CC BY
36
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 4. С. 14-18 = Математика
УДК 517.5
Связь многомерных экстремальных задач Бомана и Логана *
Д.В. Горбачев
Аннотация. Мы доказываем, что решение экстремальной задачи Бомана для преобразования Фурье в М" можно получить из решения экстремальной задачи Логана.
Ключевые слова: преобразование Фурье, экстремальная задача Бомана, экстремальная задача Логана.
Эта статья является логическим продолжением статьи [1]. Мы покажем, как в случае многомерного преобразования Фурье решение экстремальной задачи Бомана можно легко получить из решения экстремальной задачи Логана. Напомним, что задача Бомана в Rn была решена в 2004 году W. Ehm, T. Gneiting и D. Richards [2]. Задача Логана в Rn была рассмотрена автором в работе 2000 года [3].
Приведем известные результаты по задачам Бомана и Логана, опираясь на [1-4].
Пусть n £ N, x = (x\,..., xn) £ Rn, xy = xj Vj — скалярное произведение векторов x,y £ Rn, \x\ = (xx)1/2, Bn = {x £ Rn: \x\ ^ 1} — единичный евклидов шар, А = ^n=1 д2/9x2 — оператор Лапласа, supp f — носитель функции f (замыкание множества {x: f (x) = 0}), xa — характеристическая функция множества A (xa(x) = 1 при x £ A и Xa(x) = 0 иначе).
Многомерная экстремальная задача Бомана для шара заключается в нахождении минимума величины —Ар(0) на классе характеристических в вероятностном смысле функций р £ C2(Rn) с носителем supp р С тВп, т> 0 [2]. Пусть
Bn(T) = inf(—Ар(0)).
Функции р являются положительно определенными функциями вида
p(x) = /(x)=/ f (y)e-ixy dy,
n
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект №13-01-00045), Министерства образования и науки РФ (госзадание №5414ГЗ) и Фонда Дмитрия Зимина «Династия».
где / — преобразование Фурье функции / ^ 0, ^>(0) = /(0) = 1. В вероятностном смысле функция / является плотностью распределения, а величина
-Др(0)= в(/)=/ \x\2/(x) dx
J Rn
имеет смысл дисперсии. Поэтому задача Бомана эквивалентна следующей экстремальной задаче:
Вп(г) = М{в(/): / евп(т)},
где Вп(т) — класс неотрицательных функций / € С(Мп), таких, что \х\2/ € € Ь1(Шп), 8ирр / С тВп и /(0) = 1. Функции / также можно отождествить с целыми функциями экспоненциального сферического типа ^ т. В одномерном случае Н. БоИшап [5] доказал, что
(тЛ2
где экстремальная функция
B1 (Г ) = -(/1 )"(0) = (ПУ
, / ч 4г ( cos(rx/2) \2 ^ . .
fi(x) = ГГИ €S'<r)
П3 V 1 — (rx/n)2
В многомерном случае задачу Бомана решили W. Ehm, T. Gneiting и D. Richards [2].
Пусть а = n/2 — 1, Ja(t) — функция Бесселя, 0 < qai1 < qa,2 < ... — ее положительные нули, qa = qa>1, ja(t) = Г(а + 1)(t/2)-aJa(t) — нормированная функция Бесселя [6, гл. 7]. При n = 1 имеем j-1/2(t) = cost и q-1/2 = п/2.
bra (г )= в (/га) = (^у
Теорема 1 [2]. Для n е N и т > 0
' 2qa т
где единственная экстремальная функция
f (x) — 22"2гат" ( Щ*\/2) \\ В (т) Pn[x) - nn/2r(n/2)ql 11 - (т\x\/(2q«))2 J G *п(т)"
Для доказательства теоремы W. Ehm, T. Gneiting и D. Richards использовали теорему Рудина о представлении радиальных положительно определенных функций с компактным носителем в шаре и неравенство Рэлея.
В работе [1] экстремальная задача Бомана решена для преобразования Фурье-Ганкеля при любом а ^ -1/2. Как следствие, при а — n/2 — 1 это дает решение задачи Бомана для Rn. Для доказательства применялись квадратурные формулы на полуоси по нулям функции Бесселя, точные для целых функций экспоненциального типа.
Теперь сформулируем многомерную экстремальную задачу Логана. Пусть Сп(т) — класс функций g е C(Rn) П L1(Rra), таких, что supp jj С тВп,
g(0) = 1 и <?(0) ^ 0, A(g) = sup{A > 0: g(x) > 0, x £ Rn}. Требуется найти величину
Ln(T) = inf{A(g): g £ С,п(т)}. Теорема 2 [3, 4]. Для n £ N и t > 0
Ln(T) = A(gn) = —,
T
где единственная c точностью до умножения на положительную константу экстремальная функция
g (x) = (T\x\/2) e c (T)
gn(x)= 1 — (T\x\/(2qa))2 £Ln(T)• При n = 1 эта теоремы была доказана B.F. Logan [7]. В этом случае
Li(t) = gi(x)= COs2(Tx/2)
т ' 1 — (тх/п)2
Теорема 2 остается справедливой, если потребовать, чтобы д ^ 0, т.е. функции д были положительно определенными. Это следует из того факта, что дп ^ 0 [4]. Также в задачах Бомана и Логана можно ограничиться рассмотрением радиальных функций, что отвечает случаю преобразования Фурье-Ганкеля порядка а = п/2 — 1 [1, 4].
Прослеживается общность результатов из теорем 1 и 2. Следующее утверждение легко позволяет вывести теорему 1 из теоремы 2.
Теорема 3. Для п € N и т > 0 справедливо неравенство
ЬП(Т) < Вп(т).
Отсюда следует, что
Ы) = ( ^)2 < Вп(т) < Д/п) = (^)2.
Таким образом, в данном случае решение задачи Бомана вытекает из решения задачи Логана. Связь экстремальных функций будет следовать из нижеследующего доказательства теоремы.
Доказательство теоремы 3. Пусть f € Вп(т) — допустимая функция в задаче Бомана. Тогда f — целая функция экспоненциального сферического типа < т, f ^ 0, \x\2f € Ь1(Мп) и /(0) = 1.
Положим д(х) = С-1(в(f) — \х\2)/(х), где С = р(/)/(0) > 0. Покажем, что д — допустимая функция в задаче Логана. Действительно, это также целая функция экспоненциального сферического типа ^ т , д € Ь1(Мп), д(0) = 1 и
Сд(0) = С [ д(х) йх = I' (в(f) — \х\2)f (х) (1х = в(f)Д0) — в(f) = 0.
n
n
Таким образом, g e Сп(т). При этом очевидно, что Л2^) = ß(f ). Отсюда следует, что
Ln^) = inf{Л(g) : g e Сп(т)} < Л(g) < ß1/2(f )• Поскольку f — произвольная функция из класса Бомана, то Ln^) < inf{ß1/2(f ) : f e Вп(т)} = Bn/2(т).
Теорема доказана.
Доказательство получилось очень простое. Тем не менее важно, что аналогичная связь экстремальных задач Бомана, Логана и их вариантов прослеживается в других постановках, например, в случае алгебраических многочленов, представимых рядами по ортогональным на отрезке с весом многочленам. Здесь задача Бомана известна как задача Чебышева-Сеге о первом положительном моменте неотрицательного многочлена [В, с. 194], а аналог задачи Логана исследовался В.А. Юдиным в связи с приложениями к дискретным задачам на сфере [9].
Интересно было бы найти ситуацию, когда эти задачи имеют разное решение, или доказать, что это невозможно. Также интересно исследовать связь между неравенством Рэлея и квадратурными формулами, которые применяются в разных способах решения задачи Бомана. Это мотивируется еще тем, что теорема З не позволяет получить решение задачи Логана из решения задачи Бомана.
Список литературы
1. Горбачев Д.В. Экстремальная задача Бомана для преобразования Фурье-Ганке-ля // Известия ТулГУ. Естественные науки. 2014. Вып. 4. С. 5-10.
2. Ehm W., Gneiting T., Richards D. Convolution roots of radial positive definite functions with compact support // Trans. Amer. Math. Soc. 2004. V. 356. P. 4655-4685.
3. Горбачев Д.В. Экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа // Матем. заметки. 2000. Т. 68. №2. С. 179-187.
4. Горбачев Д.В. Экстремальные задачи теории функций и теории приближений: дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Екатеринбург, 2006. 200 с.
5. Bohman H. Approximate Fourier analysis of distribution functions // Ark. Mat. 1960. V. 4. P. 99-157.
6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М.: Наука, 1966.
7. Logan B.F. Extremal problems for positive-definite bandlimited functions. II. Eventually negative functions // SIAM J. Math. Anal. 1983. V. 14. No. 2. P. 253-257.
8. Сеге Г. Ортогональные многочлены. M.: Физматгиз, 1962.
9. Юдин В.А. Покрытия сферы и экстремальные свойства ортогональных многочленов // Дискрет. матем. 1995. Т. 7. №3. С. 81-88.
Горбачев Дмитрий Викторович ([email protected]), д.ф.-м.н., профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
Relation between multidimensional extremal Bohman and
Logan problems
D.V. Gorbachev
Abstract. We prove that the solution of the extremal Bohman problem for the Fourier transform in Rra can be given by the solution of the extremal Logan problem.
Keywords: Fourier transform, extremal Bohman problem, extremal Logan problem.
Gorbachev Dmitry ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
Поступила 02.10.2015
