Применение четного и нечетного преобразования Фурье-Бесселя к исследованию некоторых сингулярных дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.9:532

ПРИМЕНЕНИЕ ЧЕТНОГО И НЕЧЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ-БЕССЕЛЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ НЕКОТОРЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

© Л.Б. Райхельгауз

Ключевые слова: полное преобразование Фурье-Бесселя; четная и нечетная составляющая; сингулярные дифференциальные уравнения.

Рассмотрено обыкновенное дифференциальное уравнение с сингулярным дифференциальным оператором Бесселя. Для исследования возможных решений применяется «полное преобразование Фурье-Бесселя», введенное И.А. Киприяновым и В.В. Катраховым. Методика исследований проверяется на известных решениях полигармонического оператора и В-полигармонического оператора.

Известно, что при исследовании задач теории функций и дифференциальных уравнений с сингулярным дифференциальным оператором Бесселя

л а2 2 р +1 а 1

В =—--, р >—

ах х ах 2

р а

(или оператором типа--) роль преобразований Фурье с успехом выполняет преобразование Фурье-Бесселя сле-

х ах

дующего вида [1-3]:

ад

[/(х)](#) = \/(х)]р (х£)х2р+1ах. (1)

0

Обратное преобразование определяется равенством

^ [^(^)](х) = 22рр3(^[*(х)](#).

В этих равенствах ядро у (х) - /-функция Бесселя, связанная с функцией Бесселя первого рода 3 р (х) равенством

]р (х) = 2р Г (р +1) ^.

х (2)

Но /-функция Бесселя - четная функция, и поэтому преобразование (1) применяется лишь для работы с четными функциями/(как косинус-преобразование Фурье.) Другое сильное ограничение для применения преобразования (1)

- оно приспособлено лишь для операторов «четного порядка» типа В^ [4]. Ситуация, когда в уравнении присутствуют «нечетные» производные (например, градиент функции) не такая уж редкая, скорее, наоборот, поскольку эта ситуация более общая. Мы используем введенное И.А. Киприяновым и В.В. Катраховым в работе [1] преобразование Фурье-Бесселя общего вида, ядро которого содержит «четное» у (х) и «нечетное» /_х_у + свои со-

2(р +1) р+

ставляющие.

Практическое применение общего преобразования Фурье-Бесселя потребует следующие факты: обратимость общего преобразования Фурье-Бесселя в соответствующем классе весовых распределений; формулы представления

38

дифференциальных операций в образах Фурье-Бесселя.

Общее прямое и обратное преобразование Фурье-Бесселя введем по формулам, соответственно,

р+1/2

В (х)](£)={ / (х)Л+( х))( х2) (+ ¿х.

1 « 1 (х ( / ( х )Л;( )( х2+2 ¿х,

(3)

(4)

гДе Л±( = ]'( (х)) + ^ (^ У(+1(х)).

Заметим, что здесь, в отличие от работы [1], мы используем нормирующий коэффициент 1 перед нечетной

2(( +1)

составляющей ядра. Это сделано для удобства работы с дифференциальными операторами. Теорема 1 (теорема обращения) [4].

Пусть / е Ь( ). Тогда имеет место формула обращения

вЦ и]]=f; з /]]=/.

(5)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для четных функций формула обращения получена И.А. Киприяновым [2]. Поэтому нам достаточно доказать формулу обращения в случае применения преобразования Фурье-Бесселя к нечетной функции. Так, как и в [2], мы используем формулу обращения преобразования Ганкеля

Н

, [ f ]()) = {(х))1/2 Зг (х)¥(х)¿х ■ f()) (6)

Н( [ f ](х) = }(х))1/2 (х))/())= f (х). (7)

0

В случае применения преобразования Фурье-Бесселя к нечетной функции формулу (5) рассмотрим на основе функции . Заменим функцию Бесселя первого рода нормированной функцией Бесселя _/ +1 по формуле

(2), а функцию f - на функцию х(+1/2 f (х) Тогда получим

/ Л ч £(+12 00 „£• гр+1/2

( х(+1/21 )())=_)--Г х2(+1—^Л+1 ( х)) f ( х ) ¿х = —)-- f ()).

V 2(г(р + 1)Г 2(р + \у(+1 ()7 () 2(Г(р +1)7 ()

Обращая полученное равенство по формуле (7), имеем

(+1/2 0 е

х,м,2 .(х-Г —х)—

f <х )= Г ФТЗ^Л^

' +1)^ 2(( +1

Если предположить функцию f нечетной, то, распространяя интегрирование по всей прямой, из этого и предыдущего рассуждений получаем две формулы

гщ^ц Ьср+о '-(*) f (') f (х) ■ I ф) ^ >

которые и представляют собой формулы нечетного преобразования Фурье-Бесселя и ее обращения. Аналогично доказывается второе из равенств (5). Доказательство закончено.

На основе аналогичной теоремы Планшереля для преобразования Ганкеля [6] получена формула Планшереля-

0

Парсеваля для полного преобразования Фурье-Бесселя (/, g)^=(ЗВ[/],3B[g,||/|^ = ||ЗВ[/]|lp ■ Далее в работе она не используется, поэтому ее доказательство в этой работе не приводим.

Дифференциальные операции с оператором Бесселя. Введем обозначение: d = г. В этих обозначениях опе-

dx

ратор Бесселя запишем следующим образом

B = D2 + ^P^D, p >-1/2.

x

Пусть f - четная по x функция, принадлежащая пространству Шварца основных функций. Тогда

Зв [в/ Ш=-^в [/Ш ; (8)

Зв[ D/ ](Ç) =№[/](£). (9)

Действительно, для четной составляющей преобразования Зв равенство F[Bf ] = — Ç2F [/] известно [2].

Но отсюда сразу вытекает равенство Зв [в/] = — Ç2Зв [/]. Рассмотрим нечетную составляющую в равенстве (4). Имеем

Зв [D/] = —ij(Xh) ^i (x^D/(x)(x2)2= —f{D.^p (ÇD/(x)(x2)Pdx.

ад

Интегрируя по частям, получим Зв [D/ ] = — J d(x2 P+1D jp (xÇ))/ (x)dx.

Ç 0

Учитывая, что d(x2 p+d) = B и Bjp (xÇ) = —Ç2 jp (xÇ), получаем зв[Г/ ] = 2iç fb [/](ç).

Теперь, распространяя интегрирование на (—да,+да) и добавляя нечетную составляющую преобразования 3В , получим формулу (9).

Как следствие формул (8) и (9) получаем для целого числа т

зв [ вт/](^)=(^)2т [/](£); (10)

[ БВт/](£)=(фт1[/](£). (11)

Пусть ь(вв ) = ^ ааВ<в , где аа - постоянные коэффициенты и оператор задается равенством

а<2т

Вт, а = 2т

Га = db =

d m = 0,1,2,

dBm, а = 2m +1 dx

тогда из (10), (11) следует, что в образах полного преобразования Фурье-Бесселя действие этого оператора примет вид

з

,[фв )/ Jç) = Ь(фв [/ Jç).

В этой формуле заложено начало нового операционного исчисления, но оно имеет одну странную особенность. Применение этого оператора возможно только к четным функциям. Введем весовую линейную форму

(/ ,g )p = J / ( x) g ( x) x2p+1dx,

' p

—ад (12)

которую при необходимости будем понимать в смысле главного значения. 40

Через Ьр (л+) будем обозначать множество четных по переменной х функций / для которых /(х)х(2р+1)/2 е Ь2 (Л). Норму элементов в этом пространстве зададим равенством

—11 / 2

ад

||/ (х) 2 х2р.

t

С этой нормой пространство Ьр (л+ ) - банахово [2].

Теорема 2. Пусть регулярная весовая обобщенная функция / принадлежит пространству медленно растущих

1

распределений S , а функция

является мультипликатором этого пространства, тогда весовая обобщенная

функция u(x) = Зд1

f) ■

L J

(х) является решением уравнения L(DB )м = f .

Д о к а з а т е л ь с т в о основано на непосредственной подстановке решения в последнее уравнение.

Теорема 3 [7]. Пусть Ф (К^) - основное пространство функций с непрерывным обобщенным сдвигом, Рв и

Рв - прямое и обратное преобразования Фурье-Бесселя и ) = [к = Fв [ф] ф е ф(л^)}.

Если регулярное распределение g является мультипликатором в пространстве ^(л^), то распределение Р ^]= / — обобщенный свертыватель в пространстве Ф'(л^), и для любого распределения / е Ф'(л^) имеет место формула Ев[(/ */1)у]= Рв[/р[/1].

Из теоремы 2 и из теоремы 3 вытекает следующая теорема.

Теорема 4. Пусть регулярная весовая обобщенная функция / принадлежит пространству медленно растущих распределений £', а функция Ь(Ов )м = / имеет

ад

И(х) = |з—1[3в [/]](у У

Lfc)

следующее

является мультипликатором этого пространства. Тогда решение уравнения представление в виде обобщенной свертки

1

L Lte)J

Л

(y)yуdy, где Tx - обобщенный сдвиг:

(ТУ)(х )=T(^PyF(T72) х{ f(^x2 + у2 " 2ХУ cos«)sin2 Pada-

Обыкновенные сингулярные дифференциальные уравнения. Пусть Sev (R) - основное пространство функций, состоящих из четных функций пространства Л. Шварца. Через S^ обозначим соответствующее весовой линейной форме (12) множество обобщенных функций над Sw . Пусть 8у - весовое распределение Дирака, действующее по формуле

ад

(бу, ф) = |бу (x)p(x)x2 p+1dx = ф(о).

—ад

Фундаментальным решением оператора L(DB) называется весовое распределение e(x), удовлетворяющее уравнению

L( Ds )s = S,

т. е. для любого ф , принадлежащего S^ (R ), выполнено равенство

(13)

(L(DB ф)у=ф(о).

—ад

о

Лемма 1. Для того чтобы обобщенная функция и = 8£ Б^ была фундаментальным решением оператора Ь(РВ ), необходимо и достаточно, чтобы ее четное преобразование Фурье-Бесселя удовлетворяло уравнению

щ = 1, (14)

2т

а

где

а=0

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть / е Б^ - регулярное весовое распределение, и ф принадлежит пространству Шварца основных функций Б(Яг). Как хорошо известно, любая функция может быть представлена в виде суммы своей четной и нечетной составляющей, т. е. ф = феу + фоа. Тогда (/ ,ф) = (/ , феу ), (/1 , ф) = (/1, фос1 ). Обобщенной Б-производной функции / называется весовое распределение Б/ такое, что

(Б/,ф)г=(/,Бф)г. (15)

Учитывая четность / и ее Б-производной, выражение (14) запишем в виде

(Бк/, ф)у=(/,Бк феу).

Из определения (14) и из определения четного преобразования Фурье-Бесселя обобщенных функций [1] вытекает

3 РвУ, ф)у=(ю2ЧУ [/ ], ф)у .

Следовательно, при а = 2к

Зб раУ = (itfkFev [/]= (^ ЗБ [/]. (16)

Пусть а = 2к +1. Первая Б-производная в смысле весовых обобщенных функций определяется выражением:

&, *Н /, ^ = (х

Имеем

(Зб[РВ/],*) =(ра/,З^[ф„ + фоЛ})г = -1\-Б1к/,З^[ф^]) =[ау/,1х~к-хк3о,ф]) . (17)

В последнем выражении основную функцию преобразуем следующим образом:

7 7 да £ со

- у ^ху3ой[фой]= 1хк-хк\ к {^Ф I | у (^кd{ = Еб [(^ (£)].

Х -с к

Продолжая (16), получим

(Зб [ра/]ф = (бк/,е„ [г${фол +ф„)]\ = (/,ееу [_(^)2к+1 ф])^ = е [/],(^)2к+1 ф)г

= ((Г +1 [/ ], ф)к=((Г +1Зб [/ ], ф)к.

Таким образом, при нечетных а = 2к + 1 мы получили

[ / ] = (/Р)2к+1 з„[ / ]

(18)

Зб [рВ ]/ = (^)2к+1 Ееу [/] = «)2к+1 ЗБ [/]

Теперь из (6) и (8), учитывая, что 5В [бу ] = 1, получаем (14).

Обратно. Если е е и удовлетворяет уравнению (9), то в силу (16), (18) £ удовлетворяет уравнению (13), т. е. является фундаментальным решением оператора Ь(РВ ) . Доказательство закончено.

Связь с решением однородного уравнения. Доказанная выше лемма позволила нам получить следующее утверждение, представляющее собой аналог хорошо известного классического результата о связи фундаментального решения обыкновенного дифференциального уравнения с решением соответствующего однородного уравнения. Теорема 5. Фундаментальное решение оператора Ь(РВ ) представляется в виде е(х) = 9о— (х)2 (х), где

-1, х<0,

0, х = 0,

1, х>0,

а четная функция X (х) является решением в Я^ однородного уравнения

(х) = 1 -

удовлетворяющего весовым начальным условиям

Ь ( рв ) х ( х ) = 0 (19)

Нш ху X (х) = ...= Нш хУ Рт-г2 (х)= 0, Нш ху —Вт-12 (х) = 1

х^о х^о —х

и условию ограниченности решения при х ^ да :

Нш хтРт2X (х) < да, V а < 2т.

Доказательство стандартно [5] и здесь оно не приводится. Известны частные случаи. Полигармоническое уравнение.

Рассмотрим уравнение

Лт£ =8 .

Переходя к сферическим координатам, получим

ВХ п ( ' ) = $_, ( ' ),

(20)

(

где Ву =

—2 У / —

—7 + —-

—х2 х/ —х/

V 1 J J

\

к

8п-1 - 8 -функционал Киприянова:

(ф,8у) = ^ф(х)ЛухУ—х :

ф(0)

Для простоты будем предполагать, что размерность пространства нечетная. В этом случае фундаментальное решение полигармонического уравнения имеет вид

, (г) = ю г2т-п = ю г2т-у-1 У = п -1 -'ту/ ^п,т п,т ' •

(-1)т ГI П - т где юпт =-„ ч „.....,/ , п = 2к +1.

Г (т)22т я

п/2

0

Для уравнения (20) ставим следующие весовые начальные условия

lim г"

r^Q

-Bml s =■

(21)

lim r-'DBsmn = Q,

к = 1,2,... ,2(m-1),

(22)

где

Dk = <

Dk/ 2

Bn-1 d

к = 2/,

dr

B(k-1)/2, k = 2/ +1.

Решение в образах Фурье-Бесселя совпадает с известным.

ЛИТЕРАТУРА

1. Киприянов И.А., Катрахов В.В. Об одном классе одномерных сингулярных псевдодифференциальных операторов // Мат. сборник. 1977. Т. 104. № 1. С. 49-68.

2. Киприянов И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. М.: Наука, 1997. 199 с.

3. Левитан Б.М. Операторы обобщенного сдвига и некоторые их приложения. М.: ГИФМЛ, 1962. 323 с.

4. Ляхов Л.Н., Ляхова С.Л. Общее преобразование Фурье-Бесселя и сингулярные системы уравнений Навье-Стокса // ДАН. 2004. Т. 399. № 2. С. 157-162.

5. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1967. 152 с.

6. Бохнер А.М. Лекции об интегралах Фурье. М., 1962. 360 с.

7. Ляхов Л.Н. О свертывателях и мультипликаторах классов функций, связанных с преобразованием Фурье-Бесселя // ДАН. 1998. Т. 360. № 1. С. 16-19.

1

Поступила в редакцию 6 февраля 2015 г.

Raihelgauz L.B. THE USE OF EVEN AND ODD FOURIER-BESSEL TRANSFORM TO THE STUDY OF SOME SINGULAR DIFFERENTIAL-EQUATIONS

The ordinary differential equation with singular differential operator Bessel is considered. For research of possible decisions is applied "full transformation of Fourier-Bessel", entered by I.A. Kiprijanov and V.V. Katrahov. The technique of researches is checked on known decisions of poligarmonic operator and the B-polyharmonious operator.

Key words: full transformation of Fourier-Bessel; even and odd component; singular differential equations.

Райхельгауз Леонид Борисович, Воронежский государственный университет, г. Воронеж, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры уравнений в частных производных и теории вероятностей, е-mail: jikol_85@mail.ru

Raihelgauz Leonid Borisovich, Voronezh State University, Voronezh, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Equation in Particular Derivative and Theory of Probability Point Department, e-mail: jikol_85@mail.ru