CC BY
78
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 18 Выпуск 4
УДК 517.5 DOI 10.22405/2226-8383-2017-18-4-139-166
НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ
______О
ПРИБЛИЖЕНИИ1
Д. В. Горбачев, В. И. Иванов, Е. П. Офицеров, О. И. Смирнов
(г. Тула)
Аннотация
Работа посвящена обзору основных результатов, полученных при решении экстремальных задач Турана и Дельсарта на торе; экстремальных задач Турана, Фейера, Дельсарта, Бомана и Логана на евклидовом пространстве, полупрямой и гиперболоиде. Приводятся также результаты, полученные при решении близкой задачи об оптимальном аргументе в модуле непрерывности в точном неравенстве Джексона в пространстве L2 на евклидовом пространстве и полупрямой. Большая часть результатов была получена авторами обзора. В основу обзора лег доклад, сделанный В.И. Ивановым на симпозиуме «6th Workshop on Fourier Analysis and Related Fields, Pecs, Hungary, 24-31 August 2017». Решается также задача об оптимальном аргументе на гиперболоиде. В качестве основного аппарата при решении экстремальных задач на полупрямой используются квадратурные формулы Гаусса и Маркова на полупрямой по нулям собственных функций задачи Штурма^Лиувилля. Для многомерных экстремальных задач осуществляется редукция к одномерным задачам с помощью усреднения допустимых функций по евклидовой сфере. Во всех случаях экстремальная функция единственна.
Ключевые слова: преобразования Фурье, Ганкеля и Якоби, экстремальные задачи Турана, Фейера, Дельсарта, Бомана и Логана, квадратурные формулы Гаусса и Маркова.
Библиография: 60 названий.
SOME EXTREMAL PROBLEMS OF HARMONIC ANALYSIS AND APPROXIMATION THEORY
D.V. Gorbachev, VI. Ivanov, E.P. Ofitserov, O.I. Smirnov (Tula)
Abstract
The paper is devoted to a survey of the main results obtained in the solution of the Turan and Fejer extremal problems on the torus; the Turan, Delsarte, Bohmann, and Fogan extremal problems on the Euclidean space, half-line, and hyperboloid. We also give results obtained when solving a similar problem on the optimal argument in the module of continuity in the sharp Jackson inequality in the space L2 on the Euclidean space and half-line. Most of the results were obtained by the authors of the review. The survey is based on a talk made by V. I. Ivanov at the conference «6th Workshop on Fourier Analysis and Related Fields, Pecs, Hungary, 2431 August 2017». We solve also the problem of the optimal argument on the hyperboloid. As the basic apparatus for solving extremal problems on the half-line, we use the Gauss and Markov quadrature formulae on the half-line with respect to the zeros of the eigenfunctions of the Sturm-Liouville problem. For multidimensional extremal problems we apply a reduction to one-dimensional problems by means of averaging of admissible functions over the Euclidean sphere. Extremal function is unique in all cases.
Keywords: Fourier, Hankel, and Jacobi transforms, Turan, Fejer, Delsarte, Bohman, and Fogan extremal problems, Gauss and Markov quadrature formulae.
Bibliography: 60 titles.
1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 16-01-00308.
1. Введение
Работа посвящена обзору основных результатов, полученных при решении экстремальных задач Турана и Дельсарта на торе, экстремальных задач Турана, Фейера, Дельсарта, Бо-мана и Логана на евклидовом пространстве, полупрямой и гиперболоиде. Приводятся также результаты, полученные при решении близкой задачи об оптимальном аргументе в точном неравенстве Джексона в пространстве L2. В основу обзора лег доклад, сделанный В.И. Ивановым на конференции «6th Workshop on Fourier Analysis and Related Fields, Pecs, Hungary, 24-31 August 2017».
Напомним историю этих задач для тора и евклидова пространства.
В 1970 году П. Тураном в частной беседе со С.Б. Стечкиным была поставлена экстремальная задача о наибольшем среднем значении четной непрерывной 1-периодической функции с неотрицательными коэффициентами Фурье, фиксированным значением в нуле и носителем на отрезке [-h, h], 0 ^ h ^ 1/2. Неотрицательность коэффициентов Фурье функции эквивалентна ее положительной определенности. Постановка этой задачи возникла в связи с приложениями в аналитической теории чисел. Следуя Стечкину, эту задачу стали называть задачей Турана.
С.Б. Стечкин [1] решил задачу Турана для рациональных h = Д.В. Горбачев и A.C. Ма-
h
дачи Фейера [3] и получили решение задачи Турана для ряда рациональных последователь-hh [4, 5]. Полное решение задачи Турана было получено В.И. Ивановым [6, 7]. Оно позволило
[-h, h]
заменяется на менее ограничительное условие ее неположительности. Экстремальная функция в задаче Турана оказалась экстремальной и в задаче Дельсарта.
H.H. Андреев [8] рассмотрел многомерную периодическую задачу Турана для функций с носителем в кубе и ромбе. Д.В. Горбачев [9] доказал, что периодическая задача Турана для функций с носителем в выпуклом центрально-симметричном компактном теле асимптотически эквивалентна аналогичной непериодической задаче Турана на евклидовом пространстве Rd.
Непериодический вариант задачи Турана появился задолго до ее постановки в периодическом случае. Еще в 1935 году К.Л. Зигель [10] решил задачу о наибольшем среднем значении непрерывной в Rd функции, положительно определенной или, что тоже самое с неотрицательным преобразованием Фурье, фиксированным значением в нуле и носителем в евклидовом шаре. С помощью решения этой задачи Зигель предполагал получить точную форму теоремы Минковского о точке решетки. Однако решение Зигеля было не замечено." Оно было переоткрыто Р.П. Боасом и М. Кацем [11] в одномерном случае, и Д.В. Горбачевым [9] в многомерном случае. Другое доказательство было предложено M. 11. Колонзакисом и Сц.Д. Ревешем [12].
Задача Турана в Rd исследовалась и для других выпуклых центрально-симметричных компактных тел. В.В. Арестов и Е.Е. Бердышева [13, 14] решили задачу Турана для политопов, замощающих Rd с помощью решетки, а М.Н. Колонзакис и Сц.Д. Ревеш [12, 15, 16] — для спектральных тел. Отметим, что указанные политопы являются спектральными телами, но евклидов шар спектральным не является.
Во всех известных случаях решения задачи Турана в Rd экстремальное значение равно объему половины тела, а экстремальной функцией с точностью до постоянного положительного множителя является свертка характеристической функции половины тела с нею самой. Тела с такими свойствами были названы телами Турана. В настоящий момент не известно примеров тел, не являющихся телами Турана.
Если задачу Турана в Rd переформулировать, переходя от функций к их преобразованиям Фурье, то мы придем к экстремальной задаче Фейера для неотрицательных целых функций многих переменных экспоненциального типа. Для неотрицательных тригонометрических по-
линомов одной переменной она была поставлена и решена Л. Фейером [3]. Для неотрицательных целых функций одной переменной экспоненциального типа она была решена Р.П. Боасом и М. Кацем [11].
Если в задаче Турана для шара условие равенства функции нулю вне шара заменить на условие неположительности, мы получим задачу Дельсарта.
До последнего времени решение задачи Дельсарта было известно только в одномерном случае, когда экстремальная функция в задаче Турана является экстремальной и в задаче Дельсарта. В 2016 году М. Вязовская [17] решила задачу Дельсарта в размерности 8, а X. Кон,
A. Кумар, С. Миллер, Д. Радченко и М. Вязовская [18] решили ее в размерности 24. Это позволило им пполучить решение проблемы упаковки евклидова пространства в размерностях 8 и 24.
Множество целых функций экспоненциального типа плотно в пространстве L(Rd). Была надежда получить решение Дельсарта для шара на пути ее решения для целых функций произвольного экспоненциального сферического типа. Однако это удалось сделать только при одном соотношении между радиусом шара и типом функции. Этот вариант задачи Дельсарта решили Д.В. Горбачев [19] и независимо X. Кон [20]. Экстремальная функция была построена ранее В.И. Левенштейном [21] и В.А. Юдиным [22].
В задаче Бомана необходимо вычислить наименьший второй момент для интегрируемых неотрицательных целых функций экспоненциального сферического типа с фиксированным нулевым моментом. Эта задача имеет приложения в теории вероятностей и теории приближений. Экстремальная функция является плотностью случайной величины с наименьшим вторым моментом. Ее преобразование Фурье является генератором хорошего линейного положительного метода приближения, известного как метод Бомана-Коровкина [23, 24].
Эта задача в одномерном случае была поставлена и решена X. Боманом [25]. В многомерном случае она решена В. Эмом, Т. Гнейтингом и Д. Ричардсом [26].
В задаче Логана необходимо вычислить радиус наименьшего шара, вне которого нетривиальная положительно определенная целая функция экспоненциального сферического типа неположительна.
Эта задача в одномерном случае была поставлена и решена Б. Логаном [27, 28]. В многомерном случае она решена Д.В. Горбачевым [29]. Экстремальная функция в одномерном случае ранее была построена Н.И. Черных [30], а в многомерном случае — В.А. Юдиным [31]. Е.Е. Бердышева [32] решила эту задачу, когда шар заменяется на куб, используя конструкцию
B.А. Юдина экстремальной функции. Она доказала, что для любого выпуклого центрально-симметричного компактного тела задача Логана эквивалентна задаче об оптимальном аргументе в модуле непрерывности, определяемом этим телом, в точном неравенстве Джексона в пространстве L2(Rd).
Доказательство неравенств Джексона в пространствах L2 с точной константой и оптимальным аргументом в модуле непрерывности является важным направлением исследований по экстремальным задачам теории приближений. Первые результаты в этом направлении были получены Н.И. Черных [30, 33] для одномерного тора T.
Точная константа в неравенстве Джексона в L2, зависящая от приближающего подпространства и модуля непрерывности, имеет глобальный минимум. Если фиксировать приближающее подпространство, то минимальное значение аргумента в модуле непрерывности, при котором константа Джексона становится наименьшей, называется оптимальным аргументом.
В многомерном случае оптимальный аргумент зависит как от геометрии спектра V приближающих целых функций, так и геометрии окрестности нуля U С Rd в определении модуля непрерывности. Д.В. Горбачев [29] нашел оптимальный аргумент, когда оба тела являются евклидовыми шарами. Е.Е. Бердышева [32] нашла оптимальный аргумент в неравенстве Джексона в L2(Rd), когда тело V есть ^-шар, 1 ^ р ^ 2, а U — куб. A.B. Иванов и В.И. Иванов [34]
перенесли ее результаты на случай параллелепипеда, который оказался сложнее и потребовал развития конструкции В.А. Юдина экстремальной функции в задаче Логана.
Перейдем к точным постановкам экстремальных задач и формулировкам результатов, полученных при их решении. Мы ограничимся экстремальными задачами на локально компактных многообразиях, имеющими общие подходы к их решению.
2. Экстремальные задачи для преобразования Фурье на Rd
Пусть
Ff (У) = / f (Ф-{Х'У) dx
JRd
— преобразование Фурье функции f,
(f * д)(%) = f - У)9(У) dx
JRd
— свертка функций f и д, V — выпуклое центрально-симметричное компактное тело в Rd, |ж|
— евклидова длина вектора х G Rd, — евклидов шар радиуса 1 с центром в нуле, хе — характеристическая функция множества Е, Ja(t) — функция Бесселя порядка а ^ -1/2 Qa
— ее наименьший положительный нуль, ja(t) = 2аГ(а + 1)Ja(t)/ta — нормированная функция Бесселя.
Задача Турана. Вычислить величину
Т(V, Rd) = sup / f (х) dx,
JRd
если
f G Cb(Rd), f (0) = 1, supp f С V, Ff (y) > 0. Задача Фейера. Вычислить величину
F(V, Rd) = sup g(0),
если
g G L1(Rd) П Cb(Rd), g(y) > 0, f g(y) dy = 1, suppF-1g С V.
(Ща JRd
По теореме Пэли-Винера множество допустимых функций в задаче Фейера совпадает с множеством неотрицательных целых функций экспоненциального типа, определяемого полярой тела V.
Допустимые функции в задаче Фейера являются преобразованиями Фурье допустимых функций в задаче Турана и обратно, поэтому
Т(V, Rd) = F(V, Rd).
Напомним, что тело V называется замощающим, если V + L = Rd для некоторой решетки L и для любых различных Ai, Л2 G L ^ета V + Ai, V + А2 пересекаются по множеству меры нуль. Тело V называется спектральным, если для некоторого дискретного множества Л С Rd семейство экспонент {ег(Л'ж) : A G Л} является ортогональным базисом в пространстве L2 (V).
Для простоты записи экстремальные функции будем указывать здесь и далее с точностью до положительного постоянного множителя.
Теорема 1 [10, 9, 11, 12, 14]. Если тело V — евклидов шар или замощающее, или спектральное, то в задачах Турана и Дельсарта
Т(V., Мй) = ^(V., Мй) =
1V
2
йх.
Чу 2 у
Единственные экстремальные функции имеют вид
/У = X 1у * X 1у, 9У = .
Задача Дельсарта. Вычислить величину
МЛ) = апр1 /(х) йх,
если
/ е Ь1(Мй) П Сь(Ма), / (0) = 1, / (х) < 0, И ^ 5, ту (у) ^ 0.
Величина В(8Вй, Мй) дает хорошую оценку сверху плотности упаковки пространства Мй. Она вычислена только при й = 1, 8, 24, когда получаемые оценки плотности упаковки точны.
Модифицированная задача Дельсарта. Вычислить величину
В(гВ^,8В^, Мй)=жр[ д(у) йу,
Jмd
если
д е Ь1(Мй) П Сь(Ма), д(0) = 1, д(у) < 0, \у\ ^ 5, впррТ-1д С гВй, Т-1д(у) > 0.
По теореме Пэли-Винера функции в модифицированной задаче Дельсарта являются целыми функциями экспоненциального сферического типа не выше г, принадлежащими пространству Ь1(Ма).
Модифицированная задача Дельсарта решена только в единственном случае в = 2д^/2/г. Теорема 2 [19, 20]. Если в = 2дЛ/2/г, то в модифицированной задаче Дельсарта
„ цй щ>й\ _ ( I ^^
0(гВ%, Мй) = ( / йх)
Единственная экстремальная функция имеет вид
( , ?ф(№/2) 9г (Х) = ----2 .
1 - (\х\г/2дф)
Задача Бомана. Вычислить величину
В(гВ%, Мй)=[и{[ \у\2д(у) йу,
д е ь1 (Мй) П Сь(Мй), д(у) > 0, [ д(у) йу = 1, впррТ-1д С тВй.
По теореме Пэли-Винера функции д в задаче Бомана являются целыми функциями экспоненциального сферического типа не выше г, принадлежащие пространству Ь1(М*). Можно считать, что 1у12д € Ь1 (№.*), так как значение интеграла 1у12д(у) йу = заведомо не является наименьшим.
Теорема 3 [25, 26]. В задаче Бомана
В (г В*, &) = ( ^^ )2. Единственная экстремальная функция имеет вид
Я/2-1(1*Ш
gr(х) =
(1 -(^ r/2 <te/2-i)2)2
Пусть U, V — выпуклые центрально-симметричные компактные тела в Rd, | ■ |у, | ■
нормы, определяемые этими телами, и
Л(д,V) = sup{|y|y : g(y) > 0}.
Задача Логана. Вычислить величину
L(V,TU, Rd) = 'т{Л(д,V),
если
д G L1(Rd) nCb(Rd), д^ 0, suppF-1g CtU, F-1g(у) > 0. Для величины L(V, tU, Rd) справедливо равенство
Теорема 4 [27, 28, 29]. Если V = U = Bij, mo в задаче Логана
L(BiBi Rd)=2qd/2-1. Единственная экстремальная, функция имеет вид
g(x) =
rd/2-1(lXl/2)
1 -{lxl/2q d/2-iJ 2
Пусть a = (a1,..., ad), aj > 0 Па = Пd-=1 — параллелепипед,
d 1 /
ba = (0^,...,^), lxlp = (E lX3 lP) P, 1 ^P < Bi = {x G Rd: lxlP < 1}. a1 ad .=1
Теорема 5[32, 34]. Если 1 ^ p ^ 2,V = Bp, U = Па, то в задаче Логана
L(Bdp, Па, Rd) = lbalP.
Единственная экстремальная функция имеет вид
Р 1аз У-р„2\ ТТ сов2(азхз/2)
**) = ( I <><• \ I - £( П ^ - ^ ч
3 = 1 3 = 1 3
^ ^ 3;1\(1 - (азхзм2)2'
Пусть для функции $ е Ь2(Мй)
Е(/,аУ)2 = 1Ш{||/- дЬ : д е Ь2(Мй), 8пррТд С оУ}
— величина ее наилучшего приближения частичными интегралами преобразования Фурье со спектром в теле аУ, где норма
2 . ^/2
II/12 =([ 11 (X) \2 йх)
По теореме Пэли-Винера она совпадает с величиной наилучшего приближения классом целых функций экспоненциального типа, определяемого полярой аУ*, принадлежащих пространству Ь2(Мй).
Модуль непрерывности функции $ е Ь2(Мй) определяется равенством
ш(ти, /)2 =впр( [ I/(ж +1) - /(х)12 йх) / гети\ Jмd /
Константа Джексона
В(аУ,ти, М% = впр{Щ^)2 : / е Ь2(Мй)\ [Ш(ти,1 )2 J
есть наименьшая константа в неравенстве Джексона
Е(¡,аУ)2 < Бфи,})2.
Для константы Джексона справедливо равенство
Б(аУ,ти, Мй)2 = Б(У, £ V,
поэтому можно считать, что а = 1. Известно, что для всех Ужи
Б(У,ти, Мй)2 ^ .
Величина
т(У,и, Мй) = М {т> 0: 0(У,т~и, Мй)2 = 2-1/2} называется оптимальным аргументом. Теорема 6 [32]. Для всех тел У, и,
т (У,и, Мй) = Ь(У,и, Мй).
Из теорем 5, 6 вытекают точные значения оптимальных аргументов для пар и
(Вй, П), 1 < р < 2.
3. Экстремальные задачи для преобразования Ганкеля на полупрямой
Экстремальные функции в задачах для евклидова шара являются радиальными. Усреднением функций по сфере с нормированной мерой йш(х'),
Sf (r) = / f(rx' )du(x' ),
J 3d-1
многомерные экстремальные задачи сводятся к аналогичным одномерным экстремальным задачам для преобразования Ганкеля на полупрямой. В случае евклидова шара к экстремальным задачам для преобразования Ганкеля сводятся и экстремальные задачи для преобразования Данкля (см. [35, 36, 47]).
Пусть а ^ -1/2 dl'ait) = (2аГ(а + 1))-1t2a+1 dt — нормированная степенная мера на R+,
и
Ш. f)( X) = f (t)ja(xt)dua(t)
J о
— преобразование Ганкеля. Отметим, что "Н-1 = %а-
Сужение преобразования Фурье на радиальные функции приводит к преобразованию Ганкеля са = d/2 — 1. В этом случае
h/2-i(t)= / dw(t), M = t.
В пространстве L2(R+, dua ) с нормой
II/Ik^ = (Jq~ If(t)ldua(t))1/2
действует положительный оператор обобщенного сдвига Гегенбауэра
Tff (х) = ja(tX)ja(xX)Ha(f)(X)dva(X), t,x G R+, о
который может быть распространен на пространства Lp(R+,dva), 1 ^ р ^ то, причем для любого t G R+ ||Т4||р^р = 1. Оператор обобщенного сдвига позволяет определить свертку [38]
rœ
( f * 9){x)= Tff (x)g(t) d/j,(t). J 0
/0
Пусть Xr(t) — характеристическая функция отрезка [0, г]. Задача Турана. Вычислить величину
Ta(r, R+) = sup f(t)dua(t), 0
если
feCb(R+), f(0) = l, suppf С [0, r], na(f)(X) > 0. Задача Фейера. Вычислить величину
Fa(r, R+)=supg(0),
g G L1(R+, dva) П Cb(R+), g (y) ^ 0,
/•те
/ д(Х) dva(X) = 1, suppНа(д) С [0, г].
J0
По теореме Пэли-Винера преобразование Ганкеля множества допустимых функций в задачей Фейера совпадает с множеством четных неотрицательных целых функций экспоненциального типа не выше г.
Теорема 7. В задачах Турана и Фейера
Г г/2
Та(г, М+) = Ра(г, М+)= йиа(1),
Jo
единственные экстремальные функции имеют вид
¡г(-1) = (Хг/2 * ХфШ, 9г(X) = сПа(/г)(Х) = й+1(Хг/2). Задача Дельсарта. Вычислить величину
г те
Оа(8, М+)=впр /(I) йиа(1), Jo
если
f е LL(R+,dua) nCb(R+), f (0) = 1, f (t) < 0, t > s, Ha(f)(X) > 0.
Эта проблема решена только для а = -1/2, 3, 11. В [17, 18] задачи Дельсарта решены именно для преобразования Ганкеля.
Модифицированная задача Дельсарта. Вычислить величину
/•те
г, в, М+) = вир д(Х) йиа(Х), Jo
деЬ1(М+,йиа) ПСь(М+), д(0) = 1, д(Х) < 0, А ^ впррПа(д) С [0, г], На(д)(X) ^ 0.
если
Теорема 8. В модифицированной задаче Дельсарта
Оа(Г, , М+) = ( ¡Г// ^а(Х))'1,
единственная экстремальная функция имеет вид
й+1( А г/2)
9r(У) =
1 - (Хг/2qa+iy
Задача Бомана. Вычислить величину
/•те
Ba(r, R+) = ini Х2д(X) dua(X), Jo
д е Li(R+, dva) П Cb(R+), g(X) > 0,
те
/ g(X)dva(X) = 1, suppПа(д) С [0,r\. o
Теорема 9. В задаче Бомана
Mr, R+) = (^)2,
единственная экстремальная функция имеет вид
»( *) = ,
(1 - [Аг/2qa) J
Пусть g — действительная непрерывная функция, Л(д) = sup{A : д(А) > 0}. Задача Логана. Вычислить величину
La(г, R+)=ЫЛ(д),
если
д е L\R+, dva) П Cb(R+), д(А) ф 0, suppПа(д) С [0, г], Па(д)(А) ^ 0.
Теорема 10. В задаче Логана
La(г, R+) = 2^, единственная экстремальная функция имеет вид
эКАф)
9г(Х)=
1 - (\г/2да)
Пусть для функции / £ Ь2(М+, dиа)
Ец(/)2,<ь,а = М {\\/-дЬ,л,а :д еЬвпррПа(д) с [0,Щ}
— величина ее наилучшего приближения частичными интегралами преобразования Ганкеля.
По теореме Пэли-Винера она совпадает с величиной наилучшего приближения классом четных целых функций экспоненциального типа не выше К.
Модуль непрерывности функции / е Ь2(М+, duа) определяется равенством
/ г ^ \ 1/2
ш(5, /)2,4иа =ыр( Т\/(■) - /(х)\2(х) dua(х)) .
Константа Джексона
D(R,5, R+b,^ =sup{ \2,ш,а : feL2(R+,dva)
En(f) 2,dva_f т2/
U(f)2,dua
есть наименьшая константа в неравенстве Джексона
Ы/)
Известно, что для всех К, 5 > 0
0(К,5, R+)2Ava > ^.
Величина
т(К, М+Ь,^ =т£ {¿> 0: 0(К,5, М+Н^ =2-1/2} называется оптимальным аргументом.
Теорема 11. Если а ^ -1/2, К > 0, то
г(К, К+)2гЛ/а = 2-К.
Для любой функции f е £2(М+, (1 иа) справедливо неравенство Джексона с тонной константой и оптимальным аргументом в модуле непрерывности
. 1 ..(-Ч>
!, Л V,
л/2 V К ' / 2,dva'
Отметим, что оптимальный аргумент совпадает с экстремальным значением в задаче Ло-гана.
Теоремы 7-11 были доказаны Д.В. Горбачевым [29, 9, 19, 40, 39]. Он же доказал и единственность экстремальных функций.
Универсальный метод решения этих задач состоит в применении квадратурных формул Гаусса и Маркова на полупрямой по нулям функции Бесселя (С. Фрапье и П. Оливер [41], Г.Р. Грозев и К.И. Рахман [42], Р.Б. Ганем и С. Фрапье [43]).
Пусть Е\ — множество четных целых функций экспоненциального типа не выше г, для которых сужения на М+ принадлежат ^(М+, йиа), 0 < да,1 < ... < дап < ... — положительные нули функции Бесселя ,1а(1).
Теорема 12. Для любой функции д е Е\ справедлива квадратурная, формула Гаусса с положительным,и весам,и,
рте те
/ д( Х)йиа(Х) = (г)д(-Яа,к/г). (1)
]0 к=1
Ряд в (1) сходится, абсолют,но.
Теорема 13. Для любой функции д е Е\ справедлива, квадратурная, формула Маркова с положительными весам,и,
рте те
/ д(Х)^а(Х)=11ао(г)д(0)^11ак (г)д(-да+1,к/г). (-)
]о к=1
Ряд в (2) сходится абсолютно.
Покажем как применяется формула Гаусса, например, при решении задачи Бомана. Так как допустимая функция д е ЕХ2д е Ед(Х) ^ 0, и /0те д(Х) йиа(Х) = 1, то применяя квадратурную формулу Гаусса два раза, получим
гте
2
х29(Х) (Х) = а, к/г )2д (-да,к/т)
к=1
те
^ (-да,1/г)2^2^а,к(г)д(-да,к/г)
к=1
те
= (-Яа,1/г)2 д(Х) й^а(Х) = (-да>ф)2. ■)о
о
Экстремальная функция дг(X) в точках 2/г, к ^ 2 должна иметь двойные нули. Этим требованиям удовлетворяет функция
* (X) = ^^.
1
(l -{Аг/2qa) У
Недавно [44] мы доказали квадратурные формулы Гаусса и Маркова на полупрямой по нулям собственных функций задачи III гур.ма . Iii.vihi. i. 1я при некоторых естественных предположениях на весовую функцию w. В частности, они выполняются для степенного веса w(t) = 12а+\ а ^ -1/2 и гиперболического веса
w(t) = (smht)2a+\cosht)2l3+1, а ^ 0 ^ -1/2.
Пусть Ао ^ 0, и задача Штурма-Лиувилля
д
д / д \
— [w(t) — ux(t)j + {А2 + \20)w(t)ux(t) = 0,
и\(0) = 1, (0) = 0, А,1 е R+,
имеет спектральную меру da(X) = в(А) dА, s(X) х А2а+\ А ^ и собственную функцию <^(t, А), которая является четной аналитической функцией t на R и четной целой функцией экспоненциального типа |i| по А. Пусть 0 < А1(Ь) < ... < Ак(t) < ... — положительные нули (p(t, А) по А.
Пусть (p0(t) = <p(t, 0^ u(t, А) = <p(t, А)/<р0(1), 0 < А[(t) < ... < А'к(t) < ... — положительные нули ^u(t, А) по А, Щ — множество четных целых функций экспоненциального типа не выше г, сужения которых на R+ принадлежат L1(R+,da).
Theorem 14. Для любой функции g е Е\ справедлива квадратурная, формула Гаусса с положительны,м,и весам,и
рте те
/ д( А)da(А) = J2ъ (г)д(Ак (г/2)). (3)
Jo к=1
Ряд в (3) сходится, абсолютно.
Theorem 15. Для любой функции g е Е\ справедлива квадратурная, формула Маркова с положительными весам,и
рте те
/ д(А) daW = -)0(r)g(0) + Е ik(г)д(А'к(Г/2)). (4)
Jo к=1
Ряд в (4) сходится абсолютно.
4. Экстремальные задачи для преобразования Якоби на R+
В случае гиперболического веса
w(t) = w(a^(t) =22?(smht)2a+1(cosht)2P+1, te R+, а ^ -1/2,
где р = а + Р + 1 = Ао, собственная функция есть функция Якоби, записываемая с
помощью гипергеометрической функции,
Ы1) = = F(^; а + 1; -(sinh t)').
2
Пусть мера dp(t) = dp(a'l3)(t) = w(t) dt,
2Р-гХГ(а + 1)Г( i А)
s( А) = (2тг)
Г((p + iА)/2)Г((р + iА)/2 -p)
йа(Х) = й(т(а,Р>(Х) = в(Х) dХ — спектральная мера.
Прямое и обратное преобразования Якоби определяются равенствами
тете
Л (Х)= / (1)!рх(1)й(л(1), 5-1д (1) = д(Х)<рх(1)(Ь(Х).
00
В пространстве Ь2(М+, й/л) с нормой
/ Сте \ 1/2
24, = ц I¡тл^))
действует положительный оператор обобщенного сдвига
Т1!(х) = [ 1рх(1)1рх(х)а/(Х) йа(ХХ), 1,х е М+,
JR+
который может быть распространен на 1 ^ р ^ ж, причем для любого
Ь е К+ \\Т\\р^р = 1. Оператор обобщенного сдвига позволяет определить свертку [45, 46]
( f * д)(х)= I Т f(x)g(t)dp(t).
JR+
Задача Турана. Вычислить величину
Таф(г, R+) = sup Jf(0) = sup f(t)<p0(t) dp(t),
JO
если
feCb(R+), f(0) = 1, suppf С [0,r], Jf(A) > 0.
Задача Фейера. Вычислить величину
FaJi(г, R+) = supg(0),
если
geL1(R+,da) nCb(R+), д(А) ^ 0, / g(А) da(A) = 1, supp J-1g С [0, г].
O
По теореме Пэли-Винера для преобразования Якоби множество допустимых функций в задаче Фейера совпадает с множеством четных неотрицательных целых функций экспонен-
Пусть их(1) = <Рх(1)/<Ро(1), = Ч>0>
Теорема 16[47]. В задачах Турана и Фейера
Г г/2
Taß ( г, R+) = Faß ( г, R+) = A(t)dt,
J0
единственные экстремальные функции имеют вид
/ Aux(r/2) \ 2
fr (t) = (<fi0Xr/2 * <fi0Xr/2)(t), 9r (А) = cj fr (А) = i -)
Задача Дельсарта. Вычислить величину
г те
Da,/3(s, R+) = sup Jf(0) = sup f(t)<po(t)dfi(t),
о
если
f e Li(R+, dfi) П Cb(R+), f(0) = 1, f(t) < 0, s, Jf(X) > 0.
Решение этой задачи известно только для а = 0 = -1/2, когда преобразование Якоби совпадает с косинус-преобразованием Фурье.
Модифицированная задача Дельсарта. Вычислить величину
г те
Da,i3(г, s, R+) = sup J-1д(0) = sup д(А) da(А),
о
если
д£Ь1^+^а) ПСЬ^+), д(0) = 1, д(Х) < 0, X ^ 8ирра-1д с [0, г], 5-1д( X) ^ 0.
Модифицированная задача Дельсарта решена только в одном случае в = Х[(г/2\ где Х[(Ь) есть наименьший положительный нуль функции по X.
Теорема 17 [48]. В модифицированной задаче Дельсарта
Daß ( г, Х[(г/2), R+) = " A(t) dt) единственная экстремальная функция имеет вид
* ( д)=i^M.
1 - [Х/Х[ (г/2)
Задача Бомана. Вычислить величину
(■те
к 2 |
/•те
Baß(г, R+) = inf (X2 + р2)д(Х) da(X),
J0
если
1
geL1(R+,da) nCb(R+), g(X) ^ 0,
те
/ д(X)da(X) = l, supp J-1g С [0,г]. Jo
Пусть Xi(t) — наименьший положительный нуль функции Якоби p\(t) по X.
Теорема 18 [49]. В задаче Бомана
Ва?(г, М+) = Х2(т/-) + р2, единственная экстремальная функция имеет вид
Ух(Г/-)
9г(Х) =
(1 -(Х/Х1(г/-)) У
Напомним, что Л(д) = вир{Х > 0 : д(Х) > 0}. Задача Логана. Вычислить величину
Ьа,?(г, Ж+) = -т{Л(д),
если
деЬ1(К+,йа) ПСЬ^+), д(Х)ф 0, вирр J-1д С [0, г], J-1д(Х) ^ 0.
Теорема 19 [50]. В задаче Логана
Ьа(г, Ш+) = Х1(г/-),
единственная экстремальная функция имеет вид
Ух(Г/-)
9г(Х) =
1 -(Х/Х1(г/-)) 2
Пусть для функции f е Ь2 (М+, й/л)
Ея(Л24, = ^{\\f-9hdn : 9 е Ь2(Ш+,с1р), виррЗд С [0,К]}
— величина ее наилучшего приближения частичными интегралами преобразования Якоби. По теореме Пэли-Винера она совпадает с величиной наилучшего приближения классом
К
Модуль непрерывности функции $ е Ь2(М+, й/л) определяется равенством
Гте \ 1/2
2
Ы(6, Л24, = вир ( ГтI/(•) - ¡(х)12(х)й/л(х)] о<<6о /
0« \.7о
Константа Джексона
Б(К, 5, Ш+)24, = вир/ ЕЯУ12^ : ¡еЬ2(Ш+, йр) \
есть наименьшая константа в неравенстве Джексона
Ея(/)2,Л, ^ Ош(5, /)2,Л,. К, > 0
И(К,5, Ш+)2,л, > -1-.
Величина
т(R, R+h,d„ = inf {5> 0: D(R,5, R+h,d„ = 2-1/2} называется оптимальным аргументом.
R > 0
т(R, М+Ьд. = Xi(R/2).
Для любой функции f G L2(M+, d/л) справедливо неравенство Джексона с тонной константой и оптимальным аргументом в модуле непрерывности
ER(f)2,d» < ^{Xl(R/2), f)2Ai.
Отметим, что оптимальный аргумент совпадает с экстремальным значением в задаче Ло-гана. Многомерный вариант теоремы 20 доказан в [52].
Рассматриваемые экстремальные задачи для преобразования Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля решены в [53, 54, 47].
5. Экстремальные задачи для преобразования Фурье на гиперболоиде H d
Пусть d G N d > 2, Md — d-мерное действительное евклидово пространство со скалярным произведением (х, у) = х1у1 + ... + xdyd и норм ой 1x1 = \JJx~x),
Sd-1 = {х G Md : Ixl = 1}
— евклидова сфера, М^'1 — ( d + 1)-мерное действительное псевдоеклидово пространство с билинейной формой [х, у] = -х1у1 — ... — xdyd + xd+1 уа+1:
H = {х G М^'1 : [х,х] = 1, xd+1 > 0}
— верхняя пола двуполостного гиперболоида,
d(x, у) = arc cosh[x, у] = \n([x,y] + лДх^у]2—!)
— расстояние между х,у G Пара (Hd,d(-, ) известна как пространство Лобачевского.
Пусть х0 = (0,..., 0,1) G Hd, d(x,x0) = d(x), r > 0, BT = {x G Hd : d(x) < r} — шар радиуса r с центром в точке хо в пространстве Лобачевского. Пусть t > 0 V G Sd-1, x = (sinhi r], cosht) G Hd,
d/j.(t) = dn((d-2)/2'-1/2) (t) = 2d-1 sinhd-1t dt = w(t) dt, doo(v) = jgd-T| df], dv(x) = dn(t)dw(rj)
— лебеговы меры на М+, Sd-1 и соответственно. Отметим, что duo — вероятностная мера на сфере, инвариантная относительно группы вращений SO(d), а мер a dv — инвариантна относительно группы гиперболических вращений SOo(d, 1).
Пусть A G М+ = [0, ж), £ G Sd-\ у = (X, О G М+ x Sd-1 = Qd,
da(X) = da((d-2)/2'-1/2)(X) = 23-2dT-2(£j
Г(^ + г X) 2
Г(г X)
X,
йт (у) = йа(Х)(1ш(()
— лебеговы меры на М+ и
Прямое и обратное преобразования Фурье определяются равенствами
П(У)= [ Кх)[х, ^-гХйи(х), 7-1д(х)= I д(у)[х, С']-^+гХ<1т(у),
где = (£, 1) ¿¡е Для преобразований Фурье справедлива Ь2-теория, в частности, ра-
венства Планшереля. Но так как их ядра являются неограниченными, для них не выполняется Ь1
Пусть
Ы() = ¿Г^Ч) = ({Л - 1)!/2 + 'Х, {Л - ^ - 'Х;-(вы^)
— функция Якоби. Она получается усреднением по сфере ядер преобразований Фурье
¿х(1)= [ ы']-^ ±Хма
где х = еовИ£), ] е §Л-1, £' = (^, 1).
Два оператора усреднения по сфере
Р¡(Ъ)= ¡(х)ёш(г]), х = (втЫг], еояЫ) е НЛ, Яд(Х)= [ д(у)йш(0, У = (Х, О е пЛ
дают нам сферические функции на НЛ и Они используются как для постановки, так и для решения экстремальных задач.
Если ¡'(х) = /0(й(х)) = /0(Ь) и д(у) = д0(Х) — сферические функции, то
П(у) = Ло( Х), 7-1д (х) = J-1go (г).
Пусть далее А(1) = <0^)'ш(Ь), иХ(Ь) = <рХ(Ь)/<ро($.
Основные факты из гармонического анализа на гиперболоиде можно найти в [56]. Задача Турана. Вычислить величину
Т(г, ШЛ)=8ирЯ(Г/)(0),
если
/еСь(ШЛ), /(хо) = 1, вирр/С Вг, П(у) > 0. Задача Фейера. Вычислить величину
^(г, НЛ) = вир Яд(0),
деЬ1(ПЛ,с1т) ПСь(ПЛ), д(у) > 0, / д(у) ¿т(у) = 1, вирр 7-1д С Вг.
Допустимые функции в задаче Фейера являются четными целыми функциями экспонен-
Х
Теорема 21. В задачах Турана и Фейера
Г 42
Т(г, НЛ) = ^(г, НЛ) = А(г) м,
0
единственные экстремальные функции имеют вид
/Аих(г/-) \ 2
¡г(х) = (<0Хг/2 * <0Хг/2)(^), 9г (у) = с!¡г (у) = ( - ) ,
где
x = (sinht cosht) е Hd, у = (А, О е Задача Дельсарта. Вычислить величину
D(s, Hd)=supQ(Ff)(0),
если
f е L1(Hd, dv) n Cb(Hd), f(xo) = 1, f(x) < 0, d(x) > S, Fj(y) > 0.
Эта задача является полностью открытой.
Модифицированная задача Дельсарта. Вычислить величину
D(r,s, Hd) = sup[ g(y)dr(у), Jnd
если
geL1(Qd,dT) n Cb(Qd), Qg(0) = 1, д(А, 0 < 0, А ^ s, supp F-1g С Br, F-1g(x) ^ 0.
Напомним, что A1(t), A\(t) — наименьшие положительные нули функций f\(t) и §iU\(t) А
Theorem 22. В модифицированной задаче Дельсарта
/ Г/' \-1 D(г, А[ (г/2), Hd) = [J ^(t) dtj ,
единственная экстремальная функция имеет вид
'
A^jtu^/Z}) (А/ А[(г/2)
9r (У)= V ,.....(', У = ( А, О е Qd.
Задача Бомана. Вычислить величину
B(r, Hd) = rnfi (А2 + p2)g(y)dr(y), у = (А, О,
Jnd
если
1 d d
geL1(nd,dr) nCb(nd), д(у) > 0,
/ д(у)Лт(у) = 1, вирр I 1д свг. Теорема 23. В задаче Бомана
В (г, Н^) = X21(r/2) + р2, единственная экстремальная функция имеет вид
9г(у) = --/2) .2.2 , У = (X, О € О*.
(1 - (X/X1(r/2)) )
Пусть у = ( X, £) € О, д(у) действительная непрерывная функция на О,
Л(д) = 8пр{X > 0:д(X, О > 0, 8*~
Задача Логана. Вычислить величину
Ь(г, Н) = ЫЛ(д),
если
д€Ь1(Па,йт) ПСь(Па), д(у)ф 0, вирр I-1д С Вг I-1д(х) ^ 0.
Теорема 24. В задаче Логана
Ь(г, Н) = Xl(r/2), единственная экстремальная функция имеет вид
дг(у) = —?1(г/2) ,1, у = (X, О € О. 1
(X/Xl(r/2))'
Фейера, Бомана, Логана и модифицированной задаче Дельсарта являются преобразованиями Фурье д = I / функций $ € Сь(Н^), вирр/ С Вг. В [50] экстремальные задачи для преобразования Фурье на гиперболоиде решаются путем их редукции с помощью усреднения допустимых функций по сфере к аналогичным задачам для преобразования Якоби на полупрямой. Покажем, что, если функция
д€Ь1(Ол,йт) ЪСъ(О), вирр 1-1д С Вг,
то для функции /(х) = I-1д (х) выполнены условия
¡€Съ(Нл), вирр! С Вг, д(у)= I/(у).
Поэтому теоремы 22-24 вытекают из соответствующих утверждений в [50]. Так как
Iд(у)[х,^ +гЛ| = |д(уЖх,£]-^| < 1д(у)1 е"-\
то интеграл
[ д(у)[х,
сходится равномерно на любом шаре Вд и функция /(х) непрерывна, но вообще-говоря не ограничена на Нй. Но в нашем случае по условию вирр/ С Вп поэтому / е Сь(Нй). Аналогично интеграл
I ¡(х)[х,^']-Л-^-гХйи(х)
'в.
г
сходится равномерно на и функция !¡(у) е СПоточечное равенство д(у) = !¡(у) вытекает из того, что оно справедливо в Ь2(&й) и функции в обеих частях равенства непрерывны.
Пусть для функции $ е Ь2(Нй, йи)
Ед (¡)24и = 1Ш {\и-д\\2Аи: деЬ2(Нй,^), вирр ТдС [0, Щ х §й-1}
— величина ее наилучшего приближения частичными интегралами преобразования Фурье.
В качестве оператора обобщенного сдвига на Нй для определения модуля непрерывности будем использовать оператор среднего значения [57]
5 7 (х)= ¡(у)йшь,х(у),
■у Я±(х)
где Б1(х) = {х е Н: й(х, г) = — сфера в Н с центром в точке х и радиусом Ь > 0 — вероятностная лебегова мера на в^х). Для оператора обобщенного сдвига
!(*7)(у) = <х(-Ъ)Ц(у), где у = (Х, О е
Модуль непрерывности функции $ е Ь2(Нй ,йи) определим равенством
1/2
I А/(■) - /(х)\2(х)с!и(х) ]
0«
Константа Джексона
и(5, ¡)24и = вир ( [ зУ(■) - ¡(х)\2(х) йи(х))
Б(К,5, Н%Аи = вир/ Е*У12^ : / е Ь2(Нй,^)
есть наименьшая константа в неравенстве Джексона
Ек(^24и ^ Ош(5, ¡)2,йи.
Щ, > 0
0(Я,6, Н%4и > .
Величина
т(Щ Нй)2,йи = 1Ш {5> 0: 0(К,5, Н)2,<ъ, = 2-1/2)
называется оптимальным аргументом.
Щ, > 0
0(К,5, Н%4и =0(Я,6, М+Ьд..
Доказательство. Неравенство 0(К, 5, ^ 0(К, 5, Нй)2,йи вытекает из того, что сфе-
рические функции < е Ь2(М+, й/л) составляют подпространство в Ь2(Нй,йи). Для любой функции / е Ь2(Нй, ¿и) рассмотрим функцию
Ф(Х) = {! \Ц-(у)\2 М£))1/2, у = (Х, О е Пй.
Для нее в силу равенства Планшереля
г Ж
\mldo = ЖX)|1da(X) = \\Ц\\24т = УШ4т < ж,
поэтому функция
р(г) = 5-1Ж(1) €Ь2(м+^)
и J^fi(X) = Ж^)- Имеем
ГЖ /*
Е2К(^ = / IIКX, £)|2 (и(0(а(\)
/■ж
= и^т1 (^(К) = е2к (Ф)^.
¿я
Так как [40, 58]
Г ГЖ Г
/ /(■)-¡(х)12(х)(Нх) = 2 / (1 -фхШЦ-^, ^МдйгМ
Jнd Jo Jsd-1
ГЖ /*Ж
= 2 (1 -^(Щ^)2 (7^) = -ф)? (Г)(»(г),
то
и(5,= и (5,4>)2,<1ц.
Итак,
ЕЯ Ц)24У = ЕЯ ((Р)1,ё11 и(6, ¡)2^ и(5,^)2^ ,
и 0(К,5, Н(1)2,(11, ^ 0(К,5, Теорема 25 доказана.
Из теорем 20, 25 вытекает следующая теорема.
Теорема 26. Если Я> 0, то
т(К, Н%4и = Xl(R/2).
Для любой функции / € Ь2(На, (и) справедливо неравенство Джексона с точной константой и оптимальным аргументом в модуле непрерывности
ЕК(Л2^ < -^и^^), . (5)
Неравенство Джексона (5) было доказано В.Ю. Поповым [59] для ( = 2 и Д.В. Горбачевым и М.С. Пискоржем [58] для ( ^ 3. С неточной константой оно было получено И.В. Петровой [60].
6. Заключение
Исследование представленных в работе экстремальных задач гармонического анализа и теории приближений носит достаточно законченный характер. Только экстремальная задача Дельсарта остается недостаточно исследованной. Хотя с точки зрения приложений она является наиболее важной. Основная ее трудность состоит в том, что экстремальная функция в ней не является целой функцией экспоненциального типа, а множество допустимых функций устроено очень сложно. Для ее решения на полупрямой нужны новые идеи, новые квадратурные формулы по нулям экстремальных функций. В двух случаях они были предложены М. Вязовской.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Stechkin S.B. An extremal problem for trigonometric series with nonnegative coefficients // Acta Math. Acad. Sei. Hung. 1972. Vol. 23, № 3-4. P. 289-291.
2. Горбачев Д. В., Маношина А. С. Экстремальная задача Турана для периодических функций с малым носителем и ее приложения // Матем. заметки. 2004. Т. 76, № 5. С. 688-700.
3. Fejer L. Uber trigonometrische Polynome //J. Angew. Math. 1915. Vol. 146. P. 53-82.
4. Иванов В. И., Рудомазина Ю. Д. О задаче Турана для периодических функций с неотрицательными коэффициентами Фурье и малым носителем // Матем. заметки. 2005. Т. 77, № 6. С. 941-945.
5. Иванов В. И., Горбачев Д. В., Рудомазина Ю.Д. Некоторые экстремальные задачи для периодических функций с условиями на их значения и коэффициенты Фурье // Тр. ИММ УрО РАН. 2005. Т. 11, № 2. С. 92-111.
6. Иванов В. И. О задачах Турана и Дельсарта для периодических положительно определенных функций // Матем. заметки. 2006. Т. 80, № 6. С. 934-939.
7. Ivanov V.l., Ivanov A.V. Turän problems for periodic positive definite functions // Annales Univ. Sei. Budapest, Sect. Comp. 2010. Vol. 33. P. 219-237.
8. Андреев H.H. Экстремальная задача для периодических функций с малым носителем // Вести. МГУ. Сер. 1. Матем., мех. 1997. № 1. С. 29-32.
9. Горбачев Д. В. Экстремальная задача для периодических функций с носителем в шаре // Матем. заметки. 2001. Т. 69, № 3. С. 346-352.
10. Siegel С. L. Uber Gitterpunkte in konvexen Körpern und damit zusammenhängendes Extremal problem // Acta Math. 1935. Vol. 65, № 1. P. 307-323.
11. Boas R. P., Kac M. Inequalities for Fourier Transforms of positive functions // Duke Math. J. 1945. Vol. 12. P. 189-206.
12. Kolountzakis M. N., Revesz Sz. Gv. On a problem of Turän about positive definite functions // Proc. Amer. Math. Soc. 2003. Vol. 131. P. 3423-3430.
13. Арестов В. В., Бердышева Е. Е. Задача Турана для положительно определенных функций с носителем в шестиугольнике // Тр. ИММ УрО РАН. 2001. Т. 7, № 1. С. 21-29.
14. Arestov V. V., Berdvsheva Е. Е. The Turän problem for a class of polytopes // East J. Approx. 2002. Vol. 8, № 3. P. 381-388.
15. Kolountzakis M. N., Revesz Sz. Gv. Turän's extremal problem for positive definite functions on groups // J. London Math. Soc. 2006. Vol. 74. P. 475-496.
16. Revesz Sz.Gv. Turän's extremal problem on locally compact abelian groups // Anal. Math. 2011. Vol. 37, № 1. P. 15-50.
17. Viazovska M. S. The sphere packing problem in dimension 8 // Annals of Math. 2017. Vol. 185, № 3. P. 991-1015.
18. Cohn H., Kumar A., Miller S.D., Radchenko D., Viazovska M. The sphere packing problem in dimension 24 // Annals of Math. 2017. Vol. 185, № 3. P. 1017-1033.
19. Горбачев Д. В. Экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа, связанная с оценкой Левенштейна плотности упаковки Мга шарами // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2000. Т. 6, № 1. С. 71-78.
20. Cohn Н. New upper bounds on sphere packings II // Geom. Topol. 2002. Vol. 6. P. 329-353.
21. Левенштейн В. И. Границы для упаковок в n-мерном Евклидовом пространстве // Докл. АН СССР. 1979. Т. 20. С. 417-421.
22. Юдин В. А. Упаковки шаров в евклидовом пространстве и экстремальные задачи для триигонометрических полиномов // Дискрет, матем. 1989. Т. 1, № 2. С. 155-158.
23. Юдин В. А. Многомерная теорема Джексона // Матем. заметки. 1976. Т. 20, № 3. С. 439444.
24. Иванов В. И. Приближение функций в пространствах Lp // Матем. заметки. 1994. Т. 56, № 2. С. 15-40.
25. Bohman Н. Approximate Fourier analysis of distribution functions // Ark. Mat. 1960. Vol. 4. P. 99-157.
26. Ehm W., Gneiting Т., Richards D. Convolution roots of radial positive definite functions with compact support // Trans. Amer. Math. Soc. 2004. Vol. 356. P. 4655-4685.
27. Logan B.F. Extremal problems for positive-definite bandlimited functions. I. Eventually positive functions with zero integral // SIAM J. Math. Anal. 1983. Vol. 14, № 2. P. 249252.
28. Logan B.F. Extremal problems for positive-definite bandlimited functions II. Eventually negative functions // SIAM J. Math. Anal. 1983. Vol. 14, № 2. P. 253-257.
29. Горбачев Д. В. Экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа // Матем. заметки. 2000. Т. 68, № 2. С. 179-187.
L'
L'
С. 158-162.
32. Бердышева Е. Е. Две взаимосвязанные экстремальные задачи для целых функций многих переменных // Матем. заметки. 1999. Т. 66, № 3. С. 336-350.
L'
polynomials // Approximation and functions spaces: Proc. intern, conf., Gdansk, 1979. Amsterdam: North-Holland, 1981. P. 25 13.
34. Иванов А.В., Иванов В.И. Оптимальные аргументы в неравенстве Джексона в пространстве L'(Rd) со степенным весом // Матем. заметки. 2013. Т. 94, Л*8 3. С. 338^348.
35. Иванов А. В. Некоторые экстремальные задачи для целых функций в весовых пространствах // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2010. Вып. 1. С. 26-44.
36. Иванов А. В. Задача Логана для целых функций многих переменных и константы Джексона в весовых пространствах // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 29-58.
37. Горбачев Д. В., Иванов В. И. Экстремальная задача Бомана для преобразования Данкля // Тр. ИММ УрО РАН. 2015. Т. 21, № 4. С. 115-123.
38. Платонов С. С. Гармонический анализ Бесселя и приближение функций на полупрямой // Изв. РАН. Математика. 2007. Т. 71, № 5. С. 149-196.
Гармонический анализ Бесселя и приближение функций на полупрямой
39. Горбачев Д. В. Экстремальная задача Бомана для преобразования Фурье-Ганкеля // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 4. С. 5-10.
40. Горбачев Д. В. Избранные задачи теории функций и теории приближений и их приложения. Тула: Гриф и К, 2005. 192 с.
41. Frappier С., Olivier P. A quadrature formula involving zeros of Bessel functions // Math. Сотр. 1993. Vol. 60. P. 303-316.
42. Grozev G.R., Rahman Q.I. A quadrature formula with zeros of Bessel functions as nodes // Math. Сотр. 1995. Vol. 64. P. 715-725.
43. Ghanem R. В., Frappier C. Explicit quadrature formulae for entire functions of exponential type // J. Approx. Theory. 1998. Vol. 92, № 2. C. 267-279.
44. Горбачев Д. В., Иванов В. И. Квадратурные формулы Гаусса и Маркова по нулям собственных функций задачи Штурма-Лиувилля, точные для целых функций экспоненциального типа // Матем. сб. 2015. Т. 206, № 8. С. 63-98.
45. Flensted-Jensen \!.. Koornwinder Т.Н. The convolution structure for Jacobi function expansions // Ark. Mat. 1973. Vol. 11. P. 245-262.
46. Flensted-Jensen M., Koornwinder Т.Н. Jacobi functions: The addition formula and the positivitv of dual convolution structure // Ark. Mat. 1979. Vol. 17. P. 139-151.
47. Gorbachev D.V., Ivanov V.I. Turan's and Fejer's extremal problems for Jacobi transform // Anal. Math. 2017. fin press]
48. Gorbachev D.V., Ivanov V. I., Smirnov O.I. The Delsarte Extremal Problem for the Jacobi Transform // Math. Notes. 2016. Vol. 100, № 5. P. 677-686.
49. Горбачев Д. В., Иванов В. И. Экстремальная задача Бомана для преобразования Якоби // Тр. ИММ УрО РАН. 2016. Т. 22, № 4. С. 126-135.
50. Gorbachev D.V., Ivanov V.I. Some extremal problems for Fourier transform on hvperboloid // Math. Notes. 2017. Vol. 102, № 4. P. 480-491.
51. Gorbachev D.V., Ivanov V. I., Veprintsev R. A. Optimal Argument in Sharp Jackson's inequality in the Space L2 with the Hyperbolic Weight // Math. Notes. 2014. Vol. 96, № 6. P. 338-348.
52. Вепринцев P.A. Приближение в L2 частичными интегралами многомерного преобразования Якоби // Матем. заметки. 2015. Т. 97, № 6. С. 815—831.
53. Горбачев Д. В., Иванов В. И. Приближение в L2 частичными интегралами преобразования Фурье по собственным функциям оператора Штурма-Лиувилля // Матем. заметки. 2016. Т. 100, № 4. С. 519-530.
54. Горбачев Д. В., Иванов В. И., Вепринцев Р.А. Приближение в L2 частичными интегралами многомерного преобразования Фурье по собственным функциям оператора Штурма— Лиувилля // Тр. ИММ УрО РАН. 2016. Т. 22, № 4. С. 136-152.
55. Горбачев Д. В., Иванов В. И. Некоторые экстремальные задачи для преобразования Фурье по собственным функциям оператора Штурма-Лиувилля // Чебышевский сб. 2017. Т. 18, № 2. С. 34-53.
56. Виленкин И. Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1991. 576 с.
57. Лизоркин П. И. Прямые и обратные теоремы теории приближе- ний для функций на пространстве Лобачевского // Тр. МИАН. 1992. Т. 194. С. 120-147.
58. Горбачев Д. В., Пискорж М. С. Точное неравенство Джексона в L2 на гиперболоиде // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998. Т. 4, № 1. С. 54-58.
L2
УрО РАН. 1998. Т. 5, № 4. С. 254-266.
L2
С. 215-228. REFERENCES
1. Stechkin S.B., 1972, "An extremal problem for trigonometric series with nonnegative coefficients", Acta Math. Acad. Sci. Hung., vol. 23, № 3-4, pp. 289-291.
2. Gorbachev D. V., Manoshina A. S., 2004, "Turan Extremal Problem for Periodic Functions with Small Support and Its Applications", Math. Notes, vol. 76, № 5, pp. 640-652.
3. Fejer L., 1915, "Uber trigonometrische Polvnome", J. Angew. Math., vol. 146, pp. 53-82.
4. Ivanov V. I., Rudomazina Yu.D., 2005, "About Turan problem for periodic functions with nonnegative Fourier coefficients and small support", Math. Notes, vol. 77, № 6, pp. 870-875.
5. Ivanov V. I., Gorbachev D. V., Rudomazina Yu. D., 2005, "Some extremal problems for periodic functions with conditions on their values and Fourier coefficients", Proc. Steklov Inst. Math., № 2 suppl, pp. 139-159.
6. Ivanov V. I., 2006, "On the Turan and Delsarte problems for periodic positive definite functions", Math. Notes, vol. 80, № 6, pp. 875-880.
7. Ivanov V. I., Ivanov A.V., 2010, "Turan problems for periodic positive definite functions", Annates Univ. Sci. Budapest, Sect. Сотр., vol. 33, pp. 219-237.
8. Andreev N. N., 1997, "An extremal problem for periodic functions with small support", Moscow Univ. Math. Bull, vol 52, pp. 29-32.
9. Gorbachev D. V., 2001, "An extremal problem for periodic functions with supports in the ball", Math. Notes, vol. 69, № 3, pp. 313-319.
10. Siegel C.L., 1935, "Uber Gitterpunkte in konvexen Körpern und damit zusammenhängendes Extremal problem", Acta Math,., vol. 65, № 1, pp. 307-323.
11. Boas R. P., Kac M., 1945, "Inequalities for Fourier Transforms of positive functions", Duke Math. J., vol. 12, pp. 189-206.
12. Kolountzakis M.N., Revesz Sz.Gv., 2003, "On a problem of Turän about positive definite functions", Proc. Am,er. Math. Soc., vol. 131, pp. 3423-3430.
13. Arestov V. V., Berdvsheva E. E., 2001, "Turän's problem for positive definite functions with supports in a hexagon", Proc. Steklov Inst. Math., № 1, suppl, pp. 20-29.
14. Arestov V. V., Berdvsheva E. E., 2002, "The Turän problem for a class of polytopes", East J. Approx., vol. 8, № 3, pp. 381-388.
15. Kolountzakis M.N., Revesz Sz.Gv., 2006, "Turän's extremal problem for positive definite functions on groups", J. London Math. Soc., vol. 74, pp. 475-496.
16. Revesz Sz.Gv., 2011, "Turän's extremal problem on locally compact abelian groups", Anal. Math., vol. 37, № 1, pp. 15-50.
17. Viazovska M. S., 2017, "The sphere packing problem in dimension 8", Annals of Math., vol. 185, № 3, pp. 991-1015.
18. Cohn H., Kumar A., Miller S.D., Radchenko D., Viazovska M., 2016, "The sphere packing problem in dimension 24", Annals of Math., vol. 185, № 3, pp. 1017-1033.
19. Gorbachev D.V., 2000, "An extremal problem for an entire functions of exponential spherical type related to the Levenshtein estimate for the sphere packing density in Rra", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Mat. Mec. Inf., vol. 6, № 1, pp. 71-78. fin Russian]
20. Cohn H., 2002, "New upper bounds on sphere packings II", Geom. Topol, vol. 6, pp. 329-353.
21. Levenshtein V.l., 1979, "Bounds for packings in n-dimensional Euclidean space", Soviet Math. Dokl, vol. 20, pp. 417-421.
22. Yudin V. A., 1989, "Packings of balls in Euclidean space, and extremal problems for trigonometric polynomials", Discrete Math. Appl, vol. 1, № 1, pp. 69-72.
23. Yudin V. A., 1976 "The multidimensional Jackson theorem", Math. Notes, vol. 20, № 3, pp. 801804.
24. Ivanov V.l., 1994 "Approximation of functions in spaces Lp\ Math. Notes, vol. 56, № 2, pp. 770-789.
25. Bohman H., 1960, "Approximate Fourier analysis of distribution functions", Ark. Mat., vol. 4, pp. 99-157.
26. Ehm W., Gneiting T., Richards D., 2004, "Convolution roots of radial positive definite functions with compact support", Trans. Am,er. Math. Soc., vol. 356, pp. 4655-4685.
27. Logan B. F., 1983, "Extremal problems for positive-definite bandlimited functions. I. Eventually positive functions with zero integral", SIAM J. Math. Anal, vol. 14, № 2, pp. 249-252.
28. Logan B. F., 1983, "Extremal problems for positive-definite bandlimited functions II. Eventually negative functions", SIAM J. Math. Anal., vol. 14, № 2, pp. 253-257.
29. Gorbachev D. V., 2000, "Extremum problems for entire functions of exponential spherical type", Math. Notes, vol. 68, № 2, pp. 159-166.
30. Chernvkh N. I., 1967, "On Jackson's inequality in L2\ Proc. Steklov Inst. Math., vol. 88, pp. 7578.
31. Yudin V. A., 1981, "Multidimensional Jackson theorem in L2\ Math. Notes, vol. 29, № 2, pp. 158-162.
32. Berdvsheva E. E., 1999, "Two related extremal problems for entire functions of several variables", Math. Notes, vol. 66, № 3, pp. 271-282.
33. Arestov V. V., Chernvkh N.I., 1981, "On the L2-approximation of periodic functions bv trigonometric polynomials", Approximation and functions spaces: Proc. intern, conf., Gdansk, 1979. Amsterdam: North-Holland, pp. 25 13.
34. Ivanov A. V., Ivanov V. I., 2013, "Optimal arguments in Jackson's inequality in the power-weighted space L2(Rdf, Math. Notes, vol. 94, № 3, pp. 320-329.
35. Ivanov A. V., 2010, "Some extremal problem for entire functions in weighted spaces", Izv. Tul. Gos. Univ., Estestv. Nauki, № 1, pp. 26-44. fin Russian]
36. Ivanov A. V., 2011, "Logan problem for entire functions of several variables and Jackson constants in weighted spaces", Izv. Tul. Gos. Univ., Estestv. Nauki, № 2, pp. 29-58. fin Russian]
37. Gorbachev D.V., Ivanov V. I., 2017, "Boman extremal problem for Dunkl transform", Proc. Steklov Inst. Math., vol 297, № 1 suppl., pp. 88-96.
38. Platonov S. S., 2007, "Bessel harmonic analysis and approximation of functions on the half-line", Izvestiya: Mathematics, vol 71, № 5, pp. 1001-1048.
39. Gorbachev D. V., 2014, "Boman extremal problem for Fourier-Hankel transform", Izv. Tul. Gos. Univ., Estestv. Nauki, № 4, pp. 5-10. fin Russian]
40. Gorbachev D.V., 2005, "Selected Problems in the Theory of Functions and Approximation Theory: Their Applications", Tula: Grif and K, 192 p. fin Russian]
41. Frappier C., Olivier P., 1993, "A quadrature formula involving zeros of Bessel functions", Math. Comp., vol. 60, pp. 303-316.
42. Grozev G.R., Rahman Q.I., 1995, "A quadrature formula with zeros of Bessel functions as nodes", Math. Comp., vol. 64, pp. 715-725.
43. Ghanem R. B., Frappier C., 1998, "Explicit quadrature formulae for entire functions of exponential type", J. Approx. Theory, vol. 92, № 2, pp. 267-279.
44. Gorbachev D.V., Ivanov V. I., 2015, "Gauss and Markov quadrature formulae with nodes at zeros of eigenfunctions of a Sturm-Liouville problem, which are exact for entire functions of exponential type", Sbornik: Math., vol. 206, № 8, pp. 1087-1122.
45. Flensted-Jensen M.. Koornwinder T.H., 1973, "The convolution structure for Jacobi function expansions", Ark. Mat., vol. 11, pp. 245-262.
46. Flensted-Jensen M., Koornwinder T. H., 1979, "Jacobi functions: The addition formula and the positivitv of dual convolution structure", Ark. Mat., vol. 17, pp. 139-151.
47. Gorbachev D.V., Ivanov V. I., 2017, "Turân's and Fejér's extremal problems for Jacobi transform", Anal. Math, fin press]
48. Gorbachev D.V., Ivanov V. I., Smirnov O.I., 2016, "The Delsarte Extremal Problem for the Jacobi Transform", Math. Notes, vol. 100, № 5, pp. 677-686.
49. Gorbachev D.V., Ivanov V. I., 2016, "Boman extremal problem for Jacobi transform", Trudy Inst. Mat. Mekh. UrO RAN, vol. 22, № 4, pp. 126-135. fin Russian]
50. Gorbachev D.V., Ivanov V. I., 2017, "Some extremal problems for Fourier transform on hvperboloid", Math. Notes, vol. 102, № 4, pp. 480-491.
51. Gorbachev D.V., Ivanov V. I., Veprintsev R. A., 2014, "Optimal Argument in Sharp Jackson's inequality in the Space L2 with the Hyperbolic Weight", Math. Notes, vol. 96, № 6, pp. 338-348.
52. Veprintsev R. A., 2015, "Approximation in L2 by partial integrals of the multidimensional Jacobi transform", Math. Notes, vol. 97, № 6, pp. 815-831.
53. Gorbachev D.V., Ivanov V. I., 2016, "Approximation in L2 by partial integrals of the Fourier transform over the eigenfunctions of the Sturm-Liouville operator", Math. Notes, vol. 100, № 4, pp. 540-549.
L2
of the multidimensional Fourier transform over the eigenfunctions of the Sturm-Liouville operator", Trudy Inst. Mat. Mekh. UrO RAN, vol. 22, № 4, pp. 136-152. fin Russian]
55. Gorbachev D. V., Ivanov V. I., 2017, "Some extremal problems for the Fourier transform over the eigenfunctions of the Sturm-Liouville operator", Chebyshevskii sbornik, vol. 18, № 2, pp. 34-53. fin Russian]
56. Vilenkin N. J., 1968, "Special Functions and the Theory of Group Representations", Providence, RI: Amer. Math. Soc., Translations of mathematical monographs, vol. 22, 613 p.
57. Lizorkin P. I., 1992, "Direct and inverse theorems of approximation theory for functions on the Lobachevskv space", Proc. Steklov Inst. Math., vol. 194. pp. 125-151.
L2
Tul. Gos. Univ., Ser. Mat. Mec. Inf., vol. 4, № 1. pp. 54-58. fin Russian]
L2
Mat. Mekh. UrO RAN, vol. 5, № 4. pp. 254-266. fin Russian]
L2
vol. 194. pp. 229-243.
Тульский государственный университет. Получено 6.08.2017 Принято в печать 12.12.2017
