Обратное преобразование Ханкеля для смешанной краевой задачи на конечном интервале Текст научной статьи по специальности «Математика»

-►

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

УДК 51 7.444

В.Н. Козлов, ПЛ. Трофимов, А.И. Акимов

ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАНКЕЛЯ ДЛЯ СМЕШАННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ

Преобразование Ханкеля применяется при решении задач переноса для тел с осевой симметрией. Оно разработано и успешно используется для различных интервалов (см., например, [1—3, 5, 7]), причем основное внимание уделено областям вида (0, а) как наиболее распространенным. В данной работе разрабатывается способ, применимый к решению некоторых задач на области 0 < Ь < а, с граничными условиями третьего и первого родов соответственно. Подобные задачи возникают при изучении распределения тепла для полого цилиндра в производстве изделий из композиционных материалов в авиационной промышленности и космической технике.

Преобразование Ханкеля определяется как

(1)

здесь /(/•) удовлетворяет условиям Дирихле на интервале [6, а], и существует разложение

Аг) = ТсМ'г)

/

где у>-1, Ц,('г) = /у('а)Су('г).

Здесь /у(';г), Су(';г) — соответственно функции Бесселя первого и третьего родов порядка V, ' — положительные корни трансцендентного уравнения

ицт+щ=о, (3)

где А — относительная теплопроводность и И + V > 0. Само уравнение соответствует граничному условию третьего рода. Будем считать, что ряд равномерно сходится и суммирование ведется по корням '. Внесем ряд уточнений, поскольку в определениях рода функции Бесселя

присутствует некоторая неопределенность. Так, в монографии [2] функцией Бесселя второго рода называется функция

(7v(z) = l/ 2 л cosec vn(J_v(z) -e~imJv (z)),

которая в другой монографии [4] определена как функция Ханкеля третьего рода, правда без множителя 1 / 2л . В свою очередь в книге [7] функция второго рода определена как

Yv (z) = cosec ул(/у (z) cos ул - /-v (z)),

что совпадает с обозначением Вебе pa (принятым, по крайней мере, в [4]). В нашей работе будем

ад

Gv(z)

рода.

Можно доказать ортогональность с весом р(г) = г на интервале {Ь, а) для системы функций 4('3г),....

Для ' ф '. несложно получить следующий результат (см. интеграл Ломмеля):

¡гЦ,('г)Ц,('г)<1г =

bh

' - '

Заметим, что при совпадении корней и 'у нам фактически необходимо вычислить квадрат нормы:

п

м2

||4('г)||2 = \rll('r)dr =

1-

%tr)+i*{%A = \b

a1 i b1 i

' v2

Ф2

v

Ф2 '

Щ

1 ,

1

так как ^{'¡а) =— (см. [2, с. 597]). '¡а

Следовательно, система функций ортогональна с весом л т. е.

¡гЦ,('г)Ц,('г)<1г =

0,если', ф

I •nj-

2а2 1 е2

'' /

С; =

/О

2'? А',)

' IWJI2

' 2 л b2 '

(4)

+ 1

Устремим /г ^да , тогда первое слагаемое стремится к нулю ввиду Щ^Ь)и условие (6) вырождается в условие первого рода

= (7)

Заметим, что это условие теперь будет определять корни ' нашей задачи.

Принимая во внимание уравнение (7) и выражение

Ц('Ь) =

(см. [2]), мы преобразуем знаменатель к виду

+1.

Возвращаясь к разложению (2), получаем с учетом определения (1):

В итоге приходим к выражению

АО=Х 2/' ,, т-2, М'/О. <8)

которое и определяет решение частной задачи.

Это формула неявно содержится в книге [7, с. 522], где для этого случая она приводится (с учетом наших обозначений) как

№,)=¡rf(r)By(',r)dr, a>b,

Таким образом, мы приходим к формуле обращения преобразования Ханкеля для смешанной краевой задачи:

№ = I-

' ь211с,ь)

' 2 Л

^-ё-и2

ul '

V6 У

ле^м5)

+

где суммирование осуществляется по положительным корням ' уравнения (3).

Рассмотрим теперь частный случай, соответствующий граничным условиям первого рода. Перепишем уравнение (3) в виде

п

Распишем знаменатель выражения (4):

(6)

.2

é2^ - -AV щ'Ь)+i=

a a 12/

.2

= А2^ - '2\4('А)-Ь 'А) + 1.

ц2е2 ,,1,

где 5v('r) = /v('r)7v('A) - /v('A)7v('r); ' -положительные корни уравнения

= (9)

(ад=

/v(z)cosvrc — J(z)

— функция Бесселя

Sin VK

второго рода порядка v). Там же приводится формула обращения вида

/С)=у X

2 /

Нетрудно заметить, что автором [7] используется ядро, отличное от Щ'г); вместо бесселевой функции третьего рода взята функция второго рода и, кроме того, в ядре применяются значения от Ь.

Воспользуемся аналогией и вслед за результатами, полученнымив [7, с. 132—133], выведем формулу обратного преобразования для ядра

B¿'r) = Jv('r)Yv('a)-J¿'a)Y¿'r). (10)

Квадрат его нормы имеет вид:

ц2 _

Ь

= \rBl%r)dr =

= -[¿Blfáa)-b2 Используя разность

/v+1(x) Yv(x )-Jv(x)Yv+l(x) = —,

nx

получим формулу

By+l ('a) = -

п'а

Далее, применяя выражение

(Н)

(12)

(13)

=

из уравнения (9), имеем равенство _ Уу+1('Ь)^('а)

-J у(',я)Уу+1 =

С учетом тождества (12) оно дает формулу Jv('a) 2

bv+, т=-

(14)

Сведем функцию Бесселя Gv(z) к Yv(z), применяя е~'т = cos vn-/sin vn:

1 Jv(z)cosvn -J_v(z) 1

2 k-:-+ т 2

2 sin vk 2

1

= --я {Yv(z)-lJv(z));

я

Таким образом, из ядра (10) и (16)

(16)

п

я

Формула (15) преобразуется к виду

2 а

(17)

Яг) = ^Т IjVW

I ь

— К^г)

л

ёгх

Jl^-Jl^a)

л

к'Ь

Подставляем значения (13), (14) в выражение

^ ^ ' Л С»)

Наконец, получим выражение

^„ч ^ ^ '^уС^ЛО р „ч /1ГЧ

Яп_ — X 2 Ву('г), (15)

где /,(',)_ В^',г)<1г.

ь

Покажем тождественность преобразований (8) и(15), для чего рассмотрим связь между ядрами 5у(',г) и

м _ X) Ш^-М'Л

что совпадает с частным случаем (8), выведенным выше.

Таким образом, показана тождественность преобразований (8) и (15).

Перейдем к исследованию самого преобразования.

Известно, что функции Бесселя первого и второго родов /у(г) и Yv(z) вещественнознач-ны, в том числе и для комплексных аргументов. В силу формулы (17) получаем, что

= - /у (^)адг)).

Таким образом, функция ¿^('¡г) принимает только вещественные значения.

Уравнение (3) имеет бесконечное количество

корней '. Этот факт следует хотя бы из того, что при больших аргументах любое решение Бесселя (в том числе и ^('¡г)) весьма мало отличается от затухающей синусоиды

j/ = ^sin(jc + ®)+0(jc_3/2), (18)

v 'ЗС

где А = const, ю = const [9, с. 265].

Таким образом, воспользовавшись функцией

А

sin(';.r + w),

получаем из уравнения (3) два уравнения:

Л

sin('r + ю) + ' cos('r + ю) = 0;

Jy-=

Последнее уравнение имеет бесконечное число корней 'при

Выясним природу корней функции

и^т+ъкш

Для функций /v (z) и Yv(z), ввиду асимто-тических формул [9, с. 265]

■/v(x) = il—sin I nx

vn n^

X--+ — 1 +

2 4)

Yv(x) = J—sin n

Vя - f)+0

корни будут стремиться при возрастании аргументов к значениям соответственно

УЯ я

х = яп +---;

2 4

УЯ я

х = яп + — +—.

2 4

Из асимпотической формулы (18) следует, что любое решение уравнения Бесселя имеет бесконечное множество положительных корней и эти корни близки к корням функции вт(х + ю) •

Таким образом, для функции 1^{ХпЬ) для достаточно больших п корни близки к числам вида УпЬ = пп-а, где п — целое. В дальнейшем нас будут интересовать только положительные корни 1^{УпЬ). Можно показать, что для достаточно больших значений п вблизи каждого числа УпЬ лежит лишь один корень.

Теперь обратимся к корням функции Ц, (цпЬ). В силу теоремы Ролля между двумя каждыми пос-

ледовательными корнями функции ле-

жит по крайней мере один корень Ц, (и„ Ь). Следовательно функция ц,(цпь), гак и , имеет бесконечное множество положительных корней.

Случай кратного корня, т. е. когда ^(Ли6) = 0 и цпь) = 0, невозможен; в силу теоремы о единственности решения дифференциального уравнения следовало бы, что ь^{цг) = 0 > а это, конечно, неверно.

Наконец, рассмотрим функцию

Как показано выше, функции и

Щ'Ь) те имеют общих корней(^>>0); при переходе через корень обязательно меняет знак. Пусть у , Х2> ■■■■> ^я > ••• _ положительные корни Щ'Ь), расположенные в порядке возрастания. Следовательно, ц (упь) ф 0 , но

[и^т+тщ^ =ктпь).

Заключаем, что функция + 'Ц,О

попеременно положительна и отрицательна при ' = У, У^—, Уп, ■■■ и, значит, обращается в нуль по крайней мере по одному разу между корнями У , У2 > •••> У«' •••• Таким образом, доказано существование бесконечного множества положительных корней для функции + 'Ц, ('Ь).

/

мерно сходится. Для этого докажем следующее утверждение:

Если V > — 1/2 и для всех достаточно больших

,1+Е '

где е >0 ис — постоянные, то ряд

сЛ('г)+ с2 М^)+3+си Ц,СГ)+3

сходится абсолютно и равномерно на интервале 0<Ь< а.

Итак, при v> —1/2 функция ограни-

чена при г^Ь ф0 , что следует из непрерывности функций Jv{z) и Су(г) вточке '¡Ь ; с другой

стороны в силу асимптотической формулы (18) она ограничена при больших аргументах, а значит ограничена для всех исследуемых аргументов. Но тогда

- Р'<^ = const);

c„L (' г)

п V п

<\сЛР;

I с

и в силу условия |ся|<—j^r получаем неравен-

ство

сР

i-1+E '

С помощью той же асимптотической формулы нетрудно получить при п^ да неравенство ' - ' > -

в случае п>т ■ Таким образом,

'я з'm+^-m) = n + h, h = const. Поэтому если число п велико, то

«л 4" и 2 '„ »

Тогда для больших значений п выполняется неравенство

Н

c„L (' г)

п V п

<-

J+E

Н = const,

п

Н

где —:--член сходящегося числового ряда.

п

Следовательно, ряд

п

солютно и равномерно.

Для разрешения вопроса о скорости убывания коэффициентов (4) разложения Фурье — Бесселя оценим вначале поведение образа Хан-келя функции (1). Вследствие ограниченности

функции Щ'г) при больших аргументах справедлива оценка

и

^2Lv(r)dr

< С,

Данная оценка следует из неравенства [4, с. 653]

и

Jr1/2 Jv(r)dr

<с„

определения функции

Iy(',r) = Jv(',r)Gv(',a)-Jv(',a)Gv(',r) и неравенства

и

jrl/2Gv(r)dr

<

которое следует из выражения

ед=у (/v(r) + /7v(r))

и неравенства

с/

jrl/2Yv(r)dr

<

Последнее неравенство есть следствие асимптотической формулы [4, с. 222]

ВД = (2/я) х

да

8Ш(Г-1/2 уя-1/4я) X (-1Г(У, 2т)/(2г)2т +

т=О

где с — постоянная, не зависящая от л она лежит в интервале (0, да) •

да

+С08(г-1/2уя-1/4я)£(-1)т(у,2т + 1)/(2г)2т+1

т=0

Пусть, далее,

г1/2ДГ) = 'Г)-'2(Г), где у, (г) и '2(г) монотонны на интервале (6, а); тогда существует такое число я, что

Jу,(г)г>/ 2Lv('r)dr

Очевидно, что для '2(г) получаем тот же результат.

Таким образом,

Я') = ¡rfiWrtfr^tf2

При рассмотрении коэффициентов с,- будем пользоваться асимптотической формулой (18) для Щ'г). Итак, для с,-, представленных формулой (4), оценку будем выполнять следующим образом. Подставим в формулу с,- соответствующие оценки для скорости убывания:

2'?0(Г3/2)

1 .

ь2 '

л'

наконец, раскроем скобки в знаменателе и оставим самые медленноубывающие части:

о('

1/2

т

и, как следствие, получаем

0( '

1/2

А

1

V1

ип ('г + ю) о('"1/2) + о('~2^2^

т. е. не менее

0(г')-

Оценим, наконец, остаток ряда Фурье — Бесселя для достаточно больших значений я, вос-

пользовавшись рассуждениями для общего члена ряда, а именно

Аналогично продолжаем, тогда имеем

о('2\

Таким образом, скорость убывания последовательности (с,-) коэффициентов разложения

Фурье — Бесселя составляет О^).

Решим вопрос об убывании членов исследуемого ряда, для чего рассмотрим общий член

асимптотически приближается выражением (18) для больших аргументов. Следовательно, скорость убывания может быть вычислена как

к=п+1

^ Xе*

к=п+1

Ч

Ал

В

те А, В — постоянные. Таким образом,

После возведения в квадрат первого множителя знаменателя оставляем слагаемые, скорость убывания которых минимальна, далее упрощаем выражение, отбрасывая постоянные, так как они на скорость убывания не влияют, т. е.

тах|/(г)-£я(г,/)| = 0

при п^ <».

И в заключение для случая у = 1 найдем об-

раз Ханкеля функции

2 2 -

, который обозна-

чим как Н,

/ 2 2 Л г -а

Воспользуемся уже известными формулами [2, с. ИЗ]:

](г2-А2)/1(^г =

ь

(19)

¡(г2-^)^.^г =

ь

. (20)

(¿{('¡а) Л('/а)

и вычитаем одно из другого, тогда получим:

|(г2-а2Ц (^г =

ь

к2 л2 -

Теперь воспользуемся рекуррентными соотношениями

и, учитывая выражение (3) для у = 1, в конечном итоге получаем искомый образ:

Н,

( 2 г -а

J-

а -о

1 и — h

b

Таким образом, нами получено преобразование Ханкеля для смешанной краевой задачи на интервале 0 < Ь < а (см. формулы (1), (3), (5)). Оно

позволяет находить решение многих задач нестационарной теплопроводности со смешанными граничными условиями для неограниченных тел с осевой симметрией. В том числе подобные задачи возникают при изучении распределения тепла в производстве изделий из композиционных материалов в авиационной промышленности и космической технике.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Арсенин, В.Я. Методы математической физики и специальные функции [Текст]: учеб. пос. для втузов / В.Я. Арсенин,— Изд. 2-е, перераб. и доп.— М.: Наука, 1984,— 384 с.

2. Снеддон, И. Преобразование Фурье |Текст| / И. Снеддон; пер. с англ. А.Н. Матвеева; под ред. Ю.Л. Рабиновича,— М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1955,- 688 с.

3. Кошляков, Н.С. Уравнения в частных производных математической физики [Текст]: учеб. пос. для мех.-мат. фак. ун-тов / Н.С. Кошляков, Э.Б. Гшнер, М.М. Смирнов,— М.: Высш. шк., 1970,- 712 с.

4. Ватсон, Г.Н. Теория бесселевых функций [Текст]: В 2 ч. Ч. 1. / Г.Н. Ватсон; пер. с англ. B.C. Бермана,— М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1949,- 799 с.

5. Диткин, В.А. Интегральные преобразования и операционное исчисление [Текст] / В.А. Диткин, А.П. Прудников,— М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1961,— 523 с.

6. Эккерт, Э.Р. Теория тепло- и массопереноса [Текст] / Э.Р. Эккерт, P.M. Дрейк; пер. с англ. под ред. А.Н. Лыкова,— М.-Л.: Госэнергоиздат, 1961.— 682 с.

7. Лыков, A.B. Теория теплопроводности |Текст|: учеб. пос. для вузов / A.B. Лыков,— М.: Высш. шк., 1967,- 600 с.

8. Положий, Г.Н. Уравнения математической физики [Текст]: учеб. пос. для вузов / Г.Н. Положий,— М.: Высш. шк., 1964— 560 с.

9. Толстое, Г.П. Ряды Фурье [Текст] / Г.П. Толстое.— М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1960.— 392 с.