Обобщенная свертка преобразования Ханкеля с многочленами Гегенбауэра в ядре Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНФОРМАТИКА И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

УДК 517.9

Л.Е.Бритвина

ОБОБЩЕННАЯ СВЕРТКА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ХАНКЕЛЯ С МНОГОЧЛЕНАМИ ГЕГЕНБАУЭРА В ЯДРЕ

In this paper the Hankel integral transform is considered. New polyconvolution (generalized convolution) for this transform is constructed. The conditions of its existence and factorization property are found. This generalized convolution allows solving new classes of the convolution equations.

Введение

Уравнения типа свертки являются одним из важнейших математических средств решения практических задач. Трудно указать какую-либо другую математическую теорию, которая была бы более тесно связана с различными приложениями. Здесь и разнообразные задачи классической математической физики, и всевозможные задачи современной техники и экономики.

Решение интегральных и интегро-дифференциальных уравнений типа свертки основывается на применении интегральных преобразований. С их помощью простые уравнения непосредственно сводятся к линейным алгебраическим уравнениям, а более сложные — к линейным краевым задачам аналитических функций [1]. В связи с этим одной из актуальных задач теории интегральных преобразований является построение новых сверточных конструкций, нахождение условий их существования и описание их приложений к решению разнообразных задач.

В данной работе рассматривается интегральное преобразование Ханкеля, которое выгодно использовать в задачах с осевой симметрией (см., напр., [2]). Оно определяется посредством интеграла [3]:

FV(х) = j f(t) t Jv(Xt)dt = Hv [f (t)], (1)

0

где Jv (z) — функция Бесселя первого рода порядка v, Re v >-1j2, x > 0.

Преобразование (1) порождает множество сверточных конструкций [4-6] и, следовательно, позволяет находить решение достаточно широкого класса сверточных уравнений и уравнений в частных производных. Данная статья посвящена построению одной из обобщенных сверток преобразования Ханкеля и нахождению условий ее существования.

Результаты

Рассмотрим функцию

2v-1 mir(v)tv }„v, . • 2v Л „ .£412 + t2 -2tTcos5) v+1d (2)

V/2 T dT, (2)

= 2—m,r(v)t j cm (cos s)sin2v s ds j f (t) (( nr(2v + m) J m J (t2 +

nr(2v + m) J m J (t2 + t2 - 2tT cos s)

где Cm (z) — многочлены Гегенбауэра [7]. Покажем, что при определенных условиях она является полисверткой (обобщенной сверткой), обладающей факторизационным свойством

Hv+m [h](u) = Hv+m [ f ](u)Hv [g](u). (3)

Полисвертку мы определяем в соответствии с работами В.А.Какичева [8]. Определение. Полисверткой (обобщенной сверткой) h(t) двух функций f (t) и g(t), порожденной интегральными преобразованиями Ханкеля Hv, H^ и Hх, назовем функцию, определяемую равенством

h(t) = H-H ц [g ](u )](t),

где a(u) — весовая функция (вес).

Для нахождения условий существования функции (2) воспользуемся следующими известными результатами теории преобразования Ханкеля (см., напр., [9,10]).

Теорема 1 (аналог теоремы Римана-Лебега). Если функция 4tf (t) е L(R +), то преобразование Ханкеля Fv (u) функции f (t) является непрерывной и ограниченной на всей полуоси (0,да) функцией, причем имеет место соотношение lim Fv (о) = 0.

о^да

Теорема 2 (обращение преобразования Ханкеля). Пусть функция f (t) ограниченной

вариации на всяком конечном интервале (0, R), 4tf (t) е L(R +). Тогда при Re v >- 1/2 имеем

да

1 [f (t + 0) + f (t - 0)] = j Fv (u) Jv (ut)u du.

0

Докажем вначале следующее утверждение.

Лемма. Пусть 4tf (t),yftg(t)е L(R +), тогда функция H(u) = uHv[f](u)H^[g](u) принадлежит классу L(R +) с весом -Ju, если Re X > 1/2 и Re(v + ц - X) >-3/2. Доказательство. Так как -J!f (t),4tg(t) принадлежат L(R +), то [11]

Hv [ f ](u) = O(uv), u ^+0,

Hц [f ](u) = O(u ц), u ^+0.

Следовательно, H(u) = O(uц+v~x), u ^+0.

С другой стороны, учитывая, что 'Jtf (t) е L(R +) и 14tJv (t)| < ~ Vt е (0, да), находим

Hv[f ](u)| < j|f (t)Jv(ut)t|dt = ^=j\-ftf (t)\\utJv(ut)dt <-C=, u е (0,да),

о ^

-1/ 2

здесь с не зависит от и, V. Аналогично, Дц ](и) = 0(и ).

Таким образом, Н(и) = 0(и~Х-1) Уи е Я+. В частности, Н(и) = 0(и ~Х-1), и ^-+да.

Итак, при ЯеX > 1/2 и Яе^ + ц-X) >-3/2 мы получаем, что 4иН(и)еЦЯ+). Лемма доказана.

Следствие. Если -Л/(t),4tg(/)е ДИ +), то существует непрерывная ограниченная на всей числовой полуоси (0, го) функция

Н^) = Н-[иДу [ / ](и) Дц [Я ](u)](t), где Яеп>-1/2,, ЯеX> 1/2, Яе(у + ц-X) >-3/2. При этом Иш Н(t) = 0.

t ^+ГО

Более того, для Н(1) справедливы асимптотические оценки

h(t) = O(tn), t ^ +0,

1/2 (4)

h(t) = O(t~1/2) Vt e R +.

Для доказательства следствия достаточно воспользоваться леммой и теоремой 1.

Теперь перейдем к доказательству основной теоремы.

Теорема 3. Пусть 4t f (t),yftg(t) e Z(R +), g(t) — непрерывная функция, ограниченной вариации на всяком конечном интервале (0, R) и Re v> 1/2. Тогда полисвертка h(t) функций f (t) и g(t) существует и имеет вид (2).

Доказательство. Введем в рассмотрение функцию

H(u) = U-VHv +m [ f ](u)Hv [g](u).

Из леммы следует, что 4uH(u) e Z(R +) при Re v > 1/2. Неравенство

Re(v + m) > -3/2 выполняется автоматически Vm e N0 и Vv, Re v > 12.

Следовательно, существует

h(t) = Hv-+m [H (U)](t) — (5)

непрерывная, ограниченная на всей числовой полуоси (0, да), для которой справедливы оценки (4).

Записывая оператор преобразования Ханкеля в явном виде, из (5) получаем

да

h(t) = ?u1-VHv+m [ f ](u)Hv [g](u) Jv+m (ut) dt =

О

дада = I u1-V J v+m (ut) H v [ g ](u) | f (т)т/ v+m (uт) dт du = (б)

О

да

= Iт f (т)IHv [g](u)u1 v Jv+m (ut) Jv+m (uт) du dт.

ОО

Перемена порядка интегрирования законна, так как в нашем случае применима теорема Лебега о предельном переходе.

Известно [12], что

J ( w (b) 2v-1 mT(v)avbv f c v ( ) . 2v Jv (>/ a2 + b2 - 2ab cos s) d R > 1/2

J v+m (a)Jv+m (b) =--—----------| Cm (cos s)sin s / j , 2 „ ,---^ Re v >-1/2 (7)

пГ (2v + m) J la2 + b2 - 2 ah cos clv/2

Подставляя (б) в (7) и меняя еще раз порядок интегрирования, находим:

I іош о / 4

пГ^ + m) J (a2 + b - lab cos s)

меняя еще раз порядок интегри

v да п

h(t)=2 ”! Г (v )г. fTv+^./ (т) I cm(cos s) sinlv s >

nK2v + m) J J

x I Hv,[g](u)^/v(u^t2 + т2 2тcoss)dudsdx.

Jv\^\t + т -2tтcoss) 0 (t2 + т2 - 2tr cos s)

v/2

Отсюда следует, что в силу теоремы 2 полисвертка h(t) функций f (t) и g (t) имеет явный вид (2).

Теорема доказана.

Заметим, что факторизационное свойство (3) следует непосредственно из (5) при дополнительных условиях, необходимых для существования преобразования Ханкеля функции h(t) .

О

да

5G

Вывод

Представленные в данной работе результаты позволяют решать сверточные уравнения, содержащие обобщенную свертку (2), а также их системы с помощью интегрального преобразования Ханкеля и описывать классы функций, в которых решения данных уравнений существуют. Кроме того, возможно применение свертки (2) к решению обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, содержащих оператор Бесселя.

Следует отметить, что обобщенная свертка, обладающая факторизационным свойством (3), может быть получена и при других условиях.

На основе полисвертки (2) по аналогии с исследованием [4] возможно построение сверточных конструкций, содержащих дифференциальные операторы, что позволяет применять ее к решению интегро-дифференциальных уравнений типа свертки.

Автор выражает благодарность коллективу кафедры теоретической и математической физики и отделу по молодежной науке НовГУ за поддержку данного исследования.

1. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978. 296 с.

2. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Л.: Изд-во АН СССР, 1967. 420 с.

3. Снеддон И. Преобразования Фурье. М.: ИЛ, 1955. 668 с.

4. Бритвина Л.Е. // ДРАН. 2002. Т.382. № 3. С.1-3.

5. Бритвина Л.Е. // Математические заметки. 2004. Т.76. Вып. 1. С.20-26.

6. Бритвина Л.Е. // Вестник НовГУ. Сер.: Техн. науки. 2004. №28. С.63-66.

7. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.2. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. М.: Наука, 1966. 296 с.

8. Какичев В.А. // Изв. АН БССР. Сер.: Физ.-мат. науки. 1967. №2. С.48-57.

9. Князев П.Н. Интегральные преобразования. Минск: Вышейная школа, 1969. 200 с.

10. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М.: ОГИЗ, Гостехиздат, 1948. 480 с.

11. Брычков Ю. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука, 1977. 288 с.

12. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. Т.1. М.: ИЛ, 1949. 798 с.