Equation of the first kind for measures on sphere \(s^{n-1}\) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.968

УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО РОДА ОТНОСИТЕЛЬНО МЕРЫ НА СФЕРЕ Sn-1

В.Н. Степанов

Исследуются свойства интегрального оператора с ядром, зависящим от скалярного произведения и действующего на банаховом пространстве мер на сфере.

Пусть Бп~1 — единичная сфера в Еп; п, V — точки на £п-1; М — банахово пространство знакопеременных мер (зарядов) на £п-1 с норм ой ||^|| = |^,|(£п-1), где |^,|(£п-1) — полная вариация знакопеременной меры ^ на £п-1, определяемая формулой [1]

Здесь sup берётся по всем ^ — измеримым функциям x(v) на Sn-1, для которых |x(v)| ^ 1; dv — евклидов элемент площади на Sn-1. Норму меры ||^|| можно понимать и как наименьшее из чисел m ^ 0 для шторых ^(^) ^ m-||^|| для любой функции <^(u) G C(Sn-1). Здесь ^ мера Радона на компактном пространстве Sn-1 [2]. Через Ca(T) обозначено пространство вещественных аналитических функций на компакте T с Rn.

Рассмотрим линейное уравнение первого рода

относительно меры ^ на £п-1. К((п,у)) — заданная функция (ядро); (•, •) — скалярное произведение.

Интегральные преобразования, определённые формулой (1), тесно связаны с задачами геометрической томографии, которая имеет дело с восстановлением компактного множества В в Еп по мерам проекций тела на подпространство и по мерам сечений тела подпространствами [3]. Приведём примеры.

1. Сферическое преобразование Радона (Я/)(п):

(1)

Copyright © 2012 В.Н. Степанов

Омский государственный технический университет E-mail: stpnv0yandex.ru

где 8((п,ь)) — дельта-функция и интегрирование выполняется по большой под-сфере ортогональной вектору п е £п-1. Если (п — 1)/(V) = рп-1, где р радиальная функция звёздного тела В, то (Я/)(п) есть объём пересечения тела В с подпространством п± ортогональным вектору п е £п-1.

2. Полусферическое преобразование (Н/)(п):

где х((п,к)) — функция Хевисайда. Если функция /(V) равна произведению главных радиусов кривизны гладкой выпуклой поверхности дВ в точке с нормалью V, то (Н/)(п) представляет площадь «освещённой» части тела В.

3. Косинус преобразование (С/)(п):

Если функция /(V) равна произведению главных радиусов кривизны гладкой выпуклой поверхности дВ в точке с нормалью V, то (С/)(п) равна (п — 1)-мерному объёму проекции выпуклого тела В на подпространство п±.

4. р-косинус преобразование (Ср/)(п)

О применении этих и других интегральных преобразований вида (1) в геометрической томографии см. [3,4] и цитированную там литературу.

В работе рассматриваются свойства интегральных операторов вида (1) на пространстве мер.

Теорема 1.

1. Если К (і) є С [—1,1], то А — вполне непрерывный оператор из пространства М в пространство С(£га-1).

2. Если К (і) є С [— 1,1], то А — вполне непрерывный оператор из пространства М в пространство Яр(£га-1; р) 1 ^ р ^ то.

3. Если К (і) є Ьр[— 1,1], 1 ^ р ^ ж, то А — вполне непрерывный оператор из пространства М в пространство Яр(£га-1; р) 1 ^ р ^ то.

4. Если К (і) є Ск [—1,1], 1 < к < то то А — вполне непрерывный оператор из пространства М в пространство Ск(£га-1).

5. Если К(і)є Сте[-1,1], то А — вполне непрерывный оператор из пространства М в пространство Сте(£га-1).

5. Синус преобразование

6. Если К(1)е С“[— 1,1], то А — вполне непрерывный оператор из пространства М в пространство С“(5п-1).

Доказательство. п01. Пусть М' = еМ : ||^|| 1 т} — ограниченное множество в пространстве М и множество функций Г = (/ : / = А^,^ е М'}.

(а0): множество функций Г равномерно ограничено. Действительно, для всех ^ е М' выполняется неравенство:

|/(п)| = |(А^)(п)| 1 I |К((п,^))||^|(^^) 1 ^МИ 1

J$и-1 -11г11

1 т • тах |К(¿)|

-11*11

для любой функции / е Г.

(60): множество фун кций Г равностепенно непрерывно. В самом деле, вследствие равномерной непрерывности функции К(¿) на отрезке [—1,1] для любого е > 0 найдётся 8 = 8(е) > 0 такое, что для любых ¿1 = (п^-у) и ¿2 = (п2,г>) и любых V е £п-1, как только

|¿2 — ¿11 = |(п2, V) — (пЬ^)| 1 |п2 — п11 < 8,

сразу же

е

|К(¿2) — К(¿1)| = |К((п2, V)) — К((пьг>))| < —.

т

Но тогда при |(п2,г>) — (п1,^)| 1 |п2 — п1| < 8 для любой функции / е Г имеем

|/(п2) — /(п1)| = |(А^)(п2) — (А^)(п1)| 1 I |К((п2,^)) — К((п1,^))| Ы(^ 1

3 яп-1

е

1 — ■ т = е, т

что означает равностепенную непрерывность множества функций Г.

Таким образом, множество функций Г = (/(п) : /(п) = (А^)(п), ^ е М'} равномерно ограничено и равностепенно непрерывно в С(£п-1), а поэтому А вполне непрерывный (компактный) оператор из М в С(£п-1). Для нормы оператора А очевидна оценка ||А|| 1 та^|К(¿)|.

п02. В п01 было доказано, что оператор А с непрерывным ядром является вполне непрерывным оператором из пространства М в пространство С(£п-1).

Пусть {^п} — ограниченная последовательность мер из пространства М. Оператор А с непрерывным ядром переводит последовательность (^п} в последовательность {/п} с С (£п-1), /п = А^п. Так ка к А вполне непрерывный

( /п}

ность (/к}, сходящуюся равномерно к элементу /0 е С(£п-1). Из вложений С(£п-1) с Ьр(5п-1), 1 1 р 1 то следует

||/к — /0||ьр 1 Сопб! ||/к — /0||с.

Так как при к ^ то, / ^ /0 равномерно, то / ^ /0 тем более в Ьр(£га-1). Это означает, что последовательность (/} компактна в Ьр(£га-1; ^). Следовательно, оператор А — вполне непрерывный оператор из М в Ьр(£га-1; ^) для любого 1 ^ р ^ то.

п03. Отметим для дальнейшего, что интегралы вида

/ К ((и, г>))^и, п ^ 3

,/5п-1

не зависят от и и равны [6, с. 214]

|5га-1^ К(і)(1 - і2)2-3¿і.

Пусть К (і) є Ьр[-1,1], 1 < р < то. Непрерывные функции образуют в пространстве Ьр[—1,1] всюду плотное множество. Следовательно, найдётся последовательность (Кт (і)} непрерывных на [— 1,1] функций, сходящаяся к К (і) в метрике £р[-1,1], 1 < р < то, т. е.

J |Кт(і) — К (і) |р^і ^ 0 при т ^ то.

Но тогда для п ^ 3 и 1 <р< то

/ |Кт((и, V)) — К «и,^)|р^ = |5П-1| Ґ |Кт(і) — К (і)|р(1 — і2) 2-3 ¿і ^

,/5п-1 7-1

^ |5га-1^ |Кт(і) — К (і) |р^і ^ 0 при т ^ то.

Обозначим через интегральные операторы с непрерывными ядрами Кт((и, V)). Применяя неравенство Гёльдера с показателем 1 < р < то, получим:

|(Ат^)(м) — (А^)(м)| =

[Кт((и, V)) — К ((и,^))]^^)

|Кт((и,V)) — К((и,а))| ■ 1 ■ |^|(¿V) ^

|Кт((и, V)) — К((и, V)) |р |^| (¿V)

19 |^| (¿V)

/5"-1

|Кт((и, V)) — К((и, V)) |р |^| (¿V)

п — 1

п — 1

V

У

п — 1

п1

V

У

где 1 +1 = 1,р = 1-

Возводя это неравенство в степень р, интегрируя то мере Лебега на £га-1

и меняя порядок интегрирования, получим:

/ |(Ат^)(и) - (А^,)(м)|Р ¿м ^ /

/5п-1 ,/5п-1

1 т

/^П-1

1тЛ

^п—1

'■т

>ЯП-1

|Кт((м,г>)) - К((и,-у))|Р¿м |Кт((м,^)) - К ((и,^))|Р ¿И ■ [ Н(^) ■ ||^|| ^

,/5п-1

|Кт((м, V)) - К ((М,^))|Р ¿м ■ ||^||Р,

|Кт((м,^)) - К((М,^))|Р Н(^)

Р

Н(^ ■ 1Ы1д =

¿м-

так как ||^,|| ■ ||^,||« = Таким образом,

Р " "1+Р = Н/Л Р

||(Ат^)(м) - (А^)(м)||Ьр(5"-1;М) ^ ( / |Кт((м,^)) - К((м,^))|Р

\Jsn-1

■ |Ы|« |5“-1|1 (Ц |А'т(() - КЩ|Р<й) Р ■ | И| (2)

и, следовательно,

||Ат - А|| |Кт((м,^)) - К«М^»|Р ^ 0 при Ш ^ ТО,

1 < р < ТО.

Так как последовательность Ат вполне непрерывных операторов из М в ¿Р(£га-1; ^) с непрерывными ядрами равномерно сходится к оператору А с ядром класса £Р[-1,1], 1 < р < то то оператор А также вполне непрерывный оператор из пространства М в пространство ЬР(£га-1; ^).

р = 1

|(Ат^)(м) - (А^)(м)| ^ / |Кт((м,^)) - К((м,г>))| ■ |^|(^г>).

Jsп-1

Интегрируя по м на £га-1 и меняя порядок интегрирования, получим: |(Ат^)(м) - (А^)(м)|^м ^( / |Кт((м,^)) - К ((М,^))|^М

Ат^/\и7 г*'/ ч^Л^ \ / И*-т\

I sn—1 \ ^/ sn—1

Отсюда, как и выше, также следует компактность предельного оператора.

Наконец, пусть р = то, т. е. ядро К(¿) е £те[-1,1] и Кт(£) последовательность непрерывных ядер, сходящаяся к К(¿) в Ьте[-1,1]. Так как для любой функции ^(м) е £те(£п-1; ^)

||^(м)||ьтс^"—V) = РИт ||^(м)^р^-

то, переходя в (2) к пределу при р ^ то, получим:

||(Ат^,)(и) - (А^)(и)||Ьто(5п-1;М) ^ ||Кт(£) - кСОНд^-м] ■ ||^11 ^ ° т ^ то

Следовательно, последовательность операторов Ат сходится равномерно к оператору А Так как Ат — вполне непрерывные операторы из М в Ьте(£га-1;^), то и в этом случае предельный оператор А — вполне непрерывный как оператор из М в Ьте (5'”'-1; ^).

п04. Для доказательства этого утверждения понадобится теорема Титце-Урысона [7, с. 242]: пусть ф непустой компакт, ф0 — компактное подмножество Q и /0 е С(ф0, Ж). Тогда существует функция / е С(ф, К) такая, что /|д = /0.

Пусть К(£) е Ск[—1,1], 1 < к < то По доказанному в п01 функция /(и) по крайней мере непрерывна. По теореме Титце-Урысона функцию /(и) можно продолжить в замкнутую область = (ж е Яга : 1 — к ^ |ж| ^ 1 + к, 0 < к < 1}.

Для ж е положим:

/ *<ж)=1-1к ((|Х| ■")) "(*!)-

Если К (£) е Ск [— 1, 1], где £ = / , V \ , 1 < к < то то функц ия К ( / , V

\|ж| / _ 'ч\|ж| при каждом V е £га-1 имеет непрерывные производные в по ж порядка

а, |а| ^ к, равные

°аК(( 1ху = £ * ■к

г=1

ж

где коэффициенты ^ содержат производиые от £ = ^ — , ■иу порядка не выше г.

Следовательно, по теореме о дифференцируемости функции, представимой интегралом, функция /*(ж) е Ск(ф^) и

В°/*(ж) = /,„ , К ((|жу■ ")) |а| < к.

Значит /(и) е Ск(£га 1) и

^(¿и) = (3)

£“/(и) = £а/*(ж)|*=и = ^ ^ К^ —,*

|а| р

= £ / 4 ■ К/<№').

г=1 ^

Так как для производных Да/(и) (которые определены равенством Да/(и) = Да/*(ж)|ж=и) имеет место оценка:

|^а/(и)| ^ С«||К (£)||С |а| [-1,1] ■ |а| ^ k,

то

||/(и)| \с к (5"-1) ^ С ■

при 1 < к < то Постоянная С зависит от к и ||К(£)||ск [-1,1]- Следовательно, оператор А : М ^ Ск(£га-1) непрерывен.

А

дующим критерием компактности в пространстве Ск(С), идея доказательства которого содержится в известной теореме Арцела-Асколи.

Критерий компактности в пространстве Ск(С). Пусть С — связное ограниченное множество в . Для того чтобы множество функций Ф с Ск(С) было компактно в Ск(С) необходимо и достаточно, чтобы (ак): множество Ф было ограничено, т. е.

|/(ж)| ^ М, Уж е С, V/ е Ф;

(Ък): производные функций из множества Ф были равностепенно непрерывны: Уе > 0 3 8 > 0 такое, что V ж, у е С аз |ж — у| <8 следует

|да/(ж) — £а/(у)| < е, Vа, |а| = к, V/ е Ф.

Пусть

(А^)(и) = / (и) = [ К ((и,^))^(^^)

,/5п-1

и ядро К(£) е Ск[—1,1], 1 < к < то Выше доказано, что функция /(и) е Ск(£га-1), следовательно, оператор А действует из пространства М в пространство Ск(£га-1) и является непрерывным оператором. Для доказательства полной

А ак Ък

Пусть М' = (^ е М : ||^|| ^ т} — ограниченное множество в пространстве мер М и множество функций ^ = (/ : / = А^, ^ е М'}.

(ак). Множество фун кций ^ равномерно ограничено. Действительно, для всех ^ е М' выполняется неравенство:

|(А^)(и)| ^ I |К ((и,^))|Н(^) ^ тах|К (£)|1И ^ т ■ (£)|

J £П — 1 1^С^1 1^С^1

для любой функции / е

(Ък). Производные от функций из множества ^ порядков |а| ^ к равностепенно непрерывны. Действительно, вследствие равномерной непрерывности производных ДаК ((м,г>)) на £га-1 для любого е > 0 найдётся та кое 8 = 8(е), что для любых и1, и2 е £га-1 и для любого V е £га-1 из неравенства |и2 — и1| < 8 следует неравенство:

|£аК«И2, V)) — £аК((и1, V))| < е.

Используя равенство (3), для любой функции / е ^ имеем:

|£а/(„2) — Д/К)| ^ / |£аК ((и2, V)) — ДаК ((и1, V)) | ■ Н(^) ^

Js"-1

^ е ■ т,

что означает равностепенную непрерывность производных порядков |а| ^ к функций из множества По критерию компактности множество ^ компактно и оператор А : М ^ Ск(£га-1) вполне непрерывен.

п05. Прежде всего отметим, что оператор А с ядром К ((и, V)) класса С“[—1,1] действует из пространства М в пространство С“(£га-1). Это следует из доказательства в п01 и п04, где показано, что для любого а, |а| ^ 0

£а/(и) = £а/*(ж)|*=и = ^ Щ К ( < о, V

?п-1 Х V \ |ж|

^(¿и) = (4)

ла

и

^п-1

^К ((и, V)) ^(¿и).

Поэтому, если ядро класса С“[—1,1], то и функция /(и) е С“(£га 1).

В пространстве С“(£га-1) бесконечное число раз дифференцируемых на £га-1 функций определим разделяющее семейство Р согласованных полунорм рт(/)> т = 0,1, 2,..., полагая

Рт(/)= стах |^а/(и)|.

«esn-1, |«Цт

Обычным способом в С“(£га-1) введём топологию, принимая за локальную базу окрестностей нуля, например, множества

ит = (/ е 5га-1 : рт(/) < —Ц-, т = 0,1, 2,..

[ т +1

Так как Р = (рт(/)}“=0 счётное разделяющее семейство согласованных полунорм, то пространство С“(£га-1) является локально выпуклым счётно-нормированным пространством [1, с. 45], [8, с. 33]. Как известно, [8, с. 25], [14, с. 103], топологическое векторное пространство со счётной локальной базой метризуемо. Инвариантная относительно сдвигов метрика, совместимая с введённой топологией, может быть определена формулой

х=и

(Г ч 1 Рто(/ — #) /гч

Р(/,^)= £ 2т ■ 1+Рт(/ — ^) .

Пространство (С“(£га-1); р) — полное [9, с. 16] локально выпуклое метрическое пространство, т. е. является пространством Фреше. Как показано в [8, с. 44], это пространство обладает свойством Гейне-Бореля: в нём любое ограниченное замкнутое множество компактно.

А

установить, что множество

F = {/ е : /(и) = (АМ)(И), |И| « т}

замкнуто и ограничено в (С“(£га-1); р).

Ограниченность множества F в локально выпуклом пространстве равносильна ограниченности каждой полунормы на F [8, с. 35]. Оценка (/) ^

^ cn, n = 0,1, 2,... следует из равенства (4).

Докажем замкнутость множества F. Пусть /0(м) — предельная точка (функция) множества F. Тогда существует последовательность {/п(м)} С F, сходящаяся к /0(м) в метрике пространства C~(£ra-1) и, следовательно, функция /0(м) G C~(£ra-1), ввиду полноты C~(£ra-1). Так как /п(м) G F при каждом n, то по определению множества F существует ограниченная мера pn, ||рга|| ^ ш, такая что /п(м) = (Арга)(м). По теореме Банаха-Алаоглу [10, с. 459], [2, с. 75] из ограниченной последовательности мер {рп} можно выбрать слабо сходящуюся подпоследовательность {рк}. Пусть ^ р0, т. е. (v) ^ р0(v) для любой

слабо

функции <^(м) G C~(£ra-1), где значение меры р на функции ^(м) G C~(£ra-1) понимается как интеграл по Sn-1 от ^(м) то мере р [2, с. 63] и пусть /k (м) = (Apk)(м). Последовательность мер рк слабо сходится к мере р0, поэтому для любого м G Sn-1

lim / K((u,v))^fc(dv) = / K((u,v))^0(dv) = /0(u).

JSn-1 J Sn-1

Так как ядро K((u,v)) классa C^[-1,1], то и функция /0(м) бесконечное число раз дифференцируема на Sn-1.

Покажем теперь, что если рк ^ р0 и последовательноеть мер {рк} огра-

слабо

ничена, ||рга|| ^ ш, то мера р0 также ограничена, ||р0|| ^ ш. Как отмечалось,

норму меры на компактном пространстве можно определить следующим образом: ||р|| = {inf с : |p(v)| ^ с, Vv G C(Sn-1)} [2, с. 60].

Так как р0(v) = limk^^pk(v) для любой функции v(u) G C^(Sn-1),

то |p0(v)| = limk^^ |pk(v)|- Для последовательности {pk(v)} имеем оценку |pk(v)| ^ H^fc|| ■ ||vll- По условию числовая последовательность {||pk||} ограничена, ||pk|| ^ ш, поэтому существует её верхний предел limk^^||pk|| ^ ш. Следовательно,

|Mv)l = lim |^fc(v)| ^ limk^||pk|| ■ ||v|| ^ rn||v||, Vv G C(Sn-1).

Отсюда получаем оценку ||р0|| ^ ш, поэтому функция /0(м) G F.

Так как последовательность функций {fn(u)} сходится к фун кции /0(м) в

метрике пространства C^(Sn-1 ), то и её подпоследовательность {/k(м)} также сходится к функции /0(м) в метрике пространства C~(Sra-1). Значит /0(м) = /0(м). Таким образом, предельная функция /0(м) G F, множество F замкнуто и оператор A : M ^ C^(Sn-1) вполне непрерывен.

n06. Пусть ядро K((м, v)) оператора A — аналитическая на отрезке [—1,1]

A

тическим ядром действует из пространства M в пространство C“(Sn-1).

В пространстве C“(Sn-1) аналитических на Sn-1 функций определим семейство P полунорм pm(/),ш = 0,1, 2,.. ., локальную б азу {Um} окрестностей

нуля и инвариантную относительно сдвигов метрику р так же, как и в предыдущем пункте по формуле (5). Тогда пространство (С“(5га-1); р) будет локально выпуклым счётно-нормированным метрическим пространством. Установим полноту этого пространства.

Пусть {/«(и)} фундаментальная относительно метрики р последовательность, т. е. {/«(и)} С С“^”-1) и р(/г, /) ^ 0 при г,^ ^ то. Так как схо-

р

р

ПОЭТОМу Рт(/ - /) = шахие5п-1,|а|1т |^а/¿(и) - (и) | ^ 0. СлеДОВЭТвЛЬНО,

последовательность {^“/¿(и)} сходится равномерно на £”-1 при любом фиксированном а, |а| ^ 0 к некоторой непрерывной функции /а(и). В частности, /¿(и) ^ /о(и); /а(и) = Да/о(и), и поэтому /о(и) е С~(£”-1). Теперь следует показать, что функция /0, которая является пределом равномерно сходящейся в метрике р последовательности {/«(и)} аналитических на компакте £”-1 функций, также является аналитической на £”-1 функцией. Это следует из теоремы Вейерштрасса для голоморфных функций нескольких комплексных переменных [9, с. 13]; [13, с. 289]: если последовательность {/¿} голоморфных (аналитических) в области и С С” функций сходится равномерно на компактных подмножествах и к некоторой функции /, то функция / голоморфна в и и для любого а последовательность Л/ сходится равномерно к Ба/ на компактах из и.

Пространство (С“(5”-1);р) — локально выпукло, и его топология порожда-

р

оно является пространством Фреше [8].

Следуя [8, с. 44], покажем, что пространство Фреше (С“(5”-1);р) обладает свойством Гейне -Бореля: в нём ограниченное замкнутое множество компактно. Пусть Е С С“(£”-1) — замкнутое ограниченное множество. Ограниченность означает, что каждая полунорма рт(/) ограничена на Е. Пусть рт(/) ^ ст < то т = 0,1,2,... , для всех / е Е С С“(б'”-1). Из неравенств |Да/(и)| ^ ст, справедливых на £”-1 при |а| ^ т, следует, что для любого мультииндекса в с |в| ^ т — 1, т = 1,2,..., семейство функций /(и) : / е Е} равностепенно непрерывно на £”-1. Применив теорему Арцела-Асколи к семейству функций /(и) : / е Е} при каждом фик-

сированном в> а затем канторовскую диагональную процедуру, получим, что

Е

ность /¿, что для любого в последовательность {Дв/¿} сходится равномерно на £”-1. Следовательно, последовательность {/¿} сходится в метрике пространства С“(5”-1), т е. предельная функция аналитическая как предел равномерно сходящейся в метрике р на компакте £”-1 последовательности аналитических

Е

ЕЕ ство. Следовательно, пространство (С“(£”-1); р) действительно обладает свойством Гейне-Бореля.

Так как пространство С“(5”-1) обладает свойством Гейне-Бореля и не является локально ограниченным (иначе оно было бы конечномерным [8], стр. 25),

то как следствие получаем, что в пространстве С“(£”-1) не существует нормы, совместимой с введённой топологией.

Остаётся доказать полную непрерывность оператора Л. Так как пространство (С“(£”-1); р) является пространством Фреше и обладает свойством Гейне-

Л

предыдущем пункте, достаточно установить, что множество

Р = Л/ е СЧУ-1) : /(и) = (Лд)(и), |Ы|« т1

замкнуто и ограничено в (С'“(£”-1); р). Ограниченность полунорм рт(/) ^ ст, т = 0,1, 2,... также следует из равенства (4). Замкнутость множества Р доказывается совершенно аналогично случаю пространства С'те(£”-1). Следует только иметь в виду, что функция /0(и) е С“(£”-1), поскольку ядро К((м,г>)) интегрального оператора является аналитической функцией и предельная функция /0(и) принадлежит пространству С'“(£”-1) ввиду его полноты.

Литература

1. Иосида К. Функциональный анализ. М. : Наука, 1967. 624 с.

2. Бурбаки Н. Интегрирование. М. : Наука, 1967. 396 е.

3. Gardner R.J. Geometric tomography. New York : Cambridge Univ. Press. Cambridge, 1995. 424 p.

4. Schneider R. Convex bodies: The Brunn-Minkowski Theory. New York : Cambridge Univ. Press. Cambridge, 1993. 490 p.

5. Эдвардс P. Функциональный анализ. М. : Наука, 1969. 1072 с.

6. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. М. : Мир, 1990. 280 с.

7. Кутателадзе С.С. Основы функционального анализа. Новосибирск : Институт математики, 2001. 354 с.

8. Рудин У. Функциональный анализ. М. : Мир, 1975. 446 с.

9. Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. М. : Мир, 1971. 32 с.

10. Данфорт Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. М. : ИЛ, 1962. 896 с.

11. Stepanov V.N. Firs-kind equations on a sphere and some problems of convex geometry // J. Inv. Ill-Posed Problems. 2002. Vol. 20, N. 9, P. 1-20.

12. Степанов B.H. Асимптотика собственных значений уравнения первого рода // Омский научный вестник. 2011. № 3(103). С. 41-44.

13. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М. : Наука, 1969. 576 с.

14. Канторович Л.В. Функциональный анализ. М. : Наука, 1977. 744 с.