Об одной интегральной свертке, связанной с преобразованием Конторовича - Лебедева Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТРУДЫ БГТУ. 2012. № 6. Физико-математические науки и информатика. С. 31-33

31

УДК 517.444

Л. Д. Яроцкая, кандидат физико-математических наук, доцент (БГТУ)

ОБ ОДНОЙ ИНТЕГРАЛЬНОЙ СВЕРТКЕ, СВЯЗАННОЙ С ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ КОНТОРОВИЧА - ЛЕБЕДЕВА

Работа посвящена обобщению понятия свертки двух функций. Построена интегральная свертка как обратное преобразование Конторовича - Лебедева произведения одного преобразования по индексу специальной функции ядра и преобразования Конторовича - Лебедева свертываемых функций. Метод исследования основывается на равенстве Парсеваля для преобразования Конторовича - Лебедева. Установлены условия существования в некоторых весовых пространствах Лебега измеримых функций и доказано факторизационное равенство.

The paper is devoted to a generalization of the notion of convolution for two functions. The convolution is constructed in terms of the inverse Kontorovich - Lebedev transform of the product of the index transform with the special function in the kernel and the Kontorovich - Lebedev transform for convolution functions. The method is based on the Parseval equality for the Kontorovich - Lebedev transform. The estimates, mapping properties within weighted Lebesgue spaces of measurable functions and the factorization property are obtained.

Введение. Среди обширного множества интегральных преобразований, теория которых имеет важные приложения в граничных задачах математической физики, особое место занимают преобразования, связанные с интегрированием по индексу специальной функции, входящей в ядро. В монографии [1] разработан метод построения композиционных сверток для различных преобразований по индексу, дано понятие обобщенной свертки (/ * g) двух функций /и g как операции умножения в некоторой алгебре, когда с помощью действия соответствующего интегрального оператора К на свертку приходим к обычному умножению образов, определенному факторизационным равенством вида:

[ (/ * g )](х )=[К/ ](х)[К 2 g ](х),

где К1, К 2 - некоторые интегральные операторы.

Если при некоторых условиях имеет смысл обратный оператор от произведения функций, то в некотором пространстве функций свертку можно определить равенством Парсеваля:

(/ * g )(х) = К-1 (К,/ ][К 2 g ]х).

Установлено [1], что все известные в литературе преобразования по индексу композиционно связаны с преобразованием Конторовича - Лебедева в силу универсальной структуры их ядер.

Свертка для преобразования Конторовича - Лебедева. Рассмотрим преобразование Конторовича - Лебедева Кт [/ ] вида

[f ] = J KT(x )f (x )dx. (1)

Здесь KiT(x) - функция Макдональда мнимого параметра [2]:

K„(x) =

п

2sin(inx)

[-T(x)- 4(x)], (2)

где 1т(х) - модифицированная функция Бесселя второго рода, определенная рядом

4(x ) = I

1

k=0 Г(к + iT + 1)к К 2

2k+iT

(3)

Отметим следующее интегральное представление [2] для функции Макдональда (2):

(x ) = J

= I е"x ch u cos (ты)

JU.

(4)

Преобразование Конторовича - Лебедева (1) имеет интегральную свертку, определенную двойным интегралом

(f*g)(() = 2-JJe 2u 2t 2yf(u)g(y)dudy. (5)

ty yu ut 2u 2t

2t

о о

2v—1

Обозначим через 4,2 (к + ) пространство суммируемых с квадратом функций с весом норма которого определяется формулой

/__ \ 1/2

. (6)

J x2V—11 f (x )|2 dx

Заметим, что в случае V = 1/2 пространство К 2(к +) совпадает с пространством Ь2 (Я +).

Установлено [1], что оператор Конторовича -Лебедева (1) ограничено действует из пространств функций Ьч2 (Я +) с параметром 0 < V < 1 в пространство Ь2 (Я +).

Показано [1], что свертка (5) функций /(х) и g(х)е Ь2 (Я +) существует и принадлежит пространству ZV 2(К +) с параметром v>1/2. Кроме того, если 1/2 1, то справедливы факторизационное равенство

[ Кт(/* g )] (х ) = [ Кт / ](х)[ Кт g ](х) и равенство

32

Л. Д. Яроцкая

(/ * Я )( ) = — х

П X

х] т (пт)Кт(х )Кй[/]К1Г[я (7)

0

для любого х > 0, где интеграл (7) абсолютно сходится.

Заметим, что равенство (7) позволяет определить свертку (5) как обратное преобразование Конторовича - Лебедева функции Кт [/ ]Кгт [я ].

Преобразование по индексу с ядром, связанным с функцией Макдональда. Рассмотрим интегральное преобразование

F (т) = J MH{u )f (u )du,

(8)

где специальная функция ядра определяется интегралом

MlT(u ) = J e~" cht sin (xt )dt. (9)

0

Заметим, что интеграл (9) напоминает интегральное представление (4) для функции Макдональда KlT (x) и встречается в работе [3] в связи с исследованием одного класса преобразований по индексу. Используя метод работы [3], функцию (9) можно выразить через известные специальные функции [2] в следующем виде:

MlT(u) = ^2F2 1; 1 -iT, 1 + 1т; 2uj-- T-hhk t(u ) +1-iT (u)].

2sh(nT)

Лемма. Пусть f (x)e L2 (R + ). Тогда преобразование (8) функции f (x) существует и представимо в виде

F(x) = ^{t; L{f (x); chu}}, (10)

где Fs - оператор синус-преобразования Фурье, а L - оператор Лапласа от функции f (x), вычисленный в точке p = chu, кроме того, F(x)е L2 (R + ).

Доказательство. Воспользуемся следующей оценкой [1]:

|Kt(x )|< e-ST Ко (x cos 8),0 <8<|. (11)

Предварительно оценим неравенства Гёльдера

F (t)

F (t)

<

J Ко2 (t )d

с помощью

\1/2

/

(12)

Подставляя (9) в интеграл (8), в силу оценки (12) на основании теоремы Фубини можем по-

менять порядок интегрирования и получим (10). Применяя обобщенное неравенство Минков-ского, покажем, что [Ь/](еЬи)е Ь2 (Я+). Действительно,

|[Lf ](ch u )2 =

v \1/2

JJe-x ch uf (x )dx

2 Л du

1/2

<

Л1/2 f - Л1/2 г;

i2 , le x ch u , Vn i

Jf (x) dx I Je"2xchudu

Последнее равенство следует из формулы (2.16.2.1) [4]. Далее, исходя из равенства Пар-севаля для композиции (10), можем заключить, что Р(х)е Ь2 (Я +). Лемма доказана.

Интегральная свертка, связанная с преобразованием Конторовича - Лебедева. В работе изучаются свойства свертки (( * я ) двух функций /и я, определенной обратным преобразованием Конторовича - Лебедева функции Р (т)КТ [я ]:

( * Я )(х ) = ф х

П X

х] т (пт)Кгт(х )Р (т)Кт[я ]^т. (13)

0

Теорема 1. Пусть /(х)е Ь2(Я +), О(х) -преобразование Конторовича - Лебедева функции я (у) и О (х )е Ь1[хе(п"8)х; Я+), где 0 <8<П / 2. Тогда свертка (13) функций / (х) и Я (х) существует и принадлежит пространству Ь ,2 (к+), где У>1.

Доказательство. Используя оценку (12), будем иметь

\(/* я)(х)< с^^/уоио;R+),

где C > 0. Тогда при условиях теоремы получим

Л/2

If ^ 4 v,2 = I J x^ \(f 4 g )(x )2 dx

< Cf LI I^LM) ;R+)IJ x2V"3 K02 (xcO-8)

\ 1/2

Учитывая асимптотические свойства функции Макдональда [2, 1]

Kv(x ) = O

- + — 1 ^

К0 (x ) = O(ln x), x ^ 0+

(14)

(15)

можно заключить, что интеграл в правой части последнего неравенства сходится при V > 1. Теорема доказана.

0

Об одной интегральной свертке, связанной с преобразованием Конторовича - Лебедева

33

Для функций f (x )е Lv 2 (R + ) с параметром 1 <v< 1 + е0, е0 > 0, определим преобразование Конторовича - Лебедева следующим образом:

Kn [f ] = lim J Kt (x)f (x)xEdx, 0 < e < Eo. (16)

E—>0+ J

0

Теорема 2. Пусть f (x),g(x)e L2(R +). Тогда преобразование Конторовича - Лебедева (16) свертки (13) существует и справедливо факто-ризационное равенство

Kj/* g)] = F(x)Kn[g].

(17)

Доказательство. Пусть Зе0 :1 < v < 1 + е0, 0 <1<10. Тогда

Кт [(/* g )] = lim J Кй(х )4 Xе"1 J ц sh (пц)х

2

х Кц (х)F(ц)Кц [g]dцdx = lim—jцsh(пц) х

X Р(ц)Кц [я] |Кт (х)КЩ (х^dxdц.

о х

Изменение порядка интегрирования законно на основании теоремы Фубини в силу абсолютной сходимости последнего интеграла, которую покажем ниже.

Вычисляя внутренний интеграл по формуле (2.16.33.2) из [4], после применения формулы дополнения для гамма-функции [2, 1] и разложения полученной дроби на простые дроби, будем иметь

= lim-

1-21

l^0

х

Кт [(/* g )] =

J F (ц)Кщи ]х

п 2тГ(1 + 1)_-Ji2 +/-ц)

l + z/ т + ц) 1 + 7'(т-ц) 2 ' 2 >1-1 j

d ц-

- lim

1 • 21

1^0 п2 тГ(1 + 1)-J 12 + (т + ц)

J sg,^ F (ц)К цк ]х

х

(

\

1 + 7'(т+ц) 1 + 7'(т-ц) 2 ' 2

/

d ц.

Совершив замену переменной ц = т - е^ в первом интеграле и ц = е^ — т во втором, в результате несложных преобразований приходим к соотношению

„ г/,» w 21 J sgn(-1t)shn(-1t)

кт и * g)] == hm— J 5 v ( /2 ) , y х

1^0 n J пт(1 +1 )r(1 +1)

х

• + 7'(2x-1t) 1 + i1t —--- + 1, -+1

х

2 2

X Р ( — Ы)КП—Е1 [я] dt. (18)

Из асимптотической формулы [1, 2]

|г(х + ¡у) = у|х—1/2еу/2(1 + о(у—1) |у| ^

следует, что при t произведение гамма-функций в (18) равно

0(t|2+2Е*"n|T-1t/21 -n|1t), т> 0, 0

<1<10.

Далее используя формулы (11), (12), лемму, можем оценить абсолютную величину подынтегрального выражения в (18) с помощью следующей формулы:

C \t\

пт 1 +1

-exp

( 1 1 1t 1t Л Ы 1

п т - 1t - п т-- - п - 8 т - 1t

1 1 V 2 2 1 1 /

где С > 0, 0 <8<п / 2, 0 <е<е0, т>0. Выбираем такое 8е [0, п/2), чтобы интеграл (18) абсолютно и равномерно по е> 0, те Я + сходился. Тогда на основании мажорантной теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла будем иметь

К^ £ я)]=Р(К [я]х

Г(1 + 7 т)Г(1 — 7т) , ,1 7 dt

— —(пт)п 11— п 1

х

пт

+1

2

Применяя формулу дополнения для гамма-функции [2], получим (17). Теорема доказана.

Заключение. Построена интегральная свертка (13), связанная с преобразованием Конторовича - Лебедева. Установлены условия существования и доказано факторизационное равенство.

Литература

1. Yakubovich, S. B. Index transforms / S. B. Yakubovich. - Singapore: World Scientific Publishing Company, 1996. - 252 p.

2. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции: в 3 т. / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. - М.: Наука, 1965-1967. - Т. 2: Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. - 1966. - 295 с.

3. Яроцкая, Л. Д. Некоторые функции бесселевого типа, связанные с функцией Макдональда / Л. Д. Яроцкая // Труды БГТУ. - 2011. - № 6: Физ.-мат. науки и информатика. - C. 18-20.

4. Прудников, А. П. Интегралы и ряды: в 3 т. / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Мари-чев. - М.: Наука, 1981-1986. - Т. 2: Специальные функции. - 1983. - 800 с.

Поступила 28.02.2012

2