CC BY
30
УДК 517.9
ОПЕРАЦИЯ В-ЛИУВИЛЛЕВСКОГО ТИПА А.А. Феоктистова
Липецкий государственный педагогический университет,
Ленина ул., 42, Липецк, 398050, Россия, e-mail: alek-feoktistova@yandex.ru
Аннотация. В данной работе вводится операция В-лиувиллевского типа, порожденная преобразованием Фурье-Бесселя. На основе этой операции введено понятие регулярной весовой обобщенной функции и получено представление В-лиувилевской операции в виде смешанной обобщенной свертки с весовым ядром Бесселя-Макдональда.
Ключевые слова: преобразование Фурье-Бесселя, ядро Бесселя-Макдональда, опе-
рация лиувиллевского типа.
Введение
Операции лиувиллевского типа (обычно обозначается 1Г), определяемые ядрами Бесселя-Макдональда, носят универсальный характер. С.М. Никольский в [1] использует операцию 1Г для интегрального представления функций из классов Лиувилля, Бесова, Никольского. Весовые ядра Бесселя-Макдональда (сокращенно - 7-ядра) возникают по классичесой схеме, как прообраз Фупье-Бесселя функции (1 + |£\2')-г/2. Некоторые их свойства исследованы в работах Л.Н. Ляхова [2], [3], М.В. Половинкиной [4]. В данной работе исследуется операция В-лиувиллевского типа, порожденная преобразованием Фурье-Бесселя. Следуя [1], вводится понятие регулярной в смысле Ьр весовой обобщенной функции, установлено представление операции В-лиувилевского типа в виде смешанной обобщенной свертки. При этом использовались методы исследования классических операций лиувиллевского типа из книги С.М. Никольского [1].
Пусть ЯМ = Я+ х Ям-п, 1 < п < N. Введем обозначения и = (х,у), х € Я+, у € Ям-п. Переменную х размерности п, по смыслу рассматриваемых здесь задач, будем называть весовой.
Через Беъ = Беъ (ЯМ) обозначим подпространство пространства Шварца основных функций 5(Ям), состоящее из функций, четных по каждой из весовых переменных щ и и^, г = 1, ... ,к и ^ = п + 1, ... , п + т. Пространство весовых обобщенных функций Б'еу = Б'еу (ЯМ) определяется на основе весовой линейной формы
(/ ,ф)1 = [ /(и) ф(и) и7 ди ,
А
где 7 > 0 фиксировано.
Через Ьр (ЯМ) для 1 < р < ж будем обозначать банахово пространство, состоящее из измеримых на ЯМ функций ф(и), для которых конечна норма
IMIly (R+)
( \ р
I \ф(п)\ри<du
W J
П
где 7 = (71,..., 7га), и1 = П иТ, а показатель 7І равен индексу соответствующего сингулярного
І=1
дифференциального оператора Бесселя
в,=£+^ (и?д-), ^і > о.
ди? щ ди г ди ч ии,г/
Смешанное преобразование Фурье-Бесселя определяется следующим выражением
ф(у) = Ьв[ф](у) = ( ф(и) з7(х,0 е-г{у'п)х1 ди, V = (£,ц) € Я+ х Ям-п ,
А
где по весовым переменным х применяется преобразование Фурье-Бесселя, а по переменным у - преобразование Фурье. При этом мы используем обозначение
п
37(х,0 = П 3и=1 (иг ^ ,
г=1 2
в котором з — ^функция Бесселя , связанная с функцией Бесселя первого рода равенством
3„(иг) = 2иГ(и + !).]„/и? .
Как известно (см. [5]), смешанное преобразование Фурье-Бесселя обратимо в классе функций Беъ(ЯМ), обратное преобразование определяется выражением
Ф(и) = р-1[ф](и) = А^,п,7)РвЫ(-и),
где
Л(Ы, и,7) = Л = 2п-^(2п)п-М Ц Г-2 ^. Обобщенный сдвиг Т;. по одной из весовых переменных, действует по формуле
г( *2т)
Т.. : / Ц ^/)(и) = г (2) г ^) х
х J / (и,1,... ,и,і-і,и,і —Ц Уі,Пі+і,...,и^ 8Іп7і 1 аі йаі, и введено обозначение иІ —Ц иІ = , і = І,... ,п. Смешанный обобщен-
Vи2 ■ и2
ный сдвиг определим выражением
(Тv/)(и) = П Т./(X,х" - І).
І=1
Обобщенной сверткой функций /, д Є Ьр(Я^) будем называть (см. [5])
(/ * д)і(и) = ! /(у)т:д(и)и1 йи .
1. Операция В-лиувиллевского типа
отвечающую действительному числу г,
Операцию Ь = Ц)Г/ = Ь-1 (1 + V2) 2 Ьв [/
будем называть операцией В-лиувиллевского типа. Поскольку функция [(1 + |V |2)— 2 является мультипликатором основного пространства Беъ, то эта операция отображает Б 'еъ на себя взаимно однозначно.
Пусть г и р — произвольные действительные числа и / € Б^ъ(ЯМ). Тогда
IY,r+pf = F-1 (1 + \V\2)-2(1 + \v\2)-2 Fв[f]
2
|2л-p
=F
-1
в
(1 + \v\2) 2 ^ [IY,Pf ] = IY,r IY,Pf .
Таким образом, операция 11Г обладает полугрупповым свойством. Кроме того, для р = —г имеем 11Г1Ъ-Г/ = 1ъ0/ = /, т.е. операции 11Г и 1^,-г взаимно обратны.
Лемма. Для функций / € Ьр (ЯМ) (1 < р < ж) операция при г > 0 сводится к обобщенной свертке
F = Lf,r f (u) = (GY * f )Y = j f (v)TVGY(u)vYdv
R+
(І)
с весовым ядром Бесселя-Макдональда СГ1 = Ь-1(1 + | V |2) 2.
□ Для f Є LY (RN ), Ф Є Sev (R+)
имеем
(IY,r ЛфЬ = ^,Рв (1 + \v\2) 2 FBl[<f] )
(2)
По определению обратного смешанного преобразования Фурье-Бесселя
F
(1 + \v\2)-2 FB1[V](v)
= AF
(1 + \v\ ) 2[<p](-v)
= A J (1 + \v\2) 2 Fв^](-v) jY(uf,vf) e i(u ,v >vYdv .
RN
При дробном 7г функция и1г — многозначная функция действительного переменного, и
7
упрощая ситуацию, мы можем взять одну из ветвей этой функции, полагая V7 = [V2] 2 . Тогда имеем
F
(1 + \v\2) 2F-1^](v) = aJ (1 + \v\2) 2Fв[<p](v) jY(u', -Vі) ei(u”,v") vY dv .
R+
Учитывая, что функция (и,,и/) — четная по каждой из весовых переменных VI,..., Vk и
^+1, ..., Vn+m, получаем
F
(1 + \v\2)-2 FB1[V](v)
=F
-1
в
(1 + \v\ ) 2 р^в[<¿>](v)
Y
Следовательно, продолжая равенство (2), запишем
(Ц,т/,ф)1 = [/,Р-1 (1 + \у\2)вгЬв[ф](у) ^ = I /(и) и1 йи І ТІсг1 (у) ф(у) у1 йу. (3)
я+
яг
Теперь учтем, что ядро От1 является абсолютно интегрируемой функцией (см. [4]). Поэтому его свертка с основной функцией является снова основной функцией. Следовательно, можно воспользоваться теоремой Фубини о перестановке пределов интегрирования. В результате
(Т7,т/, ф)1 = J ф(у)у1 йу I /(и)(Т€сг1 )(и) и1 йи.
яг
яг
Но это и есть равенство (1). ■
С помощью операции В-лиувиллевского типа можно расширить понятие смешанной обобщенной свертки.
Определение 1. Функция ¡(и) называется ЕБ-мультипликаторм в Ьр(К^), 1 < р < ж, если она измерима, четная по каждой из переменной п\,... ,пи и ип+1,..., ип+т, и для любой функции ф(и) € Беъ (КN) выполняется неравенства
\\ЬВ1\^ф1\\\ь1 (Я+) — ^ІМІ^ (я
/) ’
Определение 2. Функция / Є Б'еу(К^) называется регулярной в смысле Ьр(ВN), если
для некоторого р 0 > 0 имеет место равенство
1ЪР0/ = Ь Є ьр(В+).
(4)
Пусть л - РБ-мультипликатор в Ьр(В^) и Ьв[л] Є Ь\(В^), а / - регулярная в смысле Ь
функция, для которой выполняется равенство (4). Для р > ро справедливо равенство
(1 * /)1 = 11-р ([ * Цр/)1.
Действительно,
([ * /Ъ = Р-1 [Ре[([ * /)1 ]] = Ь-1 [Ь-[[] • Ь-[/]] =
В1
в
(1 + \у\2)В 2
Ьв[л] • (^ + \ \п! р рв[/]
(1 + \у\2) 2
-1
в
(1 + \у\2) 2 Ьв ({1 * 1Ър \ = ЦвР(л * 11,Р/)
-1
в
Ьв[л] • (1 + \у\2)рЬв[Тър/
)1 •
(5)
Теорема. Пусть [ € ЬЦ(К^) - ЕБ-мультипликатор и ¡1 = Ьв 1 [¡]. Для регулярной в смысле Ьр (К+) весовой обобщенной функции / € Б'еГ€ при любых значениях р имеет место равенство
І1вР' {Л * ІіР ЇЇ ~ = (л * /)1 ■
(6)
7
□ По определению (4) для / € Б'руи (КN) существует р > 0 такое, что Ь(,р/ € Ьр (К^). Пусть р > р, тогда при р — р = г получаем
11,-р1 (Л * 1т,р' ^ 7 = 11в(р+т) (1 * 11,Р+т/)У = 1~(,-р1~(,-т (1 * 1у,р1у,г/)у =
I I V-1
іУвРіУвТ 1 в
Ьв
І I !-1
іУвРіУвТ 1 в
( Ц * ЦрЦт /)^
Л(1 + \у\2)В 2 (1 + \у\2 )В 2 Ев [/]
(1 + \у\2)(1 + \у\2)-2 (1 + \у\2)-2Ьв[/]
I Ь-1
І1вРг в
1^,врРв [л • Ьв [Іу,р/]] = І^,-р (Ц * Іу,р/X
)7
Тогда, учитывая (5), имеем
І~івр' (А * І1,Р' ЇЇ 7 = І1вР (А * 17,Р/)у = (А * /)7 ■
Пусть теперь р < р и положим р = р + д, (д > 0). Значит функция Іір/ / регулярна в смысле Ьр, тогда І1,дІір' / Є Ьр (К+). Поэтому, используя равенство (5) для д > 0 и полугрупповое свойство операции В-лиувилевского типа І1т, имеем
11вР' (Л * ^1,р' ^ 7 = 11вР' 11,—д (Л * ^1,4^1,р' ^ 7 = 11вР (1 * 11,Р/)7 = (Л * /)7 ■
Тем самым получено утверждение (6). I.
Из равенства (6) следует, что для регулярных в смысле Ьр функций / и любого действительного числа г имеет место равенство
1^,Т (1 * /)у = 1^,тЦ—т (1 * /~)у = (р * /)7 . (7)
Таким образом, к регулярной в смысле Ьр (КN) функции / операцию 11Т можно применить под знаком обобщенной свертки.
Кроме того, если [ - РБ-мультипликатор, / регулярная в смысле Ьр функция, из (7) следует, что обобщенная свертка р * / - регулярная в смысле Ьр (КN) функция. Действительно, для 11Т/ € Ьр(К+) имеет место равенство (7). Причем р * 11Т/ € Ьр(КN), тогда 11Т (р * /)1 € Ьр (К+). Отсюда по определению 2 следует, что (р * /)1 регулярная в смысле Ьр(КN) функция.
Для ¡и Л сверток имеем
Для ли Л - РБ-мультипликаторов и / Є Ьр (ВN) (1 — р < ж) в терминах обобщенных
(а * (Ц * /)^^ = ^ * (Л * /)7^ = (^Лл * /) ■ (8)
Кроме того, из (8) следует, что если ¡и Л — РБ-мультипликаторы, то (Л[) тоже РБ-мультипликатор. Пусть / - регулярная в смысле Ьр весовая обобщенная функция, 17,р/ € Ьр (К+) (р > 0). Тогда равенства (8) будут выполняться, если в них вместо / подставить Ц,р/
(а * (1 * Ц,р/)1^ = (р, * (Л * Ц,р/)1^ = (Л[ * Ц,р^ .
Применяя равенство (7), имеем
Ц,р (Л *(р */)^ = Ц,р (р *(Л */)^ = Ц,р (Л[ * ^ .
Тогда равны между собой функции, стоящии под знаком 1.7, р, откуда следует, что (8) имеет место для любой регулярной в смысле Ьр весовой обобщенной функции.
Литература
1. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения / М.:Наука, 1977. - 436 с.
2. Ляхов Л.Н. Б-гиперсингулярные интегралы и их приложения к описанию функциональных классов Киприянова и к интегральным уравнениям с Б-потенциальными ядрами // Липецк: ЛГПУ, 2007. - 232 с.
3. Ляхов Л.Н. Описание пространств В-потенциалов Бесселя В-гиперсингулярными интегралами // Условно-корректные задачи математической физики и анализа: Тез. докл. научн. конф., Новосибирск, 1-5 июня 1992г./ ИМ СО РАН. - Новосибирск, 1992. - С.202-203.
4. Половинкина М.В. В-гиперсингулярные интегралы и их приложения к описанию весовых функциональных классов дробной гладкости / Автореферат диссертации к.ф.-м.н. / Воронеж, 2009. - 16 с.
5. Киприянов И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи / М.: Наука, 1997. - 200 с.
Operation B-Liouville type A.A. Feoktistova
Lipetsk State Pedagogical University,
Lenina St., 42, Lipetsk, 398050, Russia, e-mail: alek-feoktistova@yandex.ru
Adstract. The operation of B-Liouville type generated by the weighted Bessel-Macdonald kernel is introduced. The concept of regular generalized weigh function is proposed using the operation of B-Liouville type and representation of B-Lioville operations in the form of mixed generalized convolution with a weight of Bessel-Macdonald kernel.
Key words: Fourier-Bessel’s transformation, Bessel-Macdonald’s kernel, operation of B-Liouville type.
