстерник [1] доказал, что неравенство (1) верно для произвольных ограниченных измеримых множеств По и П1 . Неравенство (1) при произвольных По и П1 принято называть общим неравенством Брунна-Минковского. С тех пор неравенство начало свой путь в область анализа. В 1956 г. Х. Хадвигер [2] доказал неравенство типа Брунна - Минковского для двух моментов выпуклой области, а именно для момента относительно центра масс и для момента относительно гиперплоскости. В 1971-1972 гг. А. Прекопа [3] и Л. Лайндлер [4] доказали следующую функциональную версию неравенства Брунна-Минковского.
Б.С. Тимергалиев
Аннотация
+ ^i\1/n > jfio |1/n + №l\1/n,
(1)
Теорема 1. Путь 0 <Ь< 1, /о, /1, к - неотрицательные интегрируемые функции в Мп, удовлетворяющие условию
к((1 - 1)х + 1у) > /о(х)1-гЯ(у)г (2)
для всех х, у € Мп. Тогда
1-г , \ г
Н(х)3,х > I J /о(х) ¿х\ I J /±(х) ¿х
Последние 30-40 лет тематика, связанная с неравенством Брунна-Минков-ского, стремительно развивается. Неравенство широко используется в геометрическом анализе, математической физике и теории вероятностей. Усиления теоремы 1 и ряд новых результатов можно найти в статьях [5, 6]. Литература по неравенствам типа Брунна-Минковского и основные результаты, появившиеся до 2006 г., содержатся в обзорных статьях [7, 8]. В 2010 г. Г. Кэди [9] доказал неравенство типа Брунна-Минковского для функционала, введенного Ф.Г. Авхадиевым [10]. Развитие результата Г. Кэди, а также неравенства для новых типов функционалов были получены в работе [11]. Отметим также ряд статей [12-14], появившихся в последние годы
Приведем формулировку результата Х. Хадвигера [2].
Пусть О - ограниченная выпуклая область в Мп. Через в обозначим центр масс области О. Определим функционал
I(О) = У \в,р\2 ¿р, р € О,
где \в,р\ - расстояние от точки в до р.
Теорема 2. Пусть Оо, О1 - ограниченные выпуклые области в М". Тогда функционал I(Ог)1/(п+2) вогнут по £ :
I(Ог)1/("+2) > (1 - г)1 (Оо)1/("+2) + и(О!)1/("+2), (3)
где Ог = {(1 - г)ро + гр1\ро € Оо, р1 € О1}, 0 < £ < 1.
Целью настоящей работы является обобщение неравенства (3).
1. Основной результат
Пусть О - ограниченная область в М" . Определим функционал
I(к, О) =! (а.1 \х1 - в1 + а2\х2 - в2\к +-----+ а."\х" - вп\к) ¿х, к € (1, (4)
п
где в1, в2,..., вп - координаты точки минимума функции
I(у) = ! (а1\х1 - у1\к + а2\х2 - У2\к +----+ а,"\хп - уп\к) ¿х, ¿х = ¿х1 ¿х2 ■ ■ ■ ¿хп
п
переменных у = (у1, у2,..., уп) € М", где х1, х2,... ,хп - декартовы координаты точки х € О, к € (1, , а > 0, г =1, 2,... ,п, - произвольные действительные числа.
Основным результатом настоящей статьи является следующая
Теорема 3. Пусть По, П1 - ограниченные области в Мп, представимте в виде объединения конечного числа выпуклых областей. Тогда функционал I(к, П)1/(к+п) вогнут:
I (к, П)1/(к+п) > (1 - Ь)1 (к, По)1/(к+п) + ¿I (к, П!)1/(к+п), (5)
где Пг = {(1 - ¿)г0 + ¿г1 | х0 £ П0, г1 £ }, 0 < г < 1, к £ (1,
Отметим, что метод, разработанный Г. Кэди в [9], не подходит для получения неравенства (5), но используется нами при получении вспомогательных результатов, а именно лемм 4 и 5.
2. Построение функционала
Данный раздел посвящен доказательству существования точки минимума функции I(у).
Пусть П - ограниченная выпуклая область точек х = (хх ,х2,... ,хп) пространства Мп. Через П3 обозначим проекцию области П на гиперплоскость х3 =0. Условие выпуклости области П равносильно тому, что существуют непрерывные на П3 функции Ф3 (х3), Ф3 (х3), х3 = (хх ,х2,... ,х^ — 1,х^+1,... ,хп) £ П3 , что область П состоит из точек х, для которых х3 £ П3, Ф3 (х3) < хз < Ф3 (х3): П = = {х £ Мп | х3 £ П3, ф3 (х3) < х3 < ф3 (х3), 3 = 1, 2,... ,п}.
Обозначим
13 (У3) = а3 ! 1х3 - У31к Лх = а3 ! [(х3 - У3)2] к!/ Лх, 3 = 1, 2,...,п (6)
Тогда I(у) 13(У3). Заметим, что
3=1
Ы (у) = дЦ (У3)
3 = 1, 2,...,п.
дУ3 дУ3
Непосредственным дифференцированием под знаком интеграла в (6) находим
13 (У3) = (—а31х3 - У31к—2(х3 - У3) Лх, 3 = 1, 2,...,п. п
Следовательно, для нахождения стационарных точек у = (У1,... ,Уп) функции I(у) имеем систему
1^3 - У31к—2(х3 - У3 )вх = 0, з = 1, 2,...,п, (7)
п
которая представляет собой систему алгебраических уравнений относительно у1,...,уп. Займемся исследованием ее разрешимости. С этой целью систему (7) запишем в другой форме. Так как
J 1х3 - У31к 2(х3 - У3) йх = У ¿х3 ^ [(х3 - У3)2}к// 1 (х3 - У3) йх3 =
П Пз Фз (хз)
= 1 / (1ф3 - У31к - 1Ф3 - У31к) ^, к £ (1, +ю),
то система (7) примет вид
J (\Фз - уз\к -\<3 - уз\к) ¿х3 =0, Фз = Фз (х3), < = < (х3), х3 € О3,
¿х3 = ¿х^х2 ■ ■ ■ ¿х*-1 ¿х*+1 ■ ■ ■ ¿хп, 3 = 1, 2, .. . ,п. (8)
Заметим, что
(фз-Уз )2
\Фз - Уз\к -\Уз - <3\к = к, ! 1к/2-1 ¿г. (9)
(Уз-Рз )2
- у )2 - Ч-
Сделав в (9) замену переменной Ь = (у*-<з)2 +т ((ф* - у*)2 - (у* - <3)2) , получим формулу (9) в виде
\Фз - Уз\к -\Уз - Vз\к =
= к(\Уз - <3 \; \фз - Уз \; к) ((ф3 - Уз )2 - (У3 - <3 )2) , 3 = 1 ^..^Щ (10) где принято обозначение
к(\уз- <3\; \фз- уз\; к) = 1
2/((Уз - Vз )2 + т ((Фз - Уз )2 - (Уз - Vз )2))к/2-1 ¿т, 3 = 1, 2,... ,п. (11)
Подставляя (10) в систему (8), получаем
У к(\уз - <з\; \фз - у* \; к) (ф2 - <2 - 2у* (ф3 - <3)) ¿х3 =0, 3 = 1, 2,...,п. (12)
п,
Так как
фз 'Фз
ф3 - <2 = 2 J х* ¿х*, фз - <з = J ¿х*,
V, V,
то система (12) примет вид
У к(\уз-<з\; \фз-уз\;к)хз¿х-уз !к(\уз-<з\; \фз-уз\;к)¿х = 0, 3 = 1,2,...,п-,
пп
которую, в свою очередь, перепишем в виде
Jк(\уз- <з\; \фз- уз\; к)хз ¿х У3 = —г-, 3 = 1, 2,...,п. (13)
/ к(\уз- <з\; \фз- уз\;к) ¿х
п
Представление (13) системы (7) позволяет доказать ее разрешимость. Действительно, заметим, что к(\уз - <3\; \фз - У3\; к), определенная формулой (11), как функция переменных х3 = (х1,..., хз-1, х3+1,..., хп), положительна в О3 , а значит, и в О. Тогда, применяя к интегралу в числителе (13) теорему о среднем,
получаем, что существуют такие числа G [min Xj, max Xj ], что справедливы
Q Q
формулы
J НУ] - Фз; Фз - Уз; к)хз 3х = м^ ну - фз; фз - уз; к) йх, 3 = 1, 2п. (14) о о
Теперь, если (14) подставить в (13), получим
Уз = Мз, 3 = 1, 2,■■■,n, (15)
то есть система (13) имеет решение вида (15).
Таким образом, функция I(у) имеет стационарную точку вида (15). Заметим, что эта стационарная точка может и не принадлежать области П. Однако гиперплоскости х] = М], з = 1, 2,... ,п имеют с П непустое пересечение.
Пусть у = (у1,у2,... ,уп) - стационарная точка функции I(у). Покажем, что она является точкой минимума. Для второй производной функции I(у) легко получаем выражение
к-1_
!j'(yj) = ajkj (\фj - yj\к 1sign (фj - yj)-
-\фз - уз\к ^ (фз - УЗ )) йхз, 3 = 1, 2,.. . ,п. (16)
Покажем, что имеют место неравенства
1"Ьз) > 0, 3 = 1, 2,... ,п. (17)
С этой целью проекцию Пз области П на гиперплоскость хз = 0 разобьем на две части двумя способами в зависимости от расположения точки у: Пз = П0 + П1 или Пз = П0 + П2 , где
П0 = {хз € Пз \ фз (хз) > уз > фз (хз)}, П1 = {хз € Пз \ уз > Фз (хз) > Фз (хз)}, П = {хз € Пз \ Фз (хз) > Фз (хз) > уз}, 3 = 1, 2,...,п.
В соответствии с этими разбиениями соотношения (16) можно представить одним из следующих способов:
к 1 к 1
Ij'(yj) = aj kj (ф - yj )к-1 + (yj - 9j )к-1) dxj +
f ((yj - фз)к-1 - (yj - ф0)к-1) dxj,
+ ajk j = 1, 2,... ,n. (18)
1 ((фз - уз)к-1 - (фз - уз)к-1) dxj,
Q2
Заметим, что первое слагаемое в правой части (18) положительно. Так как уз - Фз (хз) > уз - Фз (хз) для любых хз € П* и фз (хз) - уз > фз (хз) - уз для любых хз € П2, вторые слагаемые в (18) при к € (1, также положительны.
Таким образом, условия (17) выполняются. Кроме того, отметим, что в случае
0 < к < 1 условия (17) могут выполняться за счет малости частей П1, П2. Например, если П - п-мерный параллелепипед, то легко видеть, что П* = 0, П2 = 0, то есть при 0 < к < 1 вторые слагаемые в (18) отсутствуют и тем самым условия (17) будут выполнены.
д21(у)
Принимая во внимание (17) и ——-— = 0, г = 3, получаем, что полный диффе-
д'Угд'Уу
ренциал второго порядка сР1 (у) представляет собой положительно определенную квадратичную форму ¿у1,..., ¿уп . Следовательно, стационарная точка у является точкой минимума I(у). В дальнейшем точку минимума будем обозначать через в = = (в1,...,вп).
Таким образом, доказана
Лемма 1. Пусть П - ограниченная выпуклая область в М" . Тогда функция I(у) переменных у1, у2,. .. ,уп в М" имеет точку минимума в = ($1, ..., вп), координаты которой определяются из системы уравнений (7) или (13).
Общий случай. Пусть теперь П - ограниченная область в М" такая, что ее можно представить в виде объединения конечного числа областей П1, П2,..., Пт
т
(П = У Пг) таких, что каждая область Пг является выпуклой, то есть Пг пред-
¿=1
ставима в виде
П = {х е М" IX3 е П), р) (х)) < х) < ф) (х)), 3 =1, 2,...,п}, г = 1, 2,...,т,
где П3) - проекция П1 на гиперплоскость X) = 0, р) (х3), ф) (х3) - непрерывные функции в П) , 3 = 1, 2,... ,п, г = 1, 2,... ,т. Тогда функцию I) (у)) можно представить в виде
т ,,
1) (у3) = J 1хз — У) 1к ¿х, к е (1, +').
п*
Применяя к ней предыдущие рассуждения, для определения стационарных точек функции I(у) получим систему
53 / ь(1Уз — р)^у — ф)^к)хз¿х
¿=1
1п*_
т
53 / — р)^ У — ф)^к)3-х
¿=1п*
У) = -, 3 = 1, 2,..., п. (19)
Обозначим
Н(у); х; к) = 53 Хп* (хЖу) — р) Ь \У) — ф)|; к),
¿=1
где к(\у) — р) |; \у) — ф)|; к) определен формулой (11), Хп* (х) - характеристическая функция области Пг.
Тогда систему (19) можно записать в виде
J Н(у); х; к)х) ¿х
У) = п--, з = 1, 2,...,п. (20)
/ Н(у); х; к) ¿х
п
Заметим, что функция H(y j; x; к) положительна в области Q. Тогда, рассуждая как и выше, получаем, что система (20) разрешима.
Пусть y = (yi,..., yn) - стационарная точка функции I (у). Через ii, ii, 13 обозначим подмножества множества номеров {1, 2,..., m}, обладающих следующими свойствами:
1) для всех i € ii область Qi имеет непустое пересечение с гиперплоскостью xj = yj ;
2) для всех i € ii справедливы неравенства yj > Щ > pj;
3) для всех i € i3 справедливы неравенства Щ > pj > yj.
Отметим, что ii, i3 могут быть и пустыми множествами. Тогда для второй производной функции Ij (yj) имеем выражение
Ij'(yj) = а кJ2 f (Щ - yj\k-i sign Щ - yj) - \pj - yj\k-i sign (pj - yj)) dxj+
iei1 ¿i 3
+ ajк £ f ((yj - pj)k-i - (yj - Ц)k-i) dxj + + aj к]T J (Щ - yj )k-i - (pj - yj )k-i) dxj, j = 1, 2, ... ,n, к € (1, +ж). (21)
i£i3 ¿3 Так как
yj - pj (xj) > yj - Щ (xj) V xj € Qj, V i € ii;
ф) (хз) - уз > фгз (хз) - уз V хз € Пз, V г € г3,
то все слагаемые второй и третьей сумм в правой части (21 ) положительны. При помощи рассуждений, аналогичных проведенным в случае выпуклой области П , получаем, что все слагаемые первой суммы в правой части (21) также положительны.
Итак, 1'з'(уз) > 0, 3 = 1, 2,... ,п, следовательно, у = (у1,..., уп) - точка минимума функции I(у). Таким образом, доказана
т
Лемма 2. Пусть ограниченная область П представима в виде П = У Пг,
г=1
где области Пг, (г = 1, 2,.. . ,п) являются выпуклыми. Тогда функция I(у) в Мп имеет точку минимума в = (в1,. .., вп), которая определяется из системы (20).
3. Вспомогательные леммы и их доказательства
В дальнейшем нам понадобится следующая известная (см. например, [7])
Лемма 3. Пусть Р, Ро, Р1 - ограниченные области в Мп, Г - положительный однородный первой степени функционал, то есть
Г(вР) = вГ(Р) Vв> 0,
является квазивогнутым:
Г(Рг) > тп(Г(Ро)), Г(Р1)) VЬ € [0, 1]. Тогда он вогнут, то есть
ГР) > (1 - Ь)Г(Ро) + ЬГ(Р1) VЬ € [0, 1], где Рг = {(1 - Ь)хо + Ьх1 \ хо € Ро,Х1 € Р1}, 0 < Ь < 1.
Для доказательства теоремы 3 нам понадобится ряд вспомогательных результатов, которые установим ниже.
Пусть Е - гиперплоскость размерности п — 1, содержащая начало координат О е М", и - нормированный вектор с началом в точке О, ортогональный Е. Гиперплоскость Е разбивает М" на два полупространства:
Н+ = {х е М" | (х, и) > 0}, Н_ = {х е М" | (х, и) < 0},
где (х, и) - скалярное произведение векторов х, и в М" .
Пусть П - ограниченная область, полностью лежащая в полупространстве Н+ . Определим функционал
1+(к, П) = «У Е, г^ ¿г, (22)
п
где к е (0, +'), а > 0 - произвольные действительные числа, Е, z| - расстояние между точкой г е П и гиперплоскостью Е. Справедлива
Лемма 4. Пусть По, П1 е Н+ - ограниченные области в М" . Тогда функционал J+(k, П)1/("+к) вогнут, то есть
.1+(к, П')1/("+к) > (1 — г).1+(к, п0)1/("+к) + и+(к, п1)1/("+к),
0 < г < 1, к е (0, +'). (23)
Доказательство. Пусть П = ^ = (1 — г)го + гг1 | го е По, г1 е П1} - сумма Минковского областей (1 — г)По и гП1. Заметим, что П е Н+ и имеет место равенство
= (1 — t)|E,zо| + ЦЕ, г11. (24)
Применим к (24) неравенство о среднем, после чего обе части возведем в степень к . Получим
Е,г^к > Е, го^- ■ Е, г^. (25)
Введем в рассмотрение следующие функции:
Н(г) = аЕ, г!хП, (г), Ш = аЕ, г^хП0 (г), Ш = аЕ, г^ (г),
где Хп(г) - характеристическая функция области П. Тогда, используя (25) и известное неравенство для характеристических функций
Хпг) > [ХпоЫ]1-'^ (zl)]t,
получим
Н(гг) = аЕ, г^кхП, (*) >
> а_[Е, го|хПоЫ]к{_ ■ а'[Е, г^Хъ Ы]Ы = ■ №1),
то есть выполняется условие (2) теоремы 1. Следовательно,
J+(k, П) > J+_t(k, П0) ■ J+ (к, П1) У г е [0, 1].
Обозначим Е(П) = (к, П)]1/("+к) . Заметим, что функционал Е(П) квазиво-гнут. Действительно, в силу (25) для Е(П) получим
Е (Щ) > Е 1-'(П0) ■ Е'(П1) У г е [0, 1],
то есть функционал Е(О) логарифмически вогнут. Поэтому Е(О) квазивогнут, то есть
Е(О) > тп(Е(О0), Е(О)).
Кроме того,
Л+(к, Щ = Хк+п ! \Е, г\к ¿г, п
а значит, Л+(к, О) - однородный функционал степени к+п. Следовательно, Е(О) -однородный функционал первой степени. Таким образом, все условия леммы 3 выполнены, поэтому функционал Е(О) вогнут, то есть справедливо неравенство (23). Лемма (4) доказана. □
Определим функционал
Л-(к, О) = «У \Е, г\к ¿г, к е (0, +<), (26)
п
где О - ограниченная область, полностью лежащая в полупространстве Н- . Справедлива
Лемма 5. Пусть Оо, е Н- - ограниченные области в Мп . Тогда функционал Л-(к, О)1/(п+к) вогнут, то есть имеет .место неравенство
Л-(к, О1)1/(п+к) >
> (1 - г)Л-(к, Оо)1/{п+к) + и-(к, О1)1/(п+к), о < г < 1, к е (0, +<). Доказательство полностью повторяет доказательство леммы 4.
Далее, пусть О - ограниченная область в Мп, у = (у1, у2,... ,уп) - произвольно фиксированная точка в Мп, Е(у) - произвольно фиксированная гиперплоскость размерности п — 1, проходящая через точку у. Введем функцию переменных у1,у2, ...,уп:
Л (у) = \Е(у),г\к ¿г, к е (0, +<), «> 0. п
Предположим, что существует точка минимума утт функции Л (у). Определим функционал области О
Л (к, О) = «У \Е (утп), г\к ¿г, к е (0, +<), « > 0. п
Заметим, что функционал Л (к, О) является инвариантным относительно переноса, то есть Л (к, О) = Л (к, О), где О и О совпадают с точностью до переноса. Поэтому, не ограничивая общности рассуждений, далее считаем, что точка утт совпадает с началом координат О. В этом случае гиперплоскость Е(0) будем обозначать через Еп , так что для функционала имеем представление
Л (к, О) = Л (к, О; Еп) = ^ \Еп, г\к ¿г, к е (0, +<), « > 0. (27)
Гиперплоскость Ео разбивает область П на две части: П+ = П р| Н+ и П— = = П р| Н—. Определим функционалы 1+(к, П; Ео) и 1—(к, П; Ео) по формулам
1+(к, П; Ео) = 1+ (к, П+), —к, П; Ео) = 1—(к, П—),
где 1+(к, П+), 1—(к, П—) заданы соотношениями (22), (26), в которых Е = Ео. Тогда функционал 1(к, П; Ео) в (27) можно представить в виде
1 (к, П; Ео) = 1+(к, П; Ео) + 1— (к, П; Ео). (28)
Справедлива
Лемма 6. Пусть По, П1 - ограниченные области в Мп. Тогда функционал [1 (к, П; Ео)]1/(п+к) вогнут, то есть
[1 (к, Пг; Ео,)]1/(п+к) > (1 - Ь).(к, По; Ео0)]1/(п+к) + Ь[1(к, П1; Ео1 )]1/(п+к),
где Пг = (1 - Ь)По + ЬП1, 0 < Ь < 1, к € (0,
Доказательство. Пусть и - нормированный вектор, ортогональный гиперплоскости Ео,. Отметим, что гиперплоскость Ео, по определению проходит через начало координат, которое является точкой минимума функционала 1 (к, Пг; Ео,). Определим новые области По, ПЦ так, что точки хТ € По и х\ € ПЦ будут вычисляться по точкам хо € По и х1 € П1 согласно формулам
х^ = хо + Ьти, х\ = Х1 - (1 - Ь)ти.
Легко видеть, что (1 - Ь)хо + Ьх\ = хг, поэтому Пг = (1 - Ь)По + ЬП\. Введем вспомогательные функции
«т) = ■ п(т) = . (29)
1—(к, По; Ео,) 1—(к, П\; Ео,)
Функции £(т), п(т) будем рассматривать на конечном интервале (ао, а1), где ао -достаточно малое отрицательное, а1 - достаточно большое положительное числа. Легко видеть, что на (ао, а1) функция £(т) монотонно возрастает от 0 до , а функция п(т) монотонно убывает от до 0. При достаточно малых отрицательных т (ао < т < во) получаем, что £(т) = 0, ц(т) = , а при достаточно больших положительных т (в1 < т < а1) имеем £(т) = , ц(т) = 0. Тогда, принимая во внимание свойства монотонных и непрерывных функций, получаем, что существует точка то € (ао, а1) такая, что
С(то) = п(то) = С, 0 < С = гс-
Так как рассматриваемые нами функционалы инвариантны относительно переноса, не ограничивая общности рассуждений, можем считать, что то = 0, а значит, П0 = По, ПЦ° = П1. Следовательно, из (29) будем иметь
1+(к, По; Ео,) = 1— (к, По; Ео,), 1+(к, П1; Ео,) = 1—(к, П; Ео,). (30)
Заметим, что (1 - Ь)По+ + ЬП1+ С Пг+, (1 - Ь)По— + ЬП1— С Пг—. Отсюда, используя леммы 4, 5, получаем
[1+(к, Пг; Ео,)]1/(п+к) >
> (1 - Ь)[1+(к, По; Ео,)]1/(п+к) + Ь[1+(к, П1; Ео,)]1/(п+к),
[1—(к, Пг; Ео,)]1/(п+к) >
> (1 - Ь)[1—(к, По; Ео,)]1/(п+к) + Ь[1—(к, П1; Ео,)]1/(п+к).
Тогда из (28) с учетом (31) получим
Л (к, Ои Еп,) > ((1 — г)[Л+(к, Оо; Еп, )]1/(п+к) + г[Л+(к, О1; Еп, )]1/(п+к)) ^ + + {(1 — г)[Л-(к, Оо; Еп,)]1/(п+к) + Л-(к, О1; Еп,)]1/(п+к))^ , откуда в силу (30)
Л(к, Ои Еп,) > (1 + С) ((1 — Ш-(к, Оо; Еп,)]1/(п+к) + г[Л-(к, О1; Еп,)]1/(п+к))
п+к
Следовательно, возводя обе части этого неравенства в степень 1/(п + к), будем иметь
[Л(к, Ог; Еп,)]1/(п+к) > > (1 + С)1/(п+к) ((1 — Ш-(к, Оо; Еп,)]1/(п+к) + г[Л-(к, О1; Еп,)]1/(п+к)) = = (1 — г)[Л+(к, Оо; Еп,) + Л-(к, Оо; Еп,)]1/(п+к)+ + г[Л+(к, О1; Еп,) + Л-(к, О1; Еп,)]1/(п+к) =
= (1 — г)Л(к, Оо; Еп,)]1/(п+к) + г[Л(к, О1; Еп,)]1/(п+к). (32) Но по построению для функционалов Л (к, О; Еп) имеем неравенства
Л(к, Оо; Еп,) > Л(к, Оо; Еп0), Л(к, О1; Еп,) > Л(к, О1; Ещ). (33) Тогда из (32) с учетом (33) сразу получим утверждение леммы. □
4. Доказательство основного результата
Без ограничения общности рассуждений будем считать, что точка минимума в = (в1, в2,..., вп) функционала I(к, О) совпадает с началом координат О. Через Еу обозначим гиперплоскость ху =0. Пусть иу - нормированный вектор с началом в О, ортогональный Еу , з = 1, 2,... ,п. Введем функционалы
Лу (к, О) = \Е,, г\к ¿г, 3 = 1, 2,...,п, к е (1, +<). (34)
п
Заметим, что \Еу, г\ = \ху \, следовательно,
Лу (к, О) = а¿У \ху\к ¿х, 3 = 1, 2,...,п.
Тогда для функционала I(к, О), определенного формулой (4), получим представление
п
I(к, О) = ^ ЛУ(к, О). (35)
¿=1
Покажем, что для доказательства неравенства (5) достаточно того, что из условия
I(к, Оо)= I(к, О1) = 1 (36)
следует
I (к, 0^ > 1 У г € [0, 1]. (37)
Действительно, пусть имеет место (37), то есть I(к, (1 — г)0о + 10,1) > 1 для всех г € [0, 1]. В силу (36) последнее неравенство можно записать в виде
1 {к,(1—г) I тАк, о0)+г I /Ак, о,)) >1 (38)
Положим
11/(п+к)(к, 0^
11/{и+к)(к, О0) + 11/{и+к)(к, 01)'
Тогда
I1/(n+k)(k, 0о)
1- г
11/(п+к)(к, 0о) + 11/(п+к)(к, 01)' Поэтому из (38) получаем
I (к _0о + 01_^ 1
^ ' 11/(п+к)(к, 0о) + 11/(п+к)(к, 01)] - ' Отсюда с учетом того, что I(к, 0) - однородный функционал степени п + к, имеем
I(к, 0о + 01) > (11/(п+к)(к, 0о) + 11/(п+к)(к, 0П+к ,
то есть
11/(п+к)(к, 0о + 01) > 11/(п+к)(к, 0о) +11/(п+к)(к, 01). (39)
Теперь в (39) область 0о заменим на (1—г)0о, а 01 - на г01. В результате получим неравенство (5).
Итак, докажем неравенство (37). Для этого функционалы (к, 0), заданные с помощью формул (34), будем рассматривать как функции от векторов . Введем функции /(из) = Jj(к, 0о) — Jj(к, 01), 3 = 1, 2,... ,п, являющиеся непрерывными на единичной сфере. Тогда, используя теорему о непрерывных функциях на сферах, получаем, что существуют попарно ортогональные вектора из, 3 = 1, 2,... ,п, такие, что /(и1) = /(и2) = • • • = /(ип). Принимая во внимание соотношения (35) и (36), получим
пп
"52/) = (к, 0о) — Jj (к, 01)] = I(к, 0о) — I(к, 01) = 0,
3=1 3=1
откуда вытекает, что /(из) = 0, 3 = 1, 2,... ,п, следовательно,
(к, 0о ) = (к, 01), 3 =1, 2,...,п. (40)
Заметим, что функционалы (к, 0), 3 = 1, 2,...,п, к € (1, +гс>), в (34) имеют ту же структуру, что и функционал .1 (к, 0, Ео) в лемме 6. Следовательно, для них справедливы неравенства
Jl./(n+k (к, 04) > (1—t)Jlj/{n+k) (к, 0о )+и]/{п+к\к, 01), з = 1, 2,...,п, У г € [0,1],
откуда с учетом (40) получаем
Jj (к, 0г) > Jj (к, 0о), 3 = 1, 2,..., п.
Суммируя обе части последних неравенств по 3, приходим к неравенству (37). Теорема 3 доказана.
5. Частные случаи функционала I(к, Q)
Рассмотрим некоторые частные случаи, когда точку минимума s = (si,..., sn) функционала I(к, Q) удается определить в явном виде.
1. Пусть к = 2. Тогда из представлений (11) следует, что H(sj; x; 2) = 1. Следовательно, как видно из (20), точка минимума s совпадает с центром масс области Q, и получаем функционал, рассмотренный Х. Хадвигером в [2].
2. Пусть к € (0, - произвольное число; j = Cj = const, фj = dj = const, j = 1, 2,... ,n, то есть Q - n-мерный параллелепипед. Тогда из (11) вытекает, что h(\sj — y>j |; \фj — sj |; к) = const, j = 1, 2,...,n, и формулы (13) примут вид
Г
J Xj Х
sj = -, j = 1, 2, ... ,n,
dx
J
то есть точка минимума s также совпадает с центром масс параллелепипеда. Вычисляя интегралы, будем иметь
cj + dj 2
, j = 1, 2,...,n.
3. Пусть п =2, к = 3, О - треугольник, ограниченный прямыми х + у = 1, х = 0, у = 0. В этом случае система (7) примет вид
i — yi / У1 1-Х2
! ¿Х2 |У(у1 - х1)(х1 - У1) вх1 + J (х1 - ух)2 ¿X! I + о \о у^ /
1 1-Х2
+ У вх2 У (У1 - хЛ)(х1 - у1) вх1 = 0, 1-У1 о
1 У2 / У2 1-Х1 \
У вх1 |У (у2 - х2)(х2 - у2) вх2 + У (х2 - у 2) ¿х2 I +
о о у2
1 1 — х 1
+ J вх1 У (у2 - х2 )(х2 - у2) ¿х2 = 0,
1-у2 о
которая после вычисления интегралов преобразуется к виду
2у4 - 8у3 + 6у2 - 4ул + 1 = 0, э = 1, 2.
Эта система уравнений имеет решение у1 = у2 ~ 0.359, которое является точкой минимума.
Центр масс треугольника имеет координаты (1/3; 1/3), то есть точка минимума (0.359; 0.359) не совпадает с центром масс.
4. Пусть п = 2, к = 3, О - круг: х\ + х2, < 1. Система (7) после несложных преобразований запишется в виде
i __Ф-2 _ 3
У (byl^l 1 — Х2 + (1 — xl)3/2^J dx2 + У (yi — ^ 1 — x%j dx2 =0
—1 -V—H
s
j
1 ___ 3
J 1 — А + (1 — х21)3/^ ¿Х1 + ! (у — Х =0.
-1 -У—2
Непосредственной подстановкой убеждаемся в том, что у1 = у2 =0 является решением этой системы. Для центра масс круга также получаем (0, 0) , то есть точка минимума совпадает с центром масс.
Благодарности. Выражаю благодарность своему научному руководителю Ф.Г. Авхадиеву за постановку задачи и ценные указания.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 14-01-00351).
Литература
1. Lusternik L.A. Die Brunn-Minkowskische Ungleichung fur beliebige messbare Mengen // C. R. Acad. Sci. URSS. - 1935. - V. 8. - P. 55-58.
2. Hadwiger H. Konkave eikerperfunktionale und hoher tragheitsmomente // Comment Math. Helv. - 1956. - V. 30. - P. 285-296.
3. Prekopa A. Logarithmic concave measures with application to stochastic programming // Acta Sci. Math. - 1971. - V. 32. - P. 301-316.
4. Leindler L. On a certain converse of Holder's inequality II // Acta Sci. Math. (Szeged). -1972. - V. 33. - P. 217-223.
5. Brascamp H.J., Lieb E.H. On extensions of the Brunn-Minkowski and Prekopa-Leindler theorems, including inequalities for log concave functions, and with an application to the diffusion equation // J. Funct. Anal. - 1976. - V. 22, No 4. - P. 366-389.
6. Borell C. Diffusion equations and geometric inequalities // Potential Anal. - 2000. - V. 12, No 1. - P. 49-71.
7. Gardner R.J. The Brunn-Minkowski inequality //Bull. Amer. Math. Soc. - 2002. - V. 39, No 1. - P. 355-405.
8. Barthe F. The Brunn-Minkowski theorem and related geometric and functional inequalities // Proc. Int. Congress of Mathematicians Madrid, Spain, 2006. - Eur. Math. Soc., 2006. - V. 2. - P. 1529-1546.
9. Keady G. On a Brunn-Minkowski theorem for a geometric domain functional considered by Avhadiev //J. Inequal. Pure Appl. Math. - 2007. - V. 8, No 2. - Art. 33, P. 1-4.
10. Авхадиев Ф.Г. Решение обобщенной задачи Сен-Венана // Матем. сб. - 1998. - № 12. -С. 3-12.
11. Авхадиев Ф.Г., Тимергалиев Б.С. Неравенства типа Брунна-Минковского для конформных и евклидовых моментов областей // Изв. вузов. Матем. - 2014. - № 5. -С. 64-67.
12. Figalli A., Maggi F., Pratelli A. A refined Brunn-Minkowski inequality for convex sets // Ann. Inst. H. Poincare Anal. Non Lineaire. - 2009. - V. 26, No 6. - P. 2511-2519.
13. Gardner R.J., Zvavitch A. Gaussian Brunn-Minkowski inequalities // Trans. Amer. Math. Soc. - 2010. - V. 362, No 10. - P. 5333-5353.
14. Lv S. Dual Brunn-Minkowski inequality for volume differences // Geom. Dedicata. -2010. - V. 145, No 1. - P. 169-180.
15. Yamabe H., Yujobo Z. On the continuous function defined on a sphere // Osaka Math. J. -1950. - V. 2, No 1. - P. 19-22.
Поступила в редакцию 25.08.15
Тимергалиев Булат Саматович, аспирант кафедры теории функций и приближений Казанский (Приволжский) федеральный университет
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия E-mail: [email protected]
ISSN 1815-6088 (Print) ISSN 2500-2198 (Online) UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI (Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)
2016, vol. 158, no. 1, pp. 90-105
Generalization of the Brunn—Minkowski Inequality in the Form of Hadwiger
B.S. Timergaliev
Kazan Federal University, Kazan, 420008 Russia E-mail: [email protected]
Received August 17, 2015 Abstract
A class of domain functionals has been built in the Euclidean space. The Brunn-Minkowski type of inequality has been applied to the said class and proved for it. Functional building has been performed using the point of minimum of function of n variables bound with functionals, proof of existence of which is the important part of the proposed research. We have introduced special cases of functionals for which the point of minimum can be found explicitly. The resulting Brunn-Minkowski type of inequality generalizes the corresponding inequality for moments of inertia in relation to the center of mass and hyperplanes proven by H. Hadwiger. It is worth mentioning that the point of minimum of functional in general case does not coincide with the center of mass. Coincidence occurs only in special cases, which is proven by the particular examples in this study.
Keywords: Brunn-Minkowski inequality, Prekopa-Leindler inequality, concave functional, convex domain
Acknowledgments. I thank F.G. Avkhadiev, my scientific supervisor, for formulation of the problem and valuable advice.
The study was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 1401-00351).
References
1. Lusternik L.A. Die Brunn—Minkowskische Ungleichung fiir beliebige messbare Mengen. C. R. (Dokl.) Acad. Sci. URSS, 1935, vol. 8, pp. 55-58.
2. Hadwiger H. Konkave eikerperfunktionale und hoher tragheitsmomente. Comment. Math. Helv., 1956, vol. 30, pp. 285-296.
3. Prekopa A. Logarithmic concave measures with application to stochastic programming. Acta Sci. Math., 1971, vol. 32, pp. 301-316.
4. Leindler L. On a certain converse of Holder's inequality II. Acta Sci. Math. (Szeged), 1972, vol. 33, pp. 217-223.
5. Brascamp H.J., Lieb E.H. On extensions of the Brunn—Minkowski and Prékopa—Leindler theorems, including inequalities for log concave functions, and with an application to the diffusion equation. J. Funct. Anal., 1976, vol. 22, no. 4, pp. 366-389.
6. Borell C. Diffusion equations and geometric inequalities. Potential Anal., 2000, vol. 12, no. 1, pp. 49-71.
7. Gardner R.J. The Brunn—Minkowski inequality. Bull. Amer. Math. Soc., 2002, vol. 39, no. 1, pp. 355-405.
8. Barthe F. The Brunn—Minkowski theorem and related geometric and functional inequalities. Proc. Int. Congress of Mathematicians, Madrid (Spain), 2006, pp. 1529—1546.
9. Keady G. On a Brunn—Minkowski theorem for a geometric domain functional considered by Avhadiev. J. Inequal. Pure Appl. Math., 2007, vol. 8, no. 2, art. 33, pp. 1—4.
10. Avkhadiev F.G. Solution of the generalized Saint Venant problem. Mat. Sb., 1998, no. 12, pp. 3—12. (In Russian)
11. Avkhadiev F.G. , Timergaliev B.S. Brunn—Minkowski type inequalities for conformal and Euclidean moments of domains, Izv. VUZov Mat., 2014, no. 5, pp. 64—67. (In Russian)
12. Figalli A., Maggi F., Pratelli A. A refined Brunn—Minkowski inequality for convex sets. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Lineaire, 2009, vol. 26, no. 6. pp. 2511—2519.
13. Gardner R.J., Zvavitch A. Gaussian Brunn—Minkowski inequalities. Trans. Amer. Math. Soc., 2010, vol. 362, no. 10, pp. 5333—5353.
14. Lv S. Dual Brunn—Minkowski inequality for volume differences. Geom. Dedicata, 2010, vol. 145, no. 1, pp. 169—180.
15. Yamabe H., Yujobo Z. On the continuous function defined on a sphere. Osaka Math. J., 1950, vol. 2, no. 1, pp. 19—22.
/Для цитирования: Тимергалиев Б.С. Неравенство типа Брунна-Минковского ( в форме Хадвигера для степенных моментов // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-\ матем. науки. - 2016. - Т. 158, кн. 1. - С. 90-105.
For citation: Timergaliev B.S. Generalization of the Brunn-Minkowski type inequality in the form of Hadwiger. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Mate-maticheskie Nauki, 2016, vol. 158, no. 1, pp. 90-105. (In Russian)
