Полное преобразование Фурье-Бесселя некоторых основных функциональных классов Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31

85

MSC 42A38

ПОЛНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ-БЕССЕЛЯ НЕКОТОРЫХ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ КЛАССОВ

Л.Н. Ляхов, С.А. Рощупкин

Воронежский государственный университет Университетская пл. 1, Воронеж, 394006, Россия, e-mail: [email protected],

Елецкий государственный университет им. И.А.Бунина, ул. Коммунаров, 28, г. Елец, 399770, Россия, e-mail: [email protected]

Аннотация. Рассматривается полное преобразование Фурье-Бесселя Fb , введенное И.А. Киприяновым и В.В. Катраховым, которое применяется к исследованию сингулярного дифференциального оператора равного степени j оператора Бесселя для четных а и производной от степени оператора Бесселя для нечетных а. Строятся классы основных функций, приспособленных для работы с оператором дВ, в частности, - класс Sev, который состоит из быстро убывающих функций, четных по каждой из переменных, на которые действует &B-оператор Бесселя. Строится счетная система норм, порождаемая оператором дВ. Другой класс основных функций Ф7 строится из функций пространства Sev по типу пространств основных функций Лизоркина, исчезающих на соответствующих координатных гиперплоскостях. Исследуется полное преобразование Фурье-Бесселя Fb этих классов функций и доказывается теорема об ортогональности функций из Ф7 многочленам относительно скалярного произведения с весом.

Ключевые слова: полное преобразование Фурье-Бесселя, оператор Бесселя, дв-оператор Бесселя, пространство основных функций Лизоркина.

Введение. Для исследования сингулярных дифференциальных уравнений, в которых в подинтегральном выражении по одному из направлений действует сингулярный дифференциальный оператор Бесселя

B

Yi

&_ + Ъ_д_

dxf Xi dxi

1 d Y d

—rt1 т , tY dt dt

Yi > 0 .

применяется классическое преобразование Фурье-Бесселя ядром которого является j-функция Бесселя

(t)

2vT(u+l)

R

(t) ,

где Jv — функция Бесселя первого рода; jv (t) нения Бесселя [1]

1 d Y d

—rt ,u = tY dt dt

- одно из решений сингулярного урав-—и ,

отвечающее индексу y = 2v + 1 и удовлетворяющее условиям

и(0) = 1, и'(0) = 0 .

Действие оператора Бесселя будем называть B-производной. Пусть R+ = RnxR^-n,

x

86 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ ЕгЯ Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31

(ж',ж"), X G Rn, x" G Rn-n. Ядра прямого и обратного полного преобразований Фурье-Бесселя имеют вид (введены в работе [2], см. также [3], [4]):

Y = (Yb---, Yn), Yi > 0, Yi = 2v, + 1.

Прямое и обратное полные смешанные преобразования Фурье-Бесселя (далее, для краткости, будем писать Fb-преобразования) функции и задается выражениями:

FB[и](0= J Л+(х/,^/) e-i(x ^ u(x) (x')Y dx,

Rn

F-1[u](x) = CJtn,N ЛМж'Д') e г(х''А”) u(x) (x')Y dx = C7;n,NFb[u](-x).

y7,n,N I -1- ^7 ' Rn

Здесь

C

(2n)

n- N

- Ц 27i+l p2 (7i±I)

(xT = П^2

2 ! i= 1

Как видим ядро полного преобразования Фурье-Бесселя состоит из четных и нечетных функций по каждой из переменных x1,... xn. Поэтому Fb-преобразование разбивается на четное и нечетное Fb-преобразования:

Fb = FB,ev + F

B,od

Введем следующие обозначения. Пусть а = (а',а/г), а1 и а" целочисленные мультииндексы, размерности n, N — n соответственно. Для этих мультииндексов поло-

д

жим d% = (дв'),, да:, (дв')х, =дв;,...д

1,2,.... N,

ап

Чп '

д?::

дап+} ... <9(7, дт. = -— , г

xn+1

дxi

д«;

а,- = 2к,

B°-i/2

* (:г-р/2 “‘“Г” 1 , k = 0,1, 2,..., i = 1, 2,...,n,

дХ , а, 2ki + 1

В классе четных, достаточно гладких интегрируемых функций оператор DB имеет символ (Д)“ :

DB^=F-1[(iC)“FB а] .

Далее мы будем использовать следующие формулы (доказательства приведены в [3],

[4])

F

в

дВх, да,, а (0 = (Фв Fb [а](£)

DB; да':Fb [а] (£) = Fb[(ir)eA(x)](£).

(1)

(2)

2. Пространства функций Sev(Rn). Мы используем пространство Л. Шварца основных функций S(Rn), заданных в Rn достаточно быстро убывающих. Обычно

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31

87

в этом пространстве вводится система норм вида |(ф)|к = sup xa De<p(x)

М + |в|<к, xgR„

k = 0,1, 2,.... Такая система норм позволяет доказать изоморфизм основного пространства при его преобразовании Фурье. Нашей задачей в этом пункте является введение подобных норм и соответствующих пространств для Fв-преобразования.

Доказательства классической теоремы о непрерывности действия преобразования Фурье в пространстве Шварца обычно используют формулу Лейбница для производных от произведения. Нетрудно видеть, что четные В-производные от произведения не могут быть представлены в виде суммы В-производных сомножителей. Например, легко проверить, что

B(fi /2) = /2B/1 + 2 /1 /2 + /1 Bf.

Отсюда ясно, что соответствующая формула Лейбница для целых степеней оператора Бесселя включает в себя и четные и нечетные порядки производных. Четное преобразование Фурье-Бесселя приспособлено исключительно для работы с операторами Bm четного порядка 2т. Теперь отметим, что формулу Лейбница для Bm(/1 /2) можно записать используя только операторы Bm и 5m (см. [2], [3]) в виде:

BY (/1 /2) = V C

/ у WYjU2 Х1

-1D1BH /1 • D« BX1 /2 ,

xi

(3)

S'is.iiji

где Cv’l2j2 — определенные постоянные, причем

cs, 0,0 = j 1, j2 = №

Y’l2’j2 _ 1 0, j2 <S

и суммирование в (3) ведется по индексам l + 2j1 + 2j2 + i1 + i2 = s, i1 < 1, i2 < 1, l < 2s — 1. При у = 0 постоянные Сд’Ц’Л есть обычные биномиальные коэффициенты.

Формула (3) показывает, что переход в формуле Лейбница к операторам типа dB приводит к операторам, имеющим особенность на гиперплоскостях xi = 0, а это вызывает существенные трудности при определении принадлежности произведений функций к соответствующим основным классам.

Пример. Пусть в Sev (R1) задана система норм вида

= sup |x2p(Bmw(x)i, k = 0,l,ф....

|2p+m<k, x£Ri

Рассмотрим четное преобразование Фурье-Бесселя FB = 5B,ev и покажем что в этой системе норм оно непрерывно действует из Sev в Sev. Имеем

|(F)|/fc = sup ^2p BYmF(x)| = sup |FB,ev[ 1 .

2p+m<k, g€R1 2p+m<k, g€R1

Теперь, чтобы оценить это выражение | (ф) |к-нормами, необходимо воспользоваться формулой (3), затем выделить окрестность нуля и внешность этой окрестности. Наибольшую трудность имеет оценивание через |(ф)|к-норму функции в окрестности нуля, поэтому проще не пользоваться формулой (3), а записать другую формулу в которой производные и В-производные не подвергнуты коммутации, что тоже приводит большим

техническим сложностям.

88 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31

Можно упростить эту задачу, введя следующую систему норм в основном пространстве Sev Sev (RN)

1(дЖ

max

sup

М + |в|<№ xeRn

x“ dB7 ЖЖ

sup

|a|+|e|<fc,,x€Rn

DB7 (x>(x))

(4)

k = 0,1, 2,... .

Кроме того, необходимо потребовать, чтобы в (4) всегда выполнялось условие

а + А = 2 ki, ki = 0,1,2, ..., i = 1 ,...,n, (5)

т.е. числа ai и вц отвечающие одному и тому же индексу i, должны быть одинаковой четности.

Нормы (4) определяют топологию в Sev. В частности, последовательность функций um сходится к и в Sev, если она сходится по каждой из этих норм, когда индекс k пробегает все неотрицательные числа. Пространство Sev (Rn) снабженное системой норм (4), является пространством Фреше (т.е. полным метризуемым пространством).

Теорема 1. При выполнении условия (5) Fb-преобразование осуществляет непрерывный (в обе стороны) изоморфизм пространства Sev, т.е. для любого неотрицательного целого числа k выполняется неравенство

|(Fb[Ж < |(д)к.

□ Пусть д £ Sev и мультииндексы а и в состоят из произвольных целых неотрицательных чисел одинаковой четности по каждому номеру i. По формулам (1), (2), имеем

|Г dB Fb[д](А1 = |Г Fb[(ix)'5 д](А| = |Fb [DB ((ix)'5 p(x))] (Al.

Далее рассматриваем наиболее принципиальный для нас случай, когда n = N = 1. Будем различать два случая.

Случай 1. Предположим, что число в четное равное 2m. Тогда (при этом а тоже четное)

(ix)e Д = ф(ж) £ Sev и

|Г dBFbMte)l = |Г FbМ(А| = 2|Fb[В‘Д < ж.

При выполнении условия (5) функция DB ((ix)e <^(x)) = Ba/2 ((ix)2m д(х)) четная, поэтому

Fb (Ж [(ix)e д(.г))] (А = 2Fb [Ba/2 ((ix)2m p(x))] (A =

= 2 f A+(x', A) e-ix"£"Ba/2 ((ix)2m p(x)) (x')Y dx.

Rn

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31

89

Ясно, что для любого натурального числа p функция ф определяется формулой

ф(х) = (1 + |x|2p)Ba/2 ((ix)2m p(x)) £ Sev(RN) , и поэтому в рассматриваемом случае

ifа dB Fb[p](f)i

rn

A+(x',f')e гх 1 + \х\2р

(1 + |x|2p)DB ((ix)e р(х)) (x')Y dx

ф с \тк1

Случай 2. Предположим теперь, что число в нечетное равное 2mi+1 (при этом а тоже нечетное, положим а = 2m2+1). Из определения пространства Sev следует, что ф(х) = х2тр — четная функция. Тогда хв р = хх2тр = хф(х) £ S, ф £ Sev. В этом случае

fа dB Fb[p](f) = 2 fа dB Fb[p](f)

xf

ji±±(xf) хф(х) x1 dx

*0.-1

xf2

7+1 2

jj±i(xf) хф(х) x1 dx

7+1 2

f2k dxj^=i(xf) хф{х) x1 dx

Rn

1

f2k ii=iK) — дх(х1+1ф(х)) x1 dx

R+

Функция

ф\ = — дх (х1+1ф(х)) = ф(х) + —ф'(х)

xY х

четная (х7 рассматривается здесь как четная = (х2)т/2, следовательно х7+1ф(х) — нечетная, а производная нечетной функции — четная функция) гладкая и легко проверить, что ф1 = O(x2m+7), х -д 0. Поэтому

fa 7 Fb [p](f) = f (xf) Вкфх x1 dx

J Rn

< оо.

Воспользовавшись формулой Лейбница, так же как и в первом случае, получим

fа dB Fb [p](f)

с

2

ГО

е

а

S

ev

Результат применения оператора Бесселя BYi к функции четной по i-ой переменной снова функция четная по i-ой переменной для всех i = 1,... ,i. Далее функции четные по каждой из переменных х1,... ,xn будем называть просто четными.

90 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31

Применение д%-производной нечетного порядка дает нечетную функцию в виде производной первого порядка от четной функции. Это приводит к классу основных функций, представленных в виде суммы четной и производной от четной функции

^(ж) = Mev (x) + Mod (x) ,

Mod (x)

У

д'ф(х)

dxi

(6)

где Mev, ф(х) Е Sev — четные функции. Для функций (6) имеет место формула

1

у*мю = т> +2 *£ -г-влх чо.

i=i ^

(7)

где знак ^ означает применение четного преобразования Фурье-Бесселя, ^i — одномерное четное преобразование Фурье-Бесселя по переменной xi и, наконец, Fod. — нечетное преобразование Фурье-Бесселя по всем переменным, кроме xi. Действительно,

Fb [м]

Fev^ ev (О - iFod

^2д^

,i=1

a ) =

2^ev(C) +

/n

X>, <xi-ei)

i= 1

R+

1

li

dXijii^i(xi£i) дх/ф(х) x1 dx, 2

где hY(xi,^i) произведение нечетных j-функций Бесселя, в которое не входит i-я функция. Отсюда

Fb [м]

2Mev (С) +

R

N

■£hy (xi.f)

i= 1

1

о

1

i

dXi in-1 (xjti) dXit/j(x) х? dxi (хгуг dxl, 2

Теперь формула (7) получается интегрированием по частям во внутреннем интеграле.

3. Пространства основных функций, построенные по типу пространств Лизоркина. Формула (7) показывает, что применение ^-преобразования к дв-производным приведет в функциям с особенностью в начале координат и на весовых координатных гиперплоскостях. Естественно ввести класс функций, Fb-преобразование которых равно нулю в начале координат и на весовых координатных гиперплоскостях вместе со всеми производными и дв-производными. Такие классы, следуя [4], вводятся следующим образом.

Положим x = (xi, xi), xi = (x1,.... xi-1,xi+1,.... xN) и пусть

Ф7 (R+) = {ф : ф Е Sev, дВ. ф(0, xi) = 0, i = 1,2,...,n, Vfi Е Z+} .

Тогда

Ф(R+) = {Ф : Ф = Fb[ф], ф Е Ф,(Д+)} .

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31

91

Введем весовую линейную форму

(F,j1) = f f (x) д{х) (ж')7 dx, Rn

(8)

где (ж')7 = П(х2Р/2-1

Теорема 2. Класс Ф7(R+) состоит из тех и только тех функций <р(x)ESev(RN), которые ортогональны (8) всем многочленам:

(f(x)eSev(RN) , (x')m<f(x) ж7 dx=0 , ^еФ7(RN)

r+

Для четного преобразования Фурье-Бесселя [4] функции д Е Ф ортогональны (8) всем многочленам, четным по каждой из переменных x1,... , xn:

p(x)ESev(RN), / (x')2my(x) xY dx=0

^еФ7 (RN)

r+

□ Пусть <^еФ7(RN) и ф = FB[ф]. Тогда

/ xa 0(x) xY dx

RN

C (Y)

c (YW

RN

Л7 (x, 0)xa 0(x) xY dx =

C Чт)

?=0

с'-1(т)^^(е)

ia

?=0

0.

Ясно, что эти рассуждения, проведенные в обратном порядке, доказывают обратное утверждение. Доказательство (7) приведено в [4]. В

Интегралы вида

(x')a 0(x) (x')Y dx

RN

называются весовыми моментами функции <^(x) порядка а. Таким образом, пространство Ф-, (RN) состоит из тех и только тех функций ^(x)ESev(RN) , для которых все весовые моменты равны нулю.

Литература

1. Киприянов И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи / М.: Наука, 1997.

2. Киприянов И.А., Катрахов В.В. Об одном классе одномерных сингулярных псевдодифференциальных операторов / Математ. сборн. - 1977. - 104,№1.

3. Катрахов В.В., Ляхов Л.Н. Полное преобразование Фурье-Бесселя и алгебра сингулярных псевдодифференциальных операторов // Диффер. урав. - 2011. - 47,№5. - С.681-695.

92 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31

4. Lyakhov L.N., Raykhelgauz L.B. Even and odd Fourier-Bessel transformations and some singular differential equations // Cambridge Scientific Publishers, 2012. /Analytic Methods of Analysis and Differential Equations. AMADE-2009. C.107-112.

5. Ляхов Л.Н. B-гиперсингулярные интегралы и их приложения к описанию функциональных классов Киприянова и к интегральным уравнениям с B-потенциальными ядрами / Липецк: ЛГПУ, 2007. - 232 с.

FOURIER-BESSEL’S FULL TRANSFORMATION OF SOME MAIN FUNCTIONAL CLASSES

L.N. Lyakhov, S.A. Roschupkin Voronezh State University

Universitetskaya Sq., 1, Voronezh, 394006, Russia, e-mail: [email protected] Yelets State University of I.A. Bunin,

Kommunarov St., 28, Yelets, 399770, Russia, e-mail: [email protected]

Abstract. The full Fourier-Bessel Fb transformation proposed by I.A. Kipriyanov and V.V. Kat-rakhov is applied to study the singular differential operator &B equal to the operator Bessel at the

degree when a is even and it is the derivative of the Bessel operator at the degree when a is odd. Classes of main functions adapted to the operator dB are built. In particular, the class Sev is introduced which consists of quickly decreasing functions being even on each of variables on which dB-Bessel’s operator acts. The system of norms are constructed which is generated by the operator dB. Other class Ф7 of main functions is built on the basis of the space as well as Lozorkin’s spaces of main functions disappearing on corresponding coordinate hyperplanes. The full Fourier-Bessel transformation is investigated FB of introduced classes of functions and the orthogonality theorem of Ф7 functions to polynomials relative to scalar composition with the weight is proved.

Key words: Fourier-Bessel’s full transformation, Bessel’s operator, dB-Bessel’s operator.