Асимптотика собственных значений уравнения первого рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.968 : 514.17 В. Н. СТЕПАНОВ

Омский государственный технический университет

АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА_______________________________

Получена асимптотика собственных значений уравнения первого рода на п-мерной сфере, ядро которого зависит от скалярного произведения. Рассматриваются случаи принадлежности ядра различным классам функциональных пространств.

Ключевые слова: уравнение первого рода, ядро, собственные значения, асимптотика.

Пусть Бп-1 = |хеЯп: |х| = 1} — единичная сфера в Яп, и, V е Бп-1 , < •, • > — скалярное произведение, т — мера Лебега на Бп-1. Рассмотрим уравнение первого рода

(40(и) ° ^(и) = | К(< и, V >) /(у) т(^У)

(1)

относительно функции Ц^еЦ^-1] с ядром К(<и^>), зависящим только от скалярного произведения.

Интегральные преобразования, определенные формулой (1), тесно связаны с задачами геометрической томографии, которая имеет дело с восстановлением компактного множества В в Яп по мерам проекций тела на подпространство и по мерам сечений тела подпространствами [1].

1. Сферическое преобразование Радона Щ1:)

(Д/)(и) = | 3(< и, V >)/(у)т(^),

5п-1

где 5(<и^>) — дельта-функция и интегрирование выполняется по большой подсфере ортогональной вектору иеБп-1. Если (п-1)ад) = рп-1, где р радиальная функция звездного тела В, то (Я1:)(и) есть объем пересечения тела В с подпространством и1 ортогональным вектору и еБп-1. Приведем примеры.

2. Полусферическое преобразование (Ш)(и)

(Н/)(и) = | с(< и,v >)/(у)т(^),

где %(<и^>) — функция Хевисайда. Если функция ^) равна произведению главных радиусов кривизны гладкой выпуклой поверхности 9В в точке с нормалью V, то (И1:)(и) представляет площадь «освещенной» части тела В.

3. Косинус преобразование (С1:)(и)

(с/)(и) = 2 11< ^v >|/(у)т(&).

2 ^

Если функция ад равна произведению главных радиусов кривизны гладкой выпуклой поверхности 9В в точке с нормалью V, то (С1:)(и) равна (п- 1)-мер-ному объему проекции выпуклого тела В на подпространство и1.

4. р-косинус преобразование (Ср1:)(и)

(СР/)(и) = 2 11< и,v >1 р/(у)т(‘^).

5. Синус преобразование

(Б/)(и) = | /.

5п-1

О применении этих и других интегральных преобразований вида (1) в геометрической томографии см. [1-5].

При исследовании вопросов, связанных с единственностью, разрешимостью, обращением уравнения (1) немаловажную роль играет анализ собственных значений. Так, если все собственные значения уравнения (1) отличны от нуля, то такое уравнение имеет не более одного решения. Собственные функции и собственные значения уравнения (1) даются хорошо известной теоремой Функа-Гекке.

ТЕОРЕМА 1 (Функа-Гекке). [ 5, с. 185; 6, с. 240]. Если К: [—1,1] ® R ограниченная измеримая функция и Ук(и)сферическая гармоника порядка к, то

| К(< и,у >)їк(у)т(^у)=(и)

(2)

где

Г(п - 2)Г(к +1) Г(к + п - 2)

| К(< и,V >)С(п/2 ^(< и, V >) /л(сіу) =

| ^ I Г(п - 2)Г(к +1) 1 К (0 СГ-1Ш-)- -.

Г (к + п - 2) - 1

(3)

С (п/2-1) Ск

Здесь | 8п-2| = 2р|п-1)/2/С(п/2-1/2) — площадь поверхности сферы Б11-2, Г(1;) — гамма-функция,

(1) — многочлены Гегенбауэра.

Если ядро К(<и,^>)| = |<и^>| , то собственными функциями уравнения (1) являются сферические гармоники четных порядков, т.е. У2к(и), к = 0,1,2,... . Соответствующие собственные значения 12к вычисляются по формуле (3) с использованием рекуррентной формулы для многочленов Гегенбауэра и формулы Родрига [6, с. 176; 7, с. 151] и равны:

п-1

р ^ (2к)!

1 = (-1)к+1— ( п +! 22к-1 к!(2к -1)ГІ к +

Собственными функциями ядра К(<и^>)| = %(<и^>), где х(1) функция Хевисайда, являются сферические гармоники нечетных порядков У2к + 1(и), к = 0,1,2,... а соответствующие собственные значения 12к+1 равны:

п-1

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (103) 2011 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

41

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (103) 2011

к p 2 (2к)!

22(к!ГІ к +

п -1

It+1=(-1)

В случае ядра К(<и^>)| = %(<и^>) и п = 3 собственные значения уравнения (1) ранее были вычислены в [8, 9], что позволило получить формулу обращения для полусферического преобразования в замкнутой форме.

Асимптотика собственных значений и ,

2к 2к + 1

при к®ю получается из асимптотической формулы для гамма-функции [10, с. 32], формулы Стирлинга и дается формулами

I-Кк\ ~ С1 (п)к 21, |12к+ 11 ~ С2 (п)к ~"12 ■

Для исследования асимптотического поведения собственных значений уравнения (1) с ядром К(<и^>) общего вида нам понадобиться установить асимптотику многочленов Гегенбауэра. В литературе имеются различные асимптотические фор мулы для многочленов Гегенбауэра см., например, [6, с. 198]. Для дальнейшего нам понадобится асимптотическая формула, которая получена ниже.

ТЕОРЕМА 2. Асимптотическое поведение многочленов Гегенбауэра при к®¥ дается формулой:

2"! 2-1 Г1 n 1

Cl" 2-1\cosв)',

■(sтв)-

________________ (к + п-3)!

л[ж(п - 3)! к !кп12-1

/7 /Л 1\ Л 2p np

(к + п 12 - 1)в +--------------

4

О < в < p, п > 3.

(4)

C(nl 2-1)(cosв) =

2nl2_1 Г (к + п - 2)Г^ " 21

vp Г(п(2-1)Г(п-2)Г(к + 1) | cos [(к + п 12 - 1(t](cos т - cos в (п122 dt

■($тв)-тЪх

(5)

с. 102—130; 13, с. 162 — 175]. Пусть z = x + iy — комплексная переменная. Так как функция (cos z -' -cosd)"12-2 e'(k+nl2-1)z, n > 3^ аналитическая на всей комплексной плоскости, то по теореме Коши интеграл по отрезку [ — 0,0] можно заменить интегралом по любой жордановой кривой с теми же концами, что и отрезок [— 0,0]. Согласно методу перевала, новый путь интегрирования должен проходить вдоль линии наискорейшего спуска, которая совпадает с линией Im(iz) = x = const и должен содержать точки, в которых Re(iz)=—y достигает максимального значения. Принимая во внимание эти рекомендации, целесообразно в качестве контура интегрирования взять трехзвенную ломаную с вершинами в точках z1=— 0, z2=— 0 + ih, z3 = 0 + ih, z4 = 0. Тогда получим

ak (cos в) =

I + I + I

^[-в ,-8+iH] [-в+iH,-8+iH] [d+iH,0] J

(cosz -cos&)nl2-2 ei{(+"12-1)zdz.

(7)

Так как ak(cos6) не зависит от h, то в формуле (7) можно перейти к пределу при h®¥. Рассмотрим сначала интеграл по отрезку [ — 0 + ih, 0 + ih]. На этом отрезке для модуля подынтегральной функции имеет место оценка:

|(cos z - cosd)"12 2 e2(k +nl 2-1) z| <(| cos z| + \cose\)nl 2 2

e -(h+nl2-1)h <(chn +1)nl2-2e-k +nl2-1)h Следовательно,

lim I e

H J

[-e+in.e+ih]

i(t+ni 2-11) z

(cos z - cos в у12 2 dz = О.

Доказательство. Многочлены Гегенбауэра допускают следующее интегральное представление [6, с. 178; 7, с. 180]:

справедливое при 0 < 0 < p и n > 3. При 0 = 0 и 0 = p соответственно

C[nl 2-x\cos0) = C(nl 2-1)(1) = G(k + " - 2 ,

k k G(k + 1)Y(n - 2)

C(,l2-1)(cos p) = C(k nl2-r\-1) = (-1) kC(n l2-1)(1)

Будем следовать выводу асимптотической формулы для многочленов Лежандра, приведенному в [11, с. 585 — 587]. Рассмотрим интеграл

0

ak (cos в ) = | (cost - cos в )nl2- 2cos[(k + n l 2 - 1)t] dt =

-

в

= J (cost -cose)nl2-2 ei(k+nl2-1)tdt, n > 3. (6)

-

Для асимптотической оценки ak (cos в ) при k®¥ воспользуемся методом перевала [11, с. 450 — 452; 12,

На отрезках [0 + ih, 0], [—0, — 0 + ih] переменная z=± 0 + iy, 0<y<h, поэтому, dz = idy. Учитывая это и переходя в формуле (7) к пределу при h®¥, получаем:

ak (cos в ) =

= J2 [cos (-в + iy) - cos в ] n2-2 e-(k +nl2-1 y-2(k+n2-1 в dy -

0

- Ji [cos (в + 2y) - cos в ]n12-2 e - (2+n2 2-1 2 в2 (2 + n22-122 dy. (8)

0

Поскольку нас интересует асимптотическое поведение многочленов Гегенбауэра при k®¥, то теперь для приближенного вычисления интегралов в (8) можно воспользоваться методом Лапласа [11, с. 446; 12, с. 81-101; 13, с. 28-73].

Так как для модулей подынтегральных функций в формуле (8) при y>0 имеет место оценка

0 < ' [cos (+в + 2y) - cos в ]nl 2-2 e-(k+nl 2-1) y m'(k+nl 2-1)6 \<e-<k+1) <

то эти функции убывают по экспоненте при y®¥. При y = 0 подынтегральные функции обращаются в ноль, а вблизи точки y=0 (y>0) имеют один резко выраженный максимум. Согласно методу Лапласа, основной вклад в интегралы при больших значениях k дает малый промежуток интегрирования [0,е]. При малых значениях y

nl 2- 2 eT ^ у"1 2-2(sin У)"

[cos(m в + ry) - cos в ] ~ e ц y

поэтому и ввиду вышесказанного имеем:

О

ak (cos в )~ ie-‘(к+"і2-))0 e'p 4 (sin в )nl2-21 у"2-2 e-(k+"l2-1)y dy -

-(ei(k+ nl 2-1 (0 e "" 4 (s (n ( ) nl 2- 2 I y"2- 2 e Так как

\-2 -((+"! 2-1) y

dy

(9)

Jynl2-2 e-(k +nl2-1 ydy = o(e-Bk), k ®¥, n > 3,

e

то, сохраняя ту же самую степень точности, можно считать, что в формуле (9) интеграл берется по промежутку от 0 до ¥ и равен

Jynl2-2 e-(k+nl2-r>ydy = (k + nl2- 1)-n2+

0

Jt(nl2-1)-1e~t dt = (k + n 12-Х)-"12+1Т(п12-1).

0

Следовательно, асимптотика функции a k (cos 0) при k®¥, 0<0<p, дается формулой

ak (cos в ) ~ Y(n l 2 - Y)(k + n l 2 - 1ynl2+1 (sin в )nl2-1

= 2T(ni 2 - 1)(k + n 12 -1)-n!2+1 ■ (sin в )nl2-2 ■

(k + nl2- 1)в + 2p -np

Теперь, используя интегральное представление (5) для многочленов Гегенбауэра, получаем при k ®¥ их асимптотическую формулу в виде (4).

Если n = 3, то многочлены Гегебауэра совпадают с многочленами Лежандра, Ck|1/2)(cos 0) = Pk(cos 0), и по формуле (4)

C к%os в у

2 cos[(( +1(2)в -p (4] p(( +112) sjsin в

что совпадает с асимптотической формулой для полиномов Лежандра [11, с. 587; 14, с. 141].

ТЕОРЕМА 3. Если ядро К(ї) аналитическая на отрезке [-1,1] функция, то функция

Р(и) = | К(< и, V >) /(у) т(іїу)

6п-1

аналитическая на §п-1 .

Доказательство. Аналитическую на отрезке [ — 1,1] функцию продолжим в область С плоскости комплексной переменной 2, содержащей отрезок [—1,1]. По интегральной формуле Коши

p! л K (z) dz

2p( g (z -1)

p+l-

-1 < t < 1,

где у — любой замкнутый контур, целиком лежащий в области С и охватывающий отрезок [-1,1]. Из формулы Коши следует оценка |К(р)(1;)| < Яр+1 р! для всех 1е [-1,1]. Найдем £ -ю степень оператора Лап-ласа-Бельтрами Аи функции К(<и^>). Прямым вычислением получаем:

АиК(< и, V >) = (1-< и, V >2)К’(< и, V >) - 2 < и, V > К (< и, V >)■

Применение оператора Аи т раз приводит к итерационной формуле:

Кт (г) = (1 - г2)К1_1(1) - 2гК'т_1(г\

Кш (г) = (1 - г2)К"т_^) - 2К'т_1(г), (10)

где 1 = <и^>, Кт(1) = А^ККи,^)^,, К0(1)=К(1). Из формулы (10) следуют оценки для модулей производных функций Кт(1;):

| КЩ > (г) |<| кЩ-2> (г) 1+2{ 5+1) IКЩ^ (г)1+(з2 + з)1 К^ (г) | < < К^ (г) | + Цз +1) | К-1 (г) | +(з +1)21 Кш-_х (г) ^

=І j(+(s+l( ! | кт-1 (t( |

Здесь и далее символ

dW (t) dtJ

At < ck

(21 -1)!!2 t = О7;

d2( -11)!!2

4t+i <^-Ct(+i (21 -1)!!22, ( = 2. ^(+1 2( +1 1 Ц2( -1|)!!2

(13)

(2k )!

Q2k - 1K!!j

получаем I A1 K(t)\< R2t+1 ifc;

1 p

<—<

2n +1 2

(2k)!! (Пк -11)!

2n

(2k)!

_________ Ck+lJ?k+)_

]2(-1|!!)^ f2(+1 1 Ц2(-1|!!)2

ir

(11)

следует понимать

как | K(s+-J> (/) |. Из (10) и =11) получаем оценку для модуля A;K (t) :

Aк(t) =|KI(t+1| \Kt-lQ)^

^ |Kll(t)|+2|K'e-l(t )| + |K;-l(t)| <

<[1+3)[ 1+')\K2...<{ Jt+2*-1

^+-3) --[jt+3) Hi+i^k°

Так как |КР(1;)| < Я(р + 1) р! , то последнее неравенство можно записать в виде:

|А„К (< и, V >)| < К21+1 [А + А11!+ А22 ! +... + Л,е (21)]. (12)

Числа А, ] = 0,1,2,...,21, являются коэффициентами при 2і многочлена Р2І (2) = (2+ 1)2(2 + 3)2 (2 + 21— 1)2

и допускают оценки:

Здесь Clk — биноминальные коэффициенты. Используя неравенства (12), (13) и неравенства

О

ОМСК1«^Й НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (103) 2011 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (103) 2011

■ (21 -1)!!2 < R2l+1 f Yfk + 2£c2+1

Vk=o k=o

(+X^T) (21)! < R2t+1(3■ 2 -2)(21)! <3(<2R)2t+1(2£)\

Так как

2F(u) = J2‘UK(< u, v >) f (v) m(dv)

и, в силу доказанной

выше оценки, |2UK(< u,v >)| < 3(л[2К)21+1(2£)!, то |21F(u)| < 3(yf2.R)2t+1 \|f |Ц() ■ (21)! Выполнение этого неравенства достаточно для аналитичности F(u) на Sn-1 [15, с. 496; 16, с. 17].

ТЕОРЕМА 4. (а) Если ядро K(t)eL1[- 1,1], то при k®¥ 1k = o(k-n/2+1);

(b) Если ядро K(t)eC2I[ -1,1], 1<I<¥, то при k®¥ 1k = o(k-2I-n/2+1);

(c) Если ядро K(t)eCr[-1,1], то при k®¥ lk = o(k-¥);

(d) Если ядро K(t) аналитическая на отрезке [1,1] функция, то при k®¥ 1k = o(e-hk) с некоторой положительной постоянной h.

Доказательство. (а) Из формулы (3) и из асимптотической формулы для многочленов Гегенбауэ-ра (8) получаем асимптотику собственных значений уравнения (1):

1 »-----2^---------ТГТ J K(cos в )(sin в у12-1

k (k + n l 2 -1)nl2-1 J0

cos[(k + nl2 -1) в -p(n- 2) l-] , k ®¥.

Последний интеграл имеет вид:

b

Ф(1) = Jy(t)e21s (t >dt

a

и представляет собой интеграл Фурье. При lf>>1 интеграл будет мал за счет быстрой осцилляции экспоненты. Наиболее общим результатом о поведении Ф(Х) является хорошо известная лемма Римана-Лебега [13, стр. 93]: если y(t)eLI[a,b], то при 1®¥, Ф(1) = o(l). В силу этого замечания и заключаем, что при k ®¥ 1k = o(k-n/2 + 1).

(b) Многочлены Гегенбауэра Ck(n/2-1)(<u,v>) являются сферическими функциями и потому удовлетворяют уравнению [15, с. 489]

KcI"1 2-1 (< u, v >) = (-1)l[k(k + n - 2)] Cknl2-1 (< u, v >),

где 21 - I-ая степень оператора Лапласа-Бельтрами

2 на Sn—1. Так как оператор 2 является самосопряженным, т.е.

J 2f (u)g(u)m(du) = J 2g(u)f (u)m(du)

sn-\ sn-\

для f(u), g(u)eC2(Sn—1) и 2u' K(<u,v>)=2vI K(<u,v>), то

1k = ]-(П2^^2+) J K(< u,v >)Cknl2-1)(< u,v >)m(dv) =

G(k + n - 2) sh

= G(n - 2)G(k +1) (-1)1

= G(k + n - 2) ^ [k(k + n - 2)] ^

■J K(<u, v>)2euCkn/2-1)(< u, v >)dv =

Sn-

= | Sn-2\ G(n - 2)T(k +1) (-1)1

= G(k + n - 2) ^ [k (k + n - 2)]1 ^

1 n-3

■J 2vK(< u,v >)\<и ^_, CCl2-l\t)(1-1V dt.

-1

Теперь асимптотическая оценка следует из пункта (а) этой теоремы.

(c) Так как K(t) е Cm[ — 1,1] для любого m, то утверждение следует из пункта (b) этой теоремы.

(d) Из условия аналитичности K(t), как и при доказательстве теоремы 3, получаем оценку: 12JK(<u, v>)| <CR2I + 1(2I)! с некоторыми постоянными C и R. Воспользовавшись формулой (13), неравенством Гельдера и этой оценкой, найдем:

11 \< C0k - nl2+1 k-2t R21+1 (21 )!

Отсюда следует существование положительных постоянных C1 и h таких, что 11kl<C1e-hk) [15, с. 495].

Библиографический список

1. Gardner, R.J. Geometric tomography/ Gardner R.J. — New York: Cambridge Univ. Press. Cambridge, 1995. — 424 p.

2. Kiderlen, M. Stability results for convex bodies in geometric tomography / M. Kiderlen // Research report № 491. Department of Mathematical Sciences, University of Aarhus, Denmark. No.4, March 2007.

3. Goodey, P. Integral transforms in geometric tomography/ P. Goodey, M. Kiderlen, W. Weil W. // Research report № 498. Department of Mathematical Sciences, University of Aarhus, Denmark. No.11, August 2007.

4. Rubin, B. Fractional integrals and wavelet transforms associated with Blaschke-Levy representations on the sphere/B. Rubin // Israel J. Math. - 1999. - № 114. С. 1-27.

5. Schneider, R. Convex bodies: The Brunn-Minkowski Theory/ Schneider R.-Cambridge Univ. Press. Cambridge. New York. -1993. - 490 p.

6. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. В 2 т. Т. 2 / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. - М. : Наука, 1974. - 296 с.

7. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. В 2 т. Т. 1 / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. - М. : Наука, 1973. - 294 с.

8. Аниконов, Ю. Е. Формула обращения одного интегрального уравнения первого рода и ее приложения / Ю. Е. Аниконов, В. Н. Степанов // Методы решения некорректных задач и их приложения : сб. науч. тр.- Новосибирск : ВЦ СО РАН СССР, 1982. - С. 171-174.

9. Аниконов, Ю. Е. Геометрия выпуклых поверхностей и обратные задачи теории рассеяния / Ю. Е. Аниконов, В. Н. Степанов // Сиб. матем. журн. - 1994. - Т. 35, № 5. - C. 955-973.

10. Никифоров, А. Ф. Основы теории специальных функций / А. Ф. Никифоров, В. Б. Уваров. - М. : Наука, 1974. - 302 с.

11. Лаврентьев, М. А. Методы теории функции комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. - М. : Наука, 1987. - 688 с.

12. Де Брёйн, Н. Г. Асимптотические методы в анализе / Н. Г. де Брёйн : пер с англ. М. А. Евграфова. - М. : Иностранная литература, 1961. - 248 с.

13. Федорюк, М. -. Метод перевала / Федорюк М. В. -М. : Наука, 1977. - 368 с.

14. Суетин, П. К. Классические ортогональные многочлены / Суетин П. К. - М. : Наука, 1979. - 416 с.

15. Соболев, С. Л. Введение в теорию кубатурных формул / С. Л. Соболев. - М. : Наука, 1974. - 808 с.

16. Нарасимхан, Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / Р. Нарасимхан : пер. с англ. ; под ред. Б. В. Шабата. - М. : Мир, 1971. - 232 с.

СТЕПАНОВ Владимир Николаевич, кандидат физикоматематических наук, доцент кафедры высшей ма-

тематики Омского государственного технического университета.

Адрес для переписки: e-mail: stpnv@yandex.ru

Статья поступила в редакцию 27.06.2011 г.

© В. Н. Степанов

УДК 51-76 I 615.015 fi. п. ЧЕРНОВ

Омский государственный технический университет

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ФАРМАКОКИНЕТИКИ ДЛЯ МНОГОКРАТНОГО ВНЕСОСУДИСТОГО ВВЕДЕНИЯ ПРЕПАРАТА______________________________

В работе рассмотрены математические модели фармакокинетики для однократного и многократного внесосудистого введения препарата в организм человека или животного. Математическая модель фармакокинетики при многократном внесосудистом введении препарата представлена в виде комбинации решений дифференциальных уравнений математической модели для однократного внесосудистого введения препарата.

Ключевые слова: фармакокинетика, математическая модель, концентрация, препарат, внесосудистое введение.

Математические модели широко используются при описании различных процессов и явлений природы — химических, физических, биологических. Важную роль математические модели играют в медицине для описания процессов фармакокинетики [ 1 — 7]. В работе предложена математическая модель фармакокинетики для многократного внесосудистого введения препарата в организм человека или животного. Предварительно рассмотрена математическая модель фармакокинетики для однократного внесосудистого введения препарата, которая используется автором при построении модели для многократного внесосудистого введения препарата.

Математическая модель для однократного внесосудистого введения препарата

Схема для однократного внесосудистого введения препарата в организм животного или человека может быть представлена в виде рис. 1.

Внесосудистым способом введения препарата в организм может служить, к примеру, внутримышечная инъекция или прием таблеток. В данном способе поступление препарата в кровь следует учитывать по механизму абсорбции. В этом случае математическая модель описывается с помощью двух дифференциальных уравнений для оценки двух разных концентраций препарата — в области введения и непосредственно в крови :

йСх=—ка6 Сх (И (1)

йС=(ка6 Сх — кэД С№ (2)

где Сх(1)—определяет концентрацию препарата в области введения (например, в мышце). При этом предполагается, что препарат равномерно распределен по некоторому объему области введения, откуда он абсорбируется в кровь с постоянной скоростью, характеризуемой константой скорости абсорбции препарата каб. Функция С(1) — определяет концентрацию препарата, поступившего в кровь, кэд— константа скорости элиминации, характеризующая скорость выведения препарата из кровеносного русла в результате метаболизма или экскреции.

В качестве начальных условий берутся два значения исследуемых концентраций в момент времен 1 = 0

Сх (0) = Со, С(0) = 0. (3)

где С0 — начальная концентрация препарата (при

1 = 0) в области введения, усредненная по некоторому объему.

Решение для концентрации препарата Сх(1), удовлетворяющее начальному условию (3), легко находится из уравнения (1) :

Сх (1) = С0 е —ка6 1. (4)

Согласно решению (4), концентрация препарата Сх(1) в области введения будет уменьшаться со временем по экспоненциальному закону.

Концентрация препарата в крови С(1) определяется из уравнения (2) методом Лагранжа - вариацией произвольной постоянной. Для этого сначала находится решение упрощенного дифференциального уравнения (5), получаемого из уравнения (2) отбрасыва-

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (103) 2011 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

45