Дифференциальные свойства преобразования Ханкеля Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

Л.Е.Бритвина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ХАНКЕЛЯ

The paper deals with the original differential operators generating the before known, and new functional spaces that broaden calculating possibilities of using Hankel transformations to solve the applied problems.

Введение

Многие задачи физики, прикладной математики и математического моделирования сводятся к решению дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Одним из эффективных методов нахождения аналитического решения является метод интегральных преобразований. При этом наиболее изученным и часто применяемым из всех преобразований Бесселя является интегральное преобразование Ханкеля. Оно определяется посредством интеграла [1]

F (Х) = j f(t) t JV (Xt)dt = HV [f(t)] , (!)

0

где Jv (z) — функция Бесселя первого рода порядка v ; Re V > - 1/2.

Данная статья посвящена изучению дифференциальных свойств преобразования (1) и построению соответствующих функциональных пространств с целью расширения возможностей решения указанных задач.

Результаты

Введем дифференциальные операторы

j \ m к

d 1 , m—v nk Г i г -it- 1

f d т к

Nm,v = tV[—) tm—V , ^m,v = [,—vNm,v+m ] , (2)

которые обладают следующими свойствами [2]:

a) <V = sm,—V = S,, где S„V = Sn,—V = S" =

d2 +1 d—vL dt2 t dt t2

Ь) ^га,±у+кт^ т,±у+(к-1)т т,±у+т^т,±V ^т(к+1),±у+кт '

Следует отметить, что частные случаи данных операторов встречаются в основных уравнениях математической физики, например в теории упругости [1,3,4]. В виде (2) они впервые встречаются у автора в [5].

Используя свойства а) и Ь), нетрудно показать, что все известные дифференциальные операторы (см., напр., [6]), связанные с преобразованиями Ханкеля, можно выразить через Жт,±у и Бщу. Поэтому в дальнейшем ограничимся рассмотрением операторов (2).

Пусть С х (0, да)р — множество функций / (г), имеющих непрерывную на интервале (0, да) производную, для которых справедливы следующие асимптотические оценки [2]:

/(г) = о(гх), г ^ +0; /(г) = 0(г~р), г ^ +да.

Теорема 1. Если •Лм1 ±у / (г)е £(И+) и / (г)е С х (0, да)д, X >-1/2, д > 3/2, то

Ну [,±V/(г)]) = +иЯу+1[/(г)](и), Яе V >- 1/2 + тах{0,±1} (3)

Доказательство. Так как -Лы1±у /(г)е ДЯ +), то существует непрерывная, ограниченная на всей полуоси (0, да) функция

П

Р (и ) = НV [,±V /(і)] ) = |

ад _

~ й :

= и±V

і: *+'/(і)

. Уу (иг)Лг,

1_ л _

0

стремящаяся к нулю на бесконечности. Интегрируя по частям, получим:

да

К (и ) = г/ (гу (иг)\да + и | /^у^ (иг)ёг = г/ (гу (иг)\да + иНуТ1 [/(г)](и). (4)

0

Найдем пределы функции ф(г) = г/(г)Уу (иг) при г ^ +0 и г ^ +да .

Опираясь на асимптотические разложения функций Бесселя первого рода [7]

ПУ п

•і-^соєГі -— - —1 + о(і 32), і —+ад,

їпі І 2 4) V ' (5)

о(і''), і —+0,

нетрудно показать, что существует такое положительное с, независящее от і є (0, ад), что

\Ги V (і )| < с Уі є (0, ад). (6)

Тогда

|ф(/)| < сл —/(і) Уі є (0, ад), и > 0.

V и

Очевидно, если /(і) є Сх (0, ад) , X >-1/2, ц > 1/2, то Ііт ф(і) = 0 и Ііт ф(і) = 0.

ц і ——+0 і —+ад

Теперь рассмотрим функцию

Д, (и )= +иНv+l [/(і)](и ),

стоящую справа в (4).

Для существования функции Р^:1 (и ) = Н^[/(і)](и) достаточно потребовать, чтобы

■Л/(і)єІ(Я+) и ЯеV >-1/2 + тах{0,±1} Если /(і)єСх(0,ад)ц, X >-3/2, ц > 3/2, то 4і/ (і )є ЦК +).

Таким образом, при выполнении условий теоремы справедливо равенство (3). При этом функция (и) непрерывна, ограничена на всей полуоси (0, ад) и стремится к нулю на бесконечности. Теорема доказана.

Следствие. Используя свойство Ь) дифференциального оператора N ±,,, нетрудно

показать следующее. Пусть Лыт,±V/(і)єЦ(К +) и Ыт-к,±v-k/(і)є Сх(0,ад)ц, X >-1/2,

ц > 3/2, к = 1,2,...,т, ЯеV >-1/2 + тах{0,±т}, тогда

НV К±V /(і)] ) = (+ и ) тНV:т [/(і)](и ). (7)

Действительно, из теоремы 1 получаем: если -Лыт±V /(і)є Ц(Я+ X Мт-к ,±v-k/(і )є

. ' m-k,±v-k^''

є Сх (0, ад)ц, X >-^2, ц > 3/2, то

~ 'Т " (и

Н V [т,±у /(г)] ) = +иН уТ1 [^т-!,±у-/(г)](и ),

при этом -Лыт-1±у-1 /(г) е ДИ +). Дальнейшее доказательство следствия очевидно.

Функция 4гЫт-к,±у-к/(г)е ЦИ +), к = 0,1,2,^, т, следовательно, ее преобразование Ханкеля ограничено и равенство (7) позволяет ввести оценку

|(+ и Т\\Н V [/](и Я = Н V №т,±у/](и ^ С или |Н у+т [/](и ■

11 ит

Условия, при которых справедливо равенство (3), можно уточнить.

Теорема 2. Если Лм1±у/(г)е ДИ+) и /(г)еСх(0,да)д, X > тах{-3/2,-1 -Яеу}, д > 3/2, Яе у > -12 + тах{0,±1}, то

Н у К± у / (г)]) = +иН у+1 [ / (г )](и).

Доказывается аналогично теореме 1. Различие состоят лишь в том, что следует воспользоваться не оценкой (6), следующей из (5), а непосредственно разложением (5).

Следствие. Если ЛЫт+ у/(г)е ЦИ +) и Мт-к,±у-к/(г)е СХк (0, да)д , Хк > тах{-3/2,

-1 -Яеу ±(к -1)}, д > 3/2, к = 1,2,...,т, Яеу >-1/2 + тах{0,±т}, то справедлива формула (7).

Так как 5*т,у = Мт,-у Мт,у+т = Мт,у Мт,-у+ т , то спраВедлива

Теорема 3. ПусТь /(г)е +) и Мт-к,+у-кМт,±у+тУ (гX Мт-к,+у+т-к /(г)е

е С х (0, да)д, X >-1/2, д > 3/2, к = 1,2,..., т, Яе V >-1/2 + тах{0,±т}, то

Н у [т,у / (г)]) = (- 1)ти 2тН у [/(г )](и).

Доказательство данного свойства следует непосредственно из следствия теоремы 1. Условия теоремы 3 могут быть уточнены, если воспользоваться следствием теоремы 2.

Теорема 4. Пусть /(г) такова, что функция гк+12/(г)е Ь(К +), к = 0,1,2,..., т, тогда

Мт,±уНу+т [/(г)](и ) = Ну [(+ г)т/(г)](и), Яе у > - V2 + тах{0,±т}

Если т = 2п, справедливо равенство

Н у [/(г )](и ) = Н у [(-1) пг2п/(г )](и), Яе у > -12.

В силу симметричности преобразования (1) все вышеперечисленные дифференциальные свойства имеют место и для обратного преобразования Ханкеля.

Вывод

Представленные в данной работе дифференциальные операторы и свойства преобразования Ханкеля расширяют вычислительные возможности алгоритмов решения указанных выше технических задач.

1. Снеддон И. Преобразования Фурье. М.: ИЛ, 1955. 668 с.

2. Бритвина Л.Е. // ДРАН. 2002. Т.382. № 3. С.1-3.

3. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. 512 с.

4. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Л.: Изд-во АН СССР, 1967.

420 с.

5. Какичев В.А., Бритвина Л.Е. // Материалы Междунар. науч.-метод. конф. «Избранные вопросы математики и методики ее преподавания». Смоленск, 1998. С. 14-15.

6. Брычков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука, 1977. 288 с.

7. Ватсон Г.Н. Теория Бесселевых функций. М.: ИЛ, 1949. Т.1. 798 с.