CC BY
34
УДК 517.9
ОЦЕНКИ СМЕШАННЫХ В-ПРОИЗВОДНЫХ ВЕСОВОГО ЯДРА БЕССЕЛЯ-МАКДОНАЛЬДА
Л.Н. Ляхов*, А.А. Феоктистова**
^Воронежский государственный университет, Университетская пл., 1,
Воронеж, 394006, Россия, e-mail:lyakhov@box.vsi.ru;
**Липецкий государственный педагогический университет, ул. Ленина, 42, Липецк, 398050, Россия, e-mail: alek-feoktistova@yandex.ru
Аннотация. Смешанной В-производной называется действие операторов Бесселя по части переменных и обычных производных по оставшейся части переменных. Получены поточечные и интегральные оценки смешанных В-производных ядра Бесселя-Макдональда, порожденного преобразованием Фурье-Бесселя.
Ключевые слова: преобразование Фурье-Бесселя, ядро Бесселя-Макдональда, В-произ-водная.
1. Введение
Свойства классических ядер Бесселя-Макдональда, оценки частных производных и конечных разностей от ядер Бесселя-Макдональда исследовались в работах Ароншайна и Смита
[1], Никольского [2]. В работах [3], [4] и [5] изучались ядра Бесселя-Макдональда, порожденные преобразованием Фурье-Бесселя (далее, сокращая, используем название y-ядра Бесселя-Макдональда или просто Y-ядра), с точки зрения их применения к исследованию пространств дробной гладкости и В-гладкости. В данной работе приводятся результаты исследований смешанных В-производных Y-ядер и их некоторых свойств. Получены оценки обобщенных конечных разностей y-ядер. При этом использовались методы исследования классических ядер Бесселя-Макдональда, приведенные, например, в книге С.М.Никольского [6].
Мы будем рассматривать функции, определенные в части евклидова пространства точек Rn = Rn+ X Rn -n, 1 < n < N. Введем обозначения u = (x, y), x e Rn+, y e Rn -n. Переменную x размерности n, по смыслу рассматриваемых здесь задач, будем называть весовой.
Частной В-производной по направлению ui называется
T.h f(u) - f(u)
Cy him h2 = (Bui f )(u) , Cy = 2/(Yi + 1).
Здесь T^ - обобщенный сдвиг, действующий по одной из переменных (это всегда одна из весовых переменных) по формуле
Г Yi+1
Tuvi : f - (Tuv;f)(u) = Г ( 1У Г ( Y,У X
I 2 1 2"
п
x f u1 ,...,ui-1,uivi,ui+1 ,...,uN sinYi-1 ai dai,
0
и введено обозначение ^ - vi = uf + vf - 2uivi cos ai, i = 1,..., n , Bu i - оператор Бесселя
Bui = Д + = u-Yi^ Cu'f, Yi > 0 . (1)
Удобно ввести обозначение D = (DUn+1,..., DUn), DUj = 0-U-. Пусть l = (h; l2), где h, l2 - мультииндексы, состоящие из целых неотрицательных чисел размерности n и N -n соответственно. И пусть
(BD)1 =(BX d'2).
Выражение вида (BX D' )f (x, у) будем называть смешанной В-производной от функции f (x, y). Порядок этой производной равен 2|h | + |l2|.
Всюду далее предполагаем, что мультииндекс y = (Yi,..., Yn) состоит из фиксированных положительных чисел.
Смешанный обобщенный сдвиг определим выражением
)
(Tuvf )(u)= Txz;f (x, у — z).
i=1
Через Lp(R+), 1 < p < то будем обозначать весовое пространство Лебега, состоящее из
измеримых на R+ функций ф(и), для кото
рых конечна норма !i/p
pxYdii/^
ф Lp (К^ = ' М^1^
К N
V 11 VI
где ху' = х;1, а показатель Y¡ равен индексу соответствующего сингулярного оператора
1=1
Бесселя (1). Это пространство банахово.
Смешанное преобразование Фурье-Бесселя определяется следующим выражением:
ФМ = Fв[ф](v) = ф(и) jY(хД) е—'уу,п’х^и, V = (^,п) е КП х RN-n ,
К +
где по весовым переменным х применяется преобразование Фурье-Бесселя, а по переменным у - преобразование Фурье. При этом мы используем обозначение
г _ )
^(х>ь) = j(Yl —I)/2(и1 ^) >
1 = 1
в котором jv -j-функция Бесселя , связанная с функцией Бесселя первого рода равенством
jv (и;) = 2У Г(v + 1^М.
Как известно (см. [7]), это преобразование обратимо в классе функций Sev(К+) и обратное преобразование определяется выражением
Ф(u)=F—1[Ф](и)=2п—|^(2п)п^ Г-2 Fв[ф](—и) .
1 = 1
Мы будем пользоваться центрированной обобщенной конечной разностью, построенной на основе смешанного обобщенного сдвига следующим образом6)
I
П'^(и) = (—1)кСк Т(2—к)ИГ .
к=0
Модуль гладкости шкГ, 6). у порядка к в весовых классах Лебега 1УР определим следующим
1-р ^
образом7)
Шк(Г,6)цу = эир (□ г)(и) Ц ■
Определение 1. Пусть г > 0 - действительное число, к — неотрицательное целое число и ' - мультииндекс, состоящий из неотрицательных чисел ' = ('1, 12) = ('1, ■ ■ ■ , 1п, 1п+1 , ■ ■ ■ , 'М ), удовлетворяющих условию2к > г — (2|'11 + |'21) > 0. Через Н^ обозначим множество всех функций Г е Ь'р таких, что (BD)'f е и для некоторого числа Аг > 0 справедливо неравенство
шк((ВО)Г, 6).у < АГ6Г—2|'11—|'21, 6 > 0 .
Для f е Hr,Y определим полунорму
WKW B Dxl
Y (f) = смп KVV_____:
■ r y ,f) WK«BD)lf,8)Lp
hrpY (f )=sup p
6>0 6r—2ll1 l — ll2l
p
Нетрудно установить, что множество НР' является банаховым пространством с нормой
Hpr'Y = f ly + hP,Y(f).
2. Свойства Y-ядра Бесселя-Макдональда
Обычное ядро Бесселя-Макдональда (см., например, [6]) определяется как функция, преобразование Фурье которой есть (1+М 2 —2. По аналогии определяется ядро Бесселя-Макдональда, порожденное смешанным преобразованием Фурье-Бесселя (см. [12]), а именно, Y-ядром Бесселя-Макдональда будем называть функцию GIY, для которой
Fв [^ ](v) = (1 + №2)—/2 .
Вид этого ядра и его свойства описаны в [5] для случая п = N и в [12] в общем случае
1 п N. Имеют место следующие утверждения.
f
6Нецентрированные обобщенные конечные разности введены в [8], центрированные - в [9].
7Модули гладкости на основе нецентрированных обобщенных конечных разностей введены в [10]. В
[11] введен модуль гладкости на основе обобщенных конечных разностей полученных в виде итераций обобщенных конечных разностей первого порядка. Эта обобщенная конечная разность совпадает с
введенными в [8] и [9], когда ее порядок I = 1.
Теорема 1. Для смешанных В-производных от функции Су(и) порядка ' имеют место следующие оценки:
а) если |и| < 1,0 < г < N + |у| + |'| или г = N + |у| + |'| и |'| = 21' | + |' | - нечетное, то
(BD)'GY(u) = ООиГ-^1-1'1), (2)
если же г = N + |у| + |'| и |'| = 21' | + |1 | — четное, то
С
, 1
(BD)'CYr = О |п ц +1 , (3)
для г > N + |у| + 21' | + |' |
^)^(и) = О(1); (4)
Ь) если |и| > 1, то
(BD)'CY(u) = О |и|г—М —21У|—1 е—|и| . (5)
Теорема 2. Пусть г > 0, 1| - неотрицательное целое число и 0 < I < то. Тогда для В-
производной порядка ^ (| = 1.п) у-ядра Бесселя-Макдональда при г = 2| + а и а е (0; 2]
имеет место оценка
Л = Ш^^С» и^и<А^Г, (6)
а для производной порядка ' (I = п + 1......N) при г = ' + а и а е (0; 1] -
Л = DUi¡GY(u) и^и<А||Г, (7)
к N
Аг и Аг - константы зависящие от г.
Справедливость этих оценок доказывается подходами, разработанными в [5]. Докажем, например, теорему 2 как наиболее важную.
П Сразу отметим, что в неравенстве (7) величина Д2^ - обычная конечная центрированная разность второго порядка и его доказательство лишь деталями отличается от классического (см. [6] §8.3.). Докажем оценку (6).
Пусть и = (и|,Ы), и1 = (и1,,и —1,и+1,... ^). Имеем
□¿и Ф(и) = Ти— ¿Ф(и) — 2ф(и) + ти ф(и).
Учитывая четность функции (Ти Ф)(и) (по и и по шагу ¿), получаем
Ф(и) = 2 TUj ф(и) — Ф(и) = 2п¿и ф(и). (8)
И напомним, что (см. [7], [13]) обобщенный сдвиг является самосопряженым оператором в весовом скалярном произведении. Поэтому
ТХГ (x)xYdx = Г (х)х^х.
к N к N
Будем использовать оценки (2 - 5). Левую часть неравенства (6) преобразуем, используя формулу (8) сведения обобщенной конечной разности второго порядка к обобщенной конечной разности первого порядка. Имеем
Л = (П?иМGY(u) и^и =
к N
= 2 Т^в'^С» — вUjGY(u) и^и<
к+
< 2 Т^'и^и) uYdu + 2 в!]CY(u) и^и .
к N к£
Учитывая интегральную природу обобщенного сдвига, получаем
Л < 2 Т^ BlUjCrY(u) uYdu + 2 в^CY(u) uYdu .
Из равенства (9) следует
Л < 4 вUjj CY(и) uYdu .
Пусть К+ = {|и| 1} + и {|и| 1}+ (индекс + над знаком множества здесь и далее означает,
что эти множества принадлежат области К^) и
вUijGY(и) uYdu = вUjjCY(и) uYdu + вUijCY(и) uYdu .
кN {|и| 1}+ {|и| 1}+
Из (3) для случая г = N + |у| + 2| при |и| < 1 следует оценка
С 1
в!]Су(и) и^и < 1п - +1 uуdu .
{|и| 1} + {|и| 1}+
Получившийся интеграл имеет слабую особенность. Сферическим преобразованием координат легко установить его сходимость. Таким образом,
в!] CYr(u) uYdu < С . (10)
|и| 1}+
Кроме того, для случая 0 < г < N + ^| + 2| при |и| < 1, учитывая, что N + ^| + 2| — г N + ^| — а и 0 <а< 2, из (2), имеем
в^ CY(и) uуdu < |и^^ — |Y|—2'j uуdu =
{|и| 1}+ {|и| 1}+
к+
к+
N
N
= р“-^р<С2 . (11)
ц + 0
ц1
При |и| > 1, согласно (5), получаем
В^GYr(u) и^и < |и|г М 2ІУІ 1 е-|и|и^и<С3 . (12)
{| и|>1} + {|и|> 1
Таким образом, для |^ > 1, учитывая оценки (10), (11), (12), имеем
Л <С<С|^И. (13)
Пусть 0 < t < 1. Положим ^ ^
Л=Л1+Л2=^ + ) (П^ В)!и^ GY(u) uYdu . (14)
{|и|<41}+ {|и| 4t} +
Из (4) для 0 < г < N + ^| + 2^ вытекает
Л1 < 4 ВиGYr(u) uYdu < |u|r-N-|Y|-2lj uYdu .
{|и|<41}+ {|и|<41}+
Сферическое преобразование координат приведет к неравенству
4t 41
Л1 < рг-^М-2и pN+|Y|-1dp = ри-^р<С4 (15)
00
Рассмотрим случай г = N + ^| + 2^. Так как 0 < г - 2^ < 2, то при этом N + ^| 2.
Если N = 2, то необходимо ^| = 0, что означает отсутствие весовых переменных. Поэтому этот случай не является предметом наших исследований. Равенство г = N + ^| +2^ возможно лишь, если N = 1 и ^| < 1. Таким образом, мы должны рассмотреть одномерный случай N =1 и 0 <Y = Y1 < 1 (а = г - 211 = 1 + Y1 )■ Интеграл Л1 примет следующий вид
41
Л1 = 2 ти 1В lL¡1G,y(U1) - В и GrY(U1) uY1 dU1 .
0
Используя формулу Тейлора-Дельзарта с остаточным членом в форме Лагранжа-Левитана (см. [13]), имеем
41
t2
Л1 < - Ви11+1 Gy (и1 + е^ uyj du1 .
y 1
0
Если г = N + ^| + 211, то г < N + ^| + 211 + 2. Поэтому из (2) следует
^ 41
Л1 <— (и1 + еt)r-1-У1-2І1-2uУ1 du1 y1
— (и1 + 0t)—2(и1 + е^1 аи1 с5 tY1+1 = c5tа■ (16)
у1
0
Таким образом, учитывая (15) и (16), получаем
Л1 <С6?*. (17)
Перейдем к оценке интеграла Л2 из (14):
Л2= (□t2u1(BD)lU1 cу(u) и^;аи1 =
{|и| 4и +
= 2 Tut1 в! су1 (и) — в! су(и) иуаи.
{|и| 41} +
Используя формулу Тейлора-Дельзарта из [13], получаем
^ I +1
Л2 < 2—1 в] Су(и| + 01, и1) uуdu .
{|и| 4t}+
Учитывая, что N + |у| + 2| + 1 — г = N + |у| — а + 2 > 0, в силу оценки (2), имеем
<-2
t |иг ы у 21 2иуаи.
Л2 < ..
у— 1
— — |— j —
{|и| 4^ +
Сферическое преобразование координат приводит к неравенствам
то 00
^ 12 Л2 <у—7 рг — М — |у|-2|] —2 рМ + |у|—1 ¿р<у—Т ра—3dp<C7tа■ (18)
4t 41
Таким образом, для весовой переменной и из оценок (13), (17) и (18) следует неравенство (6). И
Учитывая, что (см. [4], с. 116 и [12]) при г > 0 Су(и) е LY(К++) и оценки (6), (7), согласно определению 1 весового пространства Никольского, получаем
Су (и) е Н{,у (К+).
Кроме того, имеет место равенство (сравните [6], § 8.3, формулы (2) и (3))
Су(и) Н|^(К+д)= Су LY(KN)+ Аг , где Аг - наименьшая постоянная, при которой выполняются неравенства (6), (7).
Литерату
ра
1. Aronszajn N., Smith K.T. Functional spaces and functional complection//Ann. Inst.
Fourier. -
1955-1956. - 6.- P.125-185.
2. Никольский С.М. Интегральное представление и изоморфизм классов дифференциру- емых функций многоих переменных // Третья летняя матем. школа (конструктивная теория функций), г. Кацевели, июнь-июль 1965 / Киев: Наукова думка, 1966. -С.135-238.
3. ГаджиевА.Д., Алиев И.А. Потенциалы Рисса и Бесселя, порожденные обобщенным сдви- гом // Докл. расширенного семинара им. Векуа. Т.3 / Тбилиси, 1988. - С.21-24.
4. Ляхов Л.Н. Описание пространств В-потенциалов Бесселя В-гиперсингулярными инте- гралами // Условно-корректные задачи математической физики и анализа: Тез. докл. научн.конф., Новосибирск, 1-5 июня 1992 г./ Новосибирск: ИМ СО РАН, 1992. - C.202-
203.
5. Ляхов Л.Н. B-гиперсингулярные интегралы и их приложения к описанию функциональ- ных классов Киприянова и к интегральным уравнениям с B-потенциальными ядрами / Липецк: ЛГПУ, 2007. - 232 с.
6. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения / М.:Наука, 1977.- 436 с.
7. Киприянов И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи / М.: Наука, 1997.200 с.
8. Ляхов Л.Н. Об одном классе гиперсингулярных интегралов // ДАН. - 1990. -315;2. - С. 291-296.
9. Гоц Е.Г., Ляхов Л.Н. Обращение преобразования Радона-Киприянова посредством дроб- ного дифференцирования Грюнвальда-Летникова-Рисса // ДАН. - 2007. -412;1. -С.11-
14.
10. Ляхов Л.Н. Пространства В-потенциалов Рисса//ДАН. - 1991. - 334;3. - С.278-
280.
11. Платонов С.С. Гармонический анализ Бесселя и приближение функций на полупря- мой// Известия РАН, серия математическая. - 2007. - 71;5. - С.149-196.
12. Половинкина М.В. В-гиперсингулярные интегралы и их приложения к описанию весовых функциональных классов дробной гладкости автореферат на соискание ученой степени к.ф.-м.н. / Воронеж, 2009. - 16 с.
13. Левитан Б.М. Разложение в ряды и интегралы Фурье по функциям Бесселя // УМН.
1951. - 6;2. - C.102-143.
ESTIMATIONS OF MIXED B-DERIVATIVES OF BESSEL-MACDONALD WEIGHTED KERNEL L.N. Lyakhov*, A.A.
Feoktistova**
^Voronezh State University,
Universitetskaya Sq., 1, Voronezh, 394006, Russia, e-mail:
lyakhov@box.vsi.ru;
**Lipetsk State Pedagogical University,
Lenina St., 42, Lipetsk, 398050, Russia, e-mail: alek-feoktistova@yandex.ru
Abstract. Mixed B-derivative is the action by Bessel's operator on some variables and the differential operator on rest variables. We obtained per-point and integral estimations of mixed B-derivatives of Bessel-Macdonald’s kernel generated with Fourier-Bessel’s transformation.
Key words: Fourier-Bessel’s transformation, Bessel-Macdonald’s kernel, B-derivative.
