Задача Логана для целых функций многих переменных и константы Джексона в весовых пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 29-58

Математика :

УДК 517.5

Задача Логана для целых функций многих переменных и константы Джексона в весовых пространствах *

А. В. Иванов

Аннотация. Изучается точная константа 0(аУ, тИ)2,к в неравенстве Джексона в пространстве Ь2,к(Кй) со степенным весом Ук(х) = П |(а, х)|2к(а), определяемым положительной подсистемой

а£Е.+

К+ конечной системы корней К С Кй и функцией к(а), инвариантной относительно группы отражений О(К). Здесь V и и — выпуклые центрально симметричные компактные тела. Тело аV содержит носитель преобразования Данкля (спектр) приближающей целой функции, а тИ — окрестность нуля в модуле непрерывности. Доказна непрерывность константы Джексона как функции а и т.

Для оптимального аргумента в модуле непрерывности установлена связь с задачей Логана о наименьшем радиусе шара, определяемом телом V, вне которого положительно определенная интегрируемая

целая функция со спектром в и — неположительна. Задача Логана

й

решена для случая, когда вес у(х) = П 1'х^ 12Х^+1, > —1/2, V —

3=1

евклидов шар, а и — параллелепипед.

Ключевые слова: группа отражений, преобразование Данкля, пространство Ь2,к (Кй) со степенным весом, целые функции экспоненциального типа, константа Джексона, задача Логана.

Введение

Пусть д £ М, М^(С^) — д-мерное действительное (комплексное)

евклидово пространство со скалярным произведением (х,у) = ^,1=1 Х1У1

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 10-01-00564, № 12-01-91158-ГФЕН).

((ж, У) = Еd=i XiV^j, для x е Rd и 1 ^ p ^ то / d \1/p

|x|p = ^]Г1 \xj\pj (1 ^ p< то), jxj^ = max\xjj,

Bd = {x е Rd : jxjp ^ 1},

U — выпуклое центрально-симметричное компактное тело в Rd, функционал Минковского которого определяет норму в Rd:

jxju = min j Л> 0: Л е U^ ,

U* = {x е Rd : max j(x, y)j ^ 1} yeu

— поляра U, Lp(Rd), 1 ^ p < то — пространство комплексных измеримых по Лебегу на Rd функций f с конечной нормой

"р=( jRd jf(x)jpd^ < то,

/(У) = / f(x)e-i(x,y)dx

J Rd

— преобразование Фурье функции /.

С помощью тела и определим модуль непрерывности функции / £ £ ^(М^:

м(ти,/)2 = вир{||/(х + г) — /(х)Ц2 : г £ тИ}, т> 0.

Для выпуклого центрально-симметричного компактного тела V С Кd через Ed(аV), а > 0 обозначим класс функций д £ Ь2(К<1), для которых носитель виррд С аV. По теореме Пэли-Винера [1] E^d(аV) совпадает с классом функций д £ ¿2(К^, которые являются сужениями на К целых в С функций д(г), удовлетворяющих оценке

|д(г)| < с,в'Мг*,

где сд > 0, 1г1у* = тах.уеу |(^,у)|.

Пусть / £ Ь2(К назовем величину

Пусть f е L2(Rd). Наилучшим приближением функции f классом Ed(aV)

E(aV, f)2 = inf{\\f - g\\2 : g е E%(aV)}.

Константу Джексона D(aV,rU)2 определим как точную (наименьшую) константу в неравенстве Джексона

E(aV,f)2 < Du(rU,f)2,

то есть положим

D(aV, tU )2 = sup { : f Є L2(Rd) } . (1)

. . - )2

d

Пусть (tU) — класс четных целых функций g(x), представимых в виде

g(x) = / cos xydv (у), (2)

JrU

где v — вероятностная регулярная борелевская мера на tU,

J(oV,tU) = inf sup g(x). (3)

geFd(rU) xgaV

Е.Е. Бердышевой [2] между задачей о константе Джексона (1) и экстремальной задачей (3) для целых функций (2) установлена следующая связь.

Теорема A. Справедливо равенство

2D2(aV, tU)2 = 1

іабот А.Г. Бабе

а,т > 0

1 - J(aV, tU)'

Из работ А.Г. Бабенко [3] и А.В. Московского [4] вытекает, что для любых

D(aV, tU)2 ^ 1/\/2.

Е.Е. Бердышевой [2] введено понятие оптимальной точки Td(aV, U) или точки Черных в неравенстве Джексона как точки, для которой выполнены два условия:

D(aV, tU)2 < 1/\/2 при т ^ Td(aV,U),

D(aV, tU)2 > 1/\/2 при т <Td(aV,U).

Для класса действительных функций M определим величину

Л(Ш,У) = inf{\(f,V): f е M,f = 0}, (4)

где

\(f, V) = sup{|x|y : f (x) > 0}.

Задача Логана состоит в вычислении величины (4) для класса M = = Fd(aU).

Задачу Логана (4) рассмотрим также для классов Ef(aU), E<d’+(aU) действительных функций f е L1(Rd), для которых supp/ С aU и /(0) ^ 0, f(y) ^ 0 на aU соответственно. Очевидно, что

E'd’+(aU) С Fd(aU), Ed’+(aU) С Ef(aU),

поэтому

Л^(аи), V) < Л(^^+(аи), V), Л(Ed(aU), V) < Л(Ed’+(aU), V).

Классы Е 1(аи), Е^+(а!1) состоят из действительных положительно определенных целых функций.

В [2] получены также следующие результаты.

Теорема В. Справедливы равенства

тЛ(аУ, и) = Л(Е11 (аи), V) = Л(Е1’+(аи), V) =

= т1(У, и) = Л(Е 1(и), V) = Л(Е1’+(и), V) а а а

Теорема С. Если 1 ^ р ^ 2, то

т1 (аБ},Б^) = Л(Е1(аБЛ00 ),Б}) = ЛЕ+^Б^ ),Б}) =

Задача Л(Е1 (аи),V) при д = 1, и = V = [—1,1] была поставлена и решена Б. Логаном [5]. У него неотрицательность конечной на [—а, а] меры V предполагалась только в некоторой окрестности нуля. Он показал, что Л(Е 1 ([—а, а]), [—1,1]) = ^. Это равенство вытекает и из более ранних работ

Н.И. Черных [6,7]. Д.В. Горбачев [8] доказал, что

т1(аБ1, Б1) = Л(Е 1(аБ1),Б1) =

= Л(Е1(аБ1 ),Б1) = Л(Е1’+(аБ21),Б21) = 21/2-1,

а

где Я1/2- 1 — наименьший положительный нуль функции Бесселя ,11/2-1 (х).

Наша цель — получить аналоги теорем А, В, С для пространств со степенным весом

Ук (х)= П 1(а,х)|2к(а), (5)

определяемым положительной подсистемой К+ системы корней К С К1 \ {0} и функцией к(а): К ^ К+, инвариантной относительно группы отражений С(Е), порожденной К (см. [9]). Обобщение результатов Д.В. Горбачева [8] на этот случай получено в [10].

Через с(а, в, •••) будем обозначать положительные постоянные, зависящие от указанных параметров, различные в разных местах.

1. Гармонический анализ в пространствах со степенным

весом

Гармонический анализ в пространствах с весом (5) осуществляется с помощью дифференциально-разностных операторов и интегральных преобразований Данкля, определяемых с помощью конечной группы отражений. Такой подход к построению гармонического анализа и соответствующих специальных функций был предложен Ч. Данклем [11-14]. Приведем необходимые факты из теории Данкля [9].

Пусть а Е К1 \ {0},

, . 2(а,х)

аа(х) = х-----:—гт;— а

ау ' |а|2

— ортогональное отражение относительно гиперплоскости (а, у) = 0. Конечное множество К С К1 \ {0} называется системой корней, если аа(К) = К и К П Ка = {а, —а} для всех а Е К. Каждая система корней является объединением двух непересекающихся множеств К+ и К-, разделенных некоторой гиперплоскостью (в, у) = 0, в Е К. Множество К+ С К называется положительной подсистемой. Множество отражений {аа : а Е К} порождает группу отражений С(К). Она является конечной подгруппой в группе ортогональных преобразований О(д).

Пусть функция к(а) : К ^ К+ — инвариантна относительно действия группы С(К), т.е. к(да) = к(а) для всех д Е С(К) и а Е К. Если е1,. • •,е1

— стандартный ортонормированный базис в К1, то дифференциальноразностные операторы Данкля определяются равенствами

*/ (х) = + Е к(а)(а, е1) / (х) , 1 = 1,...Л

3 аея+ 1 , '

Для у Е К1 система

*3 /(х) = У3 /(x), / (0) = 1

имеет единственное действительно-аналитическое в К1 решение Ек(х,у), которое продолжается до целой в С1 х С1 функции. Для обобщенной экспоненты ек(х,у) = Ек(1х,у) выполнены свойства, аналогичные свойствам экспоненты ег(х,у).

Предложение 1 [13,15]. Если д Е С(К), X Е С, х,у Е К1, г Е С1, то

ек(х, у) = ек(у,х), ек(0,у) = 1, ек(Хх, у) = ек(х, Ху), ек(х,у) = ек(—х,у), ек (дх,ду) = ек (х,у), ^к (г,у) < еу 1т ^^к (х,у) < 1-

Пусть вес Ук(х) определен в (5),

Ск = / е-1х12 /2Ук(х)йх,

■)жл

д^к(х) = с-1ук(х)йх, 1 ^ р < то, Ьр,к(К1) — пространство комплексных измеримых по Лебегу на К1 функций / с нормой

^/^Р’к = {.!ж* ^^^(х0 < ^

Сь(К1) — пространство непрерывных ограниченных на К1 функций, ^(К1) — пространство Шварца бесконечно дифференцируемых, быстро убывающих функций.

Пространство Ь2,к (Rd) — гильбертово со скалярным произведением

(/,д)к = / (х)д(х)й^к ^)^

JRd

Обобщенная экспонента позволяет определить преобразование Данкля (Фурье-Данкля). Для / Е Ь1,к(К1) положим

7к г

/ (х) = /(у)ек(х,у)йрк^)^

JRd

Обратное преобразование Данкля задается формулой

/к(х) = / /(у)ек(х,у)й^х(у) = ]к(—х)

■)жл

Приведем основные свойства преобразований Данкля.

Предложение 2 [14,16]. Для прямого и обратного преобразований Данкля справедливы следующие свойства:

1. Если /,/к Е Ь]_,к(К1), то для почти всех х

Ук

f (x) = (?) (x).

В частности, это верно в каждой точке непрерывности /.

2. Преобразование Данкля имеет единственное продолжение до изометрического изоморфизма пространства Ь2кк (К1) так, что в среднеквадратичном для / Е Ь2,к(К1)

?(у) = / f (x)ek(x, y)d^k(x) e L2,k(Rd)

J Rd

и r

f (x) = ? (y)ek (x,y)dVk (y).

J Rd

Для любых f,g e L2,k(Rd) выполнены равенства Планшереля и Парсеваля

(f,g)k = (fk)k, Ilf ||2,k = If ||2,k.

С помощью тела U определим модуль непрерывности функции f e

e L2,k(Rd)

u(rU,f)2,k = sup (2 f (1 - Re ek(t,y))\fk (y)|2d^k (y)] , T> 0. (6)

terU \ J Rd /

Для функции f e S(Rd)

U(rU,f)2,k = sup f I (rl\f (y) - f (x)|2)| d^k(x)N) , (7)

terU\JRd У )

где ,

Tk f (x) = / ek(t,y)]'k(y)ek{x, y)dßk(y) (8)

JRd

— оператор обобщенного сдвига.

Оператор (8) является ограниченным оператором из L2,k (Rd) в L2,k(Rd). Он действует инвариантно в пространстве S(Rd) [9]. Возможность его продолжения до ограниченного оператора из Li k(Rd) в Li)k(Rd) позволила бы записать модуль непрерывности (6) в форме (7) для любой f E L2,k(Rd).

Для выпуклого центрально-симметричного компактного тела V С Rd через E2dk(aV), а > 0 обозначим класс функций g E L2,k(R), для которых supp gjk С aV. Геометрический вариант теоремы Пэли-Винера означал бы, что E2, k(aV) совпадает с классом функций g е L2,k(Rd), которые являются сужениями на Rd целых в Cd функций g(z), удовлетворяющих оценке

|g(z)| < CflealIm^*, Cfl > 0,

где Im z = (Im z\,..., Im zd). В таком общем виде геометрический вариант теоремы Пэли-Винера не доказан. Он известен для случая, когда V = Bd [17] или когда V инвариантно относительно группы отражений G(R), а функция k(a) принимает целые значения [17].

Наилучшим приближением функции f е L2,k (Rd) классом E^ k (aV) назовем величину

E(aV f )2,k = inf{\\f - g\\2,k : g е Ed,k(aV)}.

По равенству Парсеваля

E2(aV,f )2, k = / f (y)l2dßk (y). (9)

J yfaV

Константу Джексона D(aV, tU)2 ,k определим как точную константу в неравенстве Джексона

E(aV, f)2,k < Du(tU, f )2,k, (10)

то есть положим

D(vV,tU )2,k = sup{ E{fU f)2,k : f E L2,k (Rd)| . (11)

{(¿(TU,f )2,k J

2. Некоторые свойства константы Джексона

Пусть для множества M С Rd Mc = Rd \ M — его дополнение. Согласно (6), (9), (11)

2, f(aV)c igk (y)|2d^k (y)

2D (aV,TU)2 k = sup -------------------(—------------g------------------. (12)

feL2,k(Rd- sup f,V-c(1 - Re ek(t,y))lfk(y)№k(y)

terU y ;

Делая в интегралах замену переменной у = г 1х, г > 0 и пользуясь предложением 1, однородностью веса (5), получим

f(raV)c lfk(r lx)?dVk(x)

2D2(aV,rU)2 k = sup -------------- , ,

feb2,k (Rd) sup f(raV)c (1 - Re ek (r~1t,x))\fk (r~1x)\2d^k (x) terU y ;

= 2D2(raV,r~1rU )2 , k ■

Итак, для любого r > 0

D(raV, r~1rU)2,k = D(aV, rU)2 ,k, (13)

поэтому функция D(aV, rU)2 ,k двух переменных a, r является функцией одной переменной ar:

D(aV, rU)2,k = D(V, arUb ,k = D(arV, Ub,k.

Пусть

L+k(aV) = { f e Lhk(Rd) : f (x) ^ 0, fd^ = l} . (14)

Тогда равенство (12) может быть переписано так:

2~lD~2(aV,rU)2,k = inf sup i (1 - Re ek(t,x))f (x)d^k(x) =

f eL+k (aV) terU J (aV)c

= K (aV,rU). (15)

Такая форма записи константы Джексона подсказывает нам, что для дальнейшего изучения ее свойств следует использовать соображения двойственности. Это впервые в задаче о константе Джексона в L2 было сделано В.В. Арестовым [18,19] (см. также [20,21]). Будем следовать его рассуждениям.

Пусть M (rU) — банахово пространство регулярных борелевских

действительных мер ц (регулярных борелевских действительных счетно аддитивных функций) на rU с нормой \ц\, равной полной вариации ц на rU (см. [22]). Любая мера ц e M(rU) равна разности двух неотрицательных мер ц+,ц~ e M(rU) и \ц\ = ¡J.+ (rU) + ¡i-(rU). Если S(rU) = {ц e M(rU) : \ц\ = 1} — единичная сфера в M(rU), то подмножество S+(rU) неотрицательных мер есть множество вероятностных мер из M(rU). Известно [22], что M(rU) является сопряженными для пространства C(rU) действительных непрерывных на компакте rU функций с равномерной нормой.

Множество функций

H(aV) = jF(t) = J (1 - Re ek(t,x)f (x)d^k(x) : f e L+k(aV)) j (16)

является выпуклым подмножеством в C(rU) и величина L(aV,rU) равна величине наилучшего приближения нуля в C(rU) выпуклым множеством H(aV). По теореме двойственности (см. [23]) и в силу неотрицательности функций из H(aV)

K(aV,rU) = sup inf i F(t)di(t) =

neS+(rU) FeH(aV) JtU

= 17»/^/ F (t)d^*(t)- (17)

F eH (aV )J tU

для некоторой меры Ц* e S+(rU).

Покажем, что для любой меры ц e S+ (rU)

/ F(t)di(t) = if / (1 - Re ek(t,x))di(t)- (18)

FeH(aV)JtU xe(aV)c JtU

Действительно, для любой F e H(aV) согласно (14), (16)

i F(t)di(t) = i i f (x)(1 - Re ek(t,x))dik(x)di(t) =

JtU JtU J (aV )c

= f (x) (1 - Re ek(t,x))di(t)dik(x) ^

J (aV)c JtU

^ inf / (1 - Re ek(t,x))di(t).

xe(aV)c JtU

С другой стороны, если B2(x,e) = {ye Rd : \x - y\2 ^ e}, то для любого

x e (aV)c из непрерывности функции JtU(1 - Re ek(t,x))di(t)

v imf I F(t)di(t) ^

FeH (aV) JFeH (aV) JtU

< inf 1 I I (1 - Re ek(t,y))di(t)dik(y) <

0<£<£(x) lk (B2(x, e)) J B2(x ,£)JtU

^ }i™ ,, (T}(v c)) I I (1 - Re ek (t,y))di(t)dik (y) =

£^°+0 lk(B2(x, e)) J B2(x,e)JtU

= (1 — Re ek(t,x))dy(t),

JrU

поэтому

* / F(t)d^(t) < int, / (1 — Re ek(t,x))d^(t)-F eH{aV )Jtu xe(aV )cJTu

Равенство (18) доказано.

Согласно (17), (18)

K(aV,rU)= sup inf i (1 - Re ek(t,x))di(t) =

fj,eS+(rU) xe(aV)c JtU

= sup inf 11 - Re ek(t, x)di(t)) =

^eS+(TU)xe(aV)c \ JtU J

= 1 - inf sup / Re ek(t,x)di(t),

VeS+(TU) xe(aV)c JtU

K(aV,rU) = inf i (1 - Re ek(t,x))di*(t) =

xe(aV)c JtU

= 1 - sup / Re ek(t,x)di*(t).

x€(aV)c JtU

xe(aV)

Пусть

J(aV,rU)= inf sup I Re ek(t,x)di(t). (19)

^eS+(TU) xe(aV )c J tU Нами установлено следующее утверждение.

Теорема 1. Справедливы следующие равенства:

2D2(aV,rU) 2,k = 1

K(aV, rU)

1

sup inf [tU(1 - Re ek(t,x))di(t)

HeS+(TU) xe(aV)c

2D2(aV,rU )2,k = 1

1 - J (aV, rU)

1

1 - inf sup JtU(1 - Re ek(t,x))di(t)

VeS+(TU) xe(aV)c

Существует экстремальная мера ц* e S+(rU), для которой

2D (aV, tU )2,k ,(I1V ) JtU (1 - Re ek (t, x))di*(t)

xe(aV)c

1

1 - sup JtU Re ek(t,x)di*(t)

xe(aV )c

(20)

Отметим, что из теоремы 1 и (12) для любого r > 0

K (raV,r-1rU) = K (aV,rU), J (raV,r-1rU) = J (aV,rU). (21)

Так как для любых а,т > 0 и некоторых а\,а2,т\,т2 > 0

а\В% С аУ С а2в2,, т2в2, С ти С т\В%,

то

БіахВІтВЬ,к < Б(аУ,ти)2,к < П(а2в1,т2в%)2,к.

В [10] установлено, что для любых а,т > 0

поэтому справедлива следующая лемма.

Лемма 1. Для любых а,т > 0 справедливы неравенства

Изучим дополнительные свойства экстремальной меры в (21). Для этого введем некоторые определения. Линейный непрерывный функционал Ь на С(ти) назовем четным (нечетным), если для любой нечетной (четной) функции / Е С (ти) Ь(/) = 0. Справедливо следующее разложение линейного непрерывного функционала:

— четная и нечетная составляющие. Очевидно, что

||Ье|| ^5 ||Ь||) ||Ьо|| ^ ||Ь||-

Меру ц Е М(ти) назовем четной, если линейный непрерывный функционал

является четным. В представлении (22) меру ц у четного функционала можно считать четной.

Теорема двойственности в (17) выглядит так:

ц/) = ад) + ад),

где

на С (ти)

(22)

Так как множество Н(аУ) состоит из четных функций, то

= sup < inf L(F) : L Е (C(tU))*, IILII = 1, L — четный > = {FeH(aV) J

= sup inf (F, ß) = inf (F,ß*).

^S+(tU) FEH(aV) FEH(aV)

Л — четная

Итак, экстремальную вероятностную меру ß* в (17) можно считать четной.

Меру ß Е M(tU) можно продолжить на ст-алгебру B борелевских множеств в Rd, полагая для A Е B ß(A) = ß (AP|tU). Носитель suppß С tU. Напомним, что suppß С tU, если для любого A Е B, A P| tU = 0 будет ß (A P| tU) = 0.

Пусть меры ß Е M(tU)

ßk (x) = ek (x,t)dß(t) (23)

Jwd

— ее преобразование Данкля. Оно является целой функцией.

Для функции ek(x,t) справедливо представление [9]

ek(x,t)= / ei(^)dßk(О, (24)

J Rd

где ßk — вероятностная борелевская мера, носитель которой лежит в выпуклой оболочке co({gt : g Е G(R)}) орбиты t относительно группы G(R). Если z Е Cd, то из (24)

max |(Im z,gt)\ , т ,

\ek(z,t)\ < eJeG(R) < вшIm zl2,

поэтому для преобразования Данкля меры ц Е M(tU)

т max 11| 2 \ Im z 12 , т ,

\/2k(z)\ < e ^ < eTT21 Im zl2, (25)

а при условии инвариантности U относительно группы G(R)

т max \ (Im z,t)\

\j2k(z) \ ^ r = eT\Im z\u*. (26)

Из (22) вытекает также полезное неравенство

\ek(x,ti) - ek(x,t2)\ ^ i \ei(tl’^') - ei(t2’i')\d^X(C) ^

JRd

< \tl - h\2 f \t\2dvXiO < \x\2\tl - t2 \ ■ (27)

J Rd

Лемма 2. Если для меры ц Е M(tU) 'pk(x) = 0, то ц = 0.

Доказательство. Достаточно показать, что для любой / е С (ти) Ь(/) = (/, л) = 0. Для этого достаточно показать, что множество функций

вида ( т ч

|У1 С еи(х,и) : т Е М, ^ Е М%, сг Е С|

плотно в С(ти) относительно равномерной нормы.

В С (ти) плотно множество Р = {р(х)} многочленов. Так как для г > 0

1 — е-г1х12 ^ г\х\2,

то в С(ти) плотно множество

Б = {р(х)е-г1х2 : р Е Р, г > 0}.

Конечные суммы элементов из Б образуют алгебру А. Известно [16], что для любой / Е А будет ? Е А и для х Е М% / (х) = /(¿)ек (х, 1)йцк ^), поэтому

в С (ти) плотно множество функций вида

д(і)ек(х,і)йцк(*) : д Є С(ЕВ2^),Е > 0

Пусть для А с М% ё1аш А = 8ир{\х — у\2 : х,у Е А}, е > 0, КБ% = и™1 Аг, Аг Р| А8 = 0 (I = в), Аг Е В, ё1аш Аг ^ е, Ьг Е Аг. В силу (27) для х Е ти

д(г)вк(х,г)йцк(*) - V¡-ік(Лі)д(іг)вк(х,*) ! < •*

1=1

т »

^ / Шек(х,*) - д(Іі)Єк(х,Іі))йЦк(*)

1=1 "

т »

^2/ {^) — 9(1г)\\ек (х, ¿) \ + \д(^)\\ек (х, ¿) — ек(х,Ь )\}(1Цк (¿) < г=1•*Л

^ Iнтн^ \д(г>)—д(1"')\+,тах \х\Л лк(кб%) ^0 (е ^0+0).

^\Ь I \ \х\и ^1 )

Лемма 2 доказана.

Пусть

Ек(ти) = {]2к : л Е Б+(ти), л — четная}.

Отметим, что в силу четности меры

]2к(х) = / И,е ек(х,1)йц(í).

■Би

Функции из Б%(ти) являются четными целыми функциями и для них справедливы оценки (25), (26).

Пусть Yd = 2 k(a), Ф(ж) = e ^Z2. Известно [9], что Фк(x) = e ^Z2

И для £ > 0

*к (£)(x) = £dk * 4 x)-

Лемма 3. Если f е Fkd(rU) и X(f, V) < ж, то f е Li,к(Rd), supp fk С tU и *(x) ^ 0.

Доказательство. Пусть л е S+(tU), л — четная,

f (x) = ek(x, t)dß(t).

JtU

Для любого £ > 0 в силу теоремы Фубини

/ f (x^(£x)dn к (x) = / Ф(£x)ek (x,t)dn к (x)dn (t) =

JRd JTU JRd

1

[ е-№/2є2dß(t) > 0. ■JtU

£d+Y d

Если X(f, V) = А, то 0 < А < то (f (0) = 1) и f (x) ^ 0 при \x\v ^ А, поэтому

0 ^ / f(x)$(£x)dßk(x) = i \f(x)\Ф(£x)dßfc(x)-

JRd JW

\f (x)\$(£x)dß k (x).

J{W )c

Отсюда и из неравенства \f (x)| ^ 1

f \f(x)^(£x)dßк(x) ^ f \f(x)^(£x)dßк(x) ^ Лк(XV).

J(W)c Jw

Так как для всех x lim Ф(£x) = 1, то по лемме Фату f е Li к(Rd). По £^0+0 ’

теореме Пэли-Винера согласно оценке (24) suppf0 С TT2Bd (tU С TT2Bd) и

для всех x

f(x) =

I TT2B2

f (x)=[ ek (x,t)fk(t)dßk (t).

JTT2 Bd

По лемме 2 мера ß (ß Є M(тт2Б2,)) и мера ß1, для которой ß\(A) = = Ja f(t)dßk(t), A Є B, совпадают, поэтому supp fk С tU и fk(x) ^ 0. Лемма

3 доказана.

Если D(oV,tU)2,k = 1/л/2, то для экстремальной меры ß* по теореме 1 k

A(ß* ,V) ^ а, поэтому согласно лемме 3 справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Если D(aV,TU)2,k = 1/\/2 и ß* — экстремальная мера из теоремы 1, то для нее выполнены следующие свойства:

1) ß* — четная, вероятностная, supp ß* С tU;

2) dß* = gdßk, g G C(Rd), suppg С tU, g — четная, g ^ 0, дк(0) = 1, дк G L,k(Rd).

В случае единичного веса (к(а) = 0) теорема 2 вытекает из результатов работы Е.Е. Бердышевой [2].

Изучим непрерывность константы Джексона D(aV,TU)2,к (11) как функции а,т > 0. При d = 1, к(а) = 0 непрерывность константы Джексона доказана в [21]. Мы будем следовать этой работе.

Вначале определим преобразование подобия для меры. Пусть ß G S+(U), р> 0, ßp — мера, для которой ßp(A) = ß(p-1A), A G B. Если A G B, A П pU = = 0, то p-1Af} U = 0 и ßp = ß(p-1 A) = 0, поэтому supp ßp С pU. Так как ßp(pU) = ß(U) = 1, то ßp G S+(pU). Если f G C(pU), то

/ f (t)dßp(t) = f (px)dß(x).

JpU Ju

m

Действительно, если e > 0 pU = U Ai, Ai G B, Ai П As = 0 l = s, diam Ai ^

i=i

^ e, ti G Ai, Bi = p-1Ai, xi = p-1ti, то

m m

J2f (ti)ßp(Ai) = Y^f (pxi )ß(Bi)-i=1 i=1

Первые суммы при e ^ 0 + 0 стремятся к fpu f (t)dßp(t), а вторые — к fu f (Px)dß(x).

Теорема 3. Для всех а > 0, т > 0 константа Джексона D(oV,tU)2 ,к (11) непрерывна.

Доказательство. Согласно (13), (14), теореме 1 достаточно доказать непрерывность любой из двух функций

D(t) = D(V,tU)2 ,к, J(т) = J(V, tU), т > 0.

Непрерывность слева. Покажем, что J(т) = J(т — 0). Так как J(т) не возрастает, то для этого достаточно доказать неравенство J(т) ^ J(т — 0). Согласно теореме 1 для некоторой четной меры ß G S+(tU)

J (т) = sup / ек (x,t)dß(t).

| X | V ^-1 JtU

Рассмотрим функцию

h(s) = sup / eк(sx,t)dß(t) = sup дк(sx).

Ixlv ^1 JtU IxIv ^1

Покажем, что она непрерывная для s > 0. Пусть 0 < si ^ ^ 2в\. Если

h(si) = sup Jik(s1^),to h(s2) = Л-^^.Если h(s1) = sup Jik(s1^), Q = {x £ \x\v ^2 i^\x\y ^2

£ Rd : 1 ^ \x\v ^ 2}, то согласно (27)

0 ^ h(si) — h(s2) ^ sup fik(six) — sup Jik(s2x) =

i^\x\v ^2 i^\x\v^2

= sup (1 + fik (six)) — sup (1 + ik (s2x)) = i^\x\v ^2 i<\x\v ^2

= II1 + ik (six) Нс(П) — II1 + №k (s2x)||c(Q) ^ 11/^ (six) — №k (s2x) ||с(П) ^

^ sup / \ek (six,t) — ek (s2x,t)\dp(t) ^ sup \si — s2\\x\2 \t\2d^(t) ^

\x\v ^2 JtU \x\v ^2 JtU

^ 2t max \x\2 max \t\2\si — s2\.

\x\v О \t\u ^i

Итак, если 0 < si ^ s2 ^ 2si, то

\h(si) — h(s2)\ ^ 2t max \x\2 max \x\2\si — s2\.

\x\v О \x\u ^i

Непрерывность и даже равномерная непрерывность h(s) на интервале [5, то), 5 > 0 доказана.

Пусть 0 < р < т. Так как цр/т £ S+(pU), то по определению (19) при а = 1

J (р) ^ sup ek (x,t)dpp/T (t) = sup ek ( — x,tj dp(t) = h(-).

\x\v ^i-J pU \x\v ^1jtU t ^tJ

Переходя к пределу в этом неравенстве при р ^ т — 0 и используя непрерывность h(s), получим

J(т — 0) ^ h(1) = J(t).

Непрерывность слева установлена.

Непрерывность справа. Наличие непрерывности функции D(t) справа более понятно и отмечалось многими авторами [2, 24]. Доказательство носит стандартный характер.

Из (13), (14) для любого р > т и любой функции f £ L+k(V)

1 f (t)dpk(t) ^ Др) sup i (1 — Re ek(x,t))f (t)dpk(t). (28)

JV c \x\u ^pJV c

Функция

у(р) = sup I (1 — Re ek(x,t))f (t)d^k(t) =

\x\u ^.p Jvc

= sup I (1 — Re ek(рx,t))f (t)d^k(t), р> 0

\x\U V c

непрерывна, так как для любого M > 1, любых р1, р2 > 0 согласно (27) КрО — у(р2)\ ^ sup / \ek(рix,t) — ek(р2x,t)\f(t)dpk(t) ^

Ixl u <iJVc

\x\u~

^ max \x\2 max \t\2\pi - p2\ + 2 / f(t)dßk(t).

\x\u ^1 \t\v J\t\V

Переходя к пределу в (28) при р ^ т + 0, получим

i f (t)dßk(t) ^ D(t + 0) sup i (1 - Re ek(x,t))f (t)dßk(t), (29)

Jvc \x\u ^t JVc

поэтому для D(t), как наименьшей константы в (29), выполнено неравенство D(t) ^ D(t + 0). Обратное неравенство вытекает из невозрастания D(t). Непрерывность справа и теорема 3 доказаны.

3. Задача Логана для целых функций многих переменных в весовых пространствах

Число Td,k(aV, U) > 0 назовем оптимальной точкой в неравенстве Джексона (10) или точкой Черных, если выполнены два условия:

D(aV, tU)2,k ^ ^2 при т ^ Td,k(aV,U),

D(aV, tU)2,k > -^2 при т < Td,k(aV,U).

Из леммы 1 и теоремы 3

Td,k(aV,U) = min{T > 0 : D(oV,tU)2 ,k = ^}■

Из теоремы 1

Td,k(aV, U) = min{T > 0 : J(aV, tU) = 0}.

Согласно (21)

Td, k (aV,U ) = Tdk(Ml. (30)

a

Действительно, J (aV, Td’k(V’U) u) = J (V,Td,k (V,U )U) = 0 и Td,k (aV,U) ^ ^ Td,k (V,U )/a. Аналогично, J (V,aTd,k (aV,U )U) = J (aV, Td,k(aV, U )U) =0 и Td,k (V, U) ^ aTd,k (aV, U).

Пусть E‘dk(U)(Ed’+ (U)) — класс действительных четных целых функций f £ Li,k(Rd), для которых f (0) = 1, supp 'fk d U и 'fk(0) ^ 0 f (y) ^ 0 на U).

Напомним, что задача Логана для класса действительных функций M состоит в вычислении величины

Л(М, V) = inf{X(f, V) : f £ M, f = 0},

где

\(f, V) = sup{\x\v : f (x) > 0}.

Рассмотрим задачу Логана для классов Fj}(U), Efk(U), Ed+(U). Из вложений

Ef+(U) С Fd(U), Ed’t(U) С Efk(U)

и леммы 3

Л(Е{к(и), V) < Л(Е*+, V) = Л(Ека(и), V). (31)

Лемма 4. Равенство 1 (V, тТ) = 0 имеет место тогда и только тогда, когда т ^ Л(Е*’+ (и), V).

1 (^, и) = 0 и по теоремам 1,2 существует функция / е Е*’+ (и), для которой Л(/, V) ^ т, поэтому Л(Е (и), V) ^ т. Необходимость доказана.

Доказательство. Необходимость. Если 1 (V,ти) = 0, то согласно (21)

-р(1,+

J 1,к

^ к (ТТ) \Г) т НеобхАпимостт

Достаточность. Если Л(Е*’+ (и), V) = Л, то для любого е > 0 существует функция /£ е Е*’+ (и), для которой Л(/£, V) ^ Л + е, поэтому

1 (V, (Л + е)и) = 1 ((Л + е)V, и) = 0.

Из непрерывности функции 1 (у,ти) по т вытекает, что 1 (V, Ли) =0 и 1 (у,ти) = 0 при т ^ Л. Достаточность и лемма 4 в целом доказаны.

Из леммы 4 и (30), (31) вытекает теорема.

Теорема 4. Имеют место следующие равенства:

та,к(а^ и) = Л(Е1'+(аи), V) = Л(^и), V) =

= та,к(V, и) = Л(<’+(и) = Л(Е*(и)У) а а а

Пусть 1\(х) — функция Бесселя порядка Л, Л ^ —1/2, — ее наименьший

положительный нуль,

Ых)=2ЛГ(Л + 1) Цр-

хл

— нормированная функция Бесселя, ак = (1/2 — 1 + ^ к(а).

В [10] (см. также [25]) получены равенства та,к(Б*, Б!) = ЛЕк(Б*), Б*) = Л(Е*(Б$), Б,*) = Л(^(Б*), Б*) = 2^,

и показано, что экстремальный целой функцией в задачах Логана является радиальная функция

п 2 ( №

■п&к \ 2

/*(*) = —21 _ -Ж )

1 12^к)

Решить задачу Логана в такой общности для других тел и и V будет очень сложно, поэтому в дальнейшем ограничимся случаем веса

й

(х) = П !хз|2Лі+1’ Л = (Х1’---’Хй), Л3 > -1/2.

3 = 1

В этом случае система корней К = {±е1,..., ±ей}, К+ = {в1,...,ва}, е1 = (1, 0,..., 0),...,ей = (0,..., 0,1), группа отражений Є (К) — группа диагональных матриц порядка й с элементами ±1 на диагонали, инвариантная функция к(±е3) = Л3 + 1/2, І = 1,..., й,

, . УЛ(х)йх

ацЛ(х) =

2Л1+... +^+йп!1 Г(Л + 1)’

Пространства Ьр^ (Мй) будем обозначать ЬР,Л(Мй), преобразование Данкля

Р" — А Так (^, и) — Та,Л(^, и).

Норма \х\и будет инвариантной относительно группы отражений Є (К), если

\х\и = \(\хі\,..., \хй\)\и,

то есть является четной по каждой координате.

Система обобщенных экспонент имеет вид []

й

еЛ(х,У) = П еЛі (х3Уз),

3=1

где

еЛ> (хз ,У3) = ІЛі (х3 ,У3) - п (хк У3), п = 1,...,а Введем обозначение

й

jл(x, У) = П ІЛі (х3У3).

3=1

й й

Пусть а = (а1 ,...,ай), 0,3 > 0, Па = П [—а3,а3], Пе = П — 1,1], е =

3=1 3=1

= (1,1,..., 1),

Р\(Па) = {ЦЛ : Ц е 5+ (Па), ц — четная},

Е\\(Па) (Е^+(Па)) — класс действительных четных целых функций f є Є Li,\(Rd), для которых f (0) = 1, supp fr С Па и fr(0) ^ 0 (fr(y) ^ 0 на Па). Если Л = (—1/2,..., —1/2), то будем писать Е^Па), Ed+(Па).

Норма |ж|па — инвариантная относительно G(R), сопряженная норма

d

|х|п* = ajlxjІ, поэтому как и (26) для функции f є Еdх(Па) и г Є Cd

j=i ’

доказывается оценка

d

J2 аj | Im zj |

lf (г)І < cfej=1 , Cf > 0. (32)

Верно и обратное утверждение. Для целой функции f е L1,x(Rf), для которой выполняется оценка (32), supp fr С na. Оно вытекает из его справедливости при d = 1 [17,26,27].

Класс Ef д(Па) лежит в более широком классе целых функций Ed’a, для которых для любого е > 0 выполняется оценка

\f (Z)\ ^ c£e(al+£)\zl\+-■ ■ +(ad+e)\zd\, z е Cf.

Функции из Ef,a будем называть целыми функциями экспоненциального типа а. В [28] доказано, что если f е Ef’a и ее сужение на Rf принадлежит Li,x(Rf), то для нее выполняется более сильная оценка (32).

Для функций из Ef A(na) нам понадобится квадратурная формула по нулям функций Бесселя.

Пусть Л ^ —1/2

. . . < qx,-2 < Qx,-1 < Qx, 0 < 0 < qx, 1 < qx, 2 < ..., Qx, 1-k = —qx, k, к е N

— нули функции Бесселя jx(x). Для них выполняются следующие неравенства [29,30]

П

\qx,k\ ^ 2, \qx,k+i — qx,k\ ^ min{n,qx,2 — Qx,i : —1/2 ^ Л ^ 1/2} = qo > 0,

\Qx,k — пк\ ^ L(Л). (33)

Если f — целая функция экспоненциального типа а > 0 и f е Li,x(R), то для нее справедлива квадратурная формула [31,32]

f f (x)\x\2x+1dx = ^ rx(k, a)f( , (34)

J-x kez \ a /

причем ряд в правой части сходится абсолютно, а

(k ) = 22x+3\qx,k\2x > 0

rx(k,a) a2X+2(JX(qx,k))2 > 0'

Так как [29]

С1(Л) СЛ. , І\Л(Ш-)\< С2(Л)

\к\ + 1 ’ \к\ + 1’ \/ | к | + 1 ’ д/ | к | + 1 ’

то

|„ |2Л+1 |„ |2Л+1

С1 (Л^^А^ < Гл(М) < С2(Л)М^• (35)

Пусть Л = (Л1, • • •, Л*), Лj ^ —1/2, Н = (Л-ь • • •,Н*), Н] > 0, к = (к1,... ,ка), кз е ^ Рн = (вк1, • • •,вк) = (Н1^л1,к1 ^ • •, Ылл,к*).

Согласно (33) из результатов работы [28] вытекает следующая лемма.

Лемма 5. Пусть Л = (Л]_,^ ••, Л*), Л] ^ —1/2, а = (а1, • • •, а*), а] > 0, Н = (hl,•••,hd), Н] > 0, / е Е*,а.

Если / е Ь1 Л(Мй), то

У2^л(Рн)\/(вн)\ < е(Л,а,Ь,а) \/(х)\УЛ(х)йх. (36)

ке^ ]жл

Если 03 < 1/Н3, то / е Ь1,л

[ \/(х)\УЛ(х)йх < с(Л,а,Н,й) V ул(вН)\/(вн)\. (37)

м2 кег2

Обозначим гЛ(к, а) = Пй=1 гЛі (к3-, а3), На = ,..., 02). Согласно (35)

й

С1(Л, а)УЛ(вка) < ГЛ(к, а) П а3 < С2(Л, й)УЛ(вка). (38)

Теорема 5. Если / е Ей,а П ¿1>Л(Мй), то

[ /(х)УЛ(х)йх = V ГЛ(к,а)/(вНа), (39)

м2 кег2

причем ряд в правой части сходится абсолютно.

Доказательство. Согласно (36), (38)

£ ык.ая/озка) < С2йЛ^^ УЛ(вк, )\/(вка )\

кег2 П а3 кег2

3=1

^ с(Л,а,й) \/(х)\уЛ(х)йх < ж.

■¡м.2

<

Остается доказать равенство (39). Применим индукцию по d. При с! = 1 (39) совпадает с (34). По теореме Фубини для почти всех х* е М существует интеграл

/ \/(х1, • • • ,xd-l,xd)\vл(xl, • • • ,xd-l,xd)dxl• ••йх*-1,

.¡Л2-1

поэтому по индуктивному предположению для почти всех х*

*-1 *-1

/ _ / (х)П \х]\2Л+1dx1•••dxd-1 = ^ (к],а])/(в1к1 ^••^'Г-! ,х*),

1 ] = 1 к; 62 ]=1

„ , , ц\хп

]=1 кз62 ] =

1^3^2-1

(40)

причем почти для всех х* ряд (40) сходится абсолютно. Предположим, что ряд (40) можно почленно проинтегрировать. Тогда согласно (34) получим (39):

~ *-1 „

/ /(х^л(х)йх = V Игл; (к] ,а]) /(вк1, • • •, ,Xd)\xd\2Лd+1dxd

к; 62 ] = 1

= ^2 гл(к,а)/(вка')• кеЪ2

Для возможности почленного интегрирования достаточно показать, что функция

*-1

д(х*) = ^ ГК(к],а])\/(^к1, • • •,/з— ,х*)\ е Ь1,лл(М)- (41)

к; €2 ] = 1

Например, можно будет применить теорему Лебега об ограниченной сходимости.

Функция /(вк, • • • ,@02-1 ,х*) имеет тип а* по переменной х*. Если а* < < 1/Н*, то согласно (37) в одномерном варианте

/ \/в1 ,•••,$— ,Xd)\\xd\2Лd+1dxd <

Jш.

< с(Л*,а*) ^ \Ыл2,к2\2л2 + 1\/(вк1 ,Н*Ял2,к2 )\- (42)

Если На’ = (а, ,•••, аЬ[ ,Нл), то из (41), (42) и (35)

р Ж

/ \g(xd)\\xd\2Лd+1dxd < с(Л,а,(])^2vл(вha,)\/(вна,)•

а’

к€2

Так как / е Ь]_,к(М*), то согласно (36) последний ряд сходится. Теорема 5 доказана.

Если 9 = (01, • • •, 9*), 9 е (0,1]*, На,в = ( О1 ,•••, , / е Е*,аП Ь1,л(М*),

/в(х) = /(01x1, • • •, 9*х*), то /в е Е*,а П ¿1,л(М*) и

/в(x)vл(x)dx = ——1 ... /(x)vл(x)dx•

Jжd р]*.=1 92(Л;+1)

Поэтому справедливо следующее утверждение.

Лемма 6. Если / е Е*а П ¿1,л(М*), 9 е (0,1]*, то

I /(x)vл(x)dx = П 9]Л+1) 2 rл(k, а)/(вк,в')•

і

3

3=1 кег2

Пусть норма \х\у = \(\х 1 \, • • •, \х*\)\у инвариантна относительно группы отражений С(Е) для системы корней К = {±е., • • •, ±е*}, е = (1, • • •, 1), веа =

. Отметим, что функция \(\х1\, • • •, \х*\)\у неубывает по

її.

^ а1 ’ ’ а2

каждой отдельной переменной \х\\, • • •, \х*\.

Лемма 7. Если норма \ ■ \у инвариантна относительно группы С(К), К = {±е., • • •, ±е*}, то

Л(Е*,л(Па), V) ^ \веа\у•

Доказательство. Предположим противное, что найдутся е > 0 и функция / е Е*л(Па), для которых

/(х) < 0, \х\у ^ (1 — е)\в1а\у• (45)

Так как /Л(0) ^ 0 и для 9 е [1 — е, 1]*, к е Ъ*

Ґ2^19ль1 2вйдЛ2, 1 \

V а1 ^.^ аа )

^ (1 — £)\в<ь,а\у,

На і

V

\ вка, в \ V > \ вНа,9 \ V =

то по лемме 6 и (43)

,, й 0 ^ ]ж2 /(х)уЛ(х)йх = П в3(Лі+^ гЛ(к,а)/(вк, в) < °.

Отсюда / (вНа , в) = / (912аЛ ,•••,9* = 0 для 1 — е ^ 91 ^ 1 — е ^

^ 9* ^ 1. Из аналитичности / по каждой переменной вытекает, что / = 0, а это противоречит условию /(0) = 1. Лемма 7 доказана.

Построим целую функцию из класса Е*’+(Па), которая в ряде случаев будет экстремальной в задаче Логана для классов Е*’+(Па), Е*л(Па), ^(Па).

Пусть Л ^ —1/2, а> 0, v>(x) = |x|2>+1, dß>(x) = ^ , f (x) — четная

на R функция, f>(y) = f (x)j>(xy)dß>(x) — ее преобразование Данкля

с\ = „jnr(\+i/2),

ГП

Tlf (x) = с> f (\fx2+t2—~2xtcös^) sin2A ^d^, t G R

Jo

— оператор обобщенного сдвига.

Отметим следующие свойства оператора обобщенного сдвига [29]: 1) если f (x) ^ 0, то Ttf (x) ^ 0; 2) функция Ttf (x) — четная по x и t; 3) (Ttf )x(y) = = j>(ty)f>(y); 4) если носитель supp f С [—5, ¿j, то suppTtf С [—11| — 5,5 + | t|]. Рассмотрим функцию

' 2дл,1 u>(x) = ^ J4 1

\о, |x| > I

Пользуясь формулой [29]

fa a

xJ>(ßx)J>(vx)dx = —2-------------2 {ßJ>+1(ßa)J>(va) — vJ>(pa)J>+1(va)},

Jo ß — v

8>W = — ^> . j>{\x . (44)

находим

u> (x) — —q -

23>Г(Л + 1) 2 — x2 '

Пусть Л = (Л1,..., Ла), Л3 ^ —1/2, а = (a1,... ,ad), aj > 0, t = (t1, . . . , td) G G Rd,

d d

u> (x) = П u>j (xj), Ttu> (x) = Ttj u>j (xj).

j=1 j=1

Имеем

d

u>(x) = u>>j(xj), (Ttu>)>(x) = j>(t,x)u>(x), Ttu>(x) ^ 0.

j=1

Если \tj| ^ 5j, 5 = (5i,... ,5d), то

suppTtu>(x) С na/2+s. (45)

Следуя В.А. Юдину [33], рассмотрим функцию

Tt

a/2

g(x) = — / Ttu>(x) du>(t) v>(t)da>(t),

Jdn„,2 dn

где У — производная по направлению внешней нормали к границе дПа/, параллелепипеда Па/2, 'о'^) — элемент площади поверхности на дПа/2,

4^ = —,--------------------^-•

П*=1 2л;+1Г(Л] + 1)

Функция д(х1, • • •, х*) — четная по каждой переменной х]. Так как

du\(t)

dn

2j jX Кд) П u*i(ti) ^0, (46)

t —I- a aj

j = ± 2 i=j

то g(x) ^ 0. Согласно (45) suppg С na. Далее

gX(y) = — І диП vx(t)(Ttu\)(y)da\(i) =

^a/2

ІдП„.~ dn

^дПа/2 дП

Если П]а/2 = Ц [— О-, о-] , то согласно (46)

dUx(t) jx(t, y)v\(t)da\(t)ux(y). (47)

gi(y) = — / диП jx(t,y)vx(t)dax(t) =

Jdna/2 dn

. ,i ■/ / \ ■ (aj ) 1 (aj )2Xj+l = — j—l aj jXj j ’l)jAj ІУVj) 2^їГ(Л7ТТ) v ~2) X

x / j П u*i (ііШ jxi ШП d^xi(ti) =

Па/2 i=j i=j i=j

4 £ j jj j (I yj) jj- (| f+i П M

j=l J i=j

л'-'Х/ \ qx,,i -i / \ ■ (aj ) 1 (aj )2Xj+l 1

4uM ¿2^-jx,(<ХMY j jrjl) ( y) j

Подставляя в последнюю сумму выражение для и^, (у]) (44), получим

д.(у) = иЛ(у) ± ((2-] )2 — ]) = ®Л(у) (£ (^ )2 — \у||)

Отсюда и из (47)

ш=(—а— \ у \2) ^лш2

]=1

Если пронормировать д в нуле и вспомнить обозначение вН =

( 2^Л1 Д ‘21х2

, то получим функцию

^=(1 — Й П, , ,2

а, х, 2Я\,,1

;

Функция Е — целая, экспоненциального типа а = (а., • • • ,а*), Е(0) = 1, ЕЛ(у) ^ 0. Так как [29]

Эл

' а,X

;2

2

1 I а, х,

2дх,’1

то 2

\ т\'Ул^) < C(Л^a-(1 + \ х \ ^ < CliЛ^a-

Ш=,(1 + \ х]\)4 Ш=1(1 + \ х] \)2

поэтому Е е Ь1>Л(Мр). Итак, Е е Ер’+(Па). Для нее также

Л(Е,Бр) = \ вНа \ 2,

поэтому Так как

Л(Ер’+(Па),Бр) < \ вНа \2• (48)

\х\р ^ d1/р-1/2\х\2, 1 ^ р< 2,

то при \ х\р ^ '1/р 1/2 \вН \2 будет \ х\2 ^ \ вН \ 2, поэтому

Jha \2 \^ \2 ^ \ИН,

Л(Е, Бр) < '1/р-1/2 \вНа \ 2

К(ЕЛ1’+(Па), Бр) < '1/р-1/2\веНа \2, 1 < Р< ч. (49)

С другой стороны, согласно (31), лемме 7 для всех р ^ 1

\ вка \р < ЛЕРл (Па),БЛр) < Л( Е*’+ (Па), Б*)

Отсюда и из (48), (49)

Л(Ерл(Па),Бр)=Л(Ер:+ (Па),Бр) = \ в1 \ 2,

1

_ _ 4X2,1

- - - а „то при 1 ^ р < 2

а2

Л(ЕІЛ(Па),Вр)=Л(Ей:+(Па),Вр) = \ віа \р.

Итак, нами доказана следующая теорема.

Теорема 6. Пусть Л = (Л1;..., Лй), Л3 ^ —1/2, а = (а1,..., ай), (13 > 0,

ве = ( 2^Л1,1 “2^Л2,1

На \ а^'1 ал

Тогда

та,Л(°Вй, Па) = Л(Е1,Л(стПа),В2й) = Л(Е1’+(стПа),В2й) =

= Л(^(аПа),В2й) = \ вка \ 2

а

771 -1 ^ ^ П ЧХл ,1 4X2,1 4Х2,1

Если 1 ^ р < 2 и —— = —— = ... = ——, то

^ а1 а2 а2

та,Л(авр, Па) = Л(Ей,Л(аПа),Вй) = Л(Ей.+ (аПа), В$ =

= Л(^Л(аПа),Вй) = = 2(1Л^^1/Р .

а аа1

Экстремальная функция в задачах Логана имеет вид

2 ч й а2 (л \

х \ 2 ^ ГГ 3Л^ 2 )

р (х) = 1 — Твеі2 П

\ вНа \ и 3=1 (1 — І' 2

Следствие 1. Если Л = (Л1,..., Л1), Л1 ^ —1/2, е = (1,..., 1), 1 ^ р ^ 2, а > 0, то

тЛЛ(аВ'1, Пе) = Л(Е1.Л(аПе),Вй) = Л(Е*+(аПе). В$) =

= Л(^Л(аПе).Вй) = 2ЧЛ1аіИГ .

Следствие 2. Если Л = (Л1,..., Лй), Л3 ^ —1/2, а = (дЛіу1,..., дЛ2д), 1 ^ ^ р ^ 2, а > 0, то

та,Л(аВ$, Па) = Л(ЕІЛ(аПа),ВЛр) = Л(Ей+(аПа), В$ =

= Л(Ей(аПа),Вр) =

2і1/р

а

Список литературы

1. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974. 331 с.

2. Бердышева Е.Е. Две взаимосвязанные экстремальные задачи для целых функций многих переменных // Матем. заметки. 1999. Т.66, №3. С.336-350.

3. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве L2(Rm) // ИММ УрО РАН. Екатеринбург. 1998. Т.5. С.183-198.

4. Московский А.В. Теоремы Джексона в пространствах Lp(Rn) и Lp,\(R+) // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1997. Т.4. Вып.1. С.44-70.

5. Logan B.F. Extremal problems for positive-definite bandlimited functions I. Eventually positive functions with zero integral functions // SIAM J. Math. Anal. 1983. V.14, №2. P.249-252.

6. Черных Н.И. О неравенстве Джексона в L2 // Труды МИАН СССР. 1967. Т.88. С.71-74.

7. Arestov V.V., Chernykh N.I. On the L2-approximation of periodic functions by trygonometric polynomials // Approximation and functions spaces: proc. Intern. conf., Gdan’sk, 1979 / Amsterdam: North-Holland, 1981. P.25-43.

8. Горбачев Д.В. Экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа // Матем. заметки. 2000. Т.68, №2. С.179-187.

9. Rosier M. Dunkl Operators: Theory and Applications. Lecture Notes in Math. C.1817. Berlin: Springer, 2003. P.93-135.

10. Иванов А.В. Некоторые экстремальные задачи для целых функций в весовых пространствах // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2010. Вып.1. С.26-44.

11. Dunkl C.F. Reflection groups and orthogonal polynomials on the sphere // Math. Z. 1988. V.197. P.33-60.

12. Dunkl C.F. Differential-difference operators associated to reflection groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1989. V.311. P.167-183.

13. Dunkl C.F. Integral kernels with reflection group invariance // Canad. J. Math. 1991. V.43. P.1213-1227.

14. Dunkl C.F. Hankel transforms associated to finite reflection groups // Contemp. Math. 1992. V.138. P.123-138.

15. Rosler M. Positivity of Dunkl’s interwining operator // Duke Math. J. 1999. V.98. P.445-463.

16. de Jeu M.F.E. The Dunkl transform // Invent. Math. 1993. V.113. P.147-162.

17. de Jeu M.F.E. Paley-Wiener theorems for the Dunkl transform // Trans. Amer. Math. Soc. 2006. V.358. P.4225-4250.

18. Бабенко А.Г. О точной константе Джексона в L2 // Матем. заметки. 1986. Т.39, №5. С.651-664.

19. Арестов В.В., Попов В.Ю. Неравенства Джексона на сфере в L2 // Изв. вузов. Матем. 1995. №8. С.13-20.

20. Berdysheva E.E. An extremal problem for entire functions of exponential type with nonnegative mean value // East J. Approx. 1997. V.3, №4. P.393-402.

21. Arestov V.V., Babenko A.G. Continuity of the Best Constant in the Jackson Inequality in L2 with Respect to Argument of Modulus of Continuity // Approx. Theory: a vol. dedic. B. Sendov. Sofia: DARBA, 2002. P.13-23.

22. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 744 c.

23. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближений. М.: Наука, 1976. 320 c.

24. Горбачев Д.В. Приближение в Ь2 частичными интегралами Фурье по собственным функциям оператора Штурма-Лиувилля // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1999. Т.5. Вып.1. С.38-50.

25. Иванов А.В., Иванов В.И. Теория Данкля и теорема Джексона в пространстве L2(Rd) со степенным весом // Труды ИММ УрО РАН. 2010. Т.16, №4. С.180-192.

26. Mouron M.A., Triméche K. Transmutation operators and Paley-Wiener theorem associated with a singular differential-difference operator on the real line // Analysis and Applications. 2003. V.1, №1. P.43-70.

27. Белкина Е.С. Гармонический анализ Фурье-Данкля и приближение функций: дис. .. .канд. физ.-мат. наук. Петрозаводск. 2000. 92 с.

28. Иванов В.И., Лю Юнпин, Смирнов О.И. Некоторые неравенства для целых функций экспоненциального типа в пространствах Lp(Rd) со степенным весом // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып.2. С.70-80.

29. Ватсон Г.Н. Теория бесседевых функций. Ч.1. М.: ИЛ, 1949. 798 с.

30. Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах Lp. Тула: ТулГУ, 2010. 174 с.

31. Frappier C, Oliver P. A quadrature formula involcing zeros of Bessel functions // Math. of Comp. 1993. V.60, №201. P.303-316.

32. Grozev G.R., Rahman Q.I. A quadrature formulae with zeros of Bessel functions as nodes // Math. Comp. 1995. V.64. P.715-725.

33. Юдин В.А. Многомерная теорема Джексона в L2 // Матем. заметки. 1981. Т.29, №2. С.309-315.

Иванов Алексей Валерьевич ([email protected]), ассистент, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Logan problem for multivariate entire functions and Jackson constants in weighted spaces

A. V. Ivanov

Abstract. The exact constant D(aV, tU)2,k in Jackson inequality in L2, k(Rd)-space with power weight vk (x) = П«ед+ I (a,x) I 2k(a\ defined by positive subsystem of finite root system R с Rd and G(R)-invariant function k(a) : R ^ R+ is studied. Here V and U are a convex centrally symmetric compact bodies. Body aV contain a support of Dunkl transform or spectrum of approximate entire function and tU is zero neighborhood in module of continuity. The continuity of Jackson constant as function of a and t is proved. The relation between optimal argument in module of continuity and Logan problem about smallest radius of ball, defined by body V, outside of which positive definite integrable entire function with U-spectrum is nonpositive, is established. Logan problem is

d

solved, when weight v(x) = H I xjI 2Xj+1, ^j ^ —1 /2, V is Euclidean ball and U

j=i

is parallelepiped.

Keywords: reflection group, Dunkl transform, L2(Rd)-space with power weight, entire functions of exponential type, Jackson constant, Logan problem.

Ivanov Alexey ([email protected]), assistant, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 14-06.2011