CC BY
30
Математические структуры и моделирование 2003, вып. 12, с. 58-69
УДК 517.968, 514.17
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ ПО ПРОЕКЦИОННЫМ ФУНКЦИЯМ
В.Н. Степанов
The brief review of known results devoted to questions of a convex body definition on its projection functions.
Введение
Пусть К - класс выпуклых тел в Rn. К'п - подкласс выпуклых тел /С, содержащих начало в его внутренностях. К',. - класс центрированных выпуклых тел (центрально симметричных тел с центром в начале). G(n,k) - грассманово многообразие ^-мерных подпространств L& в Rn. Иногда L& Є G(n, к) обозначается просто S. Подпространство размерности (п — 1) с нормальным вектором и Є S" 1 = {х Є Rn : \х\ = 1} будем обозначать также иД К S - ортогональная проекция выпуклого тела К на подпространство S Є G(n,k), 1 < k < п — 1. Выпуклое тело принадлежит классу ('. к > 2. или классу (7ф, если гиперповерхность дК является гиперповерхностью класса Ск, соответственно класса С°°, и, если гауссова кривизна гиперповерхности дК положительна в каждой точке х Є дК.
Смешанный внутренний объем \)(1\ Д.) = 1 (/\’ 7/,.. i: Вк, к^і) называется
проекционной функцией [18]. Здесь V(K\Lk,i] Вк, к — і) - смешанный объем выпуклого множества К Д п единичного шара В1' г, 7/д цу = - объем
\г)
единичного шара В1' ‘. В частности, Vi(K\Li) - функция ширины; Vn-i(K\Ln^i) - функция яркости; - і-я функция обхвата (яркость при і = п — 1);
Vi(K\Li) - і-я проекционная функция тела К Є 1C. Последняя функция дает і-мерный объем Xi(K\Li) проекции К\Ь^ на i-мерное подпространство, 1 < і < п-1. В случае г = 1иг = п — 1 она совпадает с функцией ширины и с функцией яркости соответственно.
Проекционные функции в Д3 имеют следующий простой геометрический смысл. Пусть одномерное подпространство 1и определяется направляющим вектором и Є S2 и двумерное подпространство uL определяется нормальным вектором и. Тогда wk(u) = Vi(K\lu) - ширина выпуклого тела в направлении гм;
© 2003 В.Н. Степанов
E-mail: stepaw49@rol.ru
Омский государственный технический университет Работа поддержана грантом РФФИ
Математические структуры и моделирование. 2003. Вып. 12.
59
Vi(u) = V\{K\uL) - длина границы ортогональной проекции выпуклого тела К на плоскость ортогональную вектору щ Ід (и) = V2{K\ гА) - площадь ортогональной проекции выпуклого тела К на плоскость ортогональную вектору и (яркость),
Пусть <7і(К, •) - і-я, 1 < і < n — 1, смешанная поверхностная функция выпуклого тела К или і-я функция кривизны [1]; при і = п — 1, <т„ |(/\. •) -поверхностная функция. Для регулярного тела
где Q - борелевекое множество на единичной сфере S'"-1; R\ (и), R2(u),Rn-i(u) - главные радиусы кривизны поверхности ЭК в точке е направлением внешней нормали и: А,- і-я симметрическая функция главных радиусов кривизны; А„_і(-)- мера Лебега на S"-1.
Функция обхвата и функция кривизны связаны обобщенной проекционной формулой Гаусса [18]:
Наряду е функцией обхвата будем рассматривать функцию кривизны освещенной части поверхности дК
где \ (/) функция Хевисайда, При п = 3, m = 2 функция 11 2(О) равна площади освещенной в направлении и части поверхности дК.
Важным вопросом в геометрической томографии является следующий вопрос: можно ли объект данного класса отличить от других объектов данного класса по различным измерениям его проекций на подпространства, сечений, освещенных частей?, В последнее время наблюдается значительный интерес к задачам восстановления выпуклого тела по функционалам, определенным на пространстве К выпуклых тел в Rn. Методы и результаты такого вида обратных задач содержат, как часть, мощную теорию Брунна-Минковекого и классические результаты А, Д, Александрова, в частности, его проекционную теорему. Данная работа, как раз, и посвящена краткому обзору известных результатов этого направления, в том числе и совсем недавних.
Говорят, что выпуклое тело К определяется по проекционным функциям, ГД ГД ,,,, ГД если любое тело L, удовлетворяющее равенству \)( К А) = \)( L А) для любого S Є G(n, і) и і Є {А, Д ■■■, Д}, является движением или отражением в точке тела К. Заметим, что проекционные функции не различает выпуклое тело К от любого его движения К + х или отражения в начале. Проблема определения выпуклого тела по его проекционным функциям восходит еще к Воине ієну и Фенхелю [6, с, 56], которые предполагали, что заданием
ог(К, Q) Д(Д(Д, R2(u),Rn-гіи)) d\n^(u),
Q
s™-1
60 В.Н. Степанов. Определение выпуклых тел по проекционным функциям
поперечных мер всех размерностей (проекционных функций) выпуклое тело определяется однозначно.
1. Теорема единственности А.Д. Александрова и связанные результаты
В 1937 г, А.Д, Александров (независимо W, Fenehel и В, Jessen [16]) расширил понятие о кривизне поверхности, В работе [1] он ввел смешанную поверхностную функцию или т-ю функцию кривизны выпуклого тела. Эта концепция позволяет доказывать многие теоремы о выпуклых телах без предположений дифференцируемости. Теория Brunn-Minkowski смешанных объемов и смешанные поверхностные функции являются мощным средством для решения проблем, связанных е проектированием и мерами проекций, В геометрической томографии особое место занимают теорема единственности А.Д, Александрова и проекционная теорема А.Д, Александрова,
Теорема 2.1. (Теорема единственности Александрова А.Д. [2], [18], [36].) Пусть 1 < і < п^1 и КК2 компактные выпуклые множества в Rn размерности, по крайней мере і + 1. Если оДіД, •) = <7* (ІД, •), то ІД движение К2. ■
Для доказательства этой теоремы А.Д, Александров применил свое знаменитое неравенство. Теперь это неравенство Алекеандрова-Фенхеля,
Теорема 2.2. (Проекционная теорем,а Александрова А.Д. [2], [18], [36].) Пусть 1 < і < к < п — 1 и К\, К2 компактные выпуклые множества в Rn размерности, по крайней мере і + 1. Если кДАДД) = Vi(K2\S) для, всех S Є G(n,k), то іД движение К2. я
Доказательство зависит от двух фактов: интегральное преобразование, называемое косинус - преобразованием, инъективно на пространстве симметричных мер на Sn и выпуклое тело определяется его і-й функцией кривизны е точностью до движения (теорема единственности Александрова), Ограничение на размерность выпуклого множества необходимо. Например, пусть /Д . /Д двумерные компактные выпуклые множества, лежащие в одной и той же плоскости г, If' п имеющие одинаковую площадь. Тогда их проекции на любую двумерную плоскость имеют равные площади, но /Д и /Д могут быть даже неконгруэнтными, Проекционная теорема А.Д, Александрова неверна, сели тело /Д не является центрально симметричным. Контрпример получается для пары тел /Д и /Д = —ІД, Однозначная определенность выпуклого тела имеет место в классе АД - выпуклых центрированных тел. Из теоремы вытекает важное следствие.
Следствие 2.3. [18, Следствие 3.3.7] Пусть К - центрированное выпуклое тело в Rn. Тогда, К определяется, среди, всех центрированных выпуклых тел в Rn по любым следующим измерениям всех его проекций на к-мерные подпространства:
Математические структуры и моделирование. 2003. Вып. 12.
61
1. А к - мерами для 1 < к < гг — 1.
2. Xk-i - мерами границ для 2 < к < п — 1.
3. Средними ширинами для, 1 < к < п — 1.
■
Как отмечалось, проекционная теорема Александрова неверна, если Ki не является центрально симметричным. Более того, сели /\’| II К2 не являются центрально симметричными, то можно построить примеры неконгруэнтных выпуклых тел е равными проекционными функциями.
Теорема 2.4. [18, теорем,а 3.3.18, см. также теорему 3.3.17], [24]. Для,
п > 2 существуют неконгруэнтные выпуклые тела вращения Ki и К2 класса, СД в Вп такие, что Vi{Ki\S) = Vi(K2\S) для всех S Є G(n,k) и 1 < і < к < п — 1. ■
Пусть К - выпуклое тело в Rn. Выпуклое тело VK е поверхностной функцией an-i(VK, •) = | (/\. -) + }а„ | (— /\. •) называется телом Бляшке, Из
проекционной теоремы Александрова следует, что V К сеть единственное центрально симметричное выпуклое тело, имеющее ту же самую функцию яркости, что и тело К.
В связи с проекционной теоремой А.Д. Александрова R.Schneider ставит вопрос [33]: существенно ли использование в этой теореме всех проекций тела?, В общем случае ответ положительный, как показывает теорема 2,4, Однако, для многогранников имеет место следующий результат. Пусть Р выпуклый центрально симметричный многогранник в Еп, п>3и1<г<п — 1. А -открытое множество на Sn-1 произвольно малой An_i- меры и характеризующееся свойством: для каждой //-.мерной, к = 1,2,..., гг — 1, грани многогранника Р имеется вектор направленный в это множество и параллельный этой грани. Пусть К выпуклое центрально симметричное тело, удовлетворяющее условию: I (Р и } = \) (К и } для любого и, из А, тогда К движение Р.
Подобный результат имеется в статье [34], Пусть К центрально симметричное выпуклое тело в Rn с опорной функцией hxiu) Є Cn+i(Sn^1), А - центрированное, но не плотное подмножество на Sn-1. Тогда существует центрально симметричное выпуклое тело L такое, что I „ і ( К и } = Vn-i(L\u,L) для любого
и Є А.
2. Выпуклые тела с постоянной мерой проекции
Ширина wk(u) компактного выпуклого множества К в Rn в направлении и, Є S”-1 есть расстояние между опорными параллельными гиперплоскостями, ортогональными вектору и, wk(u) = hxiu) + кк{—и). Выпуклое тело функцией ширины не определяется. Для любого выпуклого множества К без центра симметрии можно построить континуум выпуклых множеств с такой же шириной, Это - выпуклые множества Kt = (1 — t)K + t(—K), 0 < t < 1, Выпуклое центрированное множество АК = [К + | (—К) называется еще центральной симметризацией К. Другой способ построения выпуклого тела в Д3 с той же шириной предложен Бляшке с помощью операции окатывания, [5, с, 163-166],
62 В.Н. Степанов. Определение выпуклых тел по проекционным функциям
С функцией ширины тесно связаны множества постоянной ширины, для которых wk(u) = const. Такие множества на плоскости рассматривались еще Эйлером, В Rn несферическое выпуклое тело постоянной ширины МОЖНО получить вращением треугольника Релло, расположенного на плоскости {xi,xn}, вокруг оси хп [18, Теорема 3,2,5], Легко доказать, что центрально симметричное выпуклое тело постоянной ширины в Rn является шаром [18, Теорема 3,2,7],
Результаты о выпуклых множествах постоянной ширины и, более общо, постоянной меры проекции имеют длинную и богатую историю. См, обзоры
[13], [29] и статьи [12], [17], [27], Рассмотрим некоторые из этих результатов.
Определение 3.1. Пусть К - выпуклое тело в R". Если \)( К S) = Л,-(/\ А) = const, 1 < і < n — 1, для любого подпространства S Є G{n,i), то тело К называется телом постоянной і-яркоети. При і = 1 - тело постоянной ширины, при і = п — 1 — тело постоянной яркости. Если I ;( К II } = const, 1 < і < n — 1, для любого и Є S'"-1, то тело К называется телом постоянного г-обхвата. При і = п — 2 — тело постоянного обхвата, ■
Теорема 3.2. [18, Теорем,a 3.2.6] Пусть 2 < k < n ^ 1 и, все проекции
K\S, S Є G{n,k), компактного выпуклого множества К в Rn имеют постоянную ширину (в S). Тогда К - выпуклое тело постоянной ширины. я
Теорема 3.3. [18, Теорем,а 3.3.11] Пусть 1 < і < к < п — 1 и К - центрально симметричное выпуклое тело в Rn. Если Vi{K\S) имеет одно и то же значение для, любого подпространства S Є G{n,k), то К - шар. В частности,, только центрально симметричные выпуклые тела постоянной і-яркости, или, постоянного і-обхвата, являются, шарами. я
Утверждения этой теоремы следуют из проекционной теоремы А.Д. Александрова,
Теорема 3.4. ( [18, Теоремы 3.3.12-13]). а) [17, Firey] Если выпуклое тело
К Є К, имеет постоянную k-яркость, 1 < к < п, то оно имеет постоянный к-обхват.
b) [Minkowski, 1904г., для, п = 3/ Если, к = 1, то выпуклое тело К Є К, имеет постоянную ширину тогда, и только тогда, когда, оно имеет постоянный 1-обхват.
c) Если, к = п—1 или, К выпуклое тело вращения, то постоянная к-яркость
и постоянный к-обхват эквивалентны. я
Множества постоянного г-обхвата определил G.Chakerian [12] и доказал пункт а) теоремы для случая тел класса С2+. W, Firev снял это ограничение [17],
Верна ли теорема обратная к а) - неизвестно. Иначе говоря, существуют ли выпуклые тела постоянного г-обхвата, но не постоянной г-яркоети?. Вопрос поставил также W,Firev, Для тел постоянного 1 - обхвата, І і (К и } = const, это так согласно Ь),
Первый пример несферического кусочно аналитического тела вращения постоянной яркости в Д3 построил В,Бляшке [18, стр, 183], V.Klee [30] поставил
Математические структуры и моделирование. 2003. Вып. 12.
63
вопрос о существовании выпуклого тела в Rn постоянного i-обхвата, W.Firey
[17] обобщил конструкцию В,Бляшке и доказал следующую теорему.
Теорема 3.5. ( [17], [18, Теорем,a 3.3.15]) Для любого п > 2 существуют
несферические выпуклые тела в Rn постоянного і-обхвата. я
W.Firey также установил, что тела постоянной i-яркоети и постоянного i-обхвата эквивалентны телам вращения.
R. Schneider [35] доказал, что выпуклое тело является телом постоянной яркости тогда и только тогда, когда интеграл по площади поверхности его сечений гиперплоскостями ортогональными направлению и не зависит от и.
Классический вопрос [13], [15, проблема А 10], [29, с. 368], названный
P.Goodev, E.Schneider и W.Weil [23], проблемой Nakajima состоит в следующем: если выпуклое тело в Rn имеет постоянную ширину и постоянную Аэяркоеть при данном k > 1, то является ли К шаром?, В 1926г, S,Nakajima [32] дал положительный ответ на этот вопрос в случае п = 3 и к = 2 для тела класса С%.
Теорема 3.6. ( [18, Теорема 3.3.20], [32]) Пусть К выпуклое тело в R3
класса С2+ постоянной ширины и постоянной яркости. Тогда К - шар. я
Обобщением проблемы Nakajima являются следующие проблемы,
1, Если К - выпуклое тело постоянной ширины и постоянной Аэяркоети, то является ли К шаром?
2, Если К - выпуклое тело постоянной і - и j -яркости, 1 < і < j < п, то является ли К шаром?
3, В [23] формулируется еще более общий вопрос. Пусть Ki и К2 - два выпуклых тела в if и тело К> имеет центр симметрии, Еомотетичны ли К і и К2, если отношение объемов их проекций на г-мерные подпространства для двух различных значений г, 1 < г < п, является постоянной, не зависящей от г?.
Плавный вклад в решение этих проблем дает НааЬ [28] показывая, что ответ положительный, когда (i,j) ф (1,п — 1) и с некоторыми условиями дифференцируемости границы.
Теорема 3.7. [28]. Пусть 0 < і < j < п целые и К выпуклое тело в Rn класса С 2+. Если К имеет постоянные і - и j -яркости, то К - шар. я
Теорема 3.8. [28]. Пусть К\ и К2 - два выпуклых тела в Rn класса С2+, где тело К2 имеет центр симметрии. Если отношение объемов их проекций на %-мерные подпространства для двух различных значений і, 1 < і < п, является, постоянной, не завися,щей, от і, то тела К\ и К2 гом,отети,ч,ны. я
Последняя теорема обобщает следующий результат G, Chakerian [12] на Rn. Пусть Е центрально симметричное выпуклое тело класса С2+. Если К- выпуклое тело класса С2 г, If' такое, что Л/\’ гомотетично АЕ и для всех и Є S2
64 В.Н. Степанов. Определение выпуклых тел по проекционным функциям
отношение постоянно, то К гомотетично Е. Иначе: два выпуклых цен-
трально симметричных тела в /С' класса С2+ гомотетичны, сели площади и периметры их проекций на любую плоскость пропорциональны (коэффициенты пропорциональности площадей и периметров, возможно, разные), В случае, когда п = 3,г = 1,2и£ - шар, получается проблема Nakajiama ,
В связи с проблемой Nakajiama Е, Schneider заметил следующее [18]. Предположим, что тело Бляшке V К выпуклого тела К в Rn гомотетично к его центральной симметризации АК. Тогда тело постоянной ширины и постоянной яркости должно иметь центр симметрии, а по теореме 3,2,7 [18] - это шар. Высказанное предположение, однако, пока не доказано.
Распространение проблемы Nakajiama на Rn для п > 3 и для разных пар значений і и распространение на более общие выпуклые тела неизвестно. Без предположений дифференцируемости границы ответ на проблему Nakajima открыт даже в /7 і.
3. В какой мере выпуклые тела определяются проекционными функциями?
Проекционная теоремы Л.Д.Александрова гарантирует определение выпуклого центрально симметричное множества в классе /Со по его г-ой проекционной функции с точностью до движения. Возникает вопрос, сформулированный еще Боннезеном и Фенхелем [6], о возможности получения версии теоремы Л.Д.Александрова для произвольного выпуклого тела. Вопрос оправдан тем, что центрированное выпуклое тело в Rn определяется по двум его проекционным функциям (см. ниже) в классе К. P.Goodey, R.Sehneider и W.Weil [23] в 1997г, поставили более жесткий вопрос: определяется ли произвольное выпуклое тело в Rn по двум его проекционным функциям?. Оказывается, вопреки предположению Боннезена и Фенхеля ( [6, стр, 56]), имеет место следующая теорема.
Теорема 4.1. [23] Существуют выпуклые тела, которые не определяются по всем, проекционным функциям Vi(K\S), S Є G(n,i), і = 1,2, ...,п . я
Первый пример принадлежит Campi [И]. Пусть К Є К, тело вращения с опорной функцией кк{0) = A;+s(eos в), где s(t) - бесконечно дифференцируемая нечетная функция на отрезке [—1,1] такая, что
s(a) = s(b) = s'(а) = s'(b) = ...sn(a) = sn(b) = 0, 0 < a < b < 1
и s(t) не обращается тождественно в нуль ни на отрезке [а, Ь] ни в [—1,1]\(о, Ь). Постоянная к выбрана так, что кк{0) > 0, ЛД(0) + Нк{0) > 0, в Є [0,7г] - это обеспечивает выпуклость тела К. Другое тело вращения L определено опорной функцией hb(e) = k + o(cosd), где a(t) = —s(t) в (—6, —о) U (о, Ь) и a(t) = s(t) в других точках. Проекции тел К п I. на любую двумерную плоскость имеют одинаковые периметры и площади.
Математические структуры и моделирование. 2003. Вып. 12.
65
P.Goodey, R.Schneider, W.Weil [23] показали, что этот феномен имеет место во всех размерностях. Они построили примеры выпуклых тел К и L в Rn класса СД и многогранников таких, что К не является движением ±L, Многогранники строятся так. Пусть S'-двумерное подпространство и Sего ортогональное дополнение, Т - многоугольник в S, (2 - единичный куб в S1. Возьмем Р = Т ® (2- Показано, что сели Ті + (—Ті) = Т2 + (—Г2) и I) = Гj ® С„ = 1,2, то Vi{Pi\S) = Vt(P2\S) для всех S Є С(п.і) и і = 1,2,,,,, n.
R.Gardner, A.Volcic показали в [21] (ем, также [18, Теоремы 3,3,17 и 3,3,18,]) существование неконгруэнтных пар тел К и L с \, (К А} = \, (1. S) для і = 1 и і = п — 1. Это политопы и выпуклые тела класса С[(°,
Приведем известные результаты о степени возможности определения выпуклых тел проекционными функциям,
• Невозможность определения выпуклых тел проекционными функциями.
1, [23], Ни одно выпуклое тело без центра симметрии не определяется по его ширине Wk(u) = Vi(K\lu).
2, [23], Ни одно выпуклое тело без центра симметрии не определяется по его яркости 14_і(іб|гФ),
3, [21|. [22], [23|. [24|. Плотное множество выпуклых тел в К не определяется
в /Се точностью до движения и отражения в начале по г-м проекционным функциям для всех г,1<г<п — 1,
Утверждения 1 и 2 следует посредством привлечения симметризации Минковского и Бляшке соответственно,
• Определение большинства выпуклых тел проекционными функциями.
Некоторое множество выпуклых тел составляет большинство в смысле категорий Бэра выпуклых тел в пространстве /С, если это множество не является множеством первой категории в 1C.
1, [22], [37], Когда 1 < і < п — 2 большинство центрально симметричных выпуклых тел в Rn определяются в 1C с точностью до движения и отражения в начале по их г-ой проекционной функции. Доказано R, Schneider в 1994г. [37].
2, [9], [22], [23], Когда 2 < і < п — 2 большинство выпуклых тел в Rn определяются в /С с точностью до движения и отражения в начале по их г-ой проекционной функции. Доказано С,Bauer в 1995г, [9],
3, [23], Большинство выпуклых тел в Rn определяются в /С с точностью до движения и отражения в начале по их ширине \\(K\lu) и яркости Vn-i(K\и1). Теорема 2 в [23],
Из теоремы 2 следует, что большинство выпуклых тел в Rn определяются с точностью до движения и отражения по их ковариаграмме С(х) = Vn(KП (К +
*)) [23].
66 В.Н. Степанов. Определение выпуклых тел по проекционным функциям
Более общий, чем в п° 3, класс обратных задач, возникает, если условия \)(К 1„) = \ )(1. 1„) и ,(/\м ) = Vn-гЩи1) заменить на \ ,(К S) = Vt(L\S),
S Є С(п.і). или даже на Vt{K\S) = r,\ ,(L S). S Є С(п.і). для двух различных значений і, 1 < г < п - 1, с постоянной q, возможно, зависящей от і. В случае, когда и = 3 н I. шар - это проблема Nakajima [23],
• Определение многогранников по проекционным функциям.
Центрированное выпуклое тело А К имеет ту же ширину, что и тело К, а тело Бляшке VК ту же самую функцию яркости, что и тело К. Поэтому, если выпуклое тело в Rn не центрально симметрично, то оно не определяется с точностью до движения и отражения в начале по его г-ой проекционной функции при і = 1 или і = п — 1, Однако, для 2 < і < п — 2 существуют выпуклые тела в Rn, которые не являются центрально симметричными, но которые определяются с точностью до движения и отражения в начале по его г-ой проекционной функции. Этот удивительный факт демонстрируется в [25] на примере декартовою произведением треугольника и (п-2)-куба. С,Bauer в [9] доказала, что большинство (в смысле категорий Бэра) выпуклых тел в R" обладают этим свойством,
1, [25], Центрированный параллелотоп в Rn определяется среди всех выпуклых тел по его г-ой проекционной функции, 1 < і < п — 1,
2, [25], Декартово произведение центрально симметричного многоугольника и (п-2 - мерного куба определяется по его г-ой проекционной функции, 1 < і < п — 1,
3, [25], Центрально симметричный многогранник, у которого все (i+l)-мерные грани подобны, определяется по его г-ой проекционной функции, 1 < г < п - 1. Отсюда R.Schneider выводит : для 1 < г < п - 1 большинство (в смысле категорий Бэра) центрально симметричных выпуклых тел в Rn определяются среди всех выпуклых тел по его г-ой проекционной функции [37],
4, [10], [20], [23], R.Gardner, A.Volcic в [20] (1993г.) доказали , что выпуклое тело в Rn определяется в К с точностью до движения и отражения в начале по его функции яркости, тогда и только тогда, когда оно параллелотоп, Н,Martini [31] доказал это для многогранников (1984г),
• Определение выпуклых тел проекционными функциями.
1, (Проекционная теорема 3.3.6 Александрова.) [2], [18, Теорем,а 3.3.6], [22]. Для любого г Є N, 1 < і < п — 1, любое центрированное выпуклое тело в Rn определяется в классе fCc по его г-ой проекционной функции,
2, [14], [22], [24], Центрированные выпуклые тела в Rn определяются в К по их г-м проекционным функциям для двух различных значений і при 1 < і < п — 1,
3, [18, Глава 3], [22], [23], Выпуклое тело в Rn определяется в К с точностью до движения и отражения в начале его функцией ширины тогда и только тогда, когда оно неприводимо.
Математические структуры и моделирование. 2003. Вып. 12.
67
Выпуклое тело К неприводимо, если уравнение К = АС, где АС = | (С + (—(7)) центральная симметризация выпуклого тела С, влечет, что К есть движение С (ем, [18, рр, 123-124] и [39]), Такие тела должны быть центрально симметричны, так как АК есть центрированное выпуклое тело е той же самой функцией ширины, как у тела К. Известно, что центрированные параллелотопы - неприводимы [26], В пространстве центрально симметричных тел большинство (в смысле категорий Бэра) тел неприводимо [23],
4, [7, Альтернатива Медяника А,И,], Если в каждом направлении ширины двух замкнутых строго выпуклых поверхностей трехмерного евклидова пространства равны, то сами поверхности либо равны, либо допускают сильное внутренее касание [8],
5, [4], Выпуклое тело в Д3 е аналитической границей определяется с точностью до движения и отражения относительно начала по ширине и яркости или, что равносильно, периметрами и площадями проекций,
6, [3], [38], Выпуклое тело в Д” с точностью до движения определяется функцией обхвата Vi(u) и интегралом кривизны освещенной части ИД (и) при любом фиксированном і, 1 < і < п — 1.
Пример S.Campi [11] показывает, что ослабления гладкости в проблеме определения выпуклого тела по ширине и яркости (п°5) ожидать нельзя,
В работе [19] построены алгоритмы реконструкции неизвестного выпуклого центрально симметричного тела в Rn по функции яркости известной на конечном множестве гиперплоскостей. Эти алгоритмы восстанавливают выпуклый многогранник с предписанным числом граней. Сходимость многогранников к телу доказывается при некоторых существенных предположениях, включающих симметрию тела относительно начала.
Отметим один результат, косвенно связанный с проблемой восстановления выпуклого тела по проекционным функциям, В [25] показано, что, если \;(/V, // ’) = \ ,(!<■> а ). 1 < г < k < п - 1, то ГД А, >') = ГД АД А) для всех S Є G(n,k) в случае, когда либо АД, либо АД- многогранники.
Литература
1. Александров А.Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел. Расширение некоторых понятий т,еории выпуклых тел. //Матем. сб.1937. Т.2( 11). N5. С.947-972.
2. Александров А.Д. К т,еории смешанных объемов выпуклых тел. Новые пера,венет, ва между смешанными объемами и их приложения.// Матем. сб. 1937. Т.2( 11). N.6. С.1205-1238.
3. Аниконов Ю.Е. Замечания о выпуклых поверхностях. // Сиб. мат. ж. 1968. Т.9, N.6. С.1413-1415.
4. Аниконов Ю.Е. Теорем,а единственности для выпуклых поверхностей // Матем. заметки. 1969. Т.6, N.l. С.115-117.
5. Бляшке В. Круг и шар. М.: Наука, 1967. 232 с.
6. Боннезен Т., Фенхель В. Теория выпуклых тел. М.: Фазис, 2002. 210 с.
68 В.Н. Степанов. Определение выпуклых тел по проекционным функциям
7. Медяник А.И. О центральной симметрии замкнутой строго выпуклой поверхности. // Украинский геометрический сборник. 1966. Вып. 2. С.52-58.
8. Погорелой А.В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. М.: Наука 1969. 760 с.
9. Bauer С. Intermediate surface area measures and projection functions of convex bodies 11 Arch. Math. 1995. V.64. P.69-74.
10. Bauer C. Determination of convex bodies by projection functions // Geom. Dedicata 1998. V.72. P.309-324.
11. Campi S. Reconstructing a convex surface from certain Measurements of its projections 11 Bull. Un. Math. Ital. 1986. V.5-B. N.6. P.945-959.
12. Chakerian G. Sets of constant relative width and constant relative brightness // Trans. Amer. Math. Soc. 1967. V.129. P.26-37.
13. Chakerian G., Groemer H. Convex bodies of constant width //In Convexity and its applications, (ed. P.M. Gruber and J.M. Wills), Birkhauser, Basel. 1983. P.49-96.
14. Chakerian G., Lutwak E. Bodies with similar projections // Trans. Amer. Math. Soc. 1997. V.349. P.1811-1820.
15. Croft H., Falconer K., Guy R. Unsolved Problems in Geometry // Trans. Amer. Math. Soc. 1967. V.127. P.1-28. '
16. Fenchel W., Jessen B. Mengenfunktionen und konvexe Korper // Danske. Vid. Sel. Mat.-fvs. Medd. 1938. N.16. P.1-31.
17. Firev W. Convex bodies of constant outer p-measure // Mathematika (Gr. Brit.) 1970. V.17, N.l, P.21-27.
18. Gardner R. Geometric tomography. Cambridge Univ. Press. Cambridge. New York. 1995. 424 p.
19. Gardner R., Milanfar P. Reconstruction of convex bodies from brightness functions // 1991 Mathematics Subject Classification. Primary: 52-04, 52 A20; secondary: 52 A21,
52 mi.
20. Gardner R., Volcic A. Determination of convex bodies by their brightness functions // Mathematika. 1993. V.40. P.161-168.
21. Gardner R., Volcic A. Tomography of convex and star bodies 11 Adv. Math. 1994. V.108. P.367-399.
22. Gardner R., Soranzo A., Volcic A. On the determination of star and convex bodies by section function // Discrete and Computational Geometry. 1999. V.21. P.69-85.
23. Goodev P., Schneider R., Weil W. On the determination of convex bodies by projection functions //Bull. London Math. Soc. 1997. V.29. P.82-88.
24. Goodev P., Schneider R., Weil W. Projection functions of convex bodies //In Intuitive Geometry: Proc. 5th Conf., Sept 3-8, Budapest 1995, Bolyai Society Mathematical Studies 6. 1997. P.23-53.
25. Goodev P., Schneider R., Weil W. Projection functions on higher rank Grassmanians //In "Geometric Aspects of Functional Analysis" (J. Lindenstrauss, V. Milman, eds), Operator Theotv: Adv. and Appl. 77, Birkhauser, Basel 1995. P.75-90.
26. Groemer H. Abschatzungen fir der konvexen Korper, die einen Korper berilhren // Monatsh. Math. 1961. V.65. P.74-81.
27. Gronchi P. Bodies of constant brightness // Archiv der Mathematik. 1998. V.70. P.489498.
28. Haab F. Convex bodies of constant brightness and a new characterization of spheres
Математические структуры и моделирование. 2003. Вып. 12.
69
//J. Differ. Groin. 1999. V.52, N.l. P.117-144.
29. Heil E., Martini H. Special convex bodies. Handbook of convex geometry (ed. by P.M. Gruber and J.M. Wills). Elsevier, Amsterdam, 1993. P.347-385.
30. Klee V. Is a body spherical if its HA-m.easurem.ents are constant? // Amer. Math. Monthly. 1969. V.76. P.54-55.
31. Martini H. Zur bestimmung konvexer Polytope durch Inhalte ihrer Projectionen j j Baitmge zur Algebra und Geometrie. 1984. V.18. P.75-85.
32. Nakajima S. Eine charakteristische Eigenschaft der Kugel // Jber. Deutsche Math.-Verein. 1926. V.35. P.298-300.
33. Schneider R. On the projections of a convex polytope j j Pacif J. Math. 1970. V.32,
N.3. P.799-803
34. Schneider R., Weil W. Uber die Bestimmung eines Konvexen Korpers durch die Inhalte seiner Projektiones //Math. Z. 1970. V.116, N.4. P.338-348.
35. Schneider R. Uber eine Integralgeichung in die Theorie der konvexen Korper // Math. Nachr. 1970. V.44. P.55-75
36. Schneider R. Convex bodies: The Brunn-Minkowski Theory. Cambridge Univ. Press. Cambridge. New York. 1993. 490 p.
37. Schneider R. Polytopes and Brunn-Minkowski theory.// In Polvtopes: Abstract, Convex, and Computatinal, ed. by T. Bisztriczkv et ah, NATO ASI Series, vol. 40, Kluwer, Dordrecht. 1994. P.273-299.
38. Stepanov V. Firs-kind equations on a sphere and some problems of convex geometry // J.Inv. Ill-Posed Problems. 2003. V.ll, N.3. P.289-310.
39. Yost D. Irreducible convex sets // Mathematika. 1991. V.38. P.134-145.
