ОБОБЩЕННАЯ КОНСТАНТА ДЖЕКСОНА В ПРОСТРАНСТВЕ $L_{2}(R^d)$ С ВЕСОМ ДАНКЛЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 74-90

= Математика

УДК 517.5

Обобщенная константа Джексона в пространстве Ь2(Ма) с весом Данкля *

А. В. Иванов, В. И. Иванов, Ха Тхи Минь Хуэ

Аннотация. Для пары выпуклых центрально-симметричных компактных тел V, и в М^, последовательности комплексных чисел М = {^8}8ех с нулевой суммой и абсолютно сходящимся рядом в пространстве Ь2,к(М^) с весом Данкля определяются величина наилучшего приближения E( аV, f )2,к целыми функциями экспоненциального типа со спектром в теле аV, обобщенный модуль непрерывности шм(ти^)2,к и обобщенная константа Джексона Ом (^,^ )2 ,к. Исследуется ее конечность и непрерывность. Доказывается нижняя оценка Ом (аV,тU )2,к ^ 1/^/щ, где

=Е«ех Ы2.

Ключевые слова: гармонический анализ Данкля, наилучшее приближение, модуль непрерывности, неравенство Джексона, константа Джексона.

Введение

Пусть й € М, — й-мерное действительное евклидово пространство

со скалярным произведением (х,у) и нормой \х\ = л/(х, х), а > 0, Ба = = {х € : \х\ ^ а} — евклидов шар,

^ (х) = П \(а,х)\2к(а)

— обобщенный степенной вес или вес Данкля, определяемый положительной подсистемой К+ системы корней К С и функцией к (а) : К ^ М+, инвариантной относительно группы отражений С (К), порожденной К,

Ск = [ е '1Х'[2/2Ук (х) йх ■)жЛ

— интеграл Макдональда — Мета — Сельберга, йц,к (х) = ек 1ук (х) йх, L2,k М — гильбертово пространство комплексных измеримых по Лебегу на

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-00045).

функций f с конечной нормой

1/2

2,k = ( jRd \f (x)|2 dVk (x)^J

Гармонический анализ в пространстве L2,k (Rd) осуществляется с помощью прямого и обратного преобразований Данкля

f(v)= f (x) ek (x,y)dßk (x), f (x)= f(y) ek (x, y)dßk (y),

J Rd J Rd

где ek (x, y) — обобщенная экспонента, определяемая с помощью

дифференциально-разностных операторов Данкля, многие свойства которой аналогичны свойствам экспоненты ег(х,у\ Для преобразований Данкля выполнено равенство Парсеваля (см. [1]).

Пусть V — выпуклое центрально-симметричное компактное тело в Rd, инвариантное относительно группы отражений G(R), |x\y — норма в Rd, определяемая этим телом, а > 0. Для функции f € ¿2,k (Rd)

E(aV, f )2,k = inf {||f - g||2,k : 9 € L2,k (Rd) , suppg С aV} =

Г ~ \1/2

/ imfdy) (1)

'Ivlv ^ /

— величина наилучшего приближения целыми функциями экспоненциального типа со спектром в теле aV. Для них справедлива оценка

\9(z)\ < Од ealImZlV * , Од > 0,

где V* — поляра тела V, z = (z1,..., zd) € Cd, Imz = (Imz1,..., Imzd).

Пусть M = [ßs}s£Z — ненулевая последовательность комплексных чисел, для которой

J2^s = 0, \vs\ < (2)

seZ seZ

Посредством свертки образуем новую последовательность

Vs "У ' ßl+sßl- (3)

leZ

Для нее

V0 = ^ \ßl\2, ^Vs = 0, ^ \Vs\ < <x.

leZ seZ seZ

Определим функцию

Vm(t, y) = Yl Vsek(st, y), t,y € Rd. (4)

seZ

Используя интегральное представление обобщенной экспоненты [2]

ек(х,У) = I ег^й^(0, (5)

где — вероятностная борелевская мера, носитель которой лежит в выпуклой оболочке со{дх : д € С(К)} орбиты х относительно группы С(К), получим

2

(t,v)=[ ^ vsets{i’y)d^(0=[

Rd seZ R°

d$(0 ^ 0. (6)

о™(£>У)

^ву

Для функции рм(Ъ,у) выполнены также свойства

Рм (Ъ, у) € Сь(М^ х М^), рм (Ъ, у) = Рм (у, Ъ) , рм (0, у) = 0. (7)

Пусть и — выпуклое центрально-симметричное компактное тело в М^, инвариантное относительно группы отражений С (К). Свойства (6), (7) для функции f € Ь2,к (М^) позволяют определить обобщенный модуль непрерывности (см. [3])

шМ (ти^ )2к = зир ( I р (г,у)\]'(у)\2й^к (у)\ , т> °- (8)

terU

Если Vk(x) = 1 (k(a) = 0) — единичный вес и

AM f (x) = ^ Vsf (x + St)

seZ

— бесконечно-разностный оператор, то обобщенный модуль непрерывности

UM(tU, f )2 = sup ||AtM f (x) ||2 (9)

terU

совпадает с обычным модулем непрерывности, определяемым оператором

AM.

Обобщенная константа Джексона

Dm(<tV, tU)2,k = sup{ E(°V;/]2’k : f e ¿2,k(Rd)\ (10)

[Um (tU,J )2,k J

для пары тел V, U есть наименьшая константа в неравенстве Джексона

E(aVJ)2,k < Dum(tU, f )2,k.

Работа посвящена изучению некоторых свойств обобщенной константы Джексона. При этом мы следуем работе [4], в которой рассмотрен случай модуля непрерывности

UMi (tUJ )2k = sup (2 [ (1 - ek (t,vW(V)l2dVk (v)] (11)

terU \ J Rd /

для последовательности М1, у которой ¡0 = 1, ¡1 = -1, а остальные ¡л3 = 0.

Отметим, что точные неравенства Джексона в пространстве ¿2,к (М^) с весом Данкля доказаны в работах [4-8]. В случае единичного веса точное неравенство Джексона в пространстве ¿2 (М^) с обобщенным модулем непрерывности (9) доказано С.Н. Васильевым [9].

1. Свойства обобщенного модуля непрерывности

Пусть Сь(Ма) — пространство непрерывных ограниченных функций, Е(М^) — пространство бесконечно дифференцируемых функций, Б(М^) — пространство Шварца бесконечно дифференцируемых и быстро убывающих на то функций. Нам понадобятся некоторые свойства обобщенной экспоненты. Многие из них получаются из интегрального представления (5).

Предложение 1 [10, 11]. Если д € С (К), X € С, х,у € М^, г € СЛ, то вк(х, у) = вк(у, х), вк(0,у) = 1, вк(Хх, у) = вк(х, Ху), вк(х,у) = вк(-х,у), вк(дх,ду) = вк(х,у), \вк(х,у)\ < 1.

Если на многообразии нет группового сдвига, то модули непрерывности, обычно, определяют с помощью оператора обобщенного сдвига. В пространстве Ь2к(М^) оператор обобщенного сдвига определен М. Реслер [12]:

(х) = [ вк(Ь,у)1(у)вк(х,у)й^к(х). (12)

Jлd

Можно ли обобщенный модуль непрерывности (8) записать с помощью оператора (12)?

Приведем основные свойства оператора Т1.

Предложение 2 [2, 13 - 15]. Для оператора обобщенного сдвига Т1 справедливы следующие свойства:

1) Оператор Ть как оператор из Ь2^ (Мй) в Ь2,к(Мй) ограниченный и его норма равна 1,

(Я)к (х) = вк (Ь,х)/к (х).

2) Если f,g € Ь2,к(М^), то

(Т Ч, д)к = и,Т ~гд)к.

3) Если Ч € Б(М<*), то Т*Ч(х) € Б(Ма) и

( ТЧ(х)й^к(х) = [ Ч(х)й^к(х).

Jжd

4) Если Ч, Ч € ¿1,к(М^) П Сь(М^), то 'равенство (12) выполняется поточечно и ТьЧ (х) = ТХ Ч (Ъ).

5) Оператор T1 может быть продолжен до линейного непрерывного оператора из E(Rd) в E(Rd). Для любой f Є E(Rd) Tf (0) = f (t), в частности, Tl1 = 1.

Теорема 1. Справедливы следующие свойства обобщенного модуля непрерывности:

1) Если f Є L2,k(Rd), то

lim um(tU, f )2,k = 0.

t ^0+0

2) Если f, fn Є L2,k(Rd) и fn f, то равномерно по t ^ 0

UM (tU, fn)2,k ^ Um (tU, f )2,k (n ^ ж).

3) Если f Є S(Rd), то

1/2

dßk (x)

UM(TU,f )2,k = 1 sup I I [- ^ VsTyU(y) - f ix)1“2 I

2 ^tu\ Jmd\ S=o )

y=x

Доказательство. Пусть для последовательности (3)

= См, ^2 \и«\ = ем■ (13)

«=0 1в1^М

В [4] с помощью представления (5) получено неравенство

\вк (х,у1) - вк (х, у2) \ < \х\\у1 - у2 \, х,у1,у2 € М*. (14)

Применяя (13), (14), предложение 1, получим

I ^ V«вк (8г,у)\'!(у)\2й^к (у) = I ^ V«(вк (8Ъ,у) - 1)\'!(у)\2й^к (у) <

^ 2^ N II I II 2 к + I 7 V«

2^n\\f ll!к + / ^ vs{ek(St,y) - l)\f{y)\2dßk(y) < 2^N\\f |||k+

Rd 0<|s|<N

+ ^ \svs\ f ЩЫКу)?^(y)+2cm! \J(y)\2dßk(y) <

Jßr J\y\ >T

s

0<|s|<N JBr Jlyl

< 2eN\\f 12 , к + ^ \Svs\r\t\\f 112, к + 2cM E2(Br ,f)2 ,k,

0<|s|<N

поэтому первое свойство вытекает из неравенства

Um (tU, f) 2,k < 26N\\f \\2,k + ^ \svs\r sup \t\\\f ||2,k +2CM E2(Br ,f )2,k ■

0<|s|<N tGrU

Далее, применяя неравенство Коши-Буняковского и равенство Парсеваля, получим

WMm (tU, f )2,k - U2M(tU, fn)2,k I <

< sup I Е vs(ek (st,y) - 1) \f(y)\2 -\fn(V)\2 d^k(v)

t£rU JRd S=Q

< 2см [ (иш + \fn(y)0 \Kv) - fn(v)Wk(y) <

jRd V '

^ 2cM (\\f \\2,k + || fn У 2,k) \\f - fn\\2,k ■

Отсюда вытекает второе свойство.

Из определения преобразования Данкля и предложения 2

<

f (у) = f(-y), Ttf (x) = ek(t, y)f(-y),

поэтому применяя опять предложение 2, равенство Парсеваля, получим

d^k (x) =

jRd (- Е VsTSt\f (у) - f (x)\2^

- I Е Vs {Tst \ f (x) \2 + \ f (x) \ 2Tst1 - W)Tstf (x) - f (x)Tstfx)) d^k (x)

jRd s=0

= - ! Е Vs (2 \Kv) \2 - ek(st,y) \ Kv) \2 - ek(st,y) \ K-y) \2) d^k(y) =

■jRd s=0

2 I Е Vs(ek(st,y) - 1) \Kv)\2d^k(V) = 2[ Е Vsek(st,y)\Kv)\2dVk(y)■ JRd JRd seZ

Третье свойство и теорема 1 доказаны.

2. Конечность и непрерыность обобщенной константы

Джексона

Пусть для множества M С Rd Mc = Rd \ M — его дополнение.

Лемма 1. Для любого r > 0

Dm(raV, r-lTU)2,k = Dm(aV, tU)2,k■

Доказательство. Согласно (1), (8), (10)

П2 , T, m -W)c \K(V)\2d^k(V) ,1C,

Dm (aV,TU )2k = sup - — -—-■ (15)

’ f€L2ik(Rd) suP f(aV)c PM (t,y) \fk (y) \ 2dVk (V)

terU y 1

Делая в интегралах замену переменной y = r 1x, r > 0 и пользуясь (4), предложением 1, однородностью веса Vk (x) , получим

DM (aV,rU )2,k =

I(raV )c I T (r~lx) I 2dßk (x)

= sup -----------------------------—---------------- =

f &L2,k(Rd) sup f(raV)c Pm(r-1t,x)I fk(r-1x)12dßk(x) t€rU y 1

= D2m (raV,r~1rU )2,k ■

Лемма 1 доказана.

Из леммы 1 вытекает, что функция Dm(aV,rU)2>k двух переменных а, т является функцией одной переменной ат:

Dm(aV, tU)2>k = Dm(V, ати)2>* = Dm(атУ, U)2,k,

поэтому в дальнейшем будем считать а = 1 и будем изучать функцию Dm(V,tU)2,k, как функцию переменной т.

Пусть

L+k(V) = j f : f(x) ^ °, supp f С (V)c, j fdßk = ^ . (16)

Тогда равенство (15) может быть переписано так:

Dmi(V, tU)2,k = inf sup i рм(t,x)f (x)dßk(x) = Km(V,tU). (17)

f eL+fc (V) terUJ (V)c

Такая форма записи константы Джексона подсказывает нам, что для дальнейшего изучения ее свойств следует использовать соображения двойственности. Это впервые в задаче о константе Джексона в L2 было сделано В.В. Арестовым [16, 17]. Будем следовать работе [4].

Пусть M (U) — банахово пространство регулярных борелевских

действительных мер ß (регулярных борелевских действительных счетно аддитивных функций) на U с нормой | ß|, равной полной вариации ß на tU (см. [18]). Любая мера ß € M(U) равна разности двух неотрицательных мер ß+,ß- € M(U) и IßI = ß+(U) + ß-(U). Если S(U) = {ß € M(U) : IßI = 1} — единичная сфера в M(U), то подмножество S+(U) неотрицательных мер есть множество вероятностных мер из M(U). Известно [18], что M(U) является сопряженным для пространства C(U) действительных непрерывных на компакте U функций с равномерной нормой.

Меру ß € M(U) можно продолжить на а-алгебру B борелевских множеств в Rd, полагая для A € B ß(A) = ß (Af\U). Носитель меры suppß С U. Напомним, что suppß С U, если для любого A € B, AQ U = 0 будет ß (Af)U) = 0. Пусть ß € S+(U), р > 0, ßp — мера, для которой ßp(A) = ß(p-1A), A € B. Если A € B, AQpU = 0, то p-1Af\U = 0 и

ßp = ß(p 1A) = 0, поэтому supp ßp С pU. Так как ßp(pU) = ß(U) = 1, то

ßp € S+(pU). В [4] доказано что, если f € C(pU), то

[ f (t)dßp(t) = [ f (px)dß(x). (18)

pU U

Пусть

Фм(t,x) = Vo - рм(t,x) = -^2 Vsek(st,x). (19)

s=0

Теорема 2. Справедливы следующие равенства:

Dm(V, tU)2tk =

1 1

KM (V,tU ) sup inf JtU Pm(t, x)dß(t) ’

߀S+(rU) x^(V)c

Dm (V,'tU)2’k V0 - Jm (V,tU) V0 - inf sup JtU фм (t, x)d^(t) ■

^eS+(TU) xe(V)c

Существует экстремальная мера ц* € S+(tU), для которой Dm(V,rU)2,k inf JtU pM(t,x)dц*(t) v0 - sup) JtU фм(t, x)dy,*(t)'

xe(V)c xe(V)c

Доказательство. Множество функций

H(V) = jF(t) = J ) рм(t,x)f (x)d^(x) : f € L+k(V^ (20)

является выпуклым подмножеством в C(tU) и величина Km(V,tU) равна величине наилучшего приближения нуля в C(tU) выпуклым множеством H(aV). По теореме двойственности (см. [19]) и в силу неотрицательности функций из H(V)

к(v,tU) = sup mf I F(t)^(t)= mf I' F(t)d^(t)

^€S+(tU) FeH(V) JtU feH(V) JtU

для некоторой меры ц* € S+(tU).

Покажем, что для любой меры ц € S+(tU)

я'Пы f F(tw(t)= f рм(21)

F eH (V )JtU xe(V )cJ tU

Действительно, для любой F € H(V) согласно (20)

/ F (t)dv(t) = / f (x)pm (t,x)dц-k (x)d^t) =

■JtU JtU J(V)c

= f (x) pm(t,x)d^t)d^(x) ^ inf PM(t,x)d^t)^

J(V)c JtU xe(V)c JtU

С другой стороны, если В(x, е) = {y £ Rd : \x — y\ ^ е}, то для x £ (V)c из

непрерывности функции fTu Pm(t,x)dß(t)

inf j F(t)dß(t) ^ inf ——1-— j j рм(t,x)dß(t)dßk(x) ^

FeH(V) JtU 0<e<e(x) ßk(B(x,e)) JB(x,e)JtU

^ li™ —ТТТ/-ü / I Pm(t,x)dß(t)dßk(x) = I Pm(t,x)dß(t),

e^°+0 ßk (B(x, e)) JB(x,e) JtU JtU

поэтому

inf / F(t)da(t) ^ inf рм(t,x)da(t).

FеЯ(V) JtU xe(V)c JtU

Равенство (21) доказано. Согласно (17), (21)

Km (V,tU )= sup inf рм (t,x)d^t) =

Ves+ (tU ) xe(V )c J tU

= sup inf I Vo - / фм(t,x)d^t)\ =

Ves+(TU)xe(V)c \ JtU J

= Vo - inf sup фм(t,x)d^t) = Vo - Jm(V,tU), (22)

Mes+(TU) xe(V)c JtU

Km(V,tU)= inf / рм(t,x)dm*(t)= Vo - sup фм(t,x)dm*(t)■

xe(V )c J tU xe(V )c J tU

Теорема 2 доказана.

Отметим, что из леммы 1 для любого r > 0

Km(rV, r-1 tU) = Km(V,tU), Jm(rV,r-lTU) = Jm(V,tU)■

Лемма 2. Функция J(t) = Jm(V,tU) непрерывна для t > 0.

Доказательство. Непрерывность слева. Покажем, что J(t) = J(т - 0). Так как J (т) не возрастает, то для этого достаточно доказать неравенство J(т) ^ J (т - 0).

Согласно теореме 2 для некоторой меры ц € S+(tU)

J (t ) = sup фм (x,t)dß(t),

Ix\V >iJtU

\x\vt

где фм(x,t) определена в (19). Рассмотрим функцию

h(s) = sup фм(sx,t)dß(t) = sup g(sx).

\x\v J tU \x\v

Покажем, что она непрерывная для s > 0. Пусть 0 < si ^ ^ 2si. Если

h(sl) = sup g(slx), то h(s2) = h(sl). Если h(sl) = sup g(slx), Q = {x € |x|v ^2 l<|x|v ^2

€ Rd : 1 ^ lxlV ^ 2}, то согласно (13)

0 ^ h(sl) - h(s2) ^ sup g(slx) - sup g(s2x) =

K|x|y ^2 K|x|v ^2

= sup (cm + g(slx)) - sup (cm + g(s2x)) =

K|x|y ^2 K|x|v ^2

= \\CM + g(slx)\\a(Q) - \\CM + g(s2x)\\a(Q) < \\g(slx) - g(s2x)\\a{Q) <

^ sup 1фм(slx,t) - фм (s2x,t)ld^t)^

\x\v ^2 JtU

Из (13), (14), (19) для любого N € N

1фм (slx,t) - фм (s2x,t)l ^

^2 Vi (ek(Isix, t) - ek (ls2x, t))

<

1=0

^ E iVillek (lslx,t) - ek (ls2x,t)l +2^2 Ivi I ^

|i|<N |i|>N

^ ^2 \lvillx||11|sl - s21 +2eN, (23)

m^N

поэтому для 0 < sl ^ s2 ^ 2sl

\h(sl) - h(s2)\ ^ 2 \lvl\t max \x\ max \x\\sl - s2\ + 2eN■

nt^N |x|v ^l |x|u ^l

Непрерывность и даже равномерная непрерывность h(s) на интервале [5, то), 5 > 0 доказана.

Пусть 0 < р < т. Так как цр/Т € S + (pU), то из (18), (22)

J(р) ^ sup фм(x,t)dцp/T(t) = sup фм ( Px,t)d^t)= hi^^

|x|v ~^l J pU |x|v ^IjtU t Vt'

Переходя к пределу в этом неравенстве при р ^ т — 0 и используя непрерывность Ь(в), получим

3(т — 0) ^ Н(1) = 3(т).

Непрерывность слева установлена.

Непрерывность справа. Рассмотрим функцию

0(т) = П2М(V, ти)2>к = 1 ). (24)

щ — 3 (т)

Очевидно, что Б(т) = +то только в случае, когда 3 (т) = щ. Из невозрастания и непрерывности слева 3(т) = щ на некотором отрезке [0, т*],

0 ^ т* < то. Случай т* = +то, как мы увидим позже, невозможен (см. следствие). В случае единичного веса это вытекает из результатов работы [9].

Пусть т > т*. Из определения обобщенной константы Джексона для любого р > т и любой функции f € L+k (V)

i f (t)d^(t) ^ D(p) sup) i рм(x,t)f (t)d^(^^ (25)

JV c |x|U <pJV c

Функция

v(p) = sup PM (x,t)f (t)d^ (t) =

\x\u <p Jv c

= sup PM(px,t)f (t)d^(t), p> 0

|x|U <lJ Vc

непрерывна, так как для любого N € N, любых pl, р2 > 0 согласно (23)

\v(pl) - v(p2)\ ^ sup \фм (Plx,t) - фм (p2x,t)\f (t)d^ (t) ^

|x|u <lJ V c

^ У' \lvi\ max \x\ max \t\\pl - p2\ + 2en + 2cm f (t)d^(^^

|i|<N |x|U <l \t\v <N J |t|v ^N

Переходя к пределу в (25) при р ^ т + 0, получим

i f (t)d^(t) ^ D(t + 0) sup) i (1 - Re ek(x,t))f (t)d^(t), (26)

JVc \x\u<t Jvc

поэтому для D(t), как наименьшей константы в (26), выполнено неравенство D(t) ^ D(t + 0). Обратное неравенство вытекает из невозрастания D(t). Непрерывность справа функции D(t), а согласно (24) и функции J(т) при т > т* доказана.

Из доказанного вытекает также что, если D(t + 0) < то, то и D(t) < то, поэтому D(t* + 0) = то, а J(т* +0) = v0.

Таким образом, лемма 2 полностью доказана.

Пусть

5M,k(V, U) = sup {5 > 0: Dm(V, 5U\k = +то} ■

Величина 5M,k(V, U) — конечна.

Из леммы 2 и равенства (24) вытекает утверждение.

Теорема 3. Обобщенная константа Джексона Dm(V,tU)2,k как функция т бесконечна при 0 ^ т ^ 5M,k(V,U), не возрастает и непрерывна при т > 5M,k(V, U'), причем Dm(V, (5M,k(V, U) + 0)U)2,k = +то.

Для последовательности Ml непрерывность константы Джексона при d = = 1, k(a) = 0 доказана в [20], а в общем случае — в [4].

Исследуем величину 5м,к(V,U). Вначале рассмотрим случай, когда тела

V = U = Б\ = B — евклидовы шары. Для этого случая в [3] доказано, что обобщенная константа Джексона в пространстве Ь2}к (Rd) совпадает с обобщенной константой Джексона в пространстве Ь2 (R+) со степенным весом.

Пусть Хк = d/2 — 1^ Е k(a), JXk (x) — функция Бесселя

aeR+

порядка Хк, j\k(x) = 2XkГ(Ак + 1) — нормированная функция

Бесселя, b\k = 2Xk Г(Ак + 1), L2,Xk (R+) — пространство комплексных измеримых по Лебегу на R+ функций f с конечной нормой \\f ||2,Ak =

= ib\k JOT \f(r)\2r2Xk+1 dr)l/2,

г ^

f(s)= b-1 J f (r)jxk (rs)r2Xk+ldr

— преобразование Ганкеля.

Рассмотрим непрерывную на R+ функцию

ам (r) = YlvijXk (lr)■ (27)

leZ

Для нее выполнены условия [3]:

ам(r) е Cb(R+), ам(r) ^ 0, ам(0) = 0.

Пусть

Еа(f )2,Xk = inf {\\f — g\\2,Xk : 9 е L2,Xk (R+), suPP g С [0,ст]}

— величина наилучшего приближения функции f е L2,xk (R+),

/ !■ <Х _ \ 1/2

им(S,f)2,Xk = sup (b-k a(rs)\f(s)\2s2Xk+lds

O^r^S V k JO J

— ее модуль непрерывности,

Вм (a,S)2tXk =sup{ : f е L2,Xk (R+)}

константа Джексона в пространстве Ь2>\к ( Предложение 3 [3]. Справедливо равенство

Ом (В,тВ)2,к = Ом(1,т )2,\к ■ Рассмотрим непрерывную функцию

вм(г) = ^ р-зе13*, г е м.

з€2

Для нее определим величину

Гм = шах {г ^ 0 : вм |[-г,г]= 0} .

Отметим, что для ненулевой последовательности М Гм € [0, п) и для любого г € [0, п) найдется последовательность М, для которой гм = г. В частности, гм = 0, если у последовательности М конечное число ненулевых членов.

Теорема 4. Если \к > -1/2, то

&м,к(В, В) = гм■

Доказательство. Для функции ]\к(х) при \к > -1/2 имеет место интегральное представление (см. [21, формула 8.411])

гж/2 '-ж/2

Где С1 = /2) . ОтсЮда и и3 (3

Г п/2

Зхк (х) = 0! егх*1п V(сов р)2Хкй<р,

«/ —п/2

Гп/2

ам (г) = оЛ У^щвг1г 81П 1р(соБ р)2Хк (1р =

п/2

п/2 1-п/2

п/2

01 /

- п/2

ХУ

веЪ

гвг 81П V

(сов р)2Хк й<р.

Из этого представления ам(го) = 0, если только вм&) = 0 на отрезке [-го, го], поэтому ам(г) = 0 на отрезке [0, гм] и ам(г) > 0 при г > гм.

По теореме 2 для некоторой меры р € Б + [0,т]

Ом(1,т)2,Хк = 1П{ [ ам(гs)dр(г),

поэтому при Т € [0,гм] Ом (1,т)2,Хк = +ТО.

Пусть т > гм. Тогда при г ^ т ам (г) > 0. В силу асимптотики [22, 23]

л<г) = 0(гч+17г) (г

следует оценка

' 1

^^8]\к (^)

в=0

1 ^ ^ IV в I 1 / \

^ гХк+1/2 2=0 1^\к + 1/2 ^ г\к + 1/2 (г ^ ж),

поэтому

Иш ам (г) = vо (28)

2

и ам (r) ^ c > 0 при r ^ т. Тогда для любой функции f € L2,\k

lf(r)l2r2Xk+1 dr <

ам(Tr)f'(r)l2r2Xk+1dr < ^М(т,fh,\k■

Это неравенство показывает, что Dm(1,т)2,\k < то.

Итак, Dm(1,т)2,\k = +то при т € [0,гм] и Dm(1,т)2,\k < то при т > гм. Остается воспользоваться предложением 3. Теорема 4 доказана.

Пусть

R+ = max Ixl, R— = min \x\

V xedV V xedV

— радиусы описанного и вписанного в тело V евклидовых шаров. Используя монотонность обобщенной константы Джексона, получаем оценки

Dm(В, R+ К+тB)2,k ^ Dm(v, ти)2,k ^ Dm(В, R— R—тB)2,k■ (29)

Отсюда и из теоремы 3 вытекает следствие.

Следствие. Если Xk > -1/2, то справедливы оценки

ГМ < ÖM,k(V,U) ■

R+ R+ Rv Ru

В частности, 0м,к(V, U) < то и, если гм = 0, то Dm(Y,tU)2,k < то для всех т > 0.

3. Нижняя оценка обобщенной константы Джексона

Для оценки обобщенной константы Джексона снизу будем использовать лемму В.В. Арестова [16]. Сформулируем ее в удобном для нас виде.

Лемма (В.В. Арестов). Пусть задана система {фа(і)}%=і функций, непрерывных на [0, т] и удовлетворяющих условиям:

(a) ф.3(0) = 0, \^s(t)\ ^ K (t Є [0,т], s Є N);

(b) для любого ö Є (0, т] выполняется равенство

lim max фs (t) = v0.

s^<x S^t^r

Тогда для любого є > 0 найдется функция

ГО ОО

F(t) = X Psфs(t), Ps > 0 J^Ps = X

s=1 s=1

такая, что

F(t) ^ Vo + є, t Є [0,т].

Теорема 5. Если т > 0, то

Dm(У,ти)2>к ^ —=. (3°)

VVo

Доказательство. Для случая единичного веса оценка (30) получена в [9]. В силу неравенств (29) достаточно доказать (30) для тел V = U = B. Согласно предложению 3 достаточно оценить снизу обобщенную константу Джексона Dm(1,т)2,\к при > -1/2. По определению

D2 ) /Г 1/(У)12У2Ак+1аУ ^

Dm(1,т)2,Хк = sup -Г-1- ^

f&Ь2’Хк(R+) sup / ам(ty)\f(y)\2y2Xk+1dy

O^t^r 1

1 Г

^ suP \ -------Г-------- : Ps > °,J2ps = 1 } ’ (31)

sup Е фs(t)ps s=1

где

O^t^rs=1 s+1 s+1

фs(t) = Vs j ам(ty)y2Xk+1dy, Vs = j y2Xk+1dy.

Имеем

^s(t)l lusI = K, ф-sit) = ам(tys(t)), ys(t) € (s,s + 1).

s€Z

Отсюда равномерно по ö ^ t ^ т lims^œ tys(t) = œ ив силу (28)

lim max фs (t) = v0.

s^œ S^t^r

По лемме В.В. Арестова из (31) получаем оценку (30) для обобщенной константы Джексона Dm(1,т)2,\k. Теорема 5 доказана.

Список литературы

1. Rosier M. Dunkl Operators: Theory and Applications // Lecture Notes in Math. 2002. V.1817. P.93-135.

2. Rosier M. A positivity radial product formula or the Dunkl kernel // Trans. Amer. Math. Soc. 2003. V.355. P.2413-2438.

3. Хуэ Ха Тхи Минь. О связи многомерных и одномерных констант Джексона в пространствах L со степенными весами // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып.2. С.114-123.

4. Иванов А.В. Задача Логана для целых функций многих переменных и константы Джексона в весовых пространствах // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып.2. С.29-58.

5. Иванов А.В. Некоторые экстремальные задачи для целых функций в весовых пространствах // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2010. Вып.1. С.26-44.

6. Иванов А.В., Иванов В.И. Теорема Джексона в пространстве L2(Rd) со степенным весом // Матем. заметки. 2010. Т.88. №1. С.148-151.

7. Иванов А.В., Иванов В.И. Теория Данкля и теорема Джексона в пространстве L2(Rd) со степенным весом // Труды ИММ УрО РАН. 2010. Т.16. №4. С.180-192.

8. Иванов А.В., Иванов В.И. Оптимальные аргументы в неравенстве Джексона в пространстве L2 (Rd) со степенным весом // Матем. заметки. 2013. Т.94. №3. С.338-348.

9. Васильев С.Н. Неравенство Джексона в L2(RN) с обобщенным модулем непрерывности // Труды ИММ УрО РАН. 2010. Т.16. №4. С.93-99.

10. Dunkl C.F. Integral kernels with reflection group invariance // Canad. J. Math. 1991. V.43. P.1213-1227.

11. Rosier M. Positivity of Dunkls interwining operator // Duke Math. J. 1999. V.98. P.445-463.

12. Rosier M. Bessel-type signed hypergroups on R // Probability Measures an Groups and related Structures: proc. conf. Oberwolfach, 1994. Wourld Scientific, 1995. P.292-304.

13. Rosier M. Generalized Hermite polynomials and the heat equation for the Dunkl operators // Comm. Math. Phys. 1998. V.192. P.519-542.

14. Thangavelu S., Xu Y. Paley-Wiener theorems for Dunkl transform and Dunkl translation operators // J. Anal. Math. 2005. V.97. №1. P.25-55.

15. Trimeche K. Convolution operator and maximal function for the Dunkl transform // Integral Transform. Spec. Funct. 2002. V.13. №1. P.17-38.

16. Арестов В.В., Попов В.Ю. Неравенство Джексона на сфере в L2 // Изв. вузов. Математика. 1995. №8. С.13-20.

17. Бабенко А.Г. О точной константе Джексона в L2 // Матем. заметки. 1986. Т.39. №5. С.651-654.

18. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

744 с.

19. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближений. М.: Наука, 1976. 320 с.

20. Arestov V.V., Babenko A.G. Continuity of the Best Constant in the Jackson Inequality in L2 with respect to Argument of Modulus of Continuity // Approx. Nytory: a vol. dedicated B. Sendov: DARBA, 2002. P.13-23.

21. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 1108 с.

22. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М.: Наука, 1966. 296 с.

23. Ватсон Г.Н. Теория Бесселевых функций. Ч. 1. М.: ИЛ, 1949. 798 с.

Иванов Алексей Валерьевич ([email protected]), к.ф.-м.н., доцент, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Иванов Валерий Иванович ([email protected]), д.ф.-м.н., профессор, декан, механико-математический факультет, Тульский государственный университет.

Хуэ Ха Тхи Минь ([email protected]), аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Generalized Jackson constant in L2(Rd)-space with Dunkl weight

A. V. Ivanov, V. I. Ivanov, Ha Thi Min Hue

Abstract. For a pair of centrally symmetric convex bodies V, U in Rd, the sequence of complex numbers M = {ps}s&Z with zero sum absolutely convergent in the space L2,k (Rd) with Dunkl weight the value of the best approximation E(aV, f )2,k by entire functions of exponential type with spectrum in the body aV, generalized modulus of continuity uM(tU, f )2,k and generalized Jackson constant DM(aV,TU)2,k are defined. Finiteness and continuity of generalized Jackson constant are researched. The lower estimation DM(aV,TU)2,k ^ 1/t/VO, where v0 = ^seZ lpsl2 is proved.

Keywords: Dunkl harmonic analysis, best approximation, modulus of continuity, Jackson inequality, Jackson constant.

Ivanov Alexey ([email protected]), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Ivanov Valeriy ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, dean, mechanical and mathematical faculty, Tula State University.

Hue Ha Thi Min ([email protected]), postgraduate student, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 15.09.2013