Некоторые экстремальные задачи для целых функций в весовых пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2010. Вып. 1. С. 26-44

= Математика =

УДК 517.5

Некоторые экстремальные задачи для целых функций в весовых пространствах *

А.В. Иванов

Аннотация. Решены задачи типа Логана, Фейера, Турана, Дель-сарта для целых функций экспоненциального типа из пространства (М^) с весом Ук (X) = Па6д+ |(а, х) |2к(а), определяемым положительной подсистемой К+ конечной системы корней К С М и функцией к (а) : К ^ М+, инвариантной относительно группы отражений

О(Я). В точном неравенстве Джексона в пространстве Ь2,к (М^) найдена точка Черныха.

Ключевые слова: группа отражений, преобразование Данкля, целые функции экспоненциального типа, задачи Логана, Фейера, Турана, Дельсарта, константы Джексона.

Введение

Пусть й € Н, Жв(Св) — ¿-мерное действительное (комплексное) евклидово

в в

пространство со скалярным произведением (ж, у) = ^ ((ж, у) = ^ и

_____ г=1 г=1

длиной вектора |ж| = а/(ж, ж), 1 ^ р < то, Ьр(Жв) — пространство комплексных измеримых по Лебегу на Жв функций / с нормой

II/ 11р =([ I/(ж)|р^ 1/Р < то, /(у)=/ / (ж)е-^’у)йж \Жа / JRd

— преобразование Фурье функции /, а ^ -1/2, ^«(ж) — функция Бесселя первого рода порядка а, 0 < да,1 < 9«,2 < ... — ее положительные нули, За(ж) = 2“Г(а + 1)/а(ж)/ж“ — нормированная функция Бесселя, ^а(0) = 1.

Через Ев,р(г) обозначим множество функций / € Ьр(Жв), которые являются сужениями на Жв целых в Св функций /(г), удовлетворяющих оценке

|/(г)| < Чег| 1т*1, где cf > 0, 1т г = (1т г1,..., 1т гв).

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 10-01-00564).

Пусть suppf С Rd — носитель функции f, для действительной f

A(f) = sup{|x| : x Е Rd, f (x) > 0}, Br = {x € Rd : |x| < r}.

Для целых функций из Ed)1 (r) изучались следующие экстремальные задачи.

Задача 1. Вычислить величину

Л^!(г) = inf A(f),

если f € Ed,1(r), f ф 0, f — действительная, /(0) ^ 0.

Задача 1 для d = 1 была поставлена и решена Б. Логаном [1], поэтому будем называть ее задачей Логана I. Он доказал, что Л1;1(г) = п/r. Это равенство вытекает и из более ранних работ Н.И. Черныха [2,3]. Величина ЛЗД(г)

вычислена А.В. Московским [4]. В многомерном случае задача 1 была поставлена Е.Е. Бердышевой [5]. Д.В. Горбачев [6] доказал, что для всех d € N 0

Л^1(г) = 2qd/2-1,1 r

и экстремальной является функция, построенная Н.И. Черныхом [2] (d = 1) и В.А. Юдиным [7] (d > 1),

f iM jVi( ¥)

/т(ж) =----;—, , ,2 •

1 -

r|x|

ч2^/2

Задача 1 связана с экстремальной задачей об оптимальной точке в точном неравенстве Джексона в пространстве ¿2(Жв). Пусть

Е(/)2 = 1П| |/- 5^2

geEd^2(r)

— величина наилучшего приближения функции / € ¿2(Жв) целыми функциями экспоненциального типа г,

^(5,/)2 = йир ||/(ж + *) - /(ж)|2

|*К5

— ее модуль непрерывности,

Ег (/)2

D(£, r, d)2 = sup

f6l2(Rd) ^(5,/)2

— константы Джексона в пространстве ¿2(Rd)- Известно, что D(5, r, d)2 ^ ^ 1/^2. Точка

Td(r) = inf{5 > 0 : D(5, r, d)2 = 1/\/2}

называется оптимальной точкой в точном неравенстве Джексона в ¿2(Rd) или точкой Черныха. Е.Е. Бердышева [5] доказала, что

Td(r) = Лй,1(г).

Таким образом,

, ч 2^^/2-1,1

Т^(г) = —-------- .

г

Задачу нахождения оптимальной точки в точном неравенстве Джексона будем называть задачей Черныха.

Задача 2. Вычислить величину

Л^2(г) =ІП£ Л(-у),

если f Є Ей,1(г), f ф 0, f — действительная, /(0) =0, /(у) ^ 0 в некоторой окрестности нуля.

Задача 2 для I = 1 была поставлена и решена Б. Логаном [8], поэтому будем ее называть задачей Логана II. В многомерном случае задача 2 в неявной форме была поставлена В.А. Юдиным [9] при исследовании связи между кодами и дизайнами на торе Т^ = [—п, п)^. При I > 1 им была предложена функция

о2 ( гЫ Ї

/г2(х) = -----------°^/2~11 2 ’-------------

1- ( о/1*1 Г 1(1-

J— Ї2ї Л-

'2^/2-1,1' У\ ''2^/2-1,2-

оказавшаяся экстремальной. В явном виде задача 2 была поставлена Д.В. Горбачевым [6]. Он получил в ней оценку снизу, тем самым доказав, что

Л“,2(г)

Задача 3. Вычислить величину

d,2/ ч _ 2qd/2-1,2

Л^3(г) = sup f (0),

если f Є Ed,1(r), f(ж) ^ 0, /(0) = 1.

Задача была поставлена и решена Д.В. Горбачевым [10]:

Л^3(г) =

r

d

22dnd/2r(d/2 + 1)

экстремальная функция имеет вид

(3( ^ _ rd ,2 /r|x|'

f3( ) = r“ -2 /r|x| \

fr (Х) = 22dnd/2r(d/2 + 1) Jd/4"У У

+

Переходя от функции к ее преобразованию Фурье, задачу 3 можно переформулировать так.

Задача 3'. Вычислить величину

Л^>3(г) = sup 7(0), если f € C(Rd), suppf С Br, f (0) = 1, /"(у) ^ 0.

r

Величины Ad,3(r) и A/d’3 (r) связаны равенством

A/d,r (r) = (2n)dAd,r (r).

Задача 3/ известна как задача Турана. При d = 1 она была решена Боасом и Кацем [11], при d > 1 — К. Зигелем [12] и независимо Д.В. Горбачевым [10]. Задачу 3 будем называть задачей Фейера. Л. Фейер поставил и решил аналогичную задачу для тригонометрических полиномов на одномерном торе T

[13].

Задача 4. Вычислить величину

Ad,4(r) = sup/(0),

если / Є Ed,1(r), / — действительная, /(0) = 1, /(ж) ^ 0 (|ж| ^ 1), /(y) ^ 0.

Задача 4 известна как задача Дельсарта для целых функций. Она была поставлена В.А. Юдиным [14] в связи с исследованием упаковки тора Td шарами. Допустимое множество в задаче 4 не пусто, например, при r ^ r¿ = = 2qd/2;1. Для d = 1 и r ^ ri = 2п

A1,4(r) = А1,4(2п) = 1,

экстремальная функция имеет вид

2

,4 / n sm2 пж

/т(ж)

г (пж)2(1 — ж2)'

Для й > 1 решение задачи 4 известно только для г = г^ (Д.В. Горбачев [15] и независимо Х. Кон [16]):

Лв’г (гв) = 2впв/21в(й/2 + 1),

^5/2,1

экстремальная функция, построенная в [14], имеет вид

,4, , ¿2/2(«в/2,1|ж1)

/ (ж) = 1 — |ж|2 ■

Решение задачи 4 для всех г и й ^ 2 позволило бы получить хорошую оценку сверху для плотности упаковки пространства Жв.

Наша цель — изучить задачи 1-4 для целых функций из пространства ¿1 к (Жв) со степенным весом

^ (ж) = П 1(а,ж)|2к(а), (1)

определяемым положительной подсистемой К+ системы корней К С Жв \ {0} и функцией к (а) : К ^ Ж+, инвариантной относительно конечной группы отражений С(К), порожденной К (см. [17]). Найти также точки Черныха в точном неравенстве Джексона в пространстве ¿2,к(Жв).

1. Гармонический анализ в пространстве Ь2,к(Кй)

Гармонический анализ в пространстве ¿2,к(Жв) с весом (1) осуществляется с помощью дифференциально-разностных операторов и интегральных преобразований Данкля, определяемых с помощью конечной группы отражений. Такой подход к построению гармонического анализа и соответствующих специальных функций был предложен Ч. Данклем [18-21]. Приведем необходимые факты из теории Данкля [17].

Пусть а € Жв \ {0},

2(а, ж)

(ж ) = ж--;—а

' |а|2

— ортогональное отражение относительно гиперплоскости (а, у) = 0. Конечное множество К С Жв \ {0} называется системой корней, если ста(К) = К и К П Жа = {а, —а} для всех а € К. Каждая система корней является объединением двух непересекающихся множеств К+ и К-, разделенных некоторой гиперплоскостью (в, у) = 0, в € К. Множество К+ С К называется положительной подсистемой. Множество отражений {ста: а € К} порождает группу отражений С(К). Она является конечной подгруппой в группе ортогональных преобразований О(й).

Пусть функция к (а) : К ^ Ж+ — инвариантна относительно действия группы С(К), т.е. к(да) = к(а) для всех д € С(К) и а € К. Если е1,..., е^ — стандартный ортонормированный базис в Жв, то дифференциально-разностные операторы Данкля определяются равенствами

_ ч д/(ж) /(ж) — /(ста(ж))

А' / (ж) = ^^ + > к(а)(а,е, Г , У У, з = 1, ■ ■ ■

у дж, ^ у ^ (а, ж) 7

(а)(а, d) ,—Ц—, j = l,...,d.

Для y 6 Rd система

f (x) = y¿f (x) f (0) = 1

имеет единственное действительно-аналитическое в Rd решение Ek(x,y), которое продолжается до целой в Cd х Cd функции. Для обобщенной экспоненты ek(x, y) = Ek(ix, y) выполнены свойства, аналогичные свойствам экспоненты ei(x,y).

Предложение 1 [20,22]. Если g 6 G(R), А 6 C, x, y 6 Rd, z 6 Cd, то

ek (x,y)= ek (y, x), ek (0, y) = 1, ek (Ax, y) = ek (x, Ay), ek (x,y)= ek (-x,y), ek(gx,gy) = ek(x,y), |ek(z,y)| ^ e|y|1 Imz|, |ek(x,y)| ^ 1.

Пусть вес Vk (x) определен в (1),

Ck = / e-|x|2/2Vk(x)dx,

й^к(ж) = С-1^^(ж)йж, 1 ^ р < то, (Жв) — пространство комплексных из-

меримых по Лебегу на Жв функций / с нормой

1/р

С (Жв) — пространство непрерывных ограниченных на Жв функций. Пространство ¿2 к (Жв) — гильбертово со скалярным произведением

(/,д)к = / (ж)д(ж)й^к (ж).

Ж11

Обобщенная экспонента позволяет определить преобразование Данкля (Фурье-Данкля). Для / € ¿1,к (Жв) положим

Тк(ж) = / /(У)ек(ж,у)Фк(У). (2)

Обратное преобразование Данкля задается формулой

/к(ж) = / /(У)ек(ж,у)й^л(у) = /к(—ж).

„да

Приведем основные свойства преобразований Данкля.

Предложение 2 [21,23]. Для прямого и обратного преобразований Данкля справедливы следующие свойства:

1) Если /,/к € ¿1,к(Жв), то для почти всех ж

/ (ж) = (/к )/к (ж).

В частности, это верно в каждой точке непрерывности /.

2) Преобразование Данкля имеет единственное продолжение до изометрического изоморфизма пространства ¿2,к (Жв) так, что в среднеквадратичном для / € ¿2,к(Жв)

/ (у) = /(ж)вк(ж,у)фк(ж) Є ¿2,^(К )

/(ж) = !к (У)ек (ж,у)1^к (у).

Для любых /, д Є ¿2 к (К“) выполнены равенства Планшереля и Парсеваля

(/,д)к = (/к Л, ||/|І2,к = / ||2,к. (3)

Пусть Стк = 1/2 — 1 + ^ к (а), 5“-1 = {ж Є К“ : |ж| = 1} — единичная

сфера в К“, ж = гж7, г = |ж|, ж7 Є 5“-1, 1ж7 — Лебегова мера на 5“-1,

ак = / «к (ж')Іж',

У^-1

и

¿“^(Ж5) — сужение ¿р,к(Жв) на радиальные функции /(|ж|).

Для / € ¿1,к(Жв) справедливо равенство

Г го Г

/ / (ж)^к(ж)йж = г2^+1 / / (гж>к (ж/)йж/йг. (4)

„да У о У^-1

Используя интегральное представление гамма-функции, получим

Г ГО р

Ьк = ск а-1 = а-1 / е_|ж|2/2^к (ж)йж = а-1 / е-г2/2г2°к+1 / «к (ж/)йж/йг =

У^ Уо У^-1

/* СО

= е"г2/2г2^+1йг = 2^ Г(ак + 1).

о

Пусть а ^ —1/2, 1 ^ р < то,

^(Ж+) = {/ : Ж+ ^ С : |/||р,, =

/ /- О \ 1/р ^

= / 2-етГ-1(а + 1) I |/(г)|рг2°+1йН < то|.

Если / € ¿“^(Ж5), то

р,к рк =/ |/(|ж|)№к(ж) = С-1/ |/(|ж|)Г^к(ж)йж =

О

|/(г)|рг2°к+1 / «к (ж/)йж/йг = Ь-1 / |/(г)|рг2°к+1йг, (5)

У^-1 Уо

поэтому пространства ¿^“^(Ж5), (Ж+) и нормы в них совпадают.

Справедлива формула [24]

а- / ек (У,ж>к(ж/)йж/ = М (|У|). (6)

У^-1

Разложение функций в ¿2,0-^ (Ж+) осуществляется с помощью прямого и совпадающего с ним обратного преобразований Ганкеля [25,26]:

г О

1

~ Г о

/М = Ь- / / (г)М(7) Уо

/*СО ^

/(г) =Ь- / /Мм (гФ2°к+1^.

о

Равенства понимаются в среднеквадратичном. Если /, / € ¿1,0й (Ж+), то почти всюду

/ (г) = Ь^ / /(в)3'о* (гф2°к+1^5.

о

В частности, это равенство верно в точках непрерывности /.

Для функции f € Liad(Rd) (f € L2'kd(Rd)) преобразование Данкля в силу (4), (6) совпадает с преобразованием Ганкеля

/к (У) = / f (|x|)ek(x,y)d№ (x) =

ПОО

= ckl f (r)r2o~fc +1 / ek (ry,x')vk (x')dx'dr =

Jo Js^-1

= bk / f(r)M(r|y|)r2ffk+ldr = /,(|y|)- (8)

o

Через Е^’р(г) обозначим множество функций f € Lp,k (Rd), которые являются сужениями на Rd целых в Cd функций f (z), удовлетворяющих оценке

|f (z)| < cfer|Imz|, cf > 0. (9)

Нам будет необходим следующий вариант теоремы Пэли-Винера. Предложение 3 [27-30]. Функция f € Е^’2(г) тогда и только тогда, когда f € ¿2,fc (Rd) П Cb(Rd) и supp fk С Br, причем для всех z € Cd

f(z) = f fk(y)ek(z,y)d^fc(y). (10)

J Br

Если f € (Rd) П Cb (Rd), 1 ^ p < 2, то f € L2,k(Rd) П Cb (Rd), поэтому

справедливо следующее предложение.

Предложение 4. Функция f € Е^’р(r), 1 ^ p < 2 тогда и только тогда, когда f € (Rd) П Cb(Rd) и supp f k С Br, причем для всех z € Cd справед-

ливо (10).

2. Постановки экстремальных задач для целых функций

из Ei1 (r)

Задача Логана I. Вычислить величину

Л k’1 (r) = inf Л(/), (11)

если f € E^’^r), / ф 0, / — действительная, /к(0) ^ 0.

Задача Логана II. Вычислить величину

Лк’2 (r) = inf Л(-/), (12)

если f € E^’1 (r), / ф 0, / — действительная, /к (0) =0, /к(у) ^ 0 в некоторой

окрестности нуля.

Задача Фейера. Вычислить величину

Af(r)=sup / (0), (13)

если f € Ef(r), f (x) ^ 0, fk(0) = 1.

Задача Турана. Вычислить величину

Л' k’3(r) = sup fk (0), (14)

если f € C(Rd), supp/ С Br, f (0) = 1, /к(y) ^ 0.

Из предложений 2,4 вытекает, что величины Ad3(r) и A'd’3(r) совпадают.

Задача Дельсарта. Вычислить величину

Af(r)=sup /~к (0), (15)

если / € Ed1(r), / — действительная, /(0) = 1, /(ж) ^ 0 (|ж| ^ 1), /к(у) ^ 0.

Под задачей Дельсарта обычно понимают следующую задачу. Вычислить величину

л d’4 р к /а\

Ak =supf (0)

если /,/к € L1’k(Rd) П Cb(Rd), / — действительная, f (0) = 1, /(ж) ^ 0 (|ж| ^ ^ 1), fk (y) ^ 0.

Очевидно, что Ak’4 = lim Ak’4, так как У Ed1 (r) плотно в L^k(Rd).

r^^ r>0

Пусть а ^ -1/2, 1 ^ p < то. Через eO’^(r) обозначим множество функций из ¿ре- (R+), которые являются сужениями на R+ четных целых в C функций f (z), удовлетворяющих оценке

|f(z)| < cfer|z1, cf >0. (16) Отметим, что из принадлежности четной целой функции (R) вытекает принадлежность Lp(R+), поэтому оценка (16) эквивалентна оценке (9) при d = 1 [31].

Для функций из eO’^ (r), 1 ^ p ^ 2 сформулируем следующую теорему Пэли-Винера, которая, в частности, вытекает из предложений 3, 4 (см. также [32]).

Предложение 5. Функция / € eO’^, 1 ^ p ^ 2 тогда и только тогда, когда / € ¿р ’ а (R+) П C (R+) и supp / С [0, r], причем для всех z € C

f(z) = 2-етГ-1 (а + 1) / 7(s)>(zs)s2ff+1ds.

O

Для функций из E0 ’* (r) аналогичным образом можно сформулировать задачи Логана I, II, Фейера, Турана, Дельсарта, в которых преобразование Данкля заменяется на преобразование Ганкеля. Соответствующие величины обозначим A1 ,га(r), i = 1, 2, 3,4.

3. Сведение многомерных экстремальных задач к одномерным

Теорема 1. Если d € N, r> 0, ak = d/2 — 1 + ^ k(a), то для i = = 1, 2, 3, 4 справедливы равенства

Af(r)=A1 ’ ^ (r).

Доказательство. Класс Е0’1 (г) имеет естественное вложение в класс Я?1 (г).

Пусть /(в) € еО’О(г). Тогда /(в) = д(з2), д(г) — целая функция и для г € С, ж € Ж справедливы оценки

|/(г)| = |д(г2)| < с/е'1'1 = с/е'1'2|1/2, |/(ж)| = |д(ж2)| < с/. (17)

Для ж € Жв рассмотрим функцию Е(ж) = / (|ж|) = д(ж2 + ... + жв). Покажем, что Е(ж) € Е^’1^). Согласно (5) О

/ |Е(ж)|й^к(ж) = / |/(|ж|)|й^к(ж) = Ь-1 / |/(в)|52°к+1й5 < то.

„да „да ./О

Для г = (г1,..., гв) € Св Е(г) = д(г2 + ... + ¿2) — целая в Св функция. Так как

|г2 + ... + гЦ < |г1|2 + ... + |гв|2 = |г|2, то для 2 € Св согласно (17)

|Е(г)| = |д(г? + ... + гв)| < с/е^'" +^|1/2 < с/егИ а для ж € Жв |Е(ж)| = |/(|ж|)| ^ с/. Отсюда [31]

|Е(г)| < с/ег| 1т<

Итак, Е(ж) € Е^’1^). Далее Е(0) = /(0), А(±Е) = А(±/) и согласно (8) Ек(ж) = /(|ж|), поэтому

Лк’1(г) < (г), Лк’2(г) < Л00(г),

Лк,3(г) > л1’0,(г), Л«(г) ^ Л00(г).

Следуя Д.В. Горбачеву [6, 10, 15], обратные неравенства докажем с помощью метода усреднения по сферам.

Для в € Ж+ и / € Ев1 (г) положим

^(5) = а-1/ / (зж>к (ж/)йж/.

Покажем, что ^>(з) € Е^^(г). Согласно (4), (5)

/* СО

|1,ок = Ь-Ч |^(5)|52°к+1йв =

/0

-1 -1

Л)

= а- Ьк

/ / (зж/)^к (ж/)йж/

/Б^1

ОО

?2°к+1 [ |/(5ж/)|«к (ж/)йж/йз =

Зя^1

О

< с-1уо 8^1 |/(вж'Ж(ж)йж'йв = II/||1,к < то.

Аналитичность <(г) для г € С очевидна. Так как для г € С, ж/ € 5е 1 11тгж/| ^ |г|, то из (9)

|<(г)| < а-1 / |/(гж/)|^к(ж/)йж/ < а-1/ с/ег|г|^к(ж/)йж/ = с/ег|г|.

У^-1 У^-1

Четность <(г) вытекает из того, что преобразование дж/ = —ж/ является ортогональным

4-1 ^ /( ~™/)^ (ж/)йж/ = а-1

<(—г) = а-1 / / (—гж/)^к (ж/)йж/ = а-1 / / (гдж/)^к (дж/)йж/ =

У^-1 У^-1

/я^1

а- / / (гж/)^к (ж/)йж/ = <(г).

У^-1

Итaк, < € Ео1;1^(г).

Отметим дальнейшие свойства <(в). Имеем <(0) = /(0), А(<) ^ А(/), < — действительная, если / — действительная. Если /(ж) ^ 0, то <(в) ^ 0. Если /(ж) ^ 0 при |ж| ^ 1, то <(в) ^ 0 при в ^ 1.

Найдем для <(в) преобразование Ганкеля. Согласно (2), (4), (6), (7), предложению 1

<(^ = Ь- / <(83 ^ф2^^8 =

Уо

О

= Ь-1а-1 82°^+1Зо^ (¿в) / / (вж>к (ж/)йж/йв =

Уо У^-1

= с- / /(ж)з'ок(*|ж|)ик(ж)йж = /(ж)а- / ек(¿ж,у>к(у )йу фк(ж) =

У^ У^ У^-1

= а-1/ I /(ж)ек(¿у/,ж)й^к(ж)^к(у/)йу/ = а-1 / /к(¿у>к(у/)йу/.

У^-1 У^ У^-1

Перестановка порядка интегрирования возможна, так как / € ¿1,к(Жв) и |Зо-к (ж)| ^ 1. Таким образом,

<№ = а^ / Тк (У/)йУ/.

У^-1

Отсюда, в частности, <>(0) = /к(0) и, если /к(ж) ^ 0, то <(£) ^ 0.

Установленные свойства <(в) доказывают возможность вложения класса Е^’1 (г) в класс еО’О^ (г) с нужными дополнительными свойствами. Это приводит к неравенствам

ЛкД(г) > л1’0.(г), Лк-2(г) ^ Л0’0,(г),

лк,3(г) < л1’0,(г), лк-4(г) « л0’0,(г).

Теорема доказана.

Решение одномерных задач Л0’О* (г), г = 1, 2, 3 и Л^’О* (2д0*+1д) можно найти в монографии Д.В. Горбачева [33], поэтому выпишем ответы вытекающие из теоремы 1.

Теорема 2. Если й € Н, г > 0, ак = й/2 — 1 + ^ к(а), то в задаче

Логана I (11)

Экстремальная функция имеет вид

а 2 ( гЫ

/г1,к(ж) = - * 2

1 _ ( г\х\

2?стк,1

2

Теорема 3. Если в Є Н, г > 0, ак = ¿/2 — 1 + ^ к (а), то в задаче Логана II (12)

*Л,2/ч 29^к ,2

Лк (г) = —

Экстремальная функция имеет вид

. 2 / гМ ^

2 _ :ок V 2 У

/г,к (ж) =

2\ Л / гЫ \2

1 _ / гІхІ \ 2 1 _ / т

^к,1' /V ^2?стк,2'

Теорема 4. Если й € Н, г > 0, ак = й/2 — 1 + ^ к(а), то в задаче Фейера (13)

, 3 г2(о*+1)

Лв,3(г) = '_____________

к ^ 23(о*+1)Г(ак + 2)'

Экстремальная функция имеет вид

2(°*+1) 2 , г|ж|

,3 ( ) = г^^ .2 /г|ж| \

/г’к(ж) = 23К+1)г(ак + 2) Аетк+Ч~) •

Теорема 5. Если в Є Н, г > 0, ак = ¿/2 — 1 + ^ к(а), то в задаче Турана (14) г2(^к +1)

Л 7“,3(г) = __Г____________

кЫ 23К+1)Г(ак + 2)'

Экстремальная функция имеет вид

/73,к(ж) = 2»»^+ 2) I +1 (Т)

Теорема 6. Если й Є Н, ак = ¿/2 — 1 + ^ к(а), то в задаче Дельсар-та (15)

л А4(2, ) ‘2<"*+‘)г(ак. + 2)

л к Р^+і.О-----------57^1ТТ)----•

^к + 1,1

Экстремальная функция имеет вид

* 4(2„ ) 4+1(9-к+1,1|ж|)

/к -----ї-іжр-----•

4. Константы Джексона в Ь2,к(К6*)

Величину наилучшего приближения функции / Є ¿2,к (К^) целыми функциями определим равенством

Ег(/)2,к = И{|/ — 9ІІ2,к : 9 Є Е^’2(г)}.

По предложению 3

Ег (/)2,к = тП ||/ — д 12,к: д(ж) = Ф(у)ек (ж, у)фк(у), Ф € ^к (Ж)

I ,/Вг

поэтому используя равенство Парсеваля (3), получим

Е2(/)2,к = / |/к(У)|2^к(У). (18)

-%\^г

Если /(|ж|) € .¿^(Ж5), то согласно (5), (8)

/СЮ ^

|./(8)|2820*+1й8. (19)

Пусть / € ¿2,0 (Ж+),

Ег(/)2’0 = ^{|/ — д^2’0 : д € Ео1’2(г)}.

По предложению 5

Ег(/)2,о = 1п^ II/ — д|2,о: д(в) = 2-0Г-1 (а + 1) ^0 <(А(в;£)£2о+1^,

< € ¿2,, поэтому

Г00 ~

Ег2(/)2,о = 2"°Г-1 (а + 1) у |/-(8)|282о+1й8. (20)

Для функции f 6 L2,k (Rd) определим два модуля непрерывности

w(5,/)2,fc = sup(^/ (1 - Reefc(t, y))|f^k(y)|2d^fc(y^ , (21)

|t|^5 V JRd J

Wi(^,f)2,fc = sup (2 i (1 - (t|y|))|./fc(y)|2d^fc(y^ > 8 ^ 0. (22)

0<i<5 \ jRd /

Если f (|x|) 6 L2ad(Rd), то

/ г ж _ \1/2

w(8,f)2,fc = W(8,f)2,k = sup (2b-1/ (1 - (ts))|/(s)|2s2ffk+1ds ) .

0<i<5 \ jo /

(23)

Действительно, для f(|x|) 6 L2af(Rd) согласно (4), (5), (6), (8)

I (1 - Reefc(t,y))|,/fc(y)|2d^fc(y) = I |ffc(y)|2rf^fc(y)-

jRd jRd

f'OG ^ P

-c- / l/(s)|2s2fffc+1 / Re efc (si,y')vfc (y')dy'ds =

jo J Sd-1

f'OG ^ POO ^

= b- / |f,(s)|2s2ffk+1ds - c-afc / |f,(s)|2jCTk(s|t|)s2ffk+1ds =

00

Z1 ж ^

=b- / (1 ->k(s|t|))|/(s)|2s2ffk+1ds>

Jo

f (1 -M(t|y|))|f"k(y)|2d^fc(x) =

jRd

/*oo ^ r

= c-W (1 - M(ts))|f,(s)|2s2ffk+W vfc(y/)dy'ds =

Jo JSd-1

z1 Ж ^

= c-ak / (1 - M (ts))|/(s)|Vffk+1ds =

J 0

С ж ^

=b- / (1 -м(ts))|/(s)|2s2ffk+1ds.

0

Лемма 1. Для любой f 6 L2,k (Rd) и всех 8 ^ 0

W1 (8, f )2,fe < W(8, f )2,fe.

Доказательство. Действительно, согласно (6), (21), (22)

Wi2(8,f)2,fc = sup 2 f (1 -м(t|y|))|./fc(y)|2d№(У) =

0<i<5 jRd

= sup 2a-1 / [ (1 - Reefc(iy^))^(x/)dx/|</fc(y)|2d^fe(y) =

0<i<5 ,/Rd J Sd-1

= sup 2a-1 / / (1 - Reefc(ix/,y))|</fc(y)|2d^fc(y)vfc(x/)dx/ <

0<i<5 ,/Sd-1 J Rd

< a-1 / w2(8,f)2,fevfc(x/)dx/ = w2(8,f^fc.

Sd-1

Лемма доказана.

Модуль непрерывности функции f 6 £2,0- (R+) определим равенством

1/2

w(8,f)2,o = sup 21-°Г"1(а + 1W (1 - jo(is))|f(s)|2s2°+1d^ . (24)

0<i<5 V ./0 /

Константы Джексона в пространствах L2 k(Rd), ¿2,0(R+) определим равенствами

ni X Er(f)2,k

D(r,8,d)2,fe = sup ’ ,

f eL2,k(Rd) W(8, J )2,fc

Di (r, 8, d)2,k = sup

/ GL2,i

d(r, 8)2,0 = sup

Er (f )2,k

/ei2,t(Rd) W1(8’ f )2,k ’

Er (f )2,o

/eL2,CT(R+) w(8, f )2,0

По лемме 1

D(r, 8, d)2,fe < Di(r, 8, d)2,k.

(25)

Теорема 7. Если d Є N, r > 0, 8 > 0, = d/2 — 1 + ^ k(a), то

D(r, 8, d)2,fc = Di(r, 8, d)2,k = d(r, 8)2,0^ •

Доказательство. Согласно (19), (23)

d( 8) Er (f)2,k Er (f)2,k

d(r,8)2,ofc = sup ’ = sup — ’ •

/eL2°kd(Rd) w(8, f )2,fc /eLr°kd(Rd) w1(8,f )2,fc

Отсюда и из (25)

й(г, 8)2,0* < £(г, 8, й)2,к < А (г, 8, й)2,к. Остается доказать неравенство

^1(г,8,й)2’к < й(г, 8)

2’0* .

Для любой / € ¿2 к (Ж5) рассмотрим функцию

^(s) = ( a-1 I l/fc(sy;)|2vfe(y/)dy'

1/sd-1

1/2

30

Так как в силу (4)

гоо

W'lC = 6-W №М|2*2"‘+1* =

0

ж

= b-1a- / s2ok+W f(sy/)|2vk(yWds =

0 Sd-1

= If l2,k = If ll2,k <

то для функции

Z1 Ж

^(s) = b- / ^(t)j0k (st)i2°k+1dt 6 L2,0k (R+)

0

будет <£(s) = ^(s). Тогда в силу (18), (4), (5), (20), (22), (24) E2(f)2,fc = / |fk(y)|2d^fc(У) =

,/|y|^r

ж

= c- / s20k +1 |fk (sy/)|2^fc (y/)dy/ds =

Jr JSd-1

/Ж

s2°k+1|^(s)|2ds = Er2(^)2,0k.

Wl2(8,f)2,fc = sup 2 f (1 - jok (t|y|))|,/k (y)|2d^fc (y) =

0<i<5 jRd

ж

-1 I n A /'j.„\\„2CTk+1 / I m2„,

ж

= sup 2c-1 / (1 - jok(ts))s2°k+w |fk(sy/)|2vfc(y/)dy/ds

0^5 J0 JSd-1

Z1 ж

= sup 2b-W (1 - j0k (ts))|<?(s)|2s2°k+1ds = W2(8,^)2,0k.

0<i<5 J0

Таким образом, для любой / € ¿2 к (Ж5) существует функция < € ¿2,0* (Ж+) такая, что

Ег (/)2,к = Ег (<)2

,0*

^1 (8, /)2,к ^(8,<)2

,0*

Это доказывает неравенство (26). Теорема доказана.

Константы Джексона й(г, 8)2,0 были определены А.В. Московским [4] и независимо А.Г. Бабенко [34]. Они доказали, что

2<?о,1 \ 1

й г, , —

V г У 2,0 \/2

Д.В. Горбачев [33] доказал, что аргумент 2д0д/г является точкой Черныха. Отсюда и из теоремы 7 вытекает следующее утверждение.

Теорема 8. Если d Є N, r> 0, = d/2 — 1 + ^ k(a), то

D (r, , d^ = D1 (r, , d^ = —=. (27)

V ' / 2,к V ' / 2,к \/2

Точка Черныха в пространстве ¿2,к (Ж5) равна

’а(г) = ^ = л?(г)-

Для случая пространства ¿2 (Ж5) (к(а) = 0) точное неравенство Джексона

Ег(/)2 « ^

было доказано И.И. Ибрагимовым, Ф.Г. Насибовым [35] (й = 1), В.Ю. Поповым [36, 37] (й = 1, 2, 3), А.Г. Бабенко [34] и А.В. Московским [4] (для всех й). Равенства (27) для й = 1 доказаны Д.В. Чертовой [38].

Список литературы

1. Logan B.F. Extremal problems for positive-definite bandlimited functions I. Eventually positive functions with zero integral functions // SIAM J. Math. Anal. 1983. V.14, №2. P.249-252.

2. Черных Н.И. О неравенстве Джексона в L2 // Труды МИАН СССР. 1967. Т.88. С.71-74.

3. Arestov V.V., Chernykh N.I. On the L2-approximation of periodic functions by trigonometric polynomials // Approximation and functions spaces: proc. Interm. conf., Gdan’sk, 1979 / Amsterdam: North-Holland, 1981. P.25-43.

4. Московский А.В. Теоремы Джексона в пространствах Lp(Rn) и Lp,\(R+) // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1997. Т.4. Вып.1. С.44-70.

5. Бердышева Е.Е. Две взаимосвязанные экстремальные задачи для целых функций многих переменных // Матем. заметки. 1999. Т.66, №3. С.336-350.

6. Горбачев Д.В. Экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа // Матем. заметки. 2000. Т.68, №2. С.179-187.

7. Юдин В.А. Многомерная теорема Джексона в L2 // Матем. заметки. 1981. Т.29, №2. С.309-315.

8. Logan B.F. Extremal problems for positive-definite bandlimited functions II. Eventually negative functions // SIAM J. Math. Anal. 1983. V.14, №2. P.253-257.

9. Юдин В.А. Расположение точек на торе и экстремальные свойства полиномов // Труды МИР АН. 1997. Т.219. С.453-463.

10. Горбачев Д.В. Экстремальная задача для периодических функций с носителем в шаре // Матем. заметки. 2001. Т.69, №3. С.346-352.

11. Boas R.P., Kac M. Inequalities for Fourier transforms for positive functions // Duke Math. J. 1945. V.12, №2. P.189-206.

12. Siegel C.L. Uber Gitterpunkte in konvexen Korpern und damit zusammenhangendes Extremal problem // Acta Math. 1935. V.65. P.307-323.

13. Fejer L. Uber trigonometrische Polynome // J. Reine Angew. Math. 1916. V.146. P.53-82.

14. Юдин В.А. Упаковки шаров в евклидовом пространстве и экстремальные задачи для тригонометрических полиномов // Дискр. матем. 1989. Т.1, №2.

С.155-158.

15. Горбачев Д.В. Экстремальная задача для целых функций экспоненциального сферического типа, связанная с оценкой Левенштейна плотности упаковки Rn шарами // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2000. Т.6. Вып.1. С.71-78.

16. Cohn H. New upper bounds on sphere packings II // Geom. Topol. 2002. V.6. P.329-353.

17. Rosier M. Dunkl Operators: Theory and Applications. Lecture Notes in Math. V.1817. Berlin: Springer, 2003. P.93-135.

18. Dunkl C.F. Reflection groups and orthogonal polynomials on the sphere // Math. Z. 1988. V.197. P.33-60.

19. Dunkl C.F. Differential-difference operators associated to reflection groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1989. V.311. P.167-183.

20. Dunkl C.F. Integral kernels with reflection group invariance // Canad. J. Math. 1991. V.43. P.1213-1227.

21. Dunkl C.F. Hankel transforms associated to finite reflection groups // Contemp. Math. 1992. V.138. P.123-138.

22. Rosler M. Positivity of Dunkl’s interwining operator // Duke Math. J. 1999. V.98. P.445-463.

23. de Jeu M.F.E. The Dunkl transform // Invent. Math. 1993. V.113. P.147-162.

24. Xu Y. Funk-Hecke formula for orthogonal polynomials on spheres and on balls // Bull. London Math. Soc. 2000. V.32. P.447-457.

25. Левитан Б.М. Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка. М.: Гостехиздат, 1950.

26. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

27. de Jeu M.F.E. Paley-Wiener theorems for the Dunkl transform // Trans. Amer. Math. Soc. 2006. V.358. P.4225-4250.

28. Trimeche K. Paley-Wiener theorems for the Dunkl transform and Dunkl translation operators // Integral Transform. Spec. Funct. 2002. V.13. P.17-38.

29. Mejjaoli H., Trimeche K. Real Paley-Wiener theorems for the Dunkl transform on Rd // arXiv: math/050721V1 [math. FA] 11 Jul 2005.

30. Mejjaoli H., Trimeche K. Spectrum of functions for the Dunkl transform on Rd // Fract. Calc. Appl. Anal. 2007. V.10. P.19-38.

31. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977.

32. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965.

33. Горбачев Д.В. Избранные задачи теории функций и теории приближений и их приложения. Тула: Гриф и К, 2005. 192 с.

34. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве L2(Rm) // ИММ УрО РАН. Екатеринбург. 1998. Т.5. С.183-198.

35. Ибрагимов Н.И., Насибов В.Г. Об оценке наилучшего приближения суммируемой функции на вещественной оси посредством целых функций конечной степени // ДАН СССР. 1970. Т.194, №5. С.1013-1016.

36. Попов В.Ю. О наилучших среднеквадратических приближениях целыми функциями экспоненциального типа // Изв. вузов. Матем. 1972. №6. С.65-73.

37. Попов В.Ю. О точных константах в неравенствах Джексона для наилучших сферических среднеквадратичных приближений // Изв. вузов. Матем. 1981. №12. С.67-78.

38. Чертова Д.В. Теоремы Джексона в пространстве Ь2(М) со степенным весом // Изв. ТулГУ. Естеств. науки. 2009. Вып.3. С.100-116.

Иванов Алексей Валерьевич ([email protected]), ассистент, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Some extremal problems for entire functions in weighted spaces

A.V.Ivanov

Abstract. Logan, Fejer, Turan, Delsarte problems for entire functions of exponential type from Li,k (Rd) space with (x) = n aeR+ |(a,x)|2k(a) weight, are solved. This weight is defined by positive subsystem R+ of finite root system R C and G-invariant function k(a) : R ^ R+. Chernykh point in exact Jackson inequality in L2,k(Rd) space is found.

Keywords: reflection group, Dunkl transform, entire functions of exponential type, Logan, Fejer, Turan, Delsarte problems, Jackson constants.

Ivanov Alexey ([email protected]), assistant, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 15.01.2010