Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 74-90
= Математика
УДК 517.5
Обобщенная константа Джексона в пространстве Ь2(Ма) с весом Данкля *
А. В. Иванов, В. И. Иванов, Ха Тхи Минь Хуэ
Аннотация. Для пары выпуклых центрально-симметричных компактных тел V, и в М^, последовательности комплексных чисел М = {^8}8ех с нулевой суммой и абсолютно сходящимся рядом в пространстве Ь2,к(М^) с весом Данкля определяются величина наилучшего приближения E( аV, f )2,к целыми функциями экспоненциального типа со спектром в теле аV, обобщенный модуль непрерывности шм(ти^)2,к и обобщенная константа Джексона Ом (^,^ )2 ,к. Исследуется ее конечность и непрерывность. Доказывается нижняя оценка Ом (аV,тU )2,к ^ 1/^/щ, где
=Е«ех Ы2.
Ключевые слова: гармонический анализ Данкля, наилучшее приближение, модуль непрерывности, неравенство Джексона, константа Джексона.
Введение
Пусть й € М, — й-мерное действительное евклидово пространство
со скалярным произведением (х,у) и нормой \х\ = л/(х, х), а > 0, Ба = = {х € : \х\ ^ а} — евклидов шар,
^ (х) = П \(а,х)\2к(а)
— обобщенный степенной вес или вес Данкля, определяемый положительной подсистемой К+ системы корней К С и функцией к (а) : К ^ М+, инвариантной относительно группы отражений С (К), порожденной К,
Ск = [ е '1Х'[2/2Ук (х) йх ■)жЛ
— интеграл Макдональда — Мета — Сельберга, йц,к (х) = ек 1ук (х) йх, L2,k М — гильбертово пространство комплексных измеримых по Лебегу на
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-00045).
функций f с конечной нормой
1/2
2,k = ( jRd \f (x)|2 dVk (x)^J
Гармонический анализ в пространстве L2,k (Rd) осуществляется с помощью прямого и обратного преобразований Данкля
f(v)= f (x) ek (x,y)dßk (x), f (x)= f(y) ek (x, y)dßk (y),
J Rd J Rd
где ek (x, y) — обобщенная экспонента, определяемая с помощью
дифференциально-разностных операторов Данкля, многие свойства которой аналогичны свойствам экспоненты ег(х,у\ Для преобразований Данкля выполнено равенство Парсеваля (см. [1]).
Пусть V — выпуклое центрально-симметричное компактное тело в Rd, инвариантное относительно группы отражений G(R), |x\y — норма в Rd, определяемая этим телом, а > 0. Для функции f € ¿2,k (Rd)
E(aV, f )2,k = inf {||f - g||2,k : 9 € L2,k (Rd) , suppg С aV} =
Г ~ \1/2
/ imfdy) (1)
'Ivlv ^ /
— величина наилучшего приближения целыми функциями экспоненциального типа со спектром в теле aV. Для них справедлива оценка
\9(z)\ < Од ealImZlV * , Од > 0,
где V* — поляра тела V, z = (z1,..., zd) € Cd, Imz = (Imz1,..., Imzd).
Пусть M = [ßs}s£Z — ненулевая последовательность комплексных чисел, для которой
J2^s = 0, \vs\ < (2)
seZ seZ
Посредством свертки образуем новую последовательность
Vs "У ' ßl+sßl- (3)
leZ
Для нее
V0 = ^ \ßl\2, ^Vs = 0, ^ \Vs\ < <x.
leZ seZ seZ
Определим функцию
Vm(t, y) = Yl Vsek(st, y), t,y € Rd. (4)
seZ
Используя интегральное представление обобщенной экспоненты [2]
ек(х,У) = I ег^й^(0, (5)
где — вероятностная борелевская мера, носитель которой лежит в выпуклой оболочке со{дх : д € С(К)} орбиты х относительно группы С(К), получим
2
(t,v)=[ ^ vsets{i’y)d^(0=[
Rd seZ R°
d$(0 ^ 0. (6)
о™(£>У)
^ву
Для функции рм(Ъ,у) выполнены также свойства
Рм (Ъ, у) € Сь(М^ х М^), рм (Ъ, у) = Рм (у, Ъ) , рм (0, у) = 0. (7)
Пусть и — выпуклое центрально-симметричное компактное тело в М^, инвариантное относительно группы отражений С (К). Свойства (6), (7) для функции f € Ь2,к (М^) позволяют определить обобщенный модуль непрерывности (см. [3])
шМ (ти^ )2к = зир ( I р (г,у)\]'(у)\2й^к (у)\ , т> °- (8)
terU
Если Vk(x) = 1 (k(a) = 0) — единичный вес и
AM f (x) = ^ Vsf (x + St)
seZ
— бесконечно-разностный оператор, то обобщенный модуль непрерывности
UM(tU, f )2 = sup ||AtM f (x) ||2 (9)
terU
совпадает с обычным модулем непрерывности, определяемым оператором
AM.
Обобщенная константа Джексона
Dm(<tV, tU)2,k = sup{ E(°V;/]2’k : f e ¿2,k(Rd)\ (10)
[Um (tU,J )2,k J
для пары тел V, U есть наименьшая константа в неравенстве Джексона
E(aVJ)2,k < Dum(tU, f )2,k.
Работа посвящена изучению некоторых свойств обобщенной константы Джексона. При этом мы следуем работе [4], в которой рассмотрен случай модуля непрерывности
UMi (tUJ )2k = sup (2 [ (1 - ek (t,vW(V)l2dVk (v)] (11)
terU \ J Rd /
для последовательности М1, у которой ¡0 = 1, ¡1 = -1, а остальные ¡л3 = 0.
Отметим, что точные неравенства Джексона в пространстве ¿2,к (М^) с весом Данкля доказаны в работах [4-8]. В случае единичного веса точное неравенство Джексона в пространстве ¿2 (М^) с обобщенным модулем непрерывности (9) доказано С.Н. Васильевым [9].
1. Свойства обобщенного модуля непрерывности
Пусть Сь(Ма) — пространство непрерывных ограниченных функций, Е(М^) — пространство бесконечно дифференцируемых функций, Б(М^) — пространство Шварца бесконечно дифференцируемых и быстро убывающих на то функций. Нам понадобятся некоторые свойства обобщенной экспоненты. Многие из них получаются из интегрального представления (5).
Предложение 1 [10, 11]. Если д € С (К), X € С, х,у € М^, г € СЛ, то вк(х, у) = вк(у, х), вк(0,у) = 1, вк(Хх, у) = вк(х, Ху), вк(х,у) = вк(-х,у), вк(дх,ду) = вк(х,у), \вк(х,у)\ < 1.
Если на многообразии нет группового сдвига, то модули непрерывности, обычно, определяют с помощью оператора обобщенного сдвига. В пространстве Ь2к(М^) оператор обобщенного сдвига определен М. Реслер [12]:
(х) = [ вк(Ь,у)1(у)вк(х,у)й^к(х). (12)
Jлd
Можно ли обобщенный модуль непрерывности (8) записать с помощью оператора (12)?
Приведем основные свойства оператора Т1.
Предложение 2 [2, 13 - 15]. Для оператора обобщенного сдвига Т1 справедливы следующие свойства:
1) Оператор Ть как оператор из Ь2^ (Мй) в Ь2,к(Мй) ограниченный и его норма равна 1,
(Я)к (х) = вк (Ь,х)/к (х).
2) Если f,g € Ь2,к(М^), то
(Т Ч, д)к = и,Т ~гд)к.
3) Если Ч € Б(М<*), то Т*Ч(х) € Б(Ма) и
( ТЧ(х)й^к(х) = [ Ч(х)й^к(х).
Jжd
4) Если Ч, Ч € ¿1,к(М^) П Сь(М^), то 'равенство (12) выполняется поточечно и ТьЧ (х) = ТХ Ч (Ъ).
5) Оператор T1 может быть продолжен до линейного непрерывного оператора из E(Rd) в E(Rd). Для любой f Є E(Rd) Tf (0) = f (t), в частности, Tl1 = 1.
Теорема 1. Справедливы следующие свойства обобщенного модуля непрерывности:
1) Если f Є L2,k(Rd), то
lim um(tU, f )2,k = 0.
t ^0+0
2) Если f, fn Є L2,k(Rd) и fn f, то равномерно по t ^ 0
UM (tU, fn)2,k ^ Um (tU, f )2,k (n ^ ж).
3) Если f Є S(Rd), то
1/2
dßk (x)
UM(TU,f )2,k = 1 sup I I [- ^ VsTyU(y) - f ix)1“2 I
2 ^tu\ Jmd\ S=o )
y=x
Доказательство. Пусть для последовательности (3)
= См, ^2 \и«\ = ем■ (13)
«=0 1в1^М
В [4] с помощью представления (5) получено неравенство
\вк (х,у1) - вк (х, у2) \ < \х\\у1 - у2 \, х,у1,у2 € М*. (14)
Применяя (13), (14), предложение 1, получим
I ^ V«вк (8г,у)\'!(у)\2й^к (у) = I ^ V«(вк (8Ъ,у) - 1)\'!(у)\2й^к (у) <
^ 2^ N II I II 2 к + I 7 V«
2^n\\f ll!к + / ^ vs{ek(St,y) - l)\f{y)\2dßk(y) < 2^N\\f |||k+
Rd 0<|s|<N
+ ^ \svs\ f ЩЫКу)?^(y)+2cm! \J(y)\2dßk(y) <
Jßr J\y\ >T
s
0<|s|<N JBr Jlyl
< 2eN\\f 12 , к + ^ \Svs\r\t\\f 112, к + 2cM E2(Br ,f)2 ,k,
0<|s|<N
поэтому первое свойство вытекает из неравенства
Um (tU, f) 2,k < 26N\\f \\2,k + ^ \svs\r sup \t\\\f ||2,k +2CM E2(Br ,f )2,k ■
0<|s|<N tGrU
Далее, применяя неравенство Коши-Буняковского и равенство Парсеваля, получим
WMm (tU, f )2,k - U2M(tU, fn)2,k I <
< sup I Е vs(ek (st,y) - 1) \f(y)\2 -\fn(V)\2 d^k(v)
t£rU JRd S=Q
< 2см [ (иш + \fn(y)0 \Kv) - fn(v)Wk(y) <
jRd V '
^ 2cM (\\f \\2,k + || fn У 2,k) \\f - fn\\2,k ■
Отсюда вытекает второе свойство.
Из определения преобразования Данкля и предложения 2
<
f (у) = f(-y), Ttf (x) = ek(t, y)f(-y),
поэтому применяя опять предложение 2, равенство Парсеваля, получим
d^k (x) =
jRd (- Е VsTSt\f (у) - f (x)\2^
- I Е Vs {Tst \ f (x) \2 + \ f (x) \ 2Tst1 - W)Tstf (x) - f (x)Tstfx)) d^k (x)
jRd s=0
= - ! Е Vs (2 \Kv) \2 - ek(st,y) \ Kv) \2 - ek(st,y) \ K-y) \2) d^k(y) =
■jRd s=0
2 I Е Vs(ek(st,y) - 1) \Kv)\2d^k(V) = 2[ Е Vsek(st,y)\Kv)\2dVk(y)■ JRd JRd seZ
Третье свойство и теорема 1 доказаны.
2. Конечность и непрерыность обобщенной константы
Джексона
Пусть для множества M С Rd Mc = Rd \ M — его дополнение.
Лемма 1. Для любого r > 0
Dm(raV, r-lTU)2,k = Dm(aV, tU)2,k■
Доказательство. Согласно (1), (8), (10)
П2 , T, m -W)c \K(V)\2d^k(V) ,1C,
Dm (aV,TU )2k = sup - — -—-■ (15)
’ f€L2ik(Rd) suP f(aV)c PM (t,y) \fk (y) \ 2dVk (V)
terU y 1
Делая в интегралах замену переменной y = r 1x, r > 0 и пользуясь (4), предложением 1, однородностью веса Vk (x) , получим
DM (aV,rU )2,k =
I(raV )c I T (r~lx) I 2dßk (x)
= sup -----------------------------—---------------- =
f &L2,k(Rd) sup f(raV)c Pm(r-1t,x)I fk(r-1x)12dßk(x) t€rU y 1
= D2m (raV,r~1rU )2,k ■
Лемма 1 доказана.
Из леммы 1 вытекает, что функция Dm(aV,rU)2>k двух переменных а, т является функцией одной переменной ат:
Dm(aV, tU)2>k = Dm(V, ати)2>* = Dm(атУ, U)2,k,
поэтому в дальнейшем будем считать а = 1 и будем изучать функцию Dm(V,tU)2,k, как функцию переменной т.
Пусть
L+k(V) = j f : f(x) ^ °, supp f С (V)c, j fdßk = ^ . (16)
Тогда равенство (15) может быть переписано так:
Dmi(V, tU)2,k = inf sup i рм(t,x)f (x)dßk(x) = Km(V,tU). (17)
f eL+fc (V) terUJ (V)c
Такая форма записи константы Джексона подсказывает нам, что для дальнейшего изучения ее свойств следует использовать соображения двойственности. Это впервые в задаче о константе Джексона в L2 было сделано В.В. Арестовым [16, 17]. Будем следовать работе [4].
Пусть M (U) — банахово пространство регулярных борелевских
действительных мер ß (регулярных борелевских действительных счетно аддитивных функций) на U с нормой | ß|, равной полной вариации ß на tU (см. [18]). Любая мера ß € M(U) равна разности двух неотрицательных мер ß+,ß- € M(U) и IßI = ß+(U) + ß-(U). Если S(U) = {ß € M(U) : IßI = 1} — единичная сфера в M(U), то подмножество S+(U) неотрицательных мер есть множество вероятностных мер из M(U). Известно [18], что M(U) является сопряженным для пространства C(U) действительных непрерывных на компакте U функций с равномерной нормой.
Меру ß € M(U) можно продолжить на а-алгебру B борелевских множеств в Rd, полагая для A € B ß(A) = ß (Af\U). Носитель меры suppß С U. Напомним, что suppß С U, если для любого A € B, AQ U = 0 будет ß (Af)U) = 0. Пусть ß € S+(U), р > 0, ßp — мера, для которой ßp(A) = ß(p-1A), A € B. Если A € B, AQpU = 0, то p-1Af\U = 0 и
ßp = ß(p 1A) = 0, поэтому supp ßp С pU. Так как ßp(pU) = ß(U) = 1, то
ßp € S+(pU). В [4] доказано что, если f € C(pU), то
[ f (t)dßp(t) = [ f (px)dß(x). (18)
pU U
Пусть
Фм(t,x) = Vo - рм(t,x) = -^2 Vsek(st,x). (19)
s=0
Теорема 2. Справедливы следующие равенства:
Dm(V, tU)2tk =
1 1
KM (V,tU ) sup inf JtU Pm(t, x)dß(t) ’
߀S+(rU) x^(V)c
Dm (V,'tU)2’k V0 - Jm (V,tU) V0 - inf sup JtU фм (t, x)d^(t) ■
^eS+(TU) xe(V)c
Существует экстремальная мера ц* € S+(tU), для которой Dm(V,rU)2,k inf JtU pM(t,x)dц*(t) v0 - sup) JtU фм(t, x)dy,*(t)'
xe(V)c xe(V)c
Доказательство. Множество функций
H(V) = jF(t) = J ) рм(t,x)f (x)d^(x) : f € L+k(V^ (20)
является выпуклым подмножеством в C(tU) и величина Km(V,tU) равна величине наилучшего приближения нуля в C(tU) выпуклым множеством H(aV). По теореме двойственности (см. [19]) и в силу неотрицательности функций из H(V)
к(v,tU) = sup mf I F(t)^(t)= mf I' F(t)d^(t)
^€S+(tU) FeH(V) JtU feH(V) JtU
для некоторой меры ц* € S+(tU).
Покажем, что для любой меры ц € S+(tU)
я'Пы f F(tw(t)= f рм(21)
F eH (V )JtU xe(V )cJ tU
Действительно, для любой F € H(V) согласно (20)
/ F (t)dv(t) = / f (x)pm (t,x)dц-k (x)d^t) =
■JtU JtU J(V)c
= f (x) pm(t,x)d^t)d^(x) ^ inf PM(t,x)d^t)^
J(V)c JtU xe(V)c JtU
С другой стороны, если В(x, е) = {y £ Rd : \x — y\ ^ е}, то для x £ (V)c из
непрерывности функции fTu Pm(t,x)dß(t)
inf j F(t)dß(t) ^ inf ——1-— j j рм(t,x)dß(t)dßk(x) ^
FeH(V) JtU 0<e<e(x) ßk(B(x,e)) JB(x,e)JtU
^ li™ —ТТТ/-ü / I Pm(t,x)dß(t)dßk(x) = I Pm(t,x)dß(t),
e^°+0 ßk (B(x, e)) JB(x,e) JtU JtU
поэтому
inf / F(t)da(t) ^ inf рм(t,x)da(t).
FеЯ(V) JtU xe(V)c JtU
Равенство (21) доказано. Согласно (17), (21)
Km (V,tU )= sup inf рм (t,x)d^t) =
Ves+ (tU ) xe(V )c J tU
= sup inf I Vo - / фм(t,x)d^t)\ =
Ves+(TU)xe(V)c \ JtU J
= Vo - inf sup фм(t,x)d^t) = Vo - Jm(V,tU), (22)
Mes+(TU) xe(V)c JtU
Km(V,tU)= inf / рм(t,x)dm*(t)= Vo - sup фм(t,x)dm*(t)■
xe(V )c J tU xe(V )c J tU
Теорема 2 доказана.
Отметим, что из леммы 1 для любого r > 0
Km(rV, r-1 tU) = Km(V,tU), Jm(rV,r-lTU) = Jm(V,tU)■
Лемма 2. Функция J(t) = Jm(V,tU) непрерывна для t > 0.
Доказательство. Непрерывность слева. Покажем, что J(t) = J(т - 0). Так как J (т) не возрастает, то для этого достаточно доказать неравенство J(т) ^ J (т - 0).
Согласно теореме 2 для некоторой меры ц € S+(tU)
J (t ) = sup фм (x,t)dß(t),
Ix\V >iJtU
\x\vt
где фм(x,t) определена в (19). Рассмотрим функцию
h(s) = sup фм(sx,t)dß(t) = sup g(sx).
\x\v J tU \x\v
Покажем, что она непрерывная для s > 0. Пусть 0 < si ^ ^ 2si. Если
h(sl) = sup g(slx), то h(s2) = h(sl). Если h(sl) = sup g(slx), Q = {x € |x|v ^2 l<|x|v ^2
€ Rd : 1 ^ lxlV ^ 2}, то согласно (13)
0 ^ h(sl) - h(s2) ^ sup g(slx) - sup g(s2x) =
K|x|y ^2 K|x|v ^2
= sup (cm + g(slx)) - sup (cm + g(s2x)) =
K|x|y ^2 K|x|v ^2
= \\CM + g(slx)\\a(Q) - \\CM + g(s2x)\\a(Q) < \\g(slx) - g(s2x)\\a{Q) <
^ sup 1фм(slx,t) - фм (s2x,t)ld^t)^
\x\v ^2 JtU
Из (13), (14), (19) для любого N € N
1фм (slx,t) - фм (s2x,t)l ^
^2 Vi (ek(Isix, t) - ek (ls2x, t))
<
1=0
^ E iVillek (lslx,t) - ek (ls2x,t)l +2^2 Ivi I ^
|i|<N |i|>N
^ ^2 \lvillx||11|sl - s21 +2eN, (23)
m^N
поэтому для 0 < sl ^ s2 ^ 2sl
\h(sl) - h(s2)\ ^ 2 \lvl\t max \x\ max \x\\sl - s2\ + 2eN■
nt^N |x|v ^l |x|u ^l
Непрерывность и даже равномерная непрерывность h(s) на интервале [5, то), 5 > 0 доказана.
Пусть 0 < р < т. Так как цр/Т € S + (pU), то из (18), (22)
J(р) ^ sup фм(x,t)dцp/T(t) = sup фм ( Px,t)d^t)= hi^^
|x|v ~^l J pU |x|v ^IjtU t Vt'
Переходя к пределу в этом неравенстве при р ^ т — 0 и используя непрерывность Ь(в), получим
3(т — 0) ^ Н(1) = 3(т).
Непрерывность слева установлена.
Непрерывность справа. Рассмотрим функцию
0(т) = П2М(V, ти)2>к = 1 ). (24)
щ — 3 (т)
Очевидно, что Б(т) = +то только в случае, когда 3 (т) = щ. Из невозрастания и непрерывности слева 3(т) = щ на некотором отрезке [0, т*],
0 ^ т* < то. Случай т* = +то, как мы увидим позже, невозможен (см. следствие). В случае единичного веса это вытекает из результатов работы [9].
Пусть т > т*. Из определения обобщенной константы Джексона для любого р > т и любой функции f € L+k (V)
i f (t)d^(t) ^ D(p) sup) i рм(x,t)f (t)d^(^^ (25)
JV c |x|U <pJV c
Функция
v(p) = sup PM (x,t)f (t)d^ (t) =
\x\u <p Jv c
= sup PM(px,t)f (t)d^(t), p> 0
|x|U <lJ Vc
непрерывна, так как для любого N € N, любых pl, р2 > 0 согласно (23)
\v(pl) - v(p2)\ ^ sup \фм (Plx,t) - фм (p2x,t)\f (t)d^ (t) ^
|x|u <lJ V c
^ У' \lvi\ max \x\ max \t\\pl - p2\ + 2en + 2cm f (t)d^(^^
|i|<N |x|U <l \t\v <N J |t|v ^N
Переходя к пределу в (25) при р ^ т + 0, получим
i f (t)d^(t) ^ D(t + 0) sup) i (1 - Re ek(x,t))f (t)d^(t), (26)
JVc \x\u<t Jvc
поэтому для D(t), как наименьшей константы в (26), выполнено неравенство D(t) ^ D(t + 0). Обратное неравенство вытекает из невозрастания D(t). Непрерывность справа функции D(t), а согласно (24) и функции J(т) при т > т* доказана.
Из доказанного вытекает также что, если D(t + 0) < то, то и D(t) < то, поэтому D(t* + 0) = то, а J(т* +0) = v0.
Таким образом, лемма 2 полностью доказана.
Пусть
5M,k(V, U) = sup {5 > 0: Dm(V, 5U\k = +то} ■
Величина 5M,k(V, U) — конечна.
Из леммы 2 и равенства (24) вытекает утверждение.
Теорема 3. Обобщенная константа Джексона Dm(V,tU)2,k как функция т бесконечна при 0 ^ т ^ 5M,k(V,U), не возрастает и непрерывна при т > 5M,k(V, U'), причем Dm(V, (5M,k(V, U) + 0)U)2,k = +то.
Для последовательности Ml непрерывность константы Джексона при d = = 1, k(a) = 0 доказана в [20], а в общем случае — в [4].
Исследуем величину 5м,к(V,U). Вначале рассмотрим случай, когда тела
V = U = Б\ = B — евклидовы шары. Для этого случая в [3] доказано, что обобщенная константа Джексона в пространстве Ь2}к (Rd) совпадает с обобщенной константой Джексона в пространстве Ь2 (R+) со степенным весом.
Пусть Хк = d/2 — 1^ Е k(a), JXk (x) — функция Бесселя
aeR+
порядка Хк, j\k(x) = 2XkГ(Ак + 1) — нормированная функция
Бесселя, b\k = 2Xk Г(Ак + 1), L2,Xk (R+) — пространство комплексных измеримых по Лебегу на R+ функций f с конечной нормой \\f ||2,Ak =
= ib\k JOT \f(r)\2r2Xk+1 dr)l/2,
г ^
f(s)= b-1 J f (r)jxk (rs)r2Xk+ldr
— преобразование Ганкеля.
Рассмотрим непрерывную на R+ функцию
ам (r) = YlvijXk (lr)■ (27)
leZ
Для нее выполнены условия [3]:
ам(r) е Cb(R+), ам(r) ^ 0, ам(0) = 0.
Пусть
Еа(f )2,Xk = inf {\\f — g\\2,Xk : 9 е L2,Xk (R+), suPP g С [0,ст]}
— величина наилучшего приближения функции f е L2,xk (R+),
/ !■ <Х _ \ 1/2
им(S,f)2,Xk = sup (b-k a(rs)\f(s)\2s2Xk+lds
O^r^S V k JO J
— ее модуль непрерывности,
Вм (a,S)2tXk =sup{ : f е L2,Xk (R+)}
константа Джексона в пространстве Ь2>\к ( Предложение 3 [3]. Справедливо равенство
Ом (В,тВ)2,к = Ом(1,т )2,\к ■ Рассмотрим непрерывную функцию
вм(г) = ^ р-зе13*, г е м.
з€2
Для нее определим величину
Гм = шах {г ^ 0 : вм |[-г,г]= 0} .
Отметим, что для ненулевой последовательности М Гм € [0, п) и для любого г € [0, п) найдется последовательность М, для которой гм = г. В частности, гм = 0, если у последовательности М конечное число ненулевых членов.
Теорема 4. Если \к > -1/2, то
&м,к(В, В) = гм■
Доказательство. Для функции ]\к(х) при \к > -1/2 имеет место интегральное представление (см. [21, формула 8.411])
гж/2 '-ж/2
Где С1 = /2) . ОтсЮда и и3 (3
Г п/2
Зхк (х) = 0! егх*1п V(сов р)2Хкй<р,
«/ —п/2
Гп/2
ам (г) = оЛ У^щвг1г 81П 1р(соБ р)2Хк (1р =
п/2
п/2 1-п/2
п/2
01 /
- п/2
ХУ
веЪ
гвг 81П V
(сов р)2Хк й<р.
Из этого представления ам(го) = 0, если только вм&) = 0 на отрезке [-го, го], поэтому ам(г) = 0 на отрезке [0, гм] и ам(г) > 0 при г > гм.
По теореме 2 для некоторой меры р € Б + [0,т]
Ом(1,т)2,Хк = 1П{ [ ам(гs)dр(г),
поэтому при Т € [0,гм] Ом (1,т)2,Хк = +ТО.
Пусть т > гм. Тогда при г ^ т ам (г) > 0. В силу асимптотики [22, 23]
л<г) = 0(гч+17г) (г
следует оценка
' 1
^^8]\к (^)
в=0
1 ^ ^ IV в I 1 / \
^ гХк+1/2 2=0 1^\к + 1/2 ^ г\к + 1/2 (г ^ ж),
поэтому
Иш ам (г) = vо (28)
2
и ам (r) ^ c > 0 при r ^ т. Тогда для любой функции f € L2,\k
lf(r)l2r2Xk+1 dr <
ам(Tr)f'(r)l2r2Xk+1dr < ^М(т,fh,\k■
Это неравенство показывает, что Dm(1,т)2,\k < то.
Итак, Dm(1,т)2,\k = +то при т € [0,гм] и Dm(1,т)2,\k < то при т > гм. Остается воспользоваться предложением 3. Теорема 4 доказана.
Пусть
R+ = max Ixl, R— = min \x\
V xedV V xedV
— радиусы описанного и вписанного в тело V евклидовых шаров. Используя монотонность обобщенной константы Джексона, получаем оценки
Dm(В, R+ К+тB)2,k ^ Dm(v, ти)2,k ^ Dm(В, R— R—тB)2,k■ (29)
Отсюда и из теоремы 3 вытекает следствие.
Следствие. Если Xk > -1/2, то справедливы оценки
ГМ < ÖM,k(V,U) ■
R+ R+ Rv Ru
В частности, 0м,к(V, U) < то и, если гм = 0, то Dm(Y,tU)2,k < то для всех т > 0.
3. Нижняя оценка обобщенной константы Джексона
Для оценки обобщенной константы Джексона снизу будем использовать лемму В.В. Арестова [16]. Сформулируем ее в удобном для нас виде.
Лемма (В.В. Арестов). Пусть задана система {фа(і)}%=і функций, непрерывных на [0, т] и удовлетворяющих условиям:
(a) ф.3(0) = 0, \^s(t)\ ^ K (t Є [0,т], s Є N);
(b) для любого ö Є (0, т] выполняется равенство
lim max фs (t) = v0.
s^<x S^t^r
Тогда для любого є > 0 найдется функция
ГО ОО
F(t) = X Psфs(t), Ps > 0 J^Ps = X
s=1 s=1
такая, что
F(t) ^ Vo + є, t Є [0,т].
Теорема 5. Если т > 0, то
Dm(У,ти)2>к ^ —=. (3°)
VVo
Доказательство. Для случая единичного веса оценка (30) получена в [9]. В силу неравенств (29) достаточно доказать (30) для тел V = U = B. Согласно предложению 3 достаточно оценить снизу обобщенную константу Джексона Dm(1,т)2,\к при > -1/2. По определению
D2 ) /Г 1/(У)12У2Ак+1аУ ^
Dm(1,т)2,Хк = sup -Г-1- ^
f&Ь2’Хк(R+) sup / ам(ty)\f(y)\2y2Xk+1dy
O^t^r 1
1 Г
^ suP \ -------Г-------- : Ps > °,J2ps = 1 } ’ (31)
sup Е фs(t)ps s=1
где
O^t^rs=1 s+1 s+1
фs(t) = Vs j ам(ty)y2Xk+1dy, Vs = j y2Xk+1dy.
Имеем
^s(t)l lusI = K, ф-sit) = ам(tys(t)), ys(t) € (s,s + 1).
s€Z
Отсюда равномерно по ö ^ t ^ т lims^œ tys(t) = œ ив силу (28)
lim max фs (t) = v0.
s^œ S^t^r
По лемме В.В. Арестова из (31) получаем оценку (30) для обобщенной константы Джексона Dm(1,т)2,\k. Теорема 5 доказана.
Список литературы
1. Rosier M. Dunkl Operators: Theory and Applications // Lecture Notes in Math. 2002. V.1817. P.93-135.
2. Rosier M. A positivity radial product formula or the Dunkl kernel // Trans. Amer. Math. Soc. 2003. V.355. P.2413-2438.
3. Хуэ Ха Тхи Минь. О связи многомерных и одномерных констант Джексона в пространствах L со степенными весами // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып.2. С.114-123.
4. Иванов А.В. Задача Логана для целых функций многих переменных и константы Джексона в весовых пространствах // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып.2. С.29-58.
5. Иванов А.В. Некоторые экстремальные задачи для целых функций в весовых пространствах // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2010. Вып.1. С.26-44.
6. Иванов А.В., Иванов В.И. Теорема Джексона в пространстве L2(Rd) со степенным весом // Матем. заметки. 2010. Т.88. №1. С.148-151.
7. Иванов А.В., Иванов В.И. Теория Данкля и теорема Джексона в пространстве L2(Rd) со степенным весом // Труды ИММ УрО РАН. 2010. Т.16. №4. С.180-192.
8. Иванов А.В., Иванов В.И. Оптимальные аргументы в неравенстве Джексона в пространстве L2 (Rd) со степенным весом // Матем. заметки. 2013. Т.94. №3. С.338-348.
9. Васильев С.Н. Неравенство Джексона в L2(RN) с обобщенным модулем непрерывности // Труды ИММ УрО РАН. 2010. Т.16. №4. С.93-99.
10. Dunkl C.F. Integral kernels with reflection group invariance // Canad. J. Math. 1991. V.43. P.1213-1227.
11. Rosier M. Positivity of Dunkls interwining operator // Duke Math. J. 1999. V.98. P.445-463.
12. Rosier M. Bessel-type signed hypergroups on R // Probability Measures an Groups and related Structures: proc. conf. Oberwolfach, 1994. Wourld Scientific, 1995. P.292-304.
13. Rosier M. Generalized Hermite polynomials and the heat equation for the Dunkl operators // Comm. Math. Phys. 1998. V.192. P.519-542.
14. Thangavelu S., Xu Y. Paley-Wiener theorems for Dunkl transform and Dunkl translation operators // J. Anal. Math. 2005. V.97. №1. P.25-55.
15. Trimeche K. Convolution operator and maximal function for the Dunkl transform // Integral Transform. Spec. Funct. 2002. V.13. №1. P.17-38.
16. Арестов В.В., Попов В.Ю. Неравенство Джексона на сфере в L2 // Изв. вузов. Математика. 1995. №8. С.13-20.
17. Бабенко А.Г. О точной константе Джексона в L2 // Матем. заметки. 1986. Т.39. №5. С.651-654.
18. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.
744 с.
19. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближений. М.: Наука, 1976. 320 с.
20. Arestov V.V., Babenko A.G. Continuity of the Best Constant in the Jackson Inequality in L2 with respect to Argument of Modulus of Continuity // Approx. Nytory: a vol. dedicated B. Sendov: DARBA, 2002. P.13-23.
21. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 1108 с.
22. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М.: Наука, 1966. 296 с.
23. Ватсон Г.Н. Теория Бесселевых функций. Ч. 1. М.: ИЛ, 1949. 798 с.
Иванов Алексей Валерьевич (d_bringer@mail.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
Иванов Валерий Иванович (ivaleryi@mail.ru), д.ф.-м.н., профессор, декан, механико-математический факультет, Тульский государственный университет.
Хуэ Ха Тхи Минь (hahue@mail.ru), аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
Generalized Jackson constant in L2(Rd)-space with Dunkl weight
A. V. Ivanov, V. I. Ivanov, Ha Thi Min Hue
Abstract. For a pair of centrally symmetric convex bodies V, U in Rd, the sequence of complex numbers M = {ps}s&Z with zero sum absolutely convergent in the space L2,k (Rd) with Dunkl weight the value of the best approximation E(aV, f )2,k by entire functions of exponential type with spectrum in the body aV, generalized modulus of continuity uM(tU, f )2,k and generalized Jackson constant DM(aV,TU)2,k are defined. Finiteness and continuity of generalized Jackson constant are researched. The lower estimation DM(aV,TU)2,k ^ 1/t/VO, where v0 = ^seZ lpsl2 is proved.
Keywords: Dunkl harmonic analysis, best approximation, modulus of continuity, Jackson inequality, Jackson constant.
Ivanov Alexey (d_bringer@mail.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
Ivanov Valeriy (ivaleryi@mail.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, dean, mechanical and mathematical faculty, Tula State University.
Hue Ha Thi Min (hahue@mail.ru), postgraduate student, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
Поступила 15.09.2013