CC BY
22
УДК 519.9:532
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПРИМЕНЕНИИ ЧЕТНОГО И НЕЧЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ-БЕССЕЛЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ НЕКОТОРЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
© Л.Б. Райхельгауз
Ключевые слова: полное преобразование Фурье-Бесселя; четная и нечетная составляющая; сингулярные дифференциальные уравнения.
Рассмотрено обыкновенное дифференциальное уравнение с сингулярным дифференциальным оператором Бесселя. Для исследования возможных решений применяется «полное преобразование Фурье-Бесселя», введенное И.А. Киприяновым и В.В. Катраховым. Методика исследований проверяется на известных решениях полигармонического оператора и В-полигармонического оператора.
Известно, что при исследовании задач теории функций и дифференциальных уравнений с сингулярным дифференциальным оператором Бесселя
В =
С
2
dx
2 р +1 d
х Сх
1
Р >--
2
р с
(или оператором типа--) роль преобразований
х Сх
Фурье с успехом выполняет преобразование Фурье-Бесселя следующего вида [1-2].
ЕВ [/ (х)]0) = 7 / (х) ]р (х4) х2Р+1Сх, (1)
Обратное преобразование определяется равенством -1Г /.чп/ ч 1
¥В
■[* Ш х) =
>2 Р Г2
^ * +1)
РВ [я (хШ, (1')
В этих равенствах ядро у (х) - ^функция Бесселя, связанная с функцией Бесселя первого рода 3р (х) равенством
уР (х) :
2 Р (х)
(* +1)"
(2)
Но /-функция Бесселя - четная функция, и поэтому преобразование (1) применяется лишь для работы с четными функциями / (как косинус-преобразование Фурье.) Другое сильное ограничение для применения преобразования (1) - оно приспособлено лишь для опе-
т
раторов «четного порядка» типа Вх [3; 4]. Ситуация, когда в уравнении присутствуют «нечетные» произ-
1726
водные (например, градиент функции), не такая уж редкая, скорее наоборот, поскольку эта ситуация более общая. Мы используем введенное И.А. Киприяновым и В.В. Катраховым в работе [1] преобразование Фурье-Бесселя общего вида, ядро которого содержит «четное»
уР (х)
и «нечетное» г
2 (Р +1)
1)-V! (х)
х ) свои со-
ставляющие.
Практическое применение общего преобразования Фурье-Бесселя потребует следующие факты: обратимость общего преобразования Фурье-Бесселя в соответствующем классе весовых распределений; формулы представления дифференциальных операций в образах Фурье-Бесселя.
Общее прямое и обратное преобразование Фурье-Бесселя введем по формулам, соответственно
Г Г (х Ш) = 7 Г (х )л+ (х?)( х2 ) Р+1/2 Сх (3)
г (х)л— (хф
[/(х)](0 = —^- Г 1 (4)
В
_—1
22 Р+1 Г 2
(* +1) х (х2 ) 2 Сх,
где Л+Р = УР () + УР+1 ().
2 (Р +1)
Заметим, что здесь, в отличие от работы [1], мы ис-
1
пользуем нормирующий коэффициент —--- перед
2 (Р +1)
нечетной составляющей ядра. Это сделано для удобства работы с дифференциальными операторами.
Теорема 1 (теорема обращения [4]). Пусть / е ВР (Я+ ) . Тогда имеет место формула обращения
х
х
зв [3в [и]] = и' 3в [зв [/]] = и
(5)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для четных функций формула обращения получена И.А. Киприяновым [2]. Поэтому нам достаточно доказать формулу обращения в случае применения преобразования Фурье-Бесселя к нечетной функции. Так же, как и в [2], мы используем формулу обращения преобразования Ганкеля
7 1/2
НР [И](*)={ ((х4)Г (х) А = г (4),
(6)
На основе аналогичной теоремы Планшереля для преобразования Ганкеля [6] получена формула План-шереля-Парсеваля для полного преобразования Фурье-Бесселя
И *)р = (3в [/], Ы)р Щ -|3В [Г%р . Далее в
работе она не используется, поэтому ее доказательство в этой работе не приводим.
Дифференциальные операции с оператором Беса
селя. Введем обозначение: — = В. В этих обозначе-
ах
ния оператор Бесселя запишем следующим образом
н -1 [И] (х) = 7 (х4)1/2 Jp (х4\и (4) а4 = И (х). (7)
о
2 2 р +1 В = В +-В, р >р1/2.
В случае применения преобразования Фурье-Бесселя к нечетной функции формулу (5) рассмотрим
на основе функции . Заменим функцию Бесселя первого рода нормированной функцией Бесселя
^^^ по формуле (2), а функцию И - на функцию хр+1/2 и (х). Тогда получим
/ \
(хр+1/2И )(4} =
^р+1/2 7 2р +1 х4 2р Г (р +1) 0 х 2 (р + ^ Х
4
Х( х4) И (х) ах = И (4) .
2 Г ( р +1)
Обращая полученное равенство по формуле (7), имеем
р+1/2 7 _ р+1/2 _/ \ х 7 х4
х И (х) = 2^^) 0 2^р+1 Х
х( 4И (4)42 р+1а4.
Если предположить функцию / нечетной, то, распространяя интегрирование по всей прямой, из этого и предыдущего рассуждений получаем две формулы
И (4) =
= 2р+!Г(Р + 1) Р7 2(7+1) V1 (х4)И(х)х2^
И ( х ) =
р+1/2
Пусть / - четная по х функция, принадлежащая пространству Шварца основных функций. Тогда
з
В [ВИ](4) = р42зв [И](4); В [ви](4) = [и ](4).
(8) (9)
Действительно, для четной составляющей преобразования равенство ^ [Вf ] = -4^ [ f ] известно [2]. Но отсюда сразу вытекает равенство
3в [вИ] = -42Зв [И].
Рассмотрим нечетную составляющую в равенстве (4). Имеем
р+1/2
3В [В] = - ' 77х X jp+1 (х4) ВИ (х)(х2 ) Л
-7 2 (р + 1) ^
21 7 ( ч ( ч/ 2\р+1/2
— | Djp (х4)ВИ(х)(х2) ах.
Интегрируя по частям, получим
3В [ви] = 2 1 В (х2р+1В jp (х4)) И (х) ах. Учитывая,
что ^р+гВ(х2р+1в) = В и Вр (х4) = -42]р (x4),
получаем 3В [ВИ] = И4РВ [И] (4).
Теперь, распространяя интегрирование на (-7, +7) и добавляя нечетную составляющую преобразования 3В , получим формулу (9).
Как следствие формул (8) и (9) получаем для цело-
го числа т
2р+1 Г (р +1)-7 2 (р +1)
1 7 х4
^ V, МИ(4)4Р+Iаx, Зв И) = Зв [И
(10)
которые и представляют собой формулы нечетного преобразования Фурье-Бесселя и ее обращения. Аналогично доказывается второе из равенств (5). Доказательство закончено.
В
[ ВВти ](4)=(,4)
2 т+1
В
[ И ](4).
(11)
х
1727
Пусть В (^ ) = Е , где а„ - постоян-
4 В' а<2т а В а
ные коэффициенты и оператор задается равенством
П
В"
а = 2 т
В
С т
— В , а = 2т +1 Сх
т = 0,1,2,...
тогда из (10), (11) следует, что в образах полного преобразования Фурье-Бесселя действие этого оператора примет вид
ЛВ
[В(ПВ)/](?) = В(Фв [/М
В этой формуле заложено начало нового операционного исчисления, но оно имеет одну странную особенность. Применение этого оператора возможно только к четным функциям.
Введем весовую линейную форму
(/, я ) Р = 7 / ( х) Я ( х) х2 Р+1
Сх,
(12)
которую при необходимости будем понимать в смысле главного значения.
Через ВР () будем обозначать множество четных по переменной х функций / , для которых
, ч (2Р+1)/2 / ч
/ (х) х е ¿2 (Л) . Норму элементов в этом
равенством
( х ) х
пространстве
' ю
\\Ь
зададим
о п1/2
I2 2Р+1
х Сх
I |/ (х)
-ю
С этой нормой пространство ВР () - банахово
[2].
Теорема 2. Пусть регулярная весовая обобщенная функция / принадлежит пространству медленно растущих распределений 5 ^, а функция —-—- является
В №
мультипликатором этого пространства, тогда весовая
3В [/](?)" В (?) _
является решением уравнения В (п^ ) и = / .
Доказательство основано на непосредственной подстановке решения в последнее уравнение.
Теорема 3 [7]. Пусть Ф (Л+) - основное пространство функций с непрерывным обобщенным сдви-—1
гом, ^ и ^ - прямое и обратное преобразования Фурье-Бесселя и Т () = = ^ [ф], ф е Ф (.
-1
обобщенная функция и (х) = 3—1
( х )
Если регулярное распределение я является мультипликатором в пространстве Т (л+ ) , то распределение В 1 [я] = / - обобщенный свертыватель в пространстве Ф' (Л+ ) , и для любого распределения / е Ф'(я +) имеет место формула
(/ * /1 ),]= ВВ [ /] ВВ [./1 ].
В
В
Из теоремы 2 и из теоремы 3 вытекает следующая теорема.
Теорема 4. Пусть регулярная весовая обобщенная функция / принадлежит пространству медленно рас-
тущих распределений , а функция
1
В (?)
мультипликатором этого пространства. Тогда решение уравнения В (п^ ) и = / имеет следующее представ-виде обобщенной свертки 1
ление в
ю
(
и (х)= /3—1 [Зв [ / ]](У) ^
Л
где Т - обобщенный сдвиг:
(ТУ/ )( х) =
2 2
Г (* + 1) л / Ы х2 + У2 - 2хусо8а -v / V
Г(* + 1/2)Г(1/2) 0 . 2Р
4 ' х ' х Я1П г
( У) У7 СУ,
) С а
х 81п а
ОБЫКНОВЕННЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пусть 5еу (л ) - основное пространство функций, состоящих из четных функций пространства Л. Шварца. Через 5(/у обозначим соответствующее весовой линейной форме (12) множество обобщенных функций над 5е у . Пусть 87 - весовое распределение Дирака, действующее по формуле
(8 ф)= | 87(х) ф (х) х2Р+1Сх = ф (о) .
^ 7 ' —ю 7
Фундаментальным решением оператора В (и^) называется весовое распределение е (х), удовлетворяющее уравнению
В (ПВ) е = 8,
(13)
т. е. для любого ф , принадлежащего 5еу (^), выполнено равенство
(В (ПВ )е,ф)7 =Ф( о) .
1728
Лемма 1. Для того чтобы обобщенная функция и = е е была фундаментальным решением оператора Ь (В^ ), необходимо и достаточно, чтобы ее четное преобразование Фурье-Бесселя удовлетворяло уравнению
L№FB И(0 =
(14)
где
L (£) = Е аа?
ЛИТЕРАТУРА
1. Киприянов И.А., Катрахов В.В. Об одном классе одномерных сингулярных псевдодифференциальных операторов // Мат. сборник. 1977. Т. 104. № 1. С. 49-68.
2. Киприянов И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. М.: Наука, 1997. 199 с.
3. Левитан Б.М. Операторы обобщенного сдвига и некоторые их приложения. М.: ГИФМЛ, 1962. 323 ^
4. Ляхов Л.Н., Ляхова С.Л. Общее преобразование Фурье-Бесселя и сингулярные системы уравнений Навье-Стокса // ДАН. 2004. Т. 399. № 2. С. 157-162.
5. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1967. 152 c.
6. Бохнер А.М. Лекции об интегралах Фурье. М.: ГИФМЛ, 1962. 360 c.
7. Ляхов Л.Н. О свертывателях и мультипликаторах классов функций, связанных с преобразованием Фурье-Бесселя // ДАН. 1998. Т. 360. № 1.
Поступила в редакцию 22 июня 2015 г.
Raihelgauz L.B. INFORMATION ABOUT USE OF EVEN AND ODD TRANSFORMATION OF FOURIER-BESSEL TO STUDY SOME SINGULAR DIFFERENTIAL EQUATION
The ordinary differential equation with singular differential operator of Bessel is considered. To research possible decisions "full transformation of Fourier-Bessel" introduced by I.A. Ki-priyanov and V.V. Katrakhov is applied. The methods of researches is checked on known decisions of poligarmonic operator and the B-polyharmonious operator.
Key words: full transformation of Fourier-Bessel; even and odd component; singular differential equations.
a=0
Райхельгауз Леонид Борисович, Воронежский государственный университет, г. Воронеж, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры уравнений в частных производных и теории вероятностей, е-mail: [email protected]
Raihelgauz Leonid Borisovich, Voronezh State University, Voronezh, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Equation in Particular Derivative and Theory of Probability Point Department, e-mail: [email protected]
1729
