ОПТИМАЛЬНЫЙ АРГУМЕНТ В ОБОБЩЕННОМ НЕРАВЕНСТВЕ ДЖЕКСОНА В ПРОСТРАНСТВЕ $L_{2}(R^d)$ С ВЕСОМ ДАНКЛЯ И ОБОБЩЕННАЯ ЗАДАЧА ЛОГАНА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 1. Ч.1. С. 22-36

= Математика

УДК 517.5

Оптимальный аргумент в обобщенном неравенстве Джексона в пространстве с весом Данкля и обобщенная задача Логана *

А. В. Иванов, В. И. Иванов

Аннотация. Установлена связь между оптимальным аргументом в обобщенном неравенстве Джексона в пространстве ^(М^) с весом Данкля и обобщенной задачей Логана для целых функций многих переменных. Доказано, что обобщенная константа Джексона в Ь2 на торе не превосходит обобщенной константы Джексона в ¿2 на евклидовом пространстве.

Ключевые слова: гармонический анализ Фурье и Данкля, наилучшее приближение, обобщенный модуль непрерывности, обобщенное неравенство Джексона, обобщенная константа Джексона.

Введение

Статья является продолжением нашей работы [1]. Приведем необходимые определения и факты.

Пусть й € М, М^ — й-мерное действительное евклидово пространство со скалярным произведением (х,у) и нормой |х| = л/(х, ж),

И* (х) = П 1(“.ж)Га> (1)

— обобщенный степенной вес или вес Данкля, определяемый положительной подсистемой К+ системы корней К С М^ и функцией к (а) : К ^ М+, инвариантной относительно группы отражений С (К), порожденной К,

с* = / е |х|2/2и* (ж) йх ■)жЛ

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-00045) и Министерства образования и науки РФ (госзадание № 5414ГЗ).

— интеграл Макдональда - Мета - Сельберга, d^k (ж) = c-1vk (ж) dx, L2,k (Rd) — гильбертово пространство комплексных измеримых по Лебегу на Rd функций f с конечной нормой

II/112,k = ( jRd lf (ж)|2 d^k (ж^ .

Гармонический анализ в пространстве ¿2,k (Rd) осуществляется с помощью прямого и обратного преобразований Данкля:

7(у)=/ / (ж) ek (ж, y)d^k (ж), / (ж) = /(y) ek (ж, y)d^k (y),

,/Rd ,/Rd

где ek (ж, y) — обобщенная экспонента, определяемая с помощью

дифференциально-разностных операторов Данкля. В случае единичного веса (k(a) = 0) ek (ж,у) = ei(x,y). Для преобразований Данкля выполнено равенство Парсеваля (см. [2]).

Пусть V — выпуклое центрально-симметричное компактное тело в Rd, инвариантное относительно группы отражений G(R), |ж|у — норма в Rd, определяемая этим телом, а > 0. Для функции f € ¿2,k (Rd)

E(aV,f)2,k = inf {||f - g12,k : g € L2,k (Rd) , suppg С aV} =

Г ~ \1/2

/ l/(y)|2dy j

'|y|v ^<7 /

— величина наилучшего приближения целыми функциями экспоненциального типа со спектром в теле aV. Для них справедлива оценка

|g(z)| < CgeCT|Imz|v*, Cg > 0,

где V* — поляра тела V, z = (z1,..., zd) € Cd, Imz = (Imz1,..., Imzd).

Пусть M = {ßs}s^z — ненулевая последовательность комплексных чисел, для которой

J2^s = 0, |v■s| < (2)

seZ seZ

Посредством свертки образуем новую последовательность

Vs ^ ' ßl+sßl- (3)

leZ

Для нее

V0 = ^ |^l|2, ^Vs = 0, ^ |Vs| < TO.

leZ seZ seZ

Определим функции

^м(i,y) = ^ vsefc(st,y), (t, y) = Vo - (t, y), t, y e Rd. (4)

's1-

seZ

Для функции рм(¿,у) выполнены свойства [1, 3]:

Рм (¿> у) € СЦМ'* х М^), рм (¿, у) = Рм (у, ■£), Рм (¿, у) ^ о, рм (0, у) = 0.

(5)

Пусть и — выпуклое центрально-симметричное компактное тело в М^, инвариантное относительно группы отражений С(К). Свойства (5) для функции / € ¿2,* (М^) позволяют определить обобщенный модуль непрерывности (см. [1, 3])

^м (ти,/)2,* = I р (^, у) |,/(у)|2й^к (уА > т> 0 (6)

Если к(а) = 0 и

ДМ/ (ж) = ^ ^s/ (ж + st)

seZ

— бесконечно-разностный оператор, то обобщенный модуль непрерывности

WM(tU, /)2 = sup |Дм/ (ж) 112 (7)

i€rU

дм.

совпадает с обычным модулем непрерывности, определяемым оператором

Обобщенная константа Джексона

Dm(oV, tU)2,fc = sup{ : / ^ ^^ } (8)

для пары тел V, U есть наименьшая константа в неравенстве Джексона

E(oV,/)2,k < Dwm(tU,/)2,k.

В работе продолжается изучение некоторых свойств обобщенной константы Джексона, начатое в [3]. При этом мы по-прежнему следуем работе [4], в которой рассмотрен случай первого модуля непрерывности

WMx (TU,/)2,k = suP (2 I (1 - Re ek (t,y))|.T(y)|2d^k (yA , (9)

ierU V JRd /

определяемого последовательностью Mi, у которой ^0 = 1,^i = -1, а остальные ^s = 0. В дальнейших рассмотрениях можно положить о = 1 [1].

Отметим, что точные неравенства Джексона в пространстве ¿2,k (Rd) с весом Данкля доказаны в работах [4-8]. В случае единичного веса точное

неравенство Джексона в пространстве L2 (Rd) с обобщенным модулем

непрерывности (9) доказано С.Н. Васильевым [9]. На весовой случай оно перенесено в [10]. Отметим также работы [11, 12].

1. Обобщенная задача Логана

Нами доказано утверждение.

Предложение 1 [10].Для произвольного веса Данкля (1), последовательности М (2), выпуклых центрально-симметричных компактных тел V, и и некоторого т* = т*(^, к, М, V, и) справедливо точное обобщенное неравенство Джексона

В случае единичного веса неравенство (10) доказано С.Н. Васильевым

Постоянная т * в неравенстве (10) не является эффективной. Ее наименьшее значение называется оптимальным аргументом. По определению, оптимальный аргумент

Существование минимума вытекает из непрерывности и невозрастания обобщенной константы Джексона [1].

Наиболее полно оптимальные аргументы исследованы только для первого модуля непрерывности. Первый оптимальный аргумент был найден в периодическом случае Н.И. Черных [13, 14]. В пространстве ¿2(М^) оптимальные аргументы найдены А.В. Московским [15] (^ = 3) и Д.В. Горбачевым [16] (произвольное ^). Отметим также работу Е.Е. Бердышевой [17]. В пространстве ¿2,*(М^) оптимальные аргументы найдены в работах [4, 5] (см. также работу [8]).

Пусть М(и) — банахово пространство регулярных борелевских

действительных мер ^ (регулярных борелевских действительных счетно аддитивных функций) на и с нормой |^|, равной полной вариации ^ на ти (см. [18]). Если 5(и) = € М(и) : |^| = 1} — единичная сфера в М(и), то

подмножество 5+(и) неотрицательных мер есть множество вероятностных мер из М(и).

В [1] установлено, что

(10)

[9].

(11)

(V, ти)2,к =

\/^0

тогда и только тогда, когда

■] (V, ти) = ш! вир

ме£+(ти) |ж|у ^1 . _

причем существует экстремальная мера ^* € 5+(ти), для которой

3 (V, ти )= вир I ^м (^,ж)^^*(^) = 0. (12)

|х|у ^ти

Из свойств обобщенной константы Джексона [1] 3(V, ти) = 3(тУ, и), поэтому, если

/ ^м(¿,ж)^(£) ^ 0, |ж|у ^ Л,

JU

то

/ (і,ж)ф(-t) ^ 0, |ж|у ^ Л.

U

Здесь ^(—¿) — мера, определяемая соотношением ^(—¿)(А) = ^(¿)(-А) для А С и. Очевидно, что ^(—¿) Є 5+(и). Итак, меру ^*(£) в (12) можно считать четной: ^*(—¿) = ^*(£). Это позволяет функцию ^м(¿, ж) (4) в (12) заменить на четную функцию

ГО

фм (¿,ж) = - Е И,е ^ И,е ек (з£, ж). (13)

8=1

Равенство (12) позволяет задачу об оптимальном аргументе связать с задачей Логана для некоторого класса целых функций многих переменных.

Задача Логана для класса действительных функций М состоит в вычислении величины

Л(М, V) = ш1Ж/^): / € М, / ф 0},

где

0(/, V) = вир(|ж|у : /(ж) > 0}

— радиус наименьшего шара по норме, определяемой телом V, вне которого функция неположительна.

Пусть

ГО

Fm(t, f) = -^2 Re vs/(si), (14)

s=1

K(U) — класс четных целых функций

/(ж) = [ ek(t,x)d^(i), ^ e S+(U), ^ - четная. JU Для / e K(U) Fm(t,/)= / Фм(t,x)d^(i).

U

Нас будет интересовать обобщенная задача Логана

Лм(K(U), V) = inf(0(Fm(/), V) : / e K(U)}.

Б Логан [19] поставил и решил эту задачу в одномерном безвесовом случае, когда V = и = [-1,1] и Зм(¿, /) = /(¿). Некоторые частные случаи рассматриваемой задачи Логана решены в [4, 8, 16, 17]. Из предложения 1 вытекает, что для любой последовательности М в классе К (и) есть функции /, для которых 0(3м(/), V) < то.

Теорема 1. Равенство 3(V, ти) = 0 имеет место тогда и только тогда, когда т ^ Лм(К(и), V), то есть

Доказательство. Необходимость. Имеем 3(V, ти) = 3(т^ и). Если 3(V, ти) = 0, то 3(т^ и) =0 и согласно (12) для тел ^, и существует функция / € К (и), для которой 0(^м (/), V) ^ т, поэтому Лм (К (и), V) ^ т. Необходимость доказана.

Достаточность. Если Лм (К(и), V) = Л, то для любого е > 0 существует функция /£ € К (и), для которой 0(^м (/£), V) ^ Л + е, поэтому

Из непрерывности функции 3(V, ти) по т вытекает, что 3(V, Ли) =0 и 3(V, ти) = 0 при т ^ Л. Достаточность и теорема 1 в целом доказаны.

Для последовательности М1 теорема 1 в безвесовом случае доказана в [17], в весовом — в [4]. В случае последовательности М1 экстремальная функция из класса Км (и, V) в задаче Логана принадлежит пространству ¿1;*(М^) [4, 17]. В [20] анонсировано, что в безвесовом случае это так и для последовательности

Г(ж) — гамма-функция Эйлера.

Будем говорить, что последовательность М удовлетворяет условию (Г), если выполнены неравенства

1

тм (^и) =Лм (К (и )^).

3(V, (Л + е)и) = 3((Л + е)^ и) = 0.

где

*=1

Это условие появилось в работе [11].

Пусть

7^ = 2 ^ к(а), Ф(ж) = е

|х|2/2

Известно [2], что

Ф (ж) = е-|х|2 /2

(15)

и для е > 0

Ф (е'Хж> = -¿т;Ф (?)•

Справедливо следующее утверждение.

Лемма 1. Если последовательность М удовлетворяет условию (Г), функция / € К (и), 0(3м (/), V) < то, то Зм (/) € ¿1,* (М^).

Доказательство. Пусть мера ^ € 5 + (и), ^ — четная,

/(ж) = / е*(ж, ¿)^(£).

.¡и

Для любого е > 0 в силу теоремы Фубини, преобразования Абеля,

условия (Г), (12) - (15)

л л ОО л

/ Зм(ж,/)Ф(еж)^*(ж) = — / У^Иеv¡ / Ф(еж)е(8ж,¿)^*(ж)^(£) =

./к^ ./и

= — / £ / Ф (-ж) е(ж,№*(ж)ФС0 =

2 Г - (5 \

^И,е ^Ф ( -ж) ^(¿) =

¡=1 е

ed+Yd * Ve

2 f Е9* (Ф (-*) - ф ^ *)) «t) » 0.

Если 0(Fm(f), V) = 0, то 0 < 0 < то и FM(ж, f) ^ 0 при |x|V ^ 0, поэтому 0 ^ / Fm(x,f)Ф(еж)^(ж) ^ / |Fm(ж, f)|Ф(еж)^(ж)-

./Rd 7\x\v ^0

- |Fm(ж, f)|Ф(еж)^(ж).

J\x\v ^0

Отсюда и из неравенства |Fm(ж, f )| ^ ^| vs| = а

/ |Fm(ж, f)|Ф(еж)^(ж) ^ / |Fm(ж, f)|Ф(еж)фк(ж) ^ a^fc(0V).

-/\x\V ^0 -'\x\V ^0

Так как для всех ж lim Ф(еж) = 1, то по лемме Фату [18] Fm(f) € L1 k(Rd).

£^0+0 ’

Лемма 1 доказана.

Возникает интересная задача: из условия Fm(f) € Li,k(Rd) вывести принадлежность f € Li k(Rd). Укажем достаточное условие.

Пусть

п

Ие Vc ^—>. . . .

И,е v1 < 0, ^ = 0, 8 ^ п + 1, а8 = —----, > |а8| < 1. (16)

| Ке ^ ¡=2

Лемма 2. Если / € К (и), 0(^м (/),V) < то, выполнены условия (Г), (16), то / € Ь1)* (М“) и для всех ж € М“

го го ( + + )!

/ (ж) = | Ие V!!-1 ^ ... ^ р^ а22... аП" ^м (282 ...П" ж,/).

п п 52*. . . Гп!

¡2=0 ¡"=0

Ряд в правой части сходится абсолютно.

Доказательство. Согласно (14), (16) справедливо равенство / (ж)=) + £а/(5ж)=р (ж)+£/ (5ж).

| 1| ¡=2 ¡=2

Индукцией по N выводим N-1

¡=0 ¡2+. . . ¡" =

/(ж) = £ £ 8 , ,а22...аП"^...П"ж) +

+ £ 8 Л*. ,а22...аП"/(2^...п5"ж).

52!. . . 5п!

¡2+- - - ¡"—N

Так как |/(ж)| ^ 1 и ^П=2 |а«| < 1, то при N ^ то

^ (|а2| + ... + |а^^ ^ 0,

Е ГТ^ГГ а22 ...аП"/(242 ...П"ж)

¡2 + - - - S" = N , ,

(.2 + ... + Гп), . ,¡2 I \в

Е... Е 52 !...Гп! ^ •••|аn| < ~

¡2=0 ¡"=0

Поэтому для всех ж € М“

ГО ,

/(ж) = £ Е . ,.5‘ ,а22...аП"З(2¡2•••n¡"ж) =

¡=0 ¡2 + - - - ¡"^ 2 п

гого

Е^ Е (52 .+ ,•••.+ ,Sn), а22... а^" З (2^ •••n¡" ж,/)

¡2=0 ¡"=0

г2!. . . Гп!

и согласно лемме 1 / € ¿1,* (М“). Лемма 2 доказана.

Для последовательности Мг условие ^¡=2 |a¡| < 1 выполнено при г ^ 5.

2. Обобщенная задача Логана для евклидовых шаров

Пусть В — единичный евклидов шар. В случае, когда V = и = В в [3] доказано, что обобщенная константа Джексона в пространстве ¿2,* (М“) совпадает с обобщенной константой Джексона в пространстве ¿2 (М+) со степенным весом.

Пусть Л > -1/2, (ж) — функция Бесселя порядка Л,

•.лОж) = 2ЛГ(А + 1) ^

— нормированная функция Бесселя, ^л — наименьший положительный нуль .л(ж), Ьл = 2ЛГ(Л + 1), ¿2,л(М+) — пространство комплексных измеримых по Лебегу на М+ функций / с конечной нормой

го \ 1/2

-1 I I ffr,*\\2r,*2Л+1,'

1|2,А = |f (r)|2r2A+1dr)

f ^

/(s) = b- / f (r)jA(rs)r2A+1 dr

J0

— преобразование Ганкеля (см. [21]),

E(f)2,а = inf{||f - glh.A : g € L2,a(R+), supp<7 С [0,ст]}

— величина наилучшего приближения функции f € L2a(

ам (r) = ^ vijA(lr) = vo + 2^Re v ^(¿r),

l=1

ro \ 1/2

Л1

wm(¿,/)2,A = sup bAW a(rs)|/(s)|2s2A+1ds I o<r<<5 \ 7o /

— обобщенный модуль непрерывности,

Dm (o', ¿)2,a = sup { (/ n’A : / G L2,a

I WM(0, f )2,A

— обобщенная константа Джексона в пространстве L2,a(R+) (см. [1, 3]).

Предложение 2 [3]. Если А^ = d/2 — 1 + 7^/2, то для произвольного веса Данкля (1) и произвольной последовательности M (2)

Dm (oB,rB)2’k = Dm (о,т )2,Ak •

Пусть TM’A — оптимальный аргумент в ¿2,a(R+), то есть

TM’A = min{ т> 0: Dm(1,т)2,a = 1

л/VO J ’

£+[0,1] — множество неубывающих функций ^(ж) на отрезке [0,1], для которых ^(1) — ^(0) = 1, 0(/) = 8ир(ж > 0 : /(ж) > 0}, КЛ — класс четных целых функций

/(ж) = / ^л(^ж)^^(^), ^ € £+[0,1],

Jo

Лм(Кл) — обобщенная задача Логана для класса Кд.

Из теоремы 1 вытекает следующее утверждение.

Теорема 2. Если Л* = ^/2 — 1 + 7*/2, то

ТМ,*(В, В) = Тм,Лк = Лм(КЛк)•

Если последовательность М удовлетворяет условию (Г), то для оптимального аргумента справедлива оценка [11, 12]

тм,*(В,В) = Тм,дк ^ 29лк+1-

Покажем, что в некоторых случаях ее можно улучшить. Пусть последовательность М удовлетворяет условиям

го р

И,е ^1 < 0, £ ^ I Ре ^1- (17)

1=2, Яе VI >0

Теорема 3. Если Л* = 1/2, для последовательности М выполнены условия (17), то для оптимального аргумента справедлива оценка

ТМ,*(В, В) = Тм,лк ^ 2<?дк = 2п.

Доказательство. Известно [16, 20], что функция

2

ж/2 / 1 — (ж/2п)2 По теореме 2 достаточно проверить, что 0(^М(/), V) ^ 2п. Имеем

тр й1п2 X ’ГО Ке ^ я1п2 ((ж/2п)2 — 1)

М(ж,/)=(ж/2)2(1 — (ж/2п)2) (1 е^ ¿2 в2 81п2 § ((вж/2п)2 — 1)

Так как для ж ^ 2п, в ^ 2

0* !Ш1! * в2, 0 < /£/М2—1 < 1

ЭШ2 х (вж/2п)2 — 1 в2

то

^ Ие ^ 8Ш2 ((ж/2п)2 — 1) ^ ^ Ие ^ ^ 0

I Ие ^1-- £ ^ «вж/2п)2 — 1) ^ 1 Ие ^-' — £ >о ^ " 0-

Поэтому для ж ^ 2п ^м(ж, /) ^ 0. Теорема 3 доказана.

Проверим выполнение условий (17) для последовательности Мг при г > 0. Имеем

, ллз ( 2г \ (—1)5Г(2г + 1)

у3 = (—1)М = ——-—-—---------------- ---- , ^1 < 0.

\г — в) Г(г — в + 1)Г(г + в + 1)

Если г € М, то | ^ | < | ^1 | при в > 2. Докажем эти неравенства и для г — не целого. Пусть к — 1 < г < к, 2 < в < к. Тогда

N = Г(в — г)Г(г)Г(г + 2) = Щ-У — в + 1) < 1

I ^ | Г(г + в + 1) П^^11(г + 1 + 1) '

Если к — 1 <г<к, в > к, то по формуле дополнения

Ы_ = | вшпг IГ(в — г)Г(г)Г(г + 2) = Пг=-1 I г — 1 I < 1

1 ^1 | пГ(г + в + 1) П^:-11(г + 1 + 1) < -

Используя доказанные неравенства, получим

го го го

I V.I— £ ^ ^Е^ I 1 —Е>0-

«=2, vs>0 «=2 \ «=2 )

Неравенства (17) для последовательности Мг при г > 0 доказаны.

3. Связь между обобщенными константами Джексона для тора и евклидова пространства

Пусть Т“ = [—п,п)“ — ^-мерный тор, ^ = (2п)-“^ж, Ь2(Т“) — пространство комплексных функций на торе с конечной нормой

||/1|2 = (^ | /(ж) 12Ф^ ;

для функции / € ¿2 (Т“)

Е /V, /V = / /(ж)е-^’х)^, ||/112 = Е I /V 12

veZd Л v£'Zd

— ряд и коэффициенты Фурье, равенство Парсеваля, Е, т > 0,

Ет(Е/ = II/(ж) — Е /Vе^’х)|2 = ( Е I /V 12) (18)

| VIV <Я \Иу )

— величина наилучшего приближения тригонометрическими полиномами со спектром в открытом шаре RV,

-м(ти,/ )2 = йир ||Дм / (ж) ||2 = ( Е | ^ 12^м (19)

— обобщенный модуль непрерывности, определяемый последовательностью M (2) (см. (4), (7)); RU С Td,

DM (äV,Ru) = sup{ ET ((RU/.) : f € L2(Td)|

V R у 2 ^м(RU,f)2 J

— обобщенная константа Джексона для тора.

Обобщенную константу Джексона (8) для евклидова пространства в безвесовом случае будем обозначать Dm(ctV, tU)2.

Теорема 4. Если R U С Td, то

DM (Ry'RU) 2 * D" (RV^U) 2-

Доказательство. Существует мера ß* € S+ (RU) [1], для которой

DM2 (RV RU) = . inL / №(t,x)dß*(t)-

V R /2 |x|v ^я,/ R и

Меру ß* можно продолжить на ст-алгебру B борелевских множеств в Td, полагая для A € B ß(A) = ß(AP| R U). Носитель меры supp ß С R U.

Напомним, что suppß С RU, если для любого A € B, AQ RU = 0 будет

ß(Af| R U) =0.

Рассмотрим интеграл

J = / l|AMf (x) 112 dß*(t)-

,/Td

С одной стороны,

J = / l|AM f (x) |2 dß*(t) * ^M(RU,f)2- (20)

Ле R U R

С другой стороны, согласно (18), (19)

J = V | fV12[ ^m(i,v)dß*(i) ^ V | f 12[ ^m(t, v)dß*(t) ^ vlZ ^ |v^R ^

^ V 1 f 12 I if i ^M(t,v)dß*(t) ^

|^R H^R-V

^ ET (RV, f )2 inf f m (t,x)dß*(i) = ET(RV,f)2DM2 (äV, Ru) . (21) |x|v >Я,/ R U V R /2

Из (20) и (21) вытекает обобщенное неравенство Джексона ET(RV,f)2 * Dm (äV,Ru)2^(Ru,fЬ Теорема 4 доказана.

Вычислять обобщенную константы Джексона для евклидова пространства проще, чем для тора, так как, в частности, она зависит только от т [1]:

Дм (я^и) = Дм (V, ти)2 •

Оптимальный аргумент (11) в безвесовом случае обозначим тм(V, и). Известно [22], что для всех Я, т > 0

> ^¡¡щ,■ (22)

DM ( RV, TM (V’ U * U^ = • (23)

поэтому из теоремы 4 следует, что для Тм(д’и) и С Т“

(М! = -Я /2 лА",

Рассматривая интеграл

/ II дм/ (ж) 112 ^

./т^

и рассуждая, как при доказательстве теоремы 4, получим, что при Я > 0

ЕТ(Я^/)2 < -1=-м(Т“,/)2-

Отсюда и из (22), (23) вытекает, что для всех Я > 0 и некоторого 7* > 0, зависящего от М, V, и, справедливо равенство

дм К Я и) 2 = -о ■ (24)

впервые доказанное С.Н. Васильевам [23]. Наименьшее значение 7* > 0, при котором (24) выполняется для всех Я таких, что Тм(д,и) и С Т“, назовем оптимальным аргументом и обозначим тТ(V, и). Из теорем 3, 4 вытекают следующие следствия.

Следствие 1. тТ(V, и) < тм(V, и).

Следствие 2. Если (I = 3, для последовательности М выполнены условия (17), то тТ(В, В) < 2п.

Список литературы

1. Иванов А.В., Иванов В.И., Хуэ Ха Тхи Минь. Обобщенная константа Джексона в пространстве L2(Md) с весом Данкля // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып.3. С.74-90.

2. Rosier M. Dunkl Operators: Theory and Applications // Lecture Notes in Math. 2002. V.1817. P.93-135.

3. Хуэ Ха Тхи Минь. О связи многомерных и одномерных констант Джексона в пространствах L2 со степенными весами // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып.2. С.114-123.

4. Иванов А.В. Задача Логана для целых функций многих переменных и константы Джексона в весовых пространствах // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып.2. С.29-58.

5. Иванов А.В. Некоторые экстремальные задачи для целых функций в весовых пространствах // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2010. Вып.1. С.26-44.

6. Иванов А.В., Иванов В.И. Теорема Джексона в пространстве L2(Rd) со степенным весом // Матем. заметки. 2010. Т.88. №1. С.148-151.

7. Иванов А.В., Иванов В.И. Теория Данкля и теорема Джексона в пространстве L2(Rd) со степенным весом // Труды ИММ УрО РАН. 2010. Т.16. №4. С.180-192.

8. Иванов А.В., Иванов В.И. Оптимальные аргументы в неравенстве Джексона в пространстве L2 (Rd) со степенным весом // Матем. заметки. 2013. Т.94. №3. С.338-348.

9. Васильев С.Н. Неравенство Джексона в L2(RN) с обобщенным модулем непрерывности // Труды ИММ УрО РАН. 2010. Т.16. №4. С.93-99.

10. Иванов В.И., Хуэ Ха Тхи Минь. Обобщенное неравенство Джексона в пространстве L2(Rd) с весом Данкля // Труды ИММ УрО РАН. 2014. Т. 20. № 1. С. 109-118.

11. Горбачев Д.В. Оценка оптимального аргумента в точном многомерном L2-неравенстве Джексона - Стечкина // Труды ИММ УрО РАН. 2014. Т. 20. № 1. С. 83-91.

12. Хуэ Ха Тхи Минь. Обобщенное неравенство Джексона - Стечкина в пространстве L2(Rd) с весом Данкля // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2014. Вып.1. С. 63-82.

13. Черных Н.И. О неравенстве Джексона в L2 // Труды МИАН. 1967. Т. 88. С. 71-74.

14. Arestov V.V., Chernykh N.I. On the L2-approximation of periodic functions by trigonometric polynomials // Approximation and functions spaces: proc. intern. conf., Gdansk. Amsterdam: North-Holland, 1981. P. 25-43.

15. Московский А.В. Теоремы Джексона в пространствах Lp(Rn) и LPia(R+) // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1997. Т. 4. Вып. 1. С. 44-70.

16. Горбачев Д.В. Экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа // Матем. заметки. 2000. Т. 68. № 2. С. 179-187.

17. Бердышева Е.Е. Экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа // Матем. заметки. 1999. Т. 66. № 3. С. 336-350.

18. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

744 с.

19. Logan B.F. Extremal problems for positive-definite bandlimited functions II. Eventually negative functions // SIAM J. Math. Anal. 1983. V.14, №2. P.253-257.

20. Горбачев Д.В., Странковский С.А. Одна экстремальная задача для четных положительно определенных целых функций экспоненциального типа // Матем. заметки. 2006. Т.80. № 5. С.712-717.

21. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию. Самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1970. 672 с.

22. Козко А.И., Рождественский А.В. О неравенстве Джексона в L с обобщенным модулем непрерывности // Матем. сб. 2004. Т. 195. № 8. С. 3-46.

23. Васильев С.Н. Неравенство Джексона в L2(TN) с обобщенным модулем непрерывности // Труды ИММ УрО РАН. 2009. Т.15. №1. С.102-110.

Иванов Алексей Валерьевич ([email protected]), к.ф.-м.н., доцент, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Иванов Валерий Иванович ([email protected]), д.ф.-м.н., профессор, декан, механико-математический факультет, Тульский государственный университет.

Optimal argument in generalized Jackson inequality in L2(Rd)-space with Dunkl weight and generalized Logan problem

A. V. Ivanov, V. I. Ivanov

Abstract. The connection between the optimal argument in generalized Jackson inequality in the space L2(Rd) with Dunkl weight and generalized Logan problem for entire functions of several variables is established. It is proved that the generalized Jackson constant in L2 on the torus does not exceed generalized Jackson constant in L2 on Euclidean space.

Keywords: Fourier and Dunkl harmonic analysis, best approximation, generalized modulus of continuity, generalized Jackson inequality, generalized Jackson constant.

Ivanov Alexey ([email protected]), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Ivanov Valeriy ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, dean, mechanical and mathematical faculty, Tula State University.

Поступила 03.12.2013