CC BY
73
ИНФОРМАТИКА И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
УДК 517.9
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ПОРОЖДЕННЫЕ СВЕРТКОЙ КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ С ВЕСОМ
^.E.EpHTBHHa
INTEGRAL TRANSFORMS RELATED TO THE FOURIER COSINE CONVOLUTION WITH THE WEIGHT FUNCTION
L.E.Britvina
Институт электронных и информационных систем НовГУ, Lyubov.Britvina@novsu.ru
В статье рассмотрен класс интегральных преобразований сверточного типа и их приложения к решению линейных интегральных уравнений.
Ключевые слова: косинус- и синус-преобразования Фурье, свертки интегральных преобразований, интергальные уравнения, уравнения типа свертки
In this paper a class of integral convolution transforms and their applications to solving the linear integral equations is considered.
Keywords: Fourier cosine transformation, Fourier sine transformation, integral transforms convolves, integral equations, convolution equations
1. Введение
Уравнения типа свертки являются одним из важнейших математических средств решения разнообразных прикладных задач. Они применяются в различных областях математической физики и прикладной математики, техники и экономики.
Решение интегральных и интегро-дифференци-альных уравнений типа свертки основывается на применении интегральных преобразований, которыми простые уравнения непосредственно сводятся к линейным алгебраическим уравнениям, а более сложные — к линейным краевым задачам аналитических функций [1].
Данная работа посвящена рассмотрению интегральных преобразований, в основе которых лежит свертка косинус-преобразования Фурье с весом у( х) = cos (ax), определяемая посредством равенства
f *kj (0 =
ад
=4 \(k(t+т+a)+k(t - т+а)+k(t+т - а)+k(t - т - а))х
0
х/(т)А, (1)
где t,a е R+ . Она обладает факторизационным свой-
ством
V
Y
fc * К
(x) = cos (ax)(Vck X x)(Vc/X 4 (2)
Здесь Vc — оператор косинус-преобразования Фурье, определяемый равенством [2]:
ад
(V/Xx) = J f(t) cos(xt)dt, если /(t)e Z,(R+),
(/Х)= Ж I51П(еСЛИ /(/)£ .
0
Свертка (1) для косинус-преобразования Фурье (3) при а = 1 исследована в работах [3-5], авторами представлены условия ее существования в пространстве Ьр (Я +), р = 1,2, свойства, различные приложения
к решению интегральных уравнений и взаимосвязь с другими сверточными конструкциями. Отметим, что в работе [5] косинус-преобразование Фурье определено на всей числовой оси II в одномерном случае, поэтому изучаемая свертка несколько отличается от (1).
При а = 0 получаем классическую свертку косинус-преобразования Фурье с единичным весом, определяемую равенством:
ад
(/ * К)с(0 = 2{(*('%-х|))/(^, (3)
0
которая была впервые введена в 1941 г. [6].
Если одну из функций в равенстве (1) зафиксировать, например, &(/), то мы получим интегральное преобразование сверточного типа
A:// * k
С
С
где 3 - некоторый оператор (чаще всего дифференциальный). Функция Щ) будет при этом называться ядром этого интегрального преобразования.
Интегральные преобразования и уравнения, порожденные частным случаем свертки (1), с дифференциальным оператором второго порядка в пространстве рассмотрены в работах [3,4]. В работе [5] рассмотрены также многоядерные интегральные уравнения типа Теплица-Ханкеля. В данной работе представлены интегральные (интегро-дифференциальные) преобразования в пространстве +) с дифференциальным оператором более общего вида.
Следует отметить, что впервые интегральные преобразования, порожденные классической сверткой косинус-преобразования Фурье, были исследованы в 1999 г. Ву Ким Туаном [7].
2. Результаты
В [8,9] были получены результаты для свертки с единичным весом, так как весовая функция у( х) = ^(ах) является непрерывной и ограниченной при х, а е R +, то формулируемые ниже результаты
доказываются аналогично соответствующим результатам из [8,9].
Лемма 1. Пусть f (V), Щ)е L2 ^ +), а, t е R+ , тогда справедлива формула Парсеваля
ад
+х+а)+k(|t - т+а)+k(|t+т - а)+щt - т - а))/(х)л=
0
ад
=—х)(у. /)х) со^ах) со^х/)йх.
0
На основе данной леммы 1 можно доказать следующие три теоремы.
Теорема 1. Если /(Г), k(V) е L2 ^ +) и
ад
| (к((+х+а)+^^ - т + а) + Щ+т - а) + Щ -х- а))^х)йх =
= «V
<( у).
(V),
(4)
где г (у) — полином степени 2п
п
г (у) = V а у2т, у е R , а е ^ Ум = 0,1,..., 1
т=0
и предполагается, что V
.г2 (у).
(V) е L2 (R+), то формула
п I пмл й2т
8() А 4 ^
(кЦ + х + а) + Щ - х + а) +
+k ^+х - а)+k ^ -х- а))/ (х)<^х
(5)
определяет почти всюду функцию ? (V) е L2 (R +), кроме этого, почти всюду справедлива формула обращения п.(-1)тат ¿2т'"
т=0
(k(t+х)+ %-Х))^ х)йх,
t . (6)
Заметим, что в формуле обращения (6) стоит классическая свертка для косинус-преобразования Фурье с единичным весом (3).
Меняя условия на ядро преобразования получаем следующие результаты.
Теорема 2. Если /(V), е L2 ^Д причем
1
| ^^ + х) + k(t - х|))k (х)с1х = — Vc
0
где гп (у) — полином степени 2п
п
г (у) = V а у2т, у е R , а е R, Ут = 0,1,...
п / / 1 т > ^ + т ' ' '
1
(0, (7)
т=0
и предполагается, что V
г2( у).
(0е L2 (R+), то фор-
мула (5) определяет почти всюду функцию g(t) е L2 (R+), кроме этого, почти всюду справедлива формула обращения
/(V + а) + /(V - а)) =
■V
т=0
(- 1)тат й2 2 Л2
| ^ + х) + ^ -х|))?(х)йх, t е R + .
В заключение представим условия на ядро при которых получается пара симметричных преобразований сверточного типа.
Теорема 3. Если /(V), е L2 причем
ад
| (k(t+х + 2а) + Щ -х + 2а)+ ^^+х - 2а)+ Щ -х- 2а ))х
^ гп2 (у).
(V), (8)
х ^х)йх + 2| (k(t+х)+ Щt - х)Жх)йх = -—^У
0
где гп(у) — полином степени 2п
п
г (у) = V а у2т, у е R , а е ^ Ут = 0,1,...,п
1
и предполагается, что V
Гп2( у).
^)е L2^Д то фор-
мула (5) определяет почти всюду функцию g(t) е L2 (R+), кроме этого почти всюду справедлива формула обращения
п ( Птя ,72т
/^) = У(- 1) ат П) ^ 4 ^ 2т
т=0
| + х + а) + k (V - х + а) +
^+х - а)+^ - х - а))?(х)йх.
+ Ц V +
3. Выводы
Результаты, представленные в данной работе, позволяют находить аналитические решения ряда линейных интегральных уравнений сверточ-ного типа, встречающихся, например, при математическом моделировании различных процессов.
п
1
п
п
1. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978. 296 с.
2. Князев П.Н. Интегральные преобразования. Минск: Вы-шэйш. школа, 1969. 198 с.
3. Thao N.X., Khoa N.M. On the convolution with a weight-function for the cosine-Fourier integral transform // Acta Mathematica Vietnamica. 2004. V.29. №№2. P. 149-162.
4. Hong N.T., Khoa N.M. Integral transforms related to the Fourier cosine convolution with a weight function // Acta Mathematica Vietnamica. 2012. V.37. №№3. P.427-440.
5. Giang B.T., Tuan N.M. Generalized convolutions for the integral transforms of Fourier type and applications // Fract. Calc. Appl. Anal. 2009. V.12. №3. P.253-268.
6. Churchill R.V. Fourier Series and boundary value problems. N.Y., 1941. 206 p.
7. Tuan V.K. Integral transform of Fourier cosine convolution type. // J. Math. Anal. and Appl. 1999. V.229. P.519-529.
8. Britvina L.E. A class of integral transforms related to the Fourier cosine convolution // Integral transforms and Special Functions. 2005. V.16. №5-6. P.379-389.
9. Бритвина Л.Е. Интегральные преобразования, порожденные сверткой косинус-преобразования Фурье и их приложения // Вестн. НовГУ. Сер.: Техн. науки. 2008. №46. С.31-33.
Bibliography (Transliterated)
1. Gakhov F.D., Cherskii Iu.I. Uravneniia tipa svertki. M.: Nauka, 1978. 296 s.
2. Kniazev P.N. Integral'nye preobrazovaniia. Minsk: Vy-sheish. shkola, 1969. 198 s.
3. Thao N.X., Khoa N.M. On the convolution with a weight-function for the cosine-Fourier integral transform // Acta Mathematica Vietnamica. 2004. V.29. №2. P.149-162.
4. Hong N.T., Khoa N.M. Integral transforms related to the Fourier cosine convolution with a weight function // Acta Mathematica Vietnamica. 2012. V.37. №3. P.427-440.
5. Giang B.T., Tuan N.M. Generalized convolutions for the integral transforms of Fourier type and applications // Fract. Calc. Appl. Anal. 2009. V.12. №3. P.253-268.
6. Churchill R.V. Fourier Series and boundary value problems. New York. 1941. 206 p.
7. Tuan V.K. Integral transform of Fourier cosine convolution type. // J. Math. Anal. and Appl. 1999. V.229. P.519-529.
8. Britvina L.E. A class of integral transforms related to the Fourier cosine convolution // Integral transforms and Special Functions. 2005. V.16. №5-6. P.379-389.
9. Britvina L.E. Integral'nye preobrazovaniia, porozhdennye svertkoi kosinus-preobrazovaniia Fur'e i ikh prilozheniia // Vestn. NovGU. Ser.: Tekhn. nauki. 2008. №46. S.31-33.
