Об одной обобщенной свертке преобразования Ханкеля в пространстве l(r+) Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНФОРМАТИКА И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

УДК 517.9

Л.Е.Бритвина

ОБ ОДНОЙ ОБОБЩЕННОЙ СВЕРТКЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ХАНКЕЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Z(R +)

Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого

In this paper one of the Hankel integral transformations is considered. New polyconvolution (generalized convolution) for this transformation is constructed. The conditions of its existence and factorization property are found. This generalized convolution allows solving new classes of the convolution type equations.

Введение

Одним из важнейших математических средств решения разнообразных практических задач являются уравнения типа свертки, применяемые в различных областях математической физики, техники и экономики.

Решение интегральных и интегро-дифференциальных уравнений типа свертки основывается на применении интегральных преобразований, которыми простые уравнения непосредственно сводятся к линейным алгебраическим уравнениям, а более сложные — к линейным краевым задачам аналитических функций [1].

Таким образом, одной из актуальных задач теории интегральных преобразований является построение новых сверточных конструкций, нахождение условий их существования и описание приложений сверток к решению разнообразных задач.

Ниже рассматривается интегральное преобразование Ханкеля, которое рационально использовать в задачах с аксиальной симметрией (см., напр., [2]). Оно определяется посредством интеграла [3]:

F(x) = J f (t) t J v(xt )dt = H v [f (t)], (1)

0

где Jv(z) — функция Бесселя первого рода порядка v; Rev > -1/2; x > 0.

Преобразование (1) порождает множество сверточных конструкций [4-6] и, следовательно, позволяет находить решение достаточно широкого класса сверточных уравнений и уравнений в частных производных. Данная работа посвящена построению одной из обобщенных сверток преобразования Ханкеля и нахождению условий ее существования.

Результаты

Рассмотрим функцию

2Ц+v t v ^

h(t) = 2- Je^-v)s cos^+v 5 ds J f (T)g(ф(s))ф-^-vx^+1dT, (2)

П -я/2 0

где ф(s) = V2(t2eis +12e-is )coss .

Покажем, что при определенных условиях она является обобщенной сверткой (полисверткой), обладающей факторизационным свойством

Hv [h](u) = H ц [ f ](u) H ц+v [g ](u) (3)

Здесь понятие полисвертки мы определяем в соответствии с работами В.А.Какичева. Определение [7]. Полисверткой (обобщенной сверткой) h(t) двух функций f (7) и g (7), порожденной интегральными преобразованиями Ханкеля Иу, Нц и Нх, назовем функцию, определяемую равенством

к(7 ) = Н-Чф )HV [/](и )Нц [g ](и )](7 ),

где а(и) — весовая функция (вес).

Для нахождения условий существования функции (2) введем в рассмотрение множество Сх (0, да)р функций f(7), имеющих непрерывную на интервале (0,да) производную,

для которых справедливы следующие асимптотические оценки [4]:

/(7) = 0(Х ) 7 ^ +0, /(7) = 0(7~р ), 7 ^ +да .

Рассмотрим дифференциальные операторы

/ 1 ч т

N = 7у I — I Бк = Н N ]к (4)

1У т,у 1 I I ’ т,\ 11У т,-\1У m,v+mJ ? \*/

V —

обладающие свойствами [4,8]:

а) = БЦ-V = ^, где ^ = Б^-¥ ^ =

—1+1—_ V2

2 72

Ь) Nm,±v+kmNm,±v+(k-1 )т Nm,±v+mNm,±v Nm(k+1),±v+km'

Следует отметить, что частные случаи данных операторов встречаются в основных уравнениях математической физики, например в теории упругости [2,3].

Используя свойства а) и Ь), нетрудно показать, что все известные дифференциальные операторы, связанные с преобразованиями Ханкеля (см., напр., [9]), сводятся к Nm±и

Sm , поэтому в дальнейшем можно ограничиться рассмотрением только операторов (4).

В работе [6] были доказаны следующие утверждения.

Лемма 1. Пусть ^^ftNm ±v+m/(t)e ЦК+) и N^/«6 С (0, «Ор, X >-12, р > 3/2, к = 0,1, .,m -1, тогда преобразование Ханкеля порядка V, Яеv >-1/2 + шах^,^}, функции /(7) принадлежит классу Ь(К +), если m > 2.

Следствие. При выполнении условий леммы 1 функция -/хН^, [/(7)](х) 6 ДЯ +) при m > 2 .

Перейдем к доказательству основной теоремы.

Теорема. Пусть -Л/(7) 6 ЦЯ +), а функция g(/) такова, что ■^JtN2,±(ц+^+2g(t)б Ь(Я +) и N к ,±(ц+v )+kg (7) 6 Сх (0, да)р, к = 0,1, Яе ц >-12, Яе(ц + v)>-l/2 + шах{0,+2}, X >-12, р > 3/2, тогда полисвертка ^7) функций /(7) и g(t) существует и имеет вид (2). Доказательство. По определению полисвертки и преобразования Ханкеля

да да

К7) = НЛНц Н](и )Нц+V [g ](и )] ) = |—и |/ ( Т )Нц+ V [g ](и )Jv (и )Уц (иТ )и— (5)

0 0

Докажем вначале, что функция ) существует.

дада

1

)| < ^ йи^|"'/Т/(т)||л/ЙУv (и7)||->/иУц (ит)|

ГНц+V[g](и) —Т <

\Т

да

С

<~т ||Нц+V [g](и )\—и\\^Т/(Т)|—Т

7 0 0

30

Здесь мы воспользовались тем фактом, что

\Ги„ (/)| < с V/ е (0, да).

В условиях данной теоремы с учетом леммы 1 Я,+у [8](и) е Ь(Я +), следовательно,

с 2

1А(/^ (/^+V [8](и^ < ” Vt > 0. (6)

Итак, полисвертка А(/), определяемая равенством (2), существует. Из (6) также следует, что в нашем случае операция перемены порядка интегрирования в (5) законна и

да да

К/) = | / (т )тА | Я,+¥ [8 ](и У V (и/У, (ифйк (7)

0 0

Воспользуемся теоремой умножения (2.12.27.10) из [10]:

2,+ V V Пт

У (ас)УV (Ьс) =-----^---- 1[ф(Х)]-Ц^ )Х С08^+V ХУ,+V (сф(х)) ^

-п/ 2

ф(х) = >/2(а2е“ + Ь2е-гх)cosх, Ке(, + V) > -1, а, Ь, с > 0.

Подставляя (8) в (7) и меняя еще раз порядок интегрирования, находим:

п/ 2

(8)

й(/) = --— Iег(ц ^ |[ф(8)] И Vт^Дт^ ЯИ+ V[8~](иУ^(иф(э))ий?И.

да

, ег^-^ ^ | [фЫГИ+1 / (т) | Я,,

п

л/ 2 0 0

Вследствие леммы 1 функция 4иЯ,+[8](м) е ЦЯ +), поэтому обратное преобразование Ханкеля от Я,+[8](и) существует, и формула (2) справедлива.

Теорема доказана.

Заметим, что факторизационное свойство (3) вытекает непосредственно из (5) при наличии дополнительных условий, необходимых для существования преобразования Хан-келя функции А(/).

Также следует отметить, что получение полисвертки, обладающей свойством (3), возможно и при других условиях, например, на основе следующих утверждений [6].

Лемма 2. Пусть ^т-к^-к^т^+т/(/х Ыт-клv+m-kf(t)е сх(0,да)р, I >-1/2,

р>3/2, к = 0,1,...,т-1 и (/)е £(И+), тогда преобразование Ханкеля порядка V,

Яе V >-1/2 + шах{0,+т}, функции /(/) принадлежит классу Ь(Я +), т > 1.

Следствие. При выполнении условий леммы 2 функция а/хЯу [/(/)](х) е ДЯ +).

Вывод

Представленные в данной работе результаты позволяют решать сверточные уравнения и их системы с участием обобщенной свертки (2) при помощи интегрального преобразования Ханкеля и описывать классы функций, в которых решения таких уравнений существуют.

Применение свертки (2) возможно при решении обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, содержащих оператор Бесселя.

На основе сверточной кострукции (2) по аналогии с исследованием [4] могут быть построены свертки, содержащие дифференциальные операторы, что позволяет применять (2) к решению интегро-дифференциальных уравнений типа свертки.

Автор выражает благодарность коллективу кафедры теоретической и математической физики и отделу по молодежной науке НовГУ за поддержку данного исследования.

1. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978. 296 с.

2. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Л.: Изд-во АН СССР, 1967.

420 с.

3. Снеддон И. Преобразования Фурье. М.: ИЛ, 1955. 668 с.

4. Бритвина Л.Е. // Доклады РАН. 2002. Т.382. № 3. С.1-3.

5. Бритвина Л.Е. // Математические заметки. 2004. Т.76. Вып.1. С.20-26.

6. Бритвина Л.Е. // Вестник НовГУ. Сер.: Техн. науки. 2004. № 28. С.63-66.

7. Какичев В.А. // Изв. АН БССР. Сер. физ-мат. наук. 1967. №2. С.48-57.

8. Бритвина Л.Е. // Вестник НовГУ. Сер.: Техн. науки. 2004. № 26. С.98-100.

9. Брычков Ю. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука, 1977.

288 с.

10. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983. 752 с.