CC BY
21
Математические структуры и моделирование 2002, вып. 10, с. 37-44
УДК 517.968, 514.17
ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ИНТЕГРАЛАХ КРИВИЗНЫ ВЫПУКЛОЙ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ
В.Н. Степанов
The integrated equation of the first kind with the kernel dependent on scalar product within the Banach space of measures on Sn-1 is being considered here. The theorem of the uniqueness of the equation solution relatively to the measures, which is used to prove the simple definiteness of the closed convex hypersurface on its integrals of curvature has been proved. The theorem of existence of the central symmetric closed convex hypersurface with the given integral of projection curvature has been proved.
Пусть Sn-1 - единичная сфера в Rn; в, вточки на Sn-1; M - банахово пространство знакопеременных мер (зарядов) на Sn-1 с нормой |ф|| =| ^ | (Sn-1), где | ^ | (Sn-1) - полная вариация знакопеременной меры ^ на Sn-1; B - замкнутая выпуклая гиперповерхность в Rn.
Рассмотрим связанные с поверхностью B интегралы:
Ут(в) = 2 f 1(в,в ')km(de') (1)
и Sn-1
Wm(e) = [ Х((в,в ')) Vm(de '), (2)
Sn-l
где от(в) - m-я функция кривизны выпуклой гиперповерхности B, 1 < m < n — 1, [1] ; Q - измеримое множество на Sn-1; de - евклидов элемент площади на Sn-1; (•, •) - скалярное произведение; x(t) - функция Хевисайда. При n = 3, m = 2 функции У2(в), W2(e) - имеют следующий простой геометрический смысл: У2(в) - площадь ортогональной проекции поверхности B на плоскость, ортогональную вектору в; W2(e) - площадь освещенной в направлении в части поверхности B. А.Д. Александров называет функцию Ут(в) m-м интегралом кривизны проекции выпуклой гиперповерхности [2]. Функцию Wm(e) -естественно назвать m-м интегралом кривизны освещенной части. Задачи определения выпуклой поверхности по ее интегралам кривизны исследовались в работах [3-5,11].
© 2002 В.Н. Степанов
E-mail: [email protected]
Омский государственный технический университет
38
В.Н. Степанов. Замечания об интегралах...
Равенства (1), (2) представляют собой уравнения относительно m-й функции кривизны am. Рассмотрим более общее уравнение первого рода относительно меры на Sn-1
f(0)= / K((0,0'))ii(dd'), (3)
sn-1
где K((0,0')) - заданная функция (ядро).
Пусть {Yk (0)} - полная ортонормированная система сферических функций на Sn-1. Введем моменты знакопеременной меры V по системе {Yk (0)}:
Vk = ! Yk(e)p(de), k = 0,1,2,.... (4)
Sn-1
Лемма 1. Знакопеременная мера V на Sn-1 однозначно определяется своими моментами vk, k = 0,1,2,... по системе {Yk(0)}.
Доказательство. Достаточно доказать, что из равенств
f Yk (0)v(d0) = 0, k = 0,1, 2,... (5)
Sn-1
следует равенство v = 0. Действительно, замыкание линейной оболочки множества {Yk(0)} совпадает с C(Sn-1). Поэтому из равенств (5) следует равенство
f ^(0)V(d0) = 0 (6)
Sn-1
для любой функции <^(0) Є C(Sn-1). Так как C(Sn-1) всюду плотно в L1(Sn-1), то равенство (6) справедливо для характеристических функций. Следовательно, v(Q) = 0 для любого измеримого множества Q на Sn-1. ■
Лемма 2. Если для меры V последовательность ее моментов {vk} С l2, то мера V абсолютно непрерывна относительно меры Лебега на Sn-1. Доказательство. Так как последовательность {vk} С l2, то по теореме Рисса-
V(0) Є L2(Sn-1) такая, что
k = 0,1,2,....
Yk (0)v(0)d0.
Фишера существует единственная функция
Vk = f Yk(0)v(d0),
Sn-1
Следовательно, для k = 0, 1, 2, ...
J Yk(0)V(d0)= J
Sn-1 Sn-1
В силу леммы 1 и теоремы Радона-Никодима мера V абсолютно непрерывна и V(0) ее плотность. ■
Математические структуры и моделирование. 2002. Вып. 10.
39
Хорошо известна формула Функа-Гекке [6]:
K ((в, в')) Yk(в) dв'
Afc Yfc (в), к = 0,1, 2,...,
(7)
Sn-l
где
Afc
| Sn—2 | Г(п — 2) Г(к + 1) Г(к + n — 2)
і
f K(t) ck2
1 n —3
1}(t)(l — t2) 2 dt,
(8)
-і
т.е. сферические функции Yk(в) являются собственными функциями ядра K ((в, в')) Є L1[— 1, 1], а соответствующие собственные значения равны Ak.
Здесь |Sn—2| - площадь поверхности сферы Sn—2, T(t) -гамма-функция, Ck2 (t)
- многочлены Гегенбауэра.
Если ядро K ((в, в ')) = |(в,в7)|, то собственными функциями будут сферические гармоники четных порядков, т.е. Y2k(в). Соответствующие собственные значения вычисляются по формуле (8) с использованием рекуррентной формулы для многочленов Гегенбауэра, формулы Родрига [6] и равны:
A =,_ nk+!_____________Д |Sn—21 Г(п — 2)(п - 2)(2к!)_________
2k ' ' 22k+n—3Г(п/2) к! (2к — 1)(2к — 1 + п)Г(к + (п — 1)/2) '
Собственными функциями ядра K ((в, в')) = х ((в, в')) — 2 являются сферические гармоники нечетных порядков, т.е. Y^+^в), а соответствующие собственные значения равны:
A = (_ 1)k |Sn—2|(п — 2)Г(п — 2) Г(к + п/2)Г(2к + 2)
2k+1 ( ) к!(2к + 1)(2к + п — 1)Г(п/2)Г(2к + п — 1) ‘
Теорема 1. Если ядро K((в, в7)) Є L1[—1,1] и полное в L2(Sn—1), то уравнение (3) имеет не более одного решения в пространстве M. Доказательство. Уравнение (3) умножим на Yk (в), проинтегрируем по мере Лебега dв и применим теорему Фубини. Получим:
f (в^(в) dв
Yk (в)
K((в, в7)) ц^в 7) dв = dв
Sn — 1 Sn — 1 \ Sn — 1
S
n
1
K ((в,в7)) Yk (в) dв
ц^в7).
По формуле Функа-Гекке (7) внутренний интеграл равен Ak Yk (в7). Поэтому и в силу равенств (4)
fk = J Y^)f (в)dв = Ak Pk, к = 0,1, 2,....
Sn—1
Следовательно, по коэффициентам Фурье fk функции f (в) однозначно определяются моменты меры ц : pk = fk /Ak. По лемме 1 мера ц однозначно определя-
ется своими моментами.
40
В.Н. Степанов. Замечания об интегралах...
Теорема 2. Интегральный оператор A
(Ли)(в) = K((в,в')) и(в') dd1
я™-1
с ядрами K({в, в’)) = \(в,в')\ и K({в, в’)) = х((в, в')) — 1/2 переводит C+ (Sn-1) в Ca (Sn-1) и C- (Sn-1) в C- а(Sn-1). C± a(Sn-1) - пространство четных (нечетных) аналитических функций на Sn-1.
Доказательство. Докажем для оператора Л с ядром K ((в,в')) = \(в,в ')\. В случае ядра K((в, в')) = х((в,в')) — 1/2 доказательство аналогично. Функцию и(в) Є Ca(Sn-1) разложим в ряд Фурье по ортонормированной системе сферических функций четного порядка {^^(в)}:
и(в)
те <г(к) k=0 s=1
4‘k = итїітв,
1
S
n
где a(k) - число сферических функций порядка k. Так как и(в) - аналитическая функция, то ее коэффициенты Фурье a^k по системе {Y2(k)(в)} с ростом номера k убывают по экспоненциальному закону: \ a^k \< с • exp (—цк) с некоторыми положительными постоянными c и ц [10]. Собственные функции и собственные значения ядра \(в,в 7)\ известны и равны соответственно Y2k(в) и Л2к. Поэтому разложение функции f (в) = (Ли) (в) в ряд Фурье имеет вид:
те <г(к)
fт = Т,Т, х2кa*Y&)(в).
k=0 =1
Так как a2k)
O(exp (—цк)) и Л2к ~ C1(n)k
-n/2-1
то коэффициенты Фурье b
(s) 2 к
Л2ка2кк функции f (в) удовлетворяют неравенствам \ь2к)\ < c0 exp —(q0k), k = 0,1, 2,... с некоторыми положительными постоянными с0 и ц0. Этого достаточно для аналитичности f (в) [10]. ■
Теорема 3. Замкнутая выпуклая гиперповерхность B однозначно определяется m-ми интегралами кривизны Ут(в) и Шт(в), 1 < m < n — 1.
Доказательство. По теореме А.Д.Александрова выпуклая поверхность заданием m-й функции кривизны am(Q), 1 < m < n — 1, определяется однозначно с точностью до параллельного переноса [2]. Из уравнения (1) однозначно определяется четная часть a+ (Q) = 1 [a(Q) + a(—Q)\ m-й функции кривизны [2]. Поэтому достаточно показать, что из уравнения (2) однозначно определяется нечетная часть a— (Q) = 2 \a(Q) — a(—Q()\ m-й функции кривизны.
Уравнение (2) перепишем в виде:
ъив) — 1 a+(Q) = J [х((в,в')) — 1/2] amid»').
Sn-1
Математические структуры и моделирование. 2002. Вып. 10.
41
Интегрируя уравнение (1) и учитывая равенство
Sn-l
находим:
n — 1 f
<(Sn-I) = Jgn-2i J VmW d>-
sn-1
Потому для a--(Q) получаем уравнение
Wm(9)
Sn-1
Ш,0')) - 1/2] a-(de'),
(9)
где
n — 1 f
Wm(9) = Wm(d) — 2|sn=2| J Vm(0) de
Sn-1
- известная функция. Собственные функции ядра K((Є, Є')) = х((Є, Є1)) — 2 равны Y2k+I(e), k = 0,1,2,... и образуют полную систему в пространстве L-(Sn-1) функций, интегрируемых с квадратом и нечетных на Sn-1. Следовательно, по теореме 1 уравнение (9) имеет не более одного решения в пространстве M-знакопеременных антисимметричных мер на Sn-1 (т.е. удовлетворяющих условию: д(—Q) = —^(Q),Q С Sn-1). Теорема 3 является обобщением результата Ю.Е.Аниконова [4]. ■
Теорема 4. Для того чтобы гиперповерхность B была аналитической, необходимо и достаточно, чтобы функции V—(Є) и Wm(e) были аналитическими. Доказательство. Пусть гиперповерхность B - аналитическая. Тогда m-я функция кривизны am(Q) поверхности B абсолютно непрерывна относительно меры Лебега на Sn-1 и ее плотность равна [1]: (С—)-1 Sm(RI,... , Rn-I), где Sm(RI, R2,... , Rn-i) - элементарно-симметрическая функция главных радиусов кривизны RI, R2,... , Rn-I порядка m, С—-I- биномиальный коэффициент. Следовательно, Vn(e) и Wm(e) можно записать в виде:
V—(e) = 2С1— l(e,e'}|Sm(Ri,R2,...,Rn-i)de',
n Sn-1
Wm(e) = [ x((e,e >))Sm(Ri,R2,...,Rn-i) de'.
Cn-1 J
Sn-1
Опорная функция H(Є) аналитической поверхности - аналитическая на Sn-1 функция. Так как главные радиусы кривизны гиперповерхности удовлетворяют уравнению det || Hj — RSj || = 0, то из этого следует, что функция
Sm(RI, R2,... , Rn-i) аналитическая на Sn-1. По теореме 2 функции Vm(e), Wm(e) будут аналитическими на Sn-1.
42
В.Н. Степанов. Замечания об интегралах...
Докажем достаточность. Пусть V—(6) и W—(6), а значит, и Wm(6) - аналитические на Sn-1
функции. Обозначим через {^k}k=0 - последовательность моментов меры a—(Q) относительно ортонормированной системы {Yk (6)}. При доказательстве теоремы 1 было получено, что fk = Лk^к, где f2k, f2k+1 - соответственно коэффициенты Фурье функций Vm(6) и Wm(6) , а Л2k и Л2k+1 - соответственно собственные значения ядер | (6,6') | и х((6, в')) — 1/2. Собственные значения этих ядер приведены выше и, как легко показать, при к ^ ж имеют следующую асимптотику:
Л2k ~ Ci(n)k-n/2-1, Л2^1 ~ 02(u)k-n/2.
Коэффициенты Фурье аналитической функции по сферическим гармоникам убывают экспоненциально с ростом номера к [10]. Так как Vm(6) и Wm(6) аналитические на Sn-1 функции, то в силу равенств ^k = fkMk и асимптотического поведения fk, Лk моменты мер am(Q) и a—(Q) также убывают экспоненциально с ростом номера к. В таком случае, согласно лемме 2, меры a— (Q) и a— (Q) абсолютно непрерывны относительно меры Лебега на Sn-1. Плотности мер a— (Q) и a— (Q) соответственно равны R+(6) = (Cn-1)-1S— (R1,... ,Rn-1) и R-(6) = (C'—-1)-1 S— (R1, R2,... , Rn-1). По теореме Радона-Никодима для почти всех в Є Sn-1 : a+(d6) = R+(6) d6 и a-(d6) = R-(6) d6, где R±(6) Є L^Sn-1). Здесь f + и f- - четная и нечетная части функции f на Sn-1. Поэтому для аналитических функций V—(6) и W—(6) имеют место представления:
V—(6)
1
ол—
2Cn-1
Sn-1
1(6,6 ')| S—(R1,R2,...,Rn-1) d6',
W— (6)
1
я»—
Cn-1
X [(6,6') — 1/2] S— (R1,R2,..., Rn-1) d6'.
1
Разложим функции V—(6) и W—(6) в ряды по ортонормированным системам {Y2k(6)} и {Y2k+1 (6)}:
ГО оо
V—(6) = ^ f2kY2k(6), (6) = f2k+1 Y2k+1(6).
k=0 k=0
Так как собственные значения ядер |(6, 6 7)| и х((6, 6')) — 1/2 известны и равны Л2k, Л2k+1 соответственно, то разложения функций S— (R1, R2,... , Rn-1) и
S— (R1, R2,. . . , Rn-1) в ряды Фурье имеют вид:
S— (R1,R,..
,Rn-1) = ]>]
k=0
f2k
Л2k
Y>k (6),
Sm(R1, R2, . .
,Rn-1) = £
k=0
Y2k+1(6).
Л2k+1
Из асимптотического поведения fk и Лk заключаем, что коэффициенты Фурье функций S—+ и S—- убывают экспоненциально с ростом номера к. Следовательно, S— (R1,R2,... , Rn-1) и S— (R1, R2,... , Rn-1) - аналитические функции на Sn-1 [10]. Поэтому функция S(R1, R2,... , Rn-1) - аналитическая на Sn-1. По теореме А.В.Погорелова об обобщенном решении проблемы Минковского [9] гиперповерхность B является аналитической. ■
Математические структуры и моделирование. 2002. Вып. 10.
43
А.Д.Александров показал, что выпуклая центрально-симметричная поверхность однозначно, с точностью до параллельного переноса, определяется любым из интегралов кривизны проекции Vm(6) [2]. Из предыдущей теоремы следует: центрально-симметричная выпуклая гиперповерхность B является аналитической тогда и только тогда, когда функция Vm(6) аналитическая на Sn-1.
В [7] приведен пример замкнутой выпуклой (не центрально-симметричной) почти всюду аналитической поверхности в R3 «постоянной яркости», т.е. V2(6) = const для всех направлений 6 Є Sn-1.
Рассмотрим вопрос о существовании выпуклой центрально-симметричной поверхности с заданным интегралом кривизны.
Вещественная функция K (x) на Rn называется условно положительно определенной, если
Лк (х — y)v (dx)v (dx) s 0
Rn Rn
для любой конечной знакопеременной меры v, удовлетворяющей условию:
Jv (dx)=0
Rn
Необходимый и достаточный признак условной положительной определенности функции приведен в [8].
Теорема 5. Пусть на единичной гиперсфере Sn-1 задана непрерывная строго положительная четная функция V(6) такая, что функция |x|V(x/|x|) является условно положительно определенной на Rn. Тогда существует замкнутая выпуклая центрально-симметричная гиперповерхность B, (п — 1)-й интеграл кривизны проекции которой есть данная функция V(6). Гиперповерхность B определяется однозначно с точностью до параллельного переноса. Доказательство. При указанных в условиях теоремы ограничениях на функцию V(6) существует единственная симметричная мера ц на Sn-1 такая, что функция V(6) допускает представление в виде [8]
Vm (6) = і / |(6,6 'ШМ ').
S"-1
Так как мера ц - симметрична, т.е. ц(—Q) = ^(Q), Q С Sn-1, то
[ 6ц^6) = 0. (10)
Sn-1
В силу непрерывности и строгой положительности функции V(6) на Sn-1 выполнено неравенство:
[ |(6,6')^(d6' = 2V(6) > 2а > 0, 6 Є Sn-1, а = const. (11)
Sn-1
44
В.Н. Степанов. Замечания об интегралах...
Из условий (10) и (11) по теореме А.Д. Александрова [3] следует, что существует только одна (с точностью до параллельного переноса) замкнутая выпуклая гиперповерхность B, для которой мера ^ является поверхностной функцией (функцией кривизны порядка (n — 1)). Так как мера ^ симметрична, то поверхность B будет центрально-симметричной. В силу представления (1), функция V(в) является (n — 1)-м интегралом кривизны проекции поверхности B на гиперплоскость с нормалью в. ■
ЛИТЕРАТУРА
1. Александров А.Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел. Расширение некоторых понятий теории выпуклых тел //Матем. сб. 1937. Т.2(44), N.5. С.947-972.
2. Александров А.Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел. Новые неравенства между смешанными объемами и их приложения // Матем. сб. 1937. Т.2(44), N.6. С.1205-1238.
3. Александров А.Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел. Распространение двух теорем Минковского о выпуклых многогранниках на произвольные выпуклые тела // Матем. сб. 1938. Т.3(45), N.1. C.27-46.
4. Аниконов Ю.Е. Замечания о выпуклых поверхностях // Сиб. мат. ж. 1968. Т.9, N.6. C.1413-1415.
5. Аниконов Ю.Е. Теорема единственности для выпуклых поверхностей // Матем. заметки. 1969. Т.6, N.1. С.115-117.
6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции.Т.2. М.: Наука, 1974. 295 с.
7. Бляшке В. Круг и шар. М.: Наука, 1967. 232 с.
8. Матерон Ж. Случайные множества и интегральная геометрия . М.: Наука, 1978. 318 с.
9. Погорелов А.В. Многомерная проблема Минковского. М.: Наука, 1975. 96 с.
10. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974. 808 с.
11. Степанов В.Н. Некоторые вопросы геометрии выпуклых поверхностей. Исследование корректности обратных задач и некоторых операторных уравнений // Сб. научн. тр. Новосибирск: ВЦ СО РАН СССР, 1981. С.65-75.
