О существовании и единственности классического решения смешанной задачи для сингулярного гиперболического уравнения, содержащего оператор Бесселя Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958

О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ КЛАССИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩЕГО ОПЕРАТОР БЕССЕЛЯ

© А.А. Катрахова, А.Ю. Сазонов, Ю.Г. Фомичева

Ключевые слова: оператор Бесселя; гиперболический оператор; сингулярный оператор.

В ограниченной области рассматривается смешанная задача для сингулярного гиперболического уравнения, содержащего оператор Бесселя. Получены достаточные условия на границу области, начальные функции и правую часть этого уравнения, при которых существует единственное классическое решение данной задачи, и к ее решению применим классический метод Фурье.

Пусть И,++1 = {х е Лга+1 : х = (ж1,..., хп, у) = (ж', у), ж' е И”-, у > 0, у € И,},

0+- произвольная область пространства И++1, ограниченная гиперплоскостью Г0 : у = 0 и произвольной поверхностью типа Ляпунова Г+ , ^+ — цилиндр в пространстве И++1 : д+ = 0+ х [0, Т].

В цилиндре рассматривается краевая задача

д 2 и

да - Ри = (1)

. ди

и|,-° = ^, ж

І-0

. . ди

= ^, и|Г+х[0, Т] =0, —

= 0, (2)

Г0х [0, Т]

где ^(х),^(х)- заданные функции, /(х,^- функция, заданная в цилиндре ф+; х € П+, I е [0, Т];

п д2 д2 - д

р^, ) = £ ^дхтдх- + ЪВу + c, Бу = ^2 + -^ - > 0 с < 0. (3)

*,■—1

Предполагается, что Р(Дх, Бу)— оператор Б -эллиптического типа ([1]): существует 5 > 0, такое, что для любого д = (51,..., 5^+1), |д| =0, имеет место неравенство

П

^2 ац+ &5П+1 ^ аЧ = ■ (4)

*,■—1

Для равномерно эллиптического оператора Р(Дх, Бу), (- = 0), обоснованию метода Фурье посвящено большое количество работ. Полные исследования, содержатся в работах [2] и [3], при этом наиболее общие результаты получены В.А. Ильиным. В работах [4-6] достаточно полно исследована задача Коши для волнового уравнения, имеющего особенности вида (3) как по времени, так и по пространственным переменным. В данной статье получены достаточные условия на границу области, начальные функции и правую часть уравнения (1), при которых существует единственное классическое решение смешанной задачи (1)-(2), и к этой задаче применим классический метод Фурье.

Общее решение задачи (1)—(2) представимо рядом Фурье:

(x,t) = vp(x)

p—l

t

/ф 1 f

^p cos /Л^ + —ф= sin /Л^ + -y= fp(т) sin /лр^ - т)dr

\ ЛP л/ ЛP ./

,pu I ___ I ^^uy/vp^

lp V ЛP 0

(5)

где (ж) — собственные функции, а Ар— соответствующие собственные значения краевой

задачи:

д^

Р-и + А-и = 0, ж е П+, -и|г+ = 0, —

ду

= О, (б)

г0

через <^p, фp и fp(т) обозначены коэффициенты Фурье разложения функций <^(x), ф^) и f (x, t) в ряд по системе собственных функций {vp(x)}, (p = 1, 2,...).

Л е м м а 1. Пусть функции Gl(x^) и G2(x,^ определены и непрерывны по совокупности переменных x, С Є П+, С = (Сі, ..., Сп, п) = (С7, п), С = x, и таковы, что

при у, п ^ О Gl(x, С) < Cl--“-fc, G2(x, С) < C2--f-fc, (7)

при у, п > О Gl(x,С) ^ C3--?“, G2(x,0 ^ C4r-?e, (В)

где rxg = |x — С|, Ci = const > О, i = 1, 4, О ^ а < n + 1 и О ^ в < n + 1.

Тогда функция

G3(x,z) = y Gl(x,С)G2(С,z)пfcЙС (9)

п+

непрерывна по совокупности переменных x Є П+, z Є П+, x = z, z = (zl,...,zn,Z) = (z7, Z) и удовлетворяет следующим оценкам:

• если а + в + k>n + 1, то G3(x, z) ^ C^Xz-1-0-в-к при у, Z ^ О;

G3(x,z) < Ce(yZ)-k-nz+1-a-e при y,Z > О,

где C5 и Co - некоторые положительные постоянные, не зависящие от переменных x, z;

• если а + в + k<n + 1, то функция G3(x,^ равномерно непрерывна в замкнутой области Q+.

Доказательство. Пусть у = О, Z = О. Тогда, в силу условия (7), имеем

G3(x,z) < / ' пк(10)

П+ -x,« -«>z

В этом случае точки x и z лежат на Г0. Зафиксируем точки x и z на Г0. Обозначим через p расстояние между ними. Пусть точка т — середина отрезка xz, U+ (т)— пересечение шара радиуса p с центром в точке т с областью Q+. Разобьем область U+ (т) на две части плоскостью, проходящей через точку т перпендикулярно к отрезку xz. Ту часть U+ (т), в которой лежит точка x, обозначим через Q+(x), а другую часть - через Q+(z). Интеграл, стоящий в правой части (10), распадается в сумму трех интегралов:

і C5 Co ^ f C5 Co f C5 Co f C5 Co ^ /11Л

„a+fc ' в+k п ЙС —a-|-fc ' в+k п ЙС + —a-|-fc ' в+k п ^С + „a+fc ' в+k п (11)

-жТ ^ -ж-- -в"Г ./ -ж-+ -в- .У r^T

П+ x’« 5’z n+-U+(r) ^ 5,z n+(x) x’« 5’z n+(z) x’« 5’z

Каждый из них оценим отдельно. Сначала оценим интеграл

7 f C5 Сб ^

Jl I r«+fc • re+fcn

Q+-U+(t) J,Z

Обозначим через K+r(t) часть концентрического кольца с центром в точке т и радиусами, соответственно равными р и R, где R- диаметр области Q+, р = const > 0. Тогда получим

С5 Се

' < г«+к ^ Гв-НкП (12)

*+; (т) ^ ^

По построению гтх = гтг = 2. Вместе с тем любая точка £ множества К+д(т) лежит вне области и+(т) и поэтому для нее выполняются неравенства: гж^ ^ р, Г^ ^ 2• Отсюда следует, что гтх < Гж^, гтг < Гж^ • Учитывая неравенство треугольника гт^ < гтх + Гж^,

Гт5 < Гтг + , получим < 2^, Г^ < 2г^ •

При у = 0, ( = 0, п < Гж^, п < , следовательно

пк 1 2а 1 2в+к , Л

_____ < _____ < ___ _______ < ___ (13)

^а+к га га , в+к ^ в+к • ^ *

Г*,+ Гх,« Гг,« Гв+ <,+

Подставляя правые части (13) в неравенство (12), получим оценку ' при а + в + к > п + 1 :

я

'1 < 2а+в+к у С+С+к ^ = 2а+в+кС'бС'б|5+^ гп-а-в-к^г =

r

KP+R(r)

= 2a+e+kC5C6|S+^ 1_1 \ < 2a+e+kC5C6IS+ рП+1-а-в-к

а + в + k - n - 1\p«+e+k-n-1 R«+e+fc-n-^ а + в + k - n - 1Р ,

где | S+1 — площадь поверхности (n + 1)- мерной полусферы единичного радиуса. Учитывая, что для любой точки £ £ Q+(x) выполнены неравенства rzj ^ р, n < rxj, оцениваем

второй интеграл J2 = / —+г • e+, nkв равенстве (11) следующим образом:

П+(х) Га+ r£+

^ < C5Ce2e+k Г < 2e+kC5C6IS+I Г = 2e+kС5С6|S+| ^ T ra-a d =

2 < pe+k J r^j pe+k J r^j pe+k J r r

n+(x) U2+p(x) 0

2n+fe+e+1-QCC I S +1

= 2_________C5 C6|S1 1 p„+i-a-e-fc

n + 1 - а ’

Аналогично, для третьего интеграла в формуле (11) получаем оценку

т f С5 С6 ^ ^ 2п+к+1+а-вC5C6IS+I n+1-a-e-k

J3 = nk <--------л-----Д----- Р *.

J г“+ re+k n + 1 - в

n+(z) jz

Подставив полученные оценки интегралов J1, J2, J3 в равенство (11), получим, что при а + в + k>n +1 функция G3 (ж, z) удовлетворяет следующим неравенствам:

G3(x, z) < C7rn.+1-“-e-fc, С7 = const > 0, если y, Z ^ 0,

Сз(ж, г) < С8(у() 2 ГП+1 а в, С8 = сош£ > 0, если у,(> 0.

Аналогичные оценки для функции Сз(ж, г) получаем при а + в + к<п + 1.

Докажем, что функция Сз(ж, г) равномерно непрерывна в замкнутой области 0+ по совокупности переменных ж, г. Для этого достаточно показать, что для любого е > 0 существует 5 > 0 такое, что для Уж, ж, г, г е 0+, удовлетворяющих условию |ж — ж| < 5, |г — ж| < 5, выполняется неравенство |Сз(ж, г) — Сз(ж, ж)| < е.

Действительно,

следовательно, они равномерно непрерывны на любом замкнутом подмножестве множества 0+, не содержащем точек, для которых ж = £.

Пусть а + в + к>п + 1. Зафиксируем произвольные достаточно близкие точки ж и ж, г и г е 0+. Обозначим через Цр(ж), Цр(ж), Цр(г), Цр (г) достаточно малые окрестности этих точек. Оба интеграла правой части неравенства (14), взятые по множествам Цр(ж), Цр(ж), Цр(г), Цр(г), становятся сколь угодно малыми, если р ^ 0. Из условий (7) следует, что при достаточной близости точек ж и ж, г и г оба интеграла в (14), вычисленные по множествам, 0 — Цр(ж) — и (ж) и 0 — Цр(г) — и (г) , также сколь угодно малы. Поскольку каждый из интегралов неравенства (14) распадается в сумму интегралов по областям Цр(ж), ир(ж), ир(г), Цр(г), 0+ — Цр(ж) —Ц (ж), 0+ — Цр(г) —Ц (г), то отсюда следует доказываемое утверждение.

Если а + в + к <п +1, то при р ^ 0 интегралы неравенства (14), взятые по множествам Цр(ж), Цр(ж), Цр(г), Цр(г), стремятся к нулю равномерно. Поэтому, правая часть неравенства (14) сколь угодно мала не только при достаточной близости точек ж и ж, г и г в области 0+, но и при совпадении точек ж и ж, г и г. □

В работах [7-9] доказано, что существует неубывающая последовательность собственных значений 0 < А1 < ... < А^- < ... и последовательность соответствующих им собственных функций (ж), четных по переменной у, непрерывно дифференцируемых в 0+ сколь угодное число раз.

Обозначим через Р2,к(0+) пространство функций, квадратично суммируемых по области 0+ свесом ук, в котором введена естественная норма. Система функций г^- (ж) плотна в пространстве Р2,к(0+) .

Л е м м а 2. Билинейный ряд вида

где [7] целая часть числа 7, сходится равномерно во всей замкнутой области 0+ . Доказательство. Пусть Р (ж, £) — функция Грина (см. [9, 10]) задачи:

|Сз(ж,г) — Сз(ж,ж)| < |Сз(ж,г) — Сз(ж, г)| + |Сз(ж,г) — Сз(ж,ж)| < (14)

< I |С1(ж,£) — С1(г,е)|-|С2(£,г)|пк^е + I |С1(ж,£)|.|С2(£,ж) — С2(£, г)|пЧ.

По условию леммы при ж = £ функции С1(ж,£) и С2(ж,£) непрерывны в области 0+,

(15)

р=1

(16)

Функция Р(ж, £) имеет следующие оценки:

Р(ж,£) < С1г1 п к при у, п ^ 0, Р(ж,£) < С1г1 п при у,п> 0,

(17)

где С1 — некоторая положительная константа.

Используя лемму 1 и метод математической индукции, для I -го повторного ядра

£}(ж,г) = У Т)-1(ж,£)Р(£,г)п^£ (18)

п+

получим следующие оценки:

Т)(ж,£) ^ С^-™-*-1 при у,п > 0, Т)(ж,£) ^ С2гХ-п-1 при у,п> 0, (19)

где положительные константы С и С2 не зависят от ж и £ .

Кроме того, лемма 1 позволяет сделать заключение, что ядро рп+к+1 ]+1 (ж, £) равномерно

непрерывно по совокупности переменных ж и £ во всей замкнутой области 0+ .

Поскольку ядро рп+к+1 ]+1 (ж, £) является симметрической положительно определенной функцией, то, по теореме Мерсера, это ядро представимо в виде ряда, абсолютно и равномерно сходящегося в области 0+ :

р[П++1 ] + 1(ж,£)=^ Л- 2 ] ^(ж)^'(£)- (20)

2

/=1

При £ = ж отсюда следует равномерная сходимость ряда (15) в области 0+ . □

Пусть 0+ произвольная подобласть области 0+, прилегающая к гиперплоскости Г0. Л е м м а 3. Билинейные ряды

£ (^ У л-[ *±к±1]-2, I: ()2 л-[ £ (В, »Р(ж))2л;[ “^Ь3, (21)

р=1 1 р=1 1 3 р=1

(г,_7 = 1,..., п), составленные из первых и вторых частных производных собственных функций краевой задачи (6), сходятся равномерно в произвольной строго внутренней замкнутой подобласти 0+, прилегающей к гиперплоскости у = 0, 0+ С 0+.

Доказательство. Докажем равномерную сходимость второго ряда (21) при У = 0.

Пусть [”+:+1] нечетное число. Записав формулу (18) при I = 2 ([га+^+1] + 3) , получим

([ ”+к+1 ]+з)(ж,2:) = У Р (ж,£)^1 ([ ”+к+1 ]+1)(£,^)пй^£. (22)

п+

Найдем порядок подынтегральной функции в формуле (22). Пусть (ж;, 0) € Г С Г0 и (г7, £) € 0+ , £ > 0. Из области 0+ вырежем точки ж и г полушаром Ц+(ж) и шаром ие(г) радиуса е > 0 с центрами в точках ж и г соответственно; причем е > 0 таково, что и+(ж) и ие(г) не имеют общих точек. Тогда интеграл в (22) распадается в сумму трех интегралов 71 , 72 , 7з по областям 0+ — Ц+(ж) — ие(г) , Ц+(ж) и и£(г) соответственно, каждый из которых оценим отдельно. Для первого из них имеем

71(ж,г)= I Р (ж,£)Рх ([ п+к+1 ]+1)(£,г)пй й£. (23)

П+-и+ (х)-и£(г)

Точка ж лежит вне области интегрирования и, следовательно, производную ^ ^ можно

дж^дж-/

вычислять под знаком интеграла. Формулы (17) и (23) приводят к следующей оценке:

д 2 71

дж^дж/

к

< С ^е[]-«-^^с2г-га-к-1гга+к= С ^е[п++ ]-п-к-^ ,

где К - диаметр области 0+ , а 5 - любое положительное число. Аналогично оценивается производная от третьего интеграла (22):

в

^.„-”-*-1 /V _[]-п-1гп+1йг = Се[]-”-*:-

<С1е-”-к-1/' С2Г[ ]-га-1гга+1^г = Се[ ]-”-*-1. (24)

дж^дж/ У

0

Второй интеграл в (22) представляет собой объемный потенциал с плотностью

Р(£) = ([ п + к + 1 (25)

взятый по части шара Ц+(ж) . Поскольку Ц+(ж) лежит в некоторой строго внутренней подобласти 0+ области 0+ , то плотность р(£) и ее первые производные по переменным £ непрерывны по совокупности переменных £ € и+(ж) , г € 0+ , £ = г . Учитывая оценку

4 П ([ <Се[ п±к+]—‘-1 (2б)

и формулу Лагранжа для р(£) , имеем

р(£) — р(ж) < е[^]-”-^-1 Сгж?. (27)

В силу свойств объемного потенциала [12], производная вида ^ от второго интеграла

дж^дж/

(22) вычисляется по формуле

д^1(Р(£) — Р(ж))^^£ + Р(ж) [ (28)

и+(х) 5+(я)

где 5+(ж) = ди+ (ж).

Из (27) следует, что подынтегральное выражение первого слагаемого в (28) имеет порядок

е[]-”-^-1 о (г-”-1) . (29)

Кроме того, из (25) находим, что

р(ж) = О (е[]-п-й-1) . (30)

Из (27), (28) и (30) получаем следующую оценку производной рассматриваемого интеграла:

-7- = о (е[п±1±1 ]-»-*-1-а) . (31)

дж^дж/ V /

С учетом найденных оценок интегралов 71 , 72 , 7з видим, что, интеграл в левой части формулы (22) оценивается следующим образом:

(п ([ п+^+з)^))=о рт-*-1-*), (32)

где 5 - любое положительное число. При этом функция, стоящая в левой части (32), непрерывна по совокупности переменных ж € 0+, г € 0+, ж = г .

Оценка (32) и лемма 1 показывают, что функция

Р(ж) = / (аХк;Р2([)) М

п+

(33)

равномерно непрерывна в замкнутой области 01+ . Согласно равенству Парсеваля, имеем

Р (ж) = £

д%(ж)^2 ^ д-([п++]+з)

1 V <9жг<9ж,- )

(34)

Из ограниченности и равномерной непрерывности функции (33), непрерывности вторых производных собственных функций (ж) и теоремы Дини следует равномерная сходимость

ряда (21) в области 0+.

п + к + 1

четное число, редуцируется к предыдущему случаю так же,

Случай, когда

2

как и в классическом случае. Тем самым устанавливается сходимость ряда (21) в области 0+.

Докажем равномерную сходимость первого из рядов (20) в произвольной строго внутренней замкнутой подобласти 0+ области 0+. При этом достаточно рассмотреть случай, когда число [п+тг+1] четно.

Для повторного ядра Рі [п+2+і]ц(ж,£) справедливо представление:

Рі[п+к+1 ]|1(ж,г)^у Р(ж,£)Рі[п+к+1 ](£,^)пкй£. п+

(35)

Продифференцируем обе части равенства (35) по ж^. Дифференцирование в правой части (35) можно произвести под знаком интеграла, поскольку интеграл, полученный формальным дифференцированием, сходится равномерно для всех ж = г. Имеем

(36)

п+

В окрестности точек ж = £ для функции Грина Р(ж,£) справедливы оценки (17) и

(19) повторного ядра. При I = —

п + к + 1 2

из леммы 1 следует равномерная сходимость

интеграла (36), а также оценки этого интеграла:

д

дж»

_д_

дж.

п+2+]-„-к-1 при у ^ 0,

(Рі [ п+к+і ]+1(ж,г^ = 0(г[]-п-к-1

- ^Рі [п+к+і]+1(ж, г^= 0(г[ +2+ ]-п-1 при у> 0.

(37)

(38)

Функции, стоящие в левых частях (37) и (38), непрерывны по совокупности переменных ж и £, ж = £.

Снова применяя лемму 1 к функции —— (Р1 [п+к+1 ]|1(ж,гп при условии а = в =

дж^ V А 2 1+1 )

п+к+1

— п — 1, получим равномерную непрерывность по ж функции

3(ж) = I

п+

д

дж»

Рі [п+2+і ]+1(ж,£)

(39)

2

в замкнутой подобласти 0+ . Следовательно, интеграл (39) ограничен в 0+ .

Зафиксируем произвольную точку х € 0+ и запишем равенство Парсеваля для функции, стоящей в левой части равенства (36). Имеем:

£

р=1

дУр(х)

дх*

-[=+1+!]-2 Лр

п+

д

дх*

! [=+1+1 ]+1

(х,0

Пк = ■] (х).

(40)

Ограниченность функции (39) доказывает сходимость ряда, стоящего в левой части формулы (40) для любой точки х € 0+ . Поскольку первые производные собственных функций ■ир(х) и функция (39) непрерывны в замкнутой подобласти 0+ , то, согласно теореме Дини, ряд, стоящий в левой части (40), сходится равномерно в любой замкнутой подобласти 0+

области 0+. ___

Аналогично устанавливается равномерная сходимость в области 0+ третьего ряда (21). Пусть а = («!,..., ап+1) = (а;,ага+1), где все а* - целые неотрицательные числа,

д

|а| = а1 + ... + ап + ап+1, Ах = Аж' = (А^ , . . . , Ажп).

Через С+ (0+и Г0) , (в = 0,1,..., те) обозначим множество функций в раз непрерывно дифференцируемых в 0+и Г0, четных по переменной у .

Замыкание множества С+ (0+ У Г0) по норме

к,+

, 9ап+!и Х' (уду)«"+!

ук + 2«П+! ^х

(41)

= / |и|2 ук^х + £ /

п+ Н=«П+

обозначим Нк+(0+) (см. [13, 14]).

О

Положим Н° + (0+) = Ь2,й(0+) . Замыкание подмножества С+ (0+ У Г0) функций, при

О

надлежащих С+ (0+ У Г0) , равных нулю вблизи Г+ , обозначим через Н ^,+(0+) .

О

Л е м м а 4. Для любой функции Ф(х) € Н ^,+ (0+) справедливо неравенство:

^Рлр

р=1 п+

£ а

*,^=1

дФ дФ

7 дх* дх7- ’ " V ду

+ М д^ I - сФ

ук ^х,

(42)

где Фр — коэффициент Фурье разложения функции Ф(х) в ряд Фурье по системе обобщенных собственных функций |^р(х)} .

Числовой ряд, стоящий в левой части (42), сходится.

Доказательство. По определению обобщенной собственной функции ^р(х) для

О

любой Ф(х) € Н 1д.,+(0+) имеем тождество:

п+

£ а

*,.7 = 1

д-ир д Ф ,

р + Ь

дФ\2_

сирФ

ук ^х = Лр/Ф^рук ^х = ЛрФр.

(43)

п+

Полагая Ф(х) = эд(х) в последнем тождестве, получим:

д-ир д-иг д-ир д-иг

£а

*,7=1

+ Ь-^г^-----с^р^г

(44)

2

2

В силу неравенства (4) следующая величина неотрицательна для конечного фиксированного р0 :

п+

д

£ а

*,і=і

Ро

Ф - ^ Ф

Р=1

д

Ро

Ф — Фр^р | +

Р=1

Ро

Ро

— С

ук> 0.

Ф -£ фр^

р=1

Упростив левую часть этого неравенства и учитывая (43) и (44), имеем

+ і ду (ф—р=; фр

п+

А дФ дФ , /дФ\2 о

джі — СФ

і,, = 1

Ро

ук^ж — £ Ф°Лр > 0

р=1

Переходя в этом неравенстве к пределу при р0 ^ те, получим неравенство Бесселя (42). □

Л е м м а 5. Если р Є Н ^,+ (0+), ф Є Н + (0+)

то

Если ф Є Н|,(0+), то

/ др к [ дф к

у дж:фу = — / рдж;у

п+ п+

/ ||ук йж = — / РВУ фук

п+ п+

(45)

(46)

Доказательство. Докажем равенство (46). По определению пространства

О

Н 1^,+ (0+) существует последовательность непрерывно дифференцируемых функций р^, равных нулю вблизи Г+ , сходящихся по норме пространства Н^ +(0+) к функции р . Для каждой функции р^ из этой последовательности имеем

дфук^ж = — [ ргВуфукйж

(47)

п+ п+

Согласно неравенству Коши - Буняковского,

п+

^ ^ фук йж «

ду ду /

дрг др

ду ду

ф2 ук^ж,

Я1,+(П+)

п+

(рг — р) Вуфук^ж ^

п+

дрг др

ду ду

• / (Вуф)2 ук^ж ^ 0

Я1+(П+) ^

к,+( ) п+

(48)

(49)

при 5 ^ 0. Переходя к пределу в равенстве (47) и неравенствах (48) и (49) при 5 ^ 0, получим формулу (46).

Таким же образом доказывается равенство (45). □

О

Л е м м а 6. Для любой функции Е(ж) Є Н ^,+ (0+) и обладающей обобщенными производными второго порядка, квадратично суммируемыми с весом, ук по 0+, справедливо неравенство вида:

ГО г

2к

£ ^Рл2 < / (рН)2укйж.

р=1 п+

(50)

2

2

Числовой ряд, стоящий в левой части неравенства (50), сходится.

Доказательство. Для любой функции Е(х) , удовлетворяющей условиям леммы 6 , справедливо тождество (43). Производя в этом тождестве интегрирование по частям, с

дх*

помощью формул (45) и (46), в которых полагаем р = -иР, ф = а,——, получим

- У ^рРНук^х = Лр J Н^рук^х = ЛрНр. п+ п+

Или

— (Р^)р = Лр^р. (51)

Здесь (РЕ)р обозначает коэффициент Фурье функции РЕ(х) . Записывая для функции РЕ(х) неравенство Бесселя и учитывая равенство (51), получим неравенство (50). □

Л е м м а 7. Пусть функция Ф € Нк++ (0+) удовлетворяет условию: функции Ф,

РФ,..., Р[2]Ф принадлежат пространству Н 1к,+ (0+) .

Тогда для функции Ф справедливы неравенства: при четном в

ГО

ЕфРЛР+‘ « /

Р=‘ П +

при нечетном в

£ дж: (р 2 ф) д, (р § ф)+ь (р 2 ф)Р—С (р § Ф)2

г,,=1

ук^ж, (52)

го

РР

Р=1 п+

Числовые 'ряды, стоящие в левых частях (52) и (53), сходятся.

Доказательство. Для нечетного в лемма 7 доказывается последовательным

5 — 1

применением леммы 6 к функциям Ф, РФ, ■ ■ ■ , Рф.

При четном в лемма 7 доказывается применением леммы 6 к функциям Ф,

5 — 2 5

РФ, . . . , Р 2 Ф и применением леммы 4 к функции Р 2 Ф. □

Л е м м а 8. Пусть коэффициенты оператора Р(Дх/, ), начальные функции р(ж),

ф(ж) и правая часть /(ж, і) уравнения (1) удовлетворяют следующим требованиям:

1) коэффициенты а, и Ь оператора Р(Дх, ) удовлетворяют условию В-

эллиптичности (4) и условию с ^ 0 в замкнутой области 0+ ;

[* + 2 + 1 ]+з [* + 2 + 1 ] +2 гп + к + 51

2) р Є Нк +2 (0+), ф Є Нк +2 (0+), функции р , Рр,..., Р[ к ]р , ф ,

Рф,..., Р[ +4+ ]ф принадлежат пространству Н 1к,+ (0+);

к+

3) / Є Н+2 ]+ (От), функции / , Р/,..., Р[ +4+ ]/ принадлежат пространству

к,+

#\+(Ог) .

Тогда сходятся числовые ряды

т

£ £ фРлР“^]+2. £ / /р2(т^Р*^2 (54)

Р Р Р Р Р

Р=1 Р=1 Р=1

Доказательство. Поскольку условиям леммы 7 удовлетворяют функции р(х)

при в =

п + к + 1

Т

+ 2 и ф(х) при в =

п + к + 1

т

+ 1 , то сходимость первых двух рядов

(54) непосредственно следует из упомянутой леммы.

Сходимость ряда Е /»(т)Л;

СО |~ п + к + 1 ]+2

р=1

т. к. функция /(х, £) удовлетворяет условиям леммы 7 при в = тельно, существует интеграл

т ^

~ [п+к+! ]+2

для почти всех т € [0, Т] тоже следует из леммы 7,

п + к + 1

2

+ 2 . Следова-

£/2(т )Лр

^т.

р=1

Из теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега вытекает сходимость третьего из рядов (54). □

Л е м м а 9. Пусть /(х, £) удовлетворяет условиям леммы 8. Тогда ряд

£ /7 № V (х) 7=1

сходится равномерно в ^т .

Доказательство. В силу леммы 7 при в =

(55)

п + к + 1 2

ОО [ п + к+! ]+1

ряд Е /2(£)л7 2 ]+

7=1

сходится для почти всех £ € [0, Т] , и, в частности, для некоторого £0 € [0, Т] . Применяя к ряду (55) неравенство Коши - Буняковского, имеем

£|/7 (£К(х)| 7=1

£ /72(£)Л7

7=1

1>2(х)Л-

7=1

Учитывая равномерную сходимость ряда (15) в 0+, получим сходимость почти всюду в [0, Т] ряда (55) (в частности, и для некоторого £0 € [0, Т] ). Так как для почти всех £ € [0, Т]

функция /*(х,£) при в = —+ +— удовлетворяет условиям леммы 8, то из теоремы о

предельном переходе под знаком интеграла Лебега следует сходимость ряда

~ т

£ / Р72(т)^Л7 7=1 0

(56)

где р(£) - коэффициент Фурье функции Д(х,£) . Из сходимости ряда (56), равномерной сходимости в 0+ ряда (15) и неравенства Коши - Буняковского следует равномерная сходимость в

0+

ряда

т

(57)

Пусть ф(£) - некоторая функция, непрерывно дифференцируемая на [0, Т] , равная нулю вблизи точек £ = 0, £ = Т. Пусть 7(х) последовательность непрерывно дифференцируемых в 0+ функций, четных по переменной у, равных нулю вблизи Г+, сходящихся в норме пространства Н^(0+) к собственной функции ^р(х) . Тогда для ф(х, £) =

ф(£) ■ 17-р(х) € С 1(^т) справедливо тождество

т т

J J /(х, £)^7р(х)ук^х^£ = J У /*(х,£>7р(х)ф(£)ук^Ы£.

п+ 0 п+ 0

Применяя теорему Фубини и переходя к пределу при р ^ те, получим равенство

т _ т

, #(£)

Л(£)^- й£ = Р (£)ф(£)^£.

Следовательно, функция р (£) является обобщенной производной функции /7(£) на отрезке [0,Т] . Поскольку /7(£) непрерывна на [0,Т] , то справедлива формула

Со

или

с

У Р7(т)йт = /7(£) - /7(£0)

с

О О О

£ /7(£)17(х) - £ /7(£0)-17(х) = £ V(х) / Р7(т)йт 7=1 7=1 7=1 СО

В силу равномерной сходимости ряда (57) отсюда следует равномерная сходимость ряда (55) в области ^т. □

Л е м м а 10. Пусть коэффициенты а*7-, Ь*, с оператора Р(Аж/, Ву) удовлетворяют, условиям В-эллиптичности (4) и условию с ^ 0 . Пусть /(х) € (7(0,^(0+), С(х, £) -главное фундаментальное решение оператора Р(Аж/, Ву/) и р(х) = / С(х, £)/(£)пк^х .

п+

Для того чтобы функция 1(х) была обобщенным решением задачи Дирихле

О

Р(Аж/,Ву)1 = —/, х € 0+,1 € Н 1к,+ , (58)

необходимо и достаточно, чтобы функция и(х) = 1(х) — р(х) была обобщенным решением краевой задачи:

О

Ри = 0, х € 0+, (и + р) € Н1 к,+, (59)

Доказательство. Обобщенным решением краевой задачи (58) называется такая функция 1)0 (х), которая доставляет минимум функционалу

п+

^ д1 д1 / д1 \2 2 дх* ах; + ЬЫ — с1 — /1

*,7=1

ук^х (60)

в пространстве функций 1 € Н 1к,+ .

Данному определению эквивалентно следующее определение: обобщенным решением

О

краевой задачи (58) называется такая функция 10 € Н1 к,+ , которая для любой функции

О

ф € Н 1к,+ удовлетворяет интегральному тождеству

п+

тА д10 дф д10 дф

/Ь а7Ъ—+ Ь^Г1Г — с10ф — 2/ф дх* дх7 ду ду *,7=1

ук ^х = 0. (61)

Пусть 1(х) - произвольная функция из пространства Н 1к,+ . Рассмотрим последовательность {1р(х)} функций 1р(х) , непрерывных и непрерывно дифференцируемых в области 0+ , четных по переменной у , равных нулю в окрестности Г+ , таких, что Иш ||1р(х) — 1(х)|| о =0 .

р^° Н !к,+

На основании первой формулы Грина для каждой 1р(х) имеем

■иРРру ^ж +

п+

п+

£

д-иР др и д-иР др

+ Ь

*7 дж* дж7- ' " ду ду і,,=1 ■'

стРр

ук ^ж = 0.

(62)

Так как /(х) € С(0,^(0+) , (^ > 0 ), р(х) € Н^+(0+) , то в формуле (62) можно перейти к пределу при р ^ те под знаком интеграла. Откуда, учитывая, что Рр = — /, получим

п+

£

*,.7 = 1

ди др , д-и др а*7-——------+ Ь——----сир — /р

*7 дж* дж, ду ду

у ^ж = 0.

(63)

Запишем легко проверяемое тождество:

п+

5-'а*7 дж* дж, ' " V ду У

*,.7=1 ^

си

ук ^ж =

п+

*,7=1

дж* дж, \ ду

/д^\2 р

— — СЇГ—

си2— 2/и

ук ^ж+

+

п+

^ др др / др \ 2

дж* дт+М^) — ср2

*,7=1

* ^7

ду

ук ^ж—

(64)

2

п+

£

ди др , ди др а*7 ^—т;------------------+ Ь——-сир — /V

*,7

7 дж* дж, ду ду

ук ^ж,

где, как и выше, и(х) = 1(х) — р(х) € Нк+(0+) , 1(х) € Н 1к,+ (0+).

Как при доказательстве необходимости условия леммы, так и при доказательстве его

О

достаточности, считаем, что функция 1 € Н 1к,+ (0+) . Поэтому из формул (63)-(64) получим

п+

£

*,7=1

ди ди , / ди \ 2

а*7^---------------+ Ь — — си

*7 дж* дж

*7

ду

ук ^ж =

п+

Е

*,7=1

д-и д-и / ди \2 2

а*7 дж дж7 + 4%) — си— 2/*

ук ^ж+|

+

п+

п др др / др \2 2 а*7 дж* дж7 + — ср

*,7=1

£

ук ^ж.

(65)

В силу того, что /(х) и р(х) являются фиксированными функциями, из последнего тождества вытекает, что минимумы функционалов, отвечающие задачам (58)-(59) и (60)-(61), достигаются одновременно. □

Л е м м а 11. Пусть коэффициенты оператора Р удовлетворяют требованиям леммы 10 и / (х) € С(°^)(0+) .

Тогда классическое решение задачи Дирихле

Р1 = —/(х), х € 0+,

. д1

1|г+ =0, г ду

0,

г0

(66)

(67)

почти всюду в области 0+ совпадает с обобщенным решением этой задачи.

Доказательство. Обозначим через 1кл - классическое решение и, соответственно, через 1об - обобщенное решение задачи (66)-(67).

О

Представим произвольную функцию р(х) € Н 1к,+(0+) как предел в норме пространО

ства Н 1к,+ (0+) последовательности непрерывных и непрерывно дифференцируемых в области 0+ функций фр(х) , четных по переменной у , равных нулю в окрестности поверхности Г+ . Применяя к функциям 1кл(х) и рр(х) первую формулу Грина и учитывая, что Р1кл (х) = —/(х) , получим тождество вида:

п+

д1кл дфр + ьд1

кл дфр

7 дх* дх7- ду ду

*,7=1

£

с1кл фр

(68)

п+

Функция 1кл(х) является четной по переменной у, квадратично интегрируемой с весом ук по области 0+, поэтому в тождестве (68) можно перейти к пределу при р ^ те.

О

Таким образом, для любой функции р € Н 1к,+ (0+) имеем следующее тождество:

п+

£

*,7=1

д1к

7 дх* дх

дф + ьд1кл

дф

ду ду

— С1клф

— у /фук^х = 0, п+

которое совпадает с интегральным тождеством (61), определяющим обобщенное решение краевой задачи (66)-(68). В силу единственности обобщенного решения, отсюда следует, что 1кл (х) = (х). □

Л е м м а 12. Пусть Г+ произвольная поверхность типа Ляпунова, коэффициенты оператора Р(Аж/, Ву/) удовлетворяют условиям В-эллиптичности (4) и условию с ^ 0 . Тогда полные ортонормированные системы классических и обобщенных собственных функций краевой задачи (6), а также соответствующие системы собственных чисел совпадают.

Доказательство. Всякая собственная функция 1р(х) задачи (6) является единственным решением задачи Дирихле (66)-(67), в которой функция /(х) = Лр1р(х) и, следовательно, /(х) € С(0,^) (0+) . Из леммы 11 следует, что классическое решение этой задачи 1кл = 1р совпадает с 1об - обобщенным решением, т. е. справедливо тождество

п+

^ д1кл дф д1кл дф

а*,- —— -------------+ Ь -----------------с1кл ф

^ *7 дх* дх

*,7 = 1

7

ду ду

ук^х — у /фукйх = 0 п+

(69)

для любой функции ф € Н 1к,+(0+) . Принимая во внимание, что 1кл(х) = 1р(х) и /(х) = Лр1р(х) , для любой функции ф € Нк+(0+), получим равенство

п+

^ д1р дф д1р дф

£ а^ТТ^^ + Ь^^ — С1:;ф дх* дх

*,7=1

7

ду ду

ук^х — Лр / 1рфук^х = 0.

(70)

п+

Из (70) следует, что гр по определению является обобщенной собственной функцией, соответствующей собственному значению Лр , краевой задачи (6). Таким образом, всякая классическая собственная функция является также и обобщенной собственной функцией краевой задачи (6).

Поскольку в пространстве Р2,й(П+) полная, ортонормированная система классических собственных функций задачи (6) замкнута, то не существует никаких других функций из

О

(^+) , а тем более функций из Н 1к,+ , которые были бы обобщенными собственными функциями этой задачи. Это означает, что если найти полную систему обобщенных собственных функций задачи (6) и доопределить, в случае необходимости, каждую из них на множестве меры нуль, то получим полную систему классических собственных функций. □

Установим основной результат данной работы.

Теорема 1. Смешанная задача (1)-(2) может иметь только одно классическое решение.

Доказательство. Предположим противное: пусть существуют два классических решения и^ж-Ь) и И2(ж,£) смешанной задачи (1)—(2). Их разность и(ж,Ь) = ^(ж, £)—^(ж, £) является классическим решением следующей задачи:

д2и

дЬ2

-^2 — Ри = 0 в цилиндре 0+,

*=0

= 0 в области П+, и|р+х[°Т]

о- Iй

%

0.

Г0х [0,Т]

(71)

(72)

Пусть гр(ж) - собственная функция задачи (6), Лр - соответствующее собственное значение. Пусть /(Ь) - любая дважды непрерывно дифференцируемая на М функция, равная нулю при Ь > Ь° , где Ь° некоторое число, удовлетворяющее условию Ь° < Т. Обозначим через Фр(ж,Ь) функцию вида:

Фр (ж,Ь) = гр(ж)/(Ь).

Докажем следующее равенство

т

Р Фр(ж,Ь) —

д2Фр (ж, Ь) дЬ2

п+ °

^ж^Ь = 0.

(73)

д2ф ________________________________________

Поскольку обе функции и(ж, Ь) и РФр 7^2^ непрерывны в замкнутом цилиндре 0т , то

интеграл в левой части (73) существует.

Зафиксируем Ь £ [0,Т) . Применяя вторую формулу Грина к двум функциям и(ж, Ь) и Фр(ж, Ь) , получим:

У [иРФр — ФрРи] ^ж = J а

и-

^Фр

— фр

^Г+.

(74)

п+

Г+

В силу граничного условия и|г+ =0 первое слагаемое интеграла в правой части формулы (74) обращается в ноль. Второе слагаемое интеграла в правой части формулы (74) также равно нулю в силу граничного условия задачи (6): Фр|г+ = гр(ж)|г+ ■ /(Ь) = 0 . Тогда равенство (74) запишется в виде:

У [иРФр — ФрРи] ^ж = 0.

(75)

п+

Формулу (75) проинтегрируем по Ь в пределах от е до Т, где е - произвольное положительное число. Тогда получим:

т

[иРФр — ФрРи] укгіж^і = 0.

(76)

П+ є

Следующие два равенства получим интегрированием по частям левой части равенства (75) по переменной Ь. Первое из них:

т

П+ є

—и

д2ф^ укгіж^і = [ (-идФр

ді2

п+

ді

*=т

т

£=є

П+ є

ді ді

Учитывая, что /(і) = 0 при £ ^ іо , іо < Т, имеем

д Фр

ді

= 0. Тогда

т

д 2Фр

*=т

т

и

Р 1 Л.к

ді2

П+ є

ук= I ^-и(ж,е)ук^ж + I I Ук^х^і.

П+ Є

Аналогично получим второе равенство: т

ж д2и „ /■ ди(ж,е) дФр

Фр—т укгіж^і = ——-ук ^ж -

р ді2 у / ді ді

т

ди дФр \ к

ді ді

у гіж^і.

П+ е П+ П+ е

Сложив полученные равенства и переходя к пределу при е ^ 0, имеем:

т

д 2Фр ді2

д2и\ к ді2 /

-^^2р + фр^2 ) укйжйі =0,

(77)

п+ о

т. к. с учетом начальных условий (72), ііш и(ж, е) = 0 и ііш дидХ’Є) = 0 .

єо

єо

Складывая формулы (76) и (77) и переходя к пределу при е ^ 0, получим:

т

і т-)л д2Фр\ /д2и

и|Р фр - ~ді*~) + М - Р“

ук гіж^і = 0.

п+ о

Второе слагаемое в последнем интеграле в силу уравнения (71) равно нулю и поэтому можно записать следующее равенство

т

и

р ф -

РФР ді2

у гіж^і = 0.

(78)

п+ о

Продолжим функцию и(ж, і) на область і < 0 , положив ее тождественно равной нулю при всех і < 0. Учитывая, что /(і) = 0 при і > іо , перепишем (78) следующим образом:

//«.»

ук гіж^і = 0.

(79)

п+ -го

Функция /(Ь+в) заведомо равна нулю при Ь > Ьо. Поэтому в равенстве (79) вместо функции / (Ь) можно взять функцию / (Ь + в) .

Непосредственной проверкой легко установить справедливость следующего равенства:

д2Фр

Р фр —= —^р(х) (//; (Ь +в) + лр/(Ь +в)). (80)

Из равенств (79)—(80) вытекает, что при в ^ 0 функция

+ГО

Ар(в) = У У и(ж,Ь)г>р(ж)/(в + Ь)ук^ж^Ь (81)

п+ -го

удовлетворяет уравнению

^2А2>)+ Лр Ар(в) = 0. (82)

Отсюда получаем, что при всех в ^ 0

Ар(в) = Ср еоэ д/Л^в + Ар вт д/Л^в. (83)

Из (81) следует, что для всех р и всех в ^ 0 Ар(в) = 0 при Ь < 0, т. к. и(ж,Ь) = 0.

Поэтому в формуле (83) Ср = Ар = 0 при всех в ^ 0. Следовательно, при всех р и любом

в ^ 0

Ар (в) = 0. (84)

Из равенств (81) и (84) заключаем, что в области 0+ при в ^ 0 функция

+ ГО

и

■](ж, в)= У и(ж, Ь)/(в + Ь)^Ь (85)

ортогональна ко всем собственным функциям ир(ж) . Поэтому в силу полноты системы собственных функций |ир(ж)} имеем, что .](ж, в) = 0 при любом фиксированном в ^ 0 . При в = 0

+ ГО

У и(ж,Ь)/(Ь)^Ь = 0.

— ГО

Последнее равенство справедливо для любой функции /(Ь) , обладающей описанными выше свойствами. Это окончательно доказывает, что и(ж, Ь) = 0 в цилиндре От . □

Т еорема2. Пусть коэффициенты оператора Р, начальные функции <^(ж), ^(ж) и правая часть /(ж,Ь) уравнения (1) удовлетворяют тем же требованиям, что и в лемме 8.

Тогда ряд (5) и 'ряды, полученные однократным и двукратным дифференцированием

___ ди

ряда (5) по Ь, сходятся равномерно во всем замкнутом цилиндре От, а ряды вида ——,

дж*

д2и

——-—, и, полученные однократным и двукратным дифференцированием ряда (5), схо-

дж*дж7

дятся равномерно в любой строго внутренней подобласти ОТ цилиндра От .

При этом, сумма ряда (5) определяет классическое решение задачи (1)-(2). Доказательство. Покажем равномерную сходимость в От ряда, полученного двукратным дифференцированием ряда (5) по Ь и равномерную сходимость рядов вида:

д2и

——-— (г, 7 = 1,..., п) , и , полученных от дифференцирования ряда (5), в любой строго

дж*дж7

внутренней подобласти ОТ . Эти ряды обозначим через , Vву соответственно.

К первой, второй и четвертой суммам ряда

^ те

и и = — £ г7- (ж)^>7- Л7- ео^ул" £ — £ г7- (ж)ф7-д/Л" эш д/Л"£+ 7=1 "=1

+ £ V (ж)/(Ь) - £ V (ж)УЛ7 Л' (т)81п УЛ7(Ь - т)йт

7=1 7=1 0

применим неравенство Коши - Буняковского, оценивая тригонометрические функции синуса и косинуса единицами. Имеем

£ |г" (жМ-л" ео« УЛ"£

7=1

<

^ 2, л х-([] + 1) ^ 2Х [П+І+1 ]+3 2>2(ж)Л- 2 £ ^2л" 2

7=1 "=1

(86)

£ |г"(ж)ф УЛ" вт Ул”£

7=1

<

£

7=1

£ г2(*)Л-<[^]+‘> £ Ф2а|

"=1 "=1

І

^ .л^\ сіп . А

І

г" (х)УЛ^у /і (т) яіп улї (£—г )^г 0

<

<

Т

[п+к+1 ]+2

2(т),Ц »]+2

"=1

"=1 ■

(87)

(88)

Ряды (86)-(88) равномерно сходятся в От в силу леммы 2 и леммы 8. Следовательно, в От равномерно сходится и ряд (5).

Аналогично, применив к ряду

ф •

иЧ = £ в V" (ж)^>7- сов^Л”£ + £ ВуV" (ж) • 8Іп д/Л"£+

-•у -’у^^/'тз

7=1

7=1

(89)

1 Г

+ У" вуг"(ж)^= Л-(т(£ — т)йт

.7 = 1 V Л" /

неравенство Коши - Буняковского, лемму 2 и лемму 8, получим равномерную сходимость ряда (89) в строго внутренней подобласти От области От . Подобные рассуждения имеют место и для ряда . . Теорема доказана. □

Г

ЛИТЕРАТУРА

1. Киприянов И.А. О краевых задачах для уравнений в частных производных с дифференциальным оператором Бесселя // ДАН СССР. 1964. Т. 158. № 2.

2. Ладыженская О.А. Смешанная задача для гиперболического уравнения. М., 1953.

3. Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболических и параболических уравнений //УМН. 1960. Т. 15. Вып. 2.

4. Киприянов И.А., Засорин Ю.В. О фундаментальных решениях волнового уравнения со многими особенностями и принцип Гюйгенса // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28. № 3.

5. Киприянов И.А., Иванов Л.А. Метод Адамара для одного класса гиперболических уравнений //ДАН СССР. 1980. Т. 252. № 5.

6. Киприянов И.А., Засорин Ю.В. Принцип Ньютона для волнового уравнения // Матем. заметки. 1992. Т. 51. Вып 4.

7. Киприянов И.А. Асимптотическое распределение собственных значений и собственных функций одного класса сингулярных эллиптических операторов //Труды МИАН СССР. 1972. Т. 117.

8. Катрахов В.В. О задаче на собственные значения для сингулярных эллиптических операторов // ДАН СССР. 1972. Т. 207. № 2.

9. Катрахов В.В. О спектре, собственных и спектральных функциях сингулярных эллиптических операторов // ДАН СССР. 1975. Т. 224. № 5.

10. Киприянов И.А. О функции Грина некоторых сингулярных эллиптических операторов // ДАН СССР. 1970. Т. 194. № 6.

11. Сазонов А.Ю. О функции Грина задачи Дирихле для B-эллиптического уравнения второго порядка //Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22. № 12.

12. Сазонов А.Ю., Фомичева Ю.Г. О свойствах весовых потенциалов для одного класса B-эллиптических операторов //Вестн. Удмуртского ун-та. 2008. Вып. 2.

13. Киприянов И.А. Преобразования Фурье-Бесселя и теоремы вложения для весовых классов //Труды МИАН СССР. 1967. Т. 89.

14. Киприянов И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. М., Наука, 1997.

15. Катрахова А.А. Об одном численном методе для некоторых сингулярных краевых задач // Дифференциальные уравнения. 1981. Т. 17. № 5.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (гранты № 07-01-00305, № 09-01-97503), Министерства образования и науки РФ (программа Развитие научного потенциала высшей школы, проект № 2.1.1/1131), Норвежской Национальной Программы Научных Исследований FUGE (грант PRO 06/02) при Совете научных исследований Норвегии и Норвежского Комитета по развитию университетской науки и образования(NUFU).

Поступила в редакцию 10 апреля 2009 г.

Katrahova A.A., Sazonov A.Ju., Fomicheva Ju.G On existence and uniqueness of a classical solution of mixed problem for singular hyperbolic equation, with Bessel operator. The mixed problem for a singular hyperbolic equation with Bessel operator in bounded domain is considered. Sufficient conditions on boundary area, on initial functions, on function in a right part of this equation are received. These conditions ensure existence of a unique classical solution of a given problem, and allow to use classical Fourier method for its solution.

Key words: Bessel operator; hyperbolic operator; singular operator.