Оценки смешанных В-производных весового ядра Бесселя-Макдональда Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

ОЦЕНКИ СМЕШАННЫХ В-ПРОИЗВОДНЫХ ВЕСОВОГО ЯДРА БЕССЕЛЯ-МАКДОНАЛЬДА

Л.Н. Ляхов*, А.А. Феоктистова**

^Воронежский государственный университет, Университетская пл., 1,

Воронеж, 394006, Россия, e-mail:[email protected];

**Липецкий государственный педагогический университет, ул. Ленина, 42, Липецк, 398050, Россия, e-mail: [email protected]

Аннотация. Смешанной В-производной называется действие операторов Бесселя по части переменных и обычных производных по оставшейся части переменных. Получены поточечные и интегральные оценки смешанных В-производных ядра Бесселя-Макдональда, порожденного преобразованием Фурье-Бесселя.

Ключевые слова: преобразование Фурье-Бесселя, ядро Бесселя-Макдональда, В-произ-водная.

1. Введение

Свойства классических ядер Бесселя-Макдональда, оценки частных производных и конечных разностей от ядер Бесселя-Макдональда исследовались в работах Ароншайна и Смита

[1], Никольского [2]. В работах [3], [4] и [5] изучались ядра Бесселя-Макдональда, порожденные преобразованием Фурье-Бесселя (далее, сокращая, используем название y-ядра Бесселя-Макдональда или просто Y-ядра), с точки зрения их применения к исследованию пространств дробной гладкости и В-гладкости. В данной работе приводятся результаты исследований смешанных В-производных Y-ядер и их некоторых свойств. Получены оценки обобщенных конечных разностей y-ядер. При этом использовались методы исследования классических ядер Бесселя-Макдональда, приведенные, например, в книге С.М.Никольского [6].

Мы будем рассматривать функции, определенные в части евклидова пространства точек Rn = Rn+ X Rn -n, 1 < n < N. Введем обозначения u = (x, y), x e Rn+, y e Rn -n. Переменную x размерности n, по смыслу рассматриваемых здесь задач, будем называть весовой.

Частной В-производной по направлению ui называется

T.h f(u) - f(u)

Cy him h2 = (Bui f )(u) , Cy = 2/(Yi + 1).

Здесь T^ - обобщенный сдвиг, действующий по одной из переменных (это всегда одна из весовых переменных) по формуле

Г Yi+1

Tuvi : f - (Tuv;f)(u) = Г ( 1У Г ( Y,У X

I 2 1 2"

п

x f u1 ,...,ui-1,uivi,ui+1 ,...,uN sinYi-1 ai dai,

0

и введено обозначение ^ - vi = uf + vf - 2uivi cos ai, i = 1,..., n , Bu i - оператор Бесселя

Bui = Д + = u-Yi^ Cu'f, Yi > 0 . (1)

Удобно ввести обозначение D = (DUn+1,..., DUn), DUj = 0-U-. Пусть l = (h; l2), где h, l2 - мультииндексы, состоящие из целых неотрицательных чисел размерности n и N -n соответственно. И пусть

(BD)1 =(BX d'2).

Выражение вида (BX D' )f (x, у) будем называть смешанной В-производной от функции f (x, y). Порядок этой производной равен 2|h | + |l2|.

Всюду далее предполагаем, что мультииндекс y = (Yi,..., Yn) состоит из фиксированных положительных чисел.

Смешанный обобщенный сдвиг определим выражением

)

(Tuvf )(u)= Txz;f (x, у — z).

i=1

Через Lp(R+), 1 < p < то будем обозначать весовое пространство Лебега, состоящее из

измеримых на R+ функций ф(и), для кото

рых конечна норма !i/p

pxYdii/^

ф Lp (К^ = ' М^1^

К N

V 11 VI

где ху' = х;1, а показатель Y¡ равен индексу соответствующего сингулярного оператора

1=1

Бесселя (1). Это пространство банахово.

Смешанное преобразование Фурье-Бесселя определяется следующим выражением:

ФМ = Fв[ф](v) = ф(и) jY(хД) е—'уу,п’х^и, V = (^,п) е КП х RN-n ,

К +

где по весовым переменным х применяется преобразование Фурье-Бесселя, а по переменным у - преобразование Фурье. При этом мы используем обозначение

г _ )

^(х>ь) = j(Yl —I)/2(и1 ^) >

1 = 1

в котором jv -j-функция Бесселя , связанная с функцией Бесселя первого рода равенством

jv (и;) = 2У Г(v + 1^М.

Как известно (см. [7]), это преобразование обратимо в классе функций Sev(К+) и обратное преобразование определяется выражением

Ф(u)=F—1[Ф](и)=2п—|^(2п)п^ Г-2 Fв[ф](—и) .

1 = 1

Мы будем пользоваться центрированной обобщенной конечной разностью, построенной на основе смешанного обобщенного сдвига следующим образом6)

I

П'^(и) = (—1)кСк Т(2—к)ИГ .

к=0

Модуль гладкости шкГ, 6). у порядка к в весовых классах Лебега 1УР определим следующим

1-р ^

образом7)

Шк(Г,6)цу = эир (□ г)(и) Ц ■

Определение 1. Пусть г > 0 - действительное число, к — неотрицательное целое число и ' - мультииндекс, состоящий из неотрицательных чисел ' = ('1, 12) = ('1, ■ ■ ■ , 1п, 1п+1 , ■ ■ ■ , 'М ), удовлетворяющих условию2к > г — (2|'11 + |'21) > 0. Через Н^ обозначим множество всех функций Г е Ь'р таких, что (BD)'f е и для некоторого числа Аг > 0 справедливо неравенство

шк((ВО)Г, 6).у < АГ6Г—2|'11—|'21, 6 > 0 .

Для f е Hr,Y определим полунорму

WKW B Dxl

Y (f) = смп KVV_____:

■ r y ,f) WK«BD)lf,8)Lp

hrpY (f )=sup p

6>0 6r—2ll1 l — ll2l

p

Нетрудно установить, что множество НР' является банаховым пространством с нормой

Hpr'Y = f ly + hP,Y(f).

2. Свойства Y-ядра Бесселя-Макдональда

Обычное ядро Бесселя-Макдональда (см., например, [6]) определяется как функция, преобразование Фурье которой есть (1+М 2 —2. По аналогии определяется ядро Бесселя-Макдональда, порожденное смешанным преобразованием Фурье-Бесселя (см. [12]), а именно, Y-ядром Бесселя-Макдональда будем называть функцию GIY, для которой

Fв [^ ](v) = (1 + №2)—/2 .

Вид этого ядра и его свойства описаны в [5] для случая п = N и в [12] в общем случае

1 п N. Имеют место следующие утверждения.

f

6Нецентрированные обобщенные конечные разности введены в [8], центрированные - в [9].

7Модули гладкости на основе нецентрированных обобщенных конечных разностей введены в [10]. В

[11] введен модуль гладкости на основе обобщенных конечных разностей полученных в виде итераций обобщенных конечных разностей первого порядка. Эта обобщенная конечная разность совпадает с

введенными в [8] и [9], когда ее порядок I = 1.

Теорема 1. Для смешанных В-производных от функции Су(и) порядка ' имеют место следующие оценки:

а) если |и| < 1,0 < г < N + |у| + |'| или г = N + |у| + |'| и |'| = 21' | + |' | - нечетное, то

(BD)'GY(u) = ООиГ-^1-1'1), (2)

если же г = N + |у| + |'| и |'| = 21' | + |1 | — четное, то

С

, 1

(BD)'CYr = О |п ц +1 , (3)

для г > N + |у| + 21' | + |' |

^)^(и) = О(1); (4)

Ь) если |и| > 1, то

(BD)'CY(u) = О |и|г—М —21У|—1 е—|и| . (5)

Теорема 2. Пусть г > 0, 1| - неотрицательное целое число и 0 < I < то. Тогда для В-

производной порядка ^ (| = 1.п) у-ядра Бесселя-Макдональда при г = 2| + а и а е (0; 2]

имеет место оценка

Л = Ш^^С» и^и<А^Г, (6)

а для производной порядка ' (I = п + 1......N) при г = ' + а и а е (0; 1] -

Л = DUi¡GY(u) и^и<А||Г, (7)

к N

Аг и Аг - константы зависящие от г.

Справедливость этих оценок доказывается подходами, разработанными в [5]. Докажем, например, теорему 2 как наиболее важную.

П Сразу отметим, что в неравенстве (7) величина Д2^ - обычная конечная центрированная разность второго порядка и его доказательство лишь деталями отличается от классического (см. [6] §8.3.). Докажем оценку (6).

Пусть и = (и|,Ы), и1 = (и1,,и —1,и+1,... ^). Имеем

□¿и Ф(и) = Ти— ¿Ф(и) — 2ф(и) + ти ф(и).

Учитывая четность функции (Ти Ф)(и) (по и и по шагу ¿), получаем

Ф(и) = 2 TUj ф(и) — Ф(и) = 2п¿и ф(и). (8)

И напомним, что (см. [7], [13]) обобщенный сдвиг является самосопряженым оператором в весовом скалярном произведении. Поэтому

ТХГ (x)xYdx = Г (х)х^х.

к N к N

Будем использовать оценки (2 - 5). Левую часть неравенства (6) преобразуем, используя формулу (8) сведения обобщенной конечной разности второго порядка к обобщенной конечной разности первого порядка. Имеем

Л = (П?иМGY(u) и^и =

к N

= 2 Т^в'^С» — вUjGY(u) и^и<

к+

< 2 Т^'и^и) uYdu + 2 в!]CY(u) и^и .

к N к£

Учитывая интегральную природу обобщенного сдвига, получаем

Л < 2 Т^ BlUjCrY(u) uYdu + 2 в^CY(u) uYdu .

Из равенства (9) следует

Л < 4 вUjj CY(и) uYdu .

Пусть К+ = {|и| 1} + и {|и| 1}+ (индекс + над знаком множества здесь и далее означает,

что эти множества принадлежат области К^) и

вUijGY(и) uYdu = вUjjCY(и) uYdu + вUijCY(и) uYdu .

кN {|и| 1}+ {|и| 1}+

Из (3) для случая г = N + |у| + 2| при |и| < 1 следует оценка

С 1

в!]Су(и) и^и < 1п - +1 uуdu .

{|и| 1} + {|и| 1}+

Получившийся интеграл имеет слабую особенность. Сферическим преобразованием координат легко установить его сходимость. Таким образом,

в!] CYr(u) uYdu < С . (10)

|и| 1}+

Кроме того, для случая 0 < г < N + ^| + 2| при |и| < 1, учитывая, что N + ^| + 2| — г N + ^| — а и 0 <а< 2, из (2), имеем

в^ CY(и) uуdu < |и^^ — |Y|—2'j uуdu =

{|и| 1}+ {|и| 1}+

к+

к+

N

N

= р“-^р<С2 . (11)

ц + 0

ц1

При |и| > 1, согласно (5), получаем

В^GYr(u) и^и < |и|г М 2ІУІ 1 е-|и|и^и<С3 . (12)

{| и|>1} + {|и|> 1

Таким образом, для |^ > 1, учитывая оценки (10), (11), (12), имеем

Л <С<С|^И. (13)

Пусть 0 < t < 1. Положим ^ ^

Л=Л1+Л2=^ + ) (П^ В)!и^ GY(u) uYdu . (14)

{|и|<41}+ {|и| 4t} +

Из (4) для 0 < г < N + ^| + 2^ вытекает

Л1 < 4 ВиGYr(u) uYdu < |u|r-N-|Y|-2lj uYdu .

{|и|<41}+ {|и|<41}+

Сферическое преобразование координат приведет к неравенству

4t 41

Л1 < рг-^М-2и pN+|Y|-1dp = ри-^р<С4 (15)

00

Рассмотрим случай г = N + ^| + 2^. Так как 0 < г - 2^ < 2, то при этом N + ^| 2.

Если N = 2, то необходимо ^| = 0, что означает отсутствие весовых переменных. Поэтому этот случай не является предметом наших исследований. Равенство г = N + ^| +2^ возможно лишь, если N = 1 и ^| < 1. Таким образом, мы должны рассмотреть одномерный случай N =1 и 0 <Y = Y1 < 1 (а = г - 211 = 1 + Y1 )■ Интеграл Л1 примет следующий вид

41

Л1 = 2 ти 1В lL¡1G,y(U1) - В и GrY(U1) uY1 dU1 .

0

Используя формулу Тейлора-Дельзарта с остаточным членом в форме Лагранжа-Левитана (см. [13]), имеем

41

t2

Л1 < - Ви11+1 Gy (и1 + е^ uyj du1 .

y 1

0

Если г = N + ^| + 211, то г < N + ^| + 211 + 2. Поэтому из (2) следует

^ 41

Л1 <— (и1 + еt)r-1-У1-2І1-2uУ1 du1 y1

— (и1 + 0t)—2(и1 + е^1 аи1 с5 tY1+1 = c5tа■ (16)

у1

0

Таким образом, учитывая (15) и (16), получаем

Л1 <С6?*. (17)

Перейдем к оценке интеграла Л2 из (14):

Л2= (□t2u1(BD)lU1 cу(u) и^;аи1 =

{|и| 4и +

= 2 Tut1 в! су1 (и) — в! су(и) иуаи.

{|и| 41} +

Используя формулу Тейлора-Дельзарта из [13], получаем

^ I +1

Л2 < 2—1 в] Су(и| + 01, и1) uуdu .

{|и| 4t}+

Учитывая, что N + |у| + 2| + 1 — г = N + |у| — а + 2 > 0, в силу оценки (2), имеем

<-2

t |иг ы у 21 2иуаи.

Л2 < ..

у— 1

— — |— j —

{|и| 4^ +

Сферическое преобразование координат приводит к неравенствам

то 00

^ 12 Л2 <у—7 рг — М — |у|-2|] —2 рМ + |у|—1 ¿р<у—Т ра—3dp<C7tа■ (18)

4t 41

Таким образом, для весовой переменной и из оценок (13), (17) и (18) следует неравенство (6). И

Учитывая, что (см. [4], с. 116 и [12]) при г > 0 Су(и) е LY(К++) и оценки (6), (7), согласно определению 1 весового пространства Никольского, получаем

Су (и) е Н{,у (К+).

Кроме того, имеет место равенство (сравните [6], § 8.3, формулы (2) и (3))

Су(и) Н|^(К+д)= Су LY(KN)+ Аг , где Аг - наименьшая постоянная, при которой выполняются неравенства (6), (7).

Литерату

ра

1. Aronszajn N., Smith K.T. Functional spaces and functional complection//Ann. Inst.

Fourier. -

1955-1956. - 6.- P.125-185.

2. Никольский С.М. Интегральное представление и изоморфизм классов дифференциру- емых функций многоих переменных // Третья летняя матем. школа (конструктивная теория функций), г. Кацевели, июнь-июль 1965 / Киев: Наукова думка, 1966. -С.135-238.

3. ГаджиевА.Д., Алиев И.А. Потенциалы Рисса и Бесселя, порожденные обобщенным сдви- гом // Докл. расширенного семинара им. Векуа. Т.3 / Тбилиси, 1988. - С.21-24.

4. Ляхов Л.Н. Описание пространств В-потенциалов Бесселя В-гиперсингулярными инте- гралами // Условно-корректные задачи математической физики и анализа: Тез. докл. научн.конф., Новосибирск, 1-5 июня 1992 г./ Новосибирск: ИМ СО РАН, 1992. - C.202-

203.

5. Ляхов Л.Н. B-гиперсингулярные интегралы и их приложения к описанию функциональ- ных классов Киприянова и к интегральным уравнениям с B-потенциальными ядрами / Липецк: ЛГПУ, 2007. - 232 с.

6. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения / М.:Наука, 1977.- 436 с.

7. Киприянов И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи / М.: Наука, 1997.200 с.

8. Ляхов Л.Н. Об одном классе гиперсингулярных интегралов // ДАН. - 1990. -315;2. - С. 291-296.

9. Гоц Е.Г., Ляхов Л.Н. Обращение преобразования Радона-Киприянова посредством дроб- ного дифференцирования Грюнвальда-Летникова-Рисса // ДАН. - 2007. -412;1. -С.11-

14.

10. Ляхов Л.Н. Пространства В-потенциалов Рисса//ДАН. - 1991. - 334;3. - С.278-

280.

11. Платонов С.С. Гармонический анализ Бесселя и приближение функций на полупря- мой// Известия РАН, серия математическая. - 2007. - 71;5. - С.149-196.

12. Половинкина М.В. В-гиперсингулярные интегралы и их приложения к описанию весовых функциональных классов дробной гладкости автореферат на соискание ученой степени к.ф.-м.н. / Воронеж, 2009. - 16 с.

13. Левитан Б.М. Разложение в ряды и интегралы Фурье по функциям Бесселя // УМН.

1951. - 6;2. - C.102-143.

ESTIMATIONS OF MIXED B-DERIVATIVES OF BESSEL-MACDONALD WEIGHTED KERNEL L.N. Lyakhov*, A.A.

Feoktistova**

^Voronezh State University,

Universitetskaya Sq., 1, Voronezh, 394006, Russia, e-mail:

[email protected];

**Lipetsk State Pedagogical University,

Lenina St., 42, Lipetsk, 398050, Russia, e-mail: [email protected]

Abstract. Mixed B-derivative is the action by Bessel's operator on some variables and the differential operator on rest variables. We obtained per-point and integral estimations of mixed B-derivatives of Bessel-Macdonald’s kernel generated with Fourier-Bessel’s transformation.

Key words: Fourier-Bessel’s transformation, Bessel-Macdonald’s kernel, B-derivative.