Метод подобластей решения сингулярного интегрального уравнения первого рода с ядром Коши Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2014, Том 16, Выпуск 1, С. 50-56

УДК 519.642

МЕТОД ПОДОБЛАСТЕЙ РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА С ЯДРОМ КОШИ

Л. Э. Хайруллина, Г. 3. Хабибуллина

Исследуется метод подобластей решения сингулярного интегрального уравнения первого рода с ядром Коши. Введена пара весовых пространств, являющихся сужением пространства непрерывных функций. Доказана корректность рассматриваемого уравнения на этой паре пространств. Установлены достаточные условия сходимости метода подобластей в равномерной метрике.

Ключевые слова: сингулярное интегральное уравнение, ядро Коши, метод подобластей.

1. Введение. Решается сингулярное интегральное уравнение (с. и. у.) первого рода (см., например, [1, 2])

+ ^¡^h^т)x{т)dт = f{t)1 ш<1, (1) -1 -1

где Н(Ь,г), /(Ь) — известные непрерывные функции, х(т) — искомая функция, а сингулярный интеграл понимается в смысле главного значения по Коши.

С. и. у. вида (1) часто встречаются в приложениях. Ввиду невозможности в большинстве случаев получения точного решения с. и. у. (1) актуальна задача нахождения приближенного решения и получения оценок погрешности. При этом как для теории, так и для практики наиболее интересны равномерные оценки. Однако в пространстве непрерывных функций задача решения с. и. у. (1) является некорректно поставленной [3]. Используя подход [4], основанный на возможности корректной постановки задачи решения с. и. у. (1), в работе вводится пара весовых функциональных пространств, являющихся некоторыми сужениями пространства непрерывных на [-1,1] функций, и доказывается корректность рассматриваемой задачи.

2. Корректная постановка задачи. Пусть Хр — пространство непрерывных на [—1,1] функций ж(£), для которых сингулярный интеграл — Н(рх;¿) является непрерывной на (-1,1] функцией, допускающей непрерывное продолжение в точку Ь = 1, где

1

1рх = 1{рх-1)=1- Г^^бт, п ] т - Ь -1

Р - Р(т) = у/Щ.

@ 2014 Хайруллина Л. Э., Хабибуллина Г. 3.

В качестве Уд возьмем пространство непрерывных на [-1,1] функций /(Ь) таких, что \/1+!1(д/]Ь) является непрерывной на [—1,1) функцией, допускающей непрерывное продолжение в точку £ = — 1, где д = = ^у.

Нормы в этих пространствах определим следующим образом:

х\\Хр = \\уП + 1х\\с + \\у/Т=11(рх)\\с, х£Хр] (2)

= + + /еп- (3)

Тогда с. и. у. (1) эквивалентно операторному уравнению

Кх = Бх + Ух = / (х £ Хр, / £ Уд), (4)

где операторы Б : Хр ^ Уд, V : Хр ^ Уд определяются по формулам

1 __ 1

Бх = — [ \1^гТ Х^ (1т\ Vх = — [ \1^гТ Ш, т) х(т) йт. 7Г / V 1 - ГТ-4 7Г / V 1 -Т К ' 7 У 7

-1 -1

Лемма 1. Сингулярный оператор Б : Хр ^ Уд непрерывно обратим и справедливы равенства

11Б IX = 1 УБ-1 11^-Хр =1.

< Рассмотрим характеристическое уравнение Бх = /. Решение этого уравнения может быть записано в замкнутой форме с помощью так называемых формул обращения. Для функций из классов Гёльдера эти формулы получены в [1, с. 486]. Для функций из классов суммируемых с весом функций они используются, например, в [5, с. 20]. Поскольку наши пространства являются сужением пространств квадратично суммируемых с соответствующим весом функций, то формулы обращения имеют место и в введенных пространствах Хр и Уд.

Известно [1], что оператор Б : Хр ^ Уд обратим, причем

Б-1(/; Ь) = -I (д/; Ь).

Используя определения норм (2) и (3), получим

= \\1(рх)\\уп = \\у/Т=11(рх)\\с + \\^ТТ~Щд(1рх))1

= \\у/Т=11(рх)\\с + \\VTTtxWc = N

НБ"7Нх0 = 1М|Хо = \\у/Т+гх\\с + VI-Щрх)

(5)

(6)

= \\у/Т+11Ш\с + \\у/Т=[/\\с.

Из соотношений (5) и (6) следует утверждение леммы.

Из леммы 1 и теории Рисса — Шаудера для уравнений, приводящихся к уравнениям второго рода, следует

Теорема 1. Пусть ядро Н(Ь,г) таково, что опер а тор V : Хр ^ Уд вполне непреры-

(1)

решенпе, то оператор К : Хр ^ Уд непрерывно обратим.

X

р

с

3. О приближениях полиномами в пространстве ^.Обозначим ч ерез Пп оператор подобластей, ставящий в соответствие любой функции р £ С[—1,1] алгебраический полином Пп(р; в), однозначно определяющийся из условий (см., например, [6])

«3+1

J Пп(р; в) йз = J р(з) йз, в] = соя

2,7 + 1 2п + 2

п, ] = 0,... ,п.

Пусть

Яп(г) =

Яп(Ь) =

л/2 вш (п + агссоя £ л/2 соя (п + агссоя £

п£ Н,

п е Н,

— полиномы степени п го системы полиномов, ортогональных с весом д(Ь) и р(г) на [- 1, 1]

Лемма 2. Для любой функции р £ С[- 1,1] справедлива оценка

Шпч>Ьч = О (у/п) < По определению нормы (3) имеем

(7)

= || + \\у/ТТг1(дип(р)\\с.

Известно (см., например, [6]), что

\\у/Т=гпп<р\\с=о(Ып)\мс

(8)

Рассмотрим второе слагаемое. Разложим Пп(р; Ь) в ряд Фурье по полиномам Чебы-шева третьего рода. С учетом соотношения [4]

1 / 1 - тЯк (т)

п } V 1 + т т - Ь 1

йт = як (г),

находим

у/ТП [ /1-г^г)

п .] V 1 + т т - г 1

йт

ГГ—+ , ,л — £ <?(пга¥>Шт)

V1 + г 1 - т к=0

п J V 1 + т

1

т-г

йт

л/ПйХ^п^ / /

к=0 1

1 / 1 - тЯк(т)

п у V 1 + тт-г 1

йт

к=0

к=0

к=0

с •

1

1

< ЦП>м\ь2ч

. к=0

! соя (п + агссоя £

1

2\ 2

П

£

\к=0

1

2\ 2

соя ( п + ^ агсшз£ 1 ^ у^МЬ-

Таким образом,

||л/Г +И(д11п<р)\\с = ОШМ\с-

(9)

Из оценок (8) и (9) следует оценка (7).

Через ШгНа = ШгНа[— 1,1] обозначим множество функций, имеющих непрерывные производные до г-го порядка, удовлетворяющие условию Гёльдера с показателем а, 0 < а С 1, г ^ 0.

Лемма 3. Если ((Ь) £ ШгНа[— 1,1], то справедливо соотношение

- П

П^\\уг

= о

1

\ пг+а-±

(10)

< Имеем

- П„</?||Уя = ||л/1 - Ку - Лп1р)\\с + ||л/1 + Н(д((р - Лп1р))\\г .

I с ■

Оценка первого слагаемого известна [6]:

(1п ть \

а С 1, г ^ 0. (11)

Рассмотрим второе слагаемое:

\у/Т+г1(д((р -ип(р))\\с =

УГШ [ 1~тф) -Пга(<^;г)

п ] V 1 + т т — Ь 1

йт

Разложим ((т) — Пп((; т) в ряд Фурье по полиномам Чебышева третьего рода. С помощью оценок (см., например, [4, с. 127], [7, с. 31]) и теоремы Джексона получим

\у/Т+г1(д((р -ип(р))\\с =

гг--; , /1-Е^-ПпФ)Ян{т)

V1 + Ь 1 — т к=о

п ] V 1 + т

1

т-Ь

йт

к=0

С

—пП()

с \к=0

_тах 1 | ^ |л/1 + (¿) |2^ = \\(р - Х1п(р\\2,чу/п

1

к=0

ПГ+а~2

- , 0 < а С 1, г ^ 0.

с

(12)

Из (11) и (12) следует доказываемая оценка (10). >

1

2

2

X

4. Метод подобластей. Рассмотрим вычислительную схему метода подобластей (см., например, [6, 7]). Приближенное решение уравнения (1) будем искать в виде

п

Хп(г) = ^ ак Як-1(г), (13)

к=1

где коэффициенты определяем из условий и и

J (Kxn)(t)dt= J f(t)dt, tí = C0S7^p¿7T, г = 1,...,п. (14)

ti-1 ti-1

Ясно, что условия (14) эквивалентны системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов ai,а2,... ,ап полинома (13):

n

ак = fi, i = l,...,n, (15)

k=i

U ti i __ti

alk = J Qk_1(t)dt + ^ J dt J ^l^±^h(t,r)Rk_1(r)dr, ft=j f(t)dt.

ti-1 ti-1 -i ti-1

Докажем теорему, устанавливающую сходимость описанного метода подобластей в пространстве Уд, и оценки погрешности.

Теорема 2. Пусть выполнены условия:

а) с. и. у. (1) однозначно разрешимо в пространстве Хр при любой правой части /

из Yq;

б) функции /(г) £ ШгНа, Н(г,т) £ ШгНа (но переменной г равномерно относительно т ) 0 < а ^ 1, г ^ 0.

Тогда, начиная с некоторого п £ N система уравнений (15) имеет единственное решение, и приближенные решения х*п(г) сходятся к точному х* (г) со скоростью

\\х*-х*\\х =0[--—г ) > 0<а<1, г^О.

11 п uxp V nr+a~h

< Обозначим через Нп — множество всех алгебраических многочленов степени не выше п. Пусть Хп = Нп С Хр, Уп = Нп С Уд. Система уравнений (15) эквивалентна операторному уравнению

КпХп = ПпКХп = Пп/ (Хп £ Хп, Пп/ £ Уп). (16)

Из известного соотношения [4]

1 f [í+TRb(T)dT = Qk{t)i fc = 0>1>

Ж J V 1 — т т — t i

следует, что nnS^>n = Spn. Тогда уравнение (16) примет вид

Knxn = Sxn + Пп VXn = nn f (X n G Xnj nnf £ Yn). (17)

i

Из уравнений (4) и (17) для любого xn G Xn находим

Il Kxn Knxn II Yq - У Vxn nn Vxn II Yq

1 1 J p(j)h(t,T)xn(j)dT - ^ J р(т)Hn(h(t, т))xn(r) dr

1

< IIh - ППКЦ

-i

n'4\Ya,C У^Ус ^ IIh — nnhIIYq,C У^Ухр ,

здесь оператор Пп применен к функции h(t, т) то переменной t. В силу леммы 3 и

условий теоремы имеем

Sn - K Kn

- O

inIIX„^Yq

Sn - II/- nnf IL - O

nT+a~2

- ^ 0, n ^ œ;

nr+a~2

^ 0, n ^ œ.

Из последних двух оценок и [8, глава I, теорема 7] следует сходимость метода подобластей и равномерная оценка погрешности приближенных решений

IIxn - x* IIc ^ IK - x* IX - O(Sn + Sn) - O

Xp - -V-n I "4/ - - I г+а_1

Tl 2

1

0 < a < 1, r > 0. >

q

1

1

Литература

1. Гахов Ф. Д. Краевые ЗЭ.Д Э.ЧИ. —М.: Наука, 1977.—638 с.

2. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.—М.: Наука, 1968.—512 с.

3. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения.— М.: Наука, 1978.-206 с.

4. Габдулхаев В. Г. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений первого рода.— Казань: Изд- во КГУ, 1994.—288 с.

5. Лифанов И. К. Особые интегральные уравнения и методы их численного решения. Учебное пособие по курсу лекций.—М.: Макс-Пресс, 2006.—68 с.

6. Ермолаева Л. В. Аппроксимативные свойства полиномиальных операторов и решение интегральных и интегро-дифференциальных уравнений методом подобластей: Дисс.... к.ф .-м.н. Казань, 1987.-154 с.

7. Хайруллина Л. Э. Равномерная сходимость приближенных решений сингулярного интегрального уравнения первого рода с ядром Коши: Дисс.... к.ф.-м.н.—Казань, 2011.—103 с.

8. Габдулхаев В. Г. Оптимальные аппроксимации решении линвиных задач.—Казань: Изд- во КГУ, 1980.-232 с.

Статья поступила 7 марта 2013 г. Хайруллина Лилия Эмитовиа

Казанский (Приволжский) федеральный университет, старший преподаватель кафедры информационных систем РОССИЯ, 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18, E-mail: [email protected]

Хабибуллина Гузель Забировна

Казанский (Приволжский) федеральный университет

старший преподаватель кафедры теории и методики

обучения физике и информатике

РОССИЯ, 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18

E-mail: [email protected]

SUBDOMAINS METHOD FOR SOLUTION OF A SINGULAR FIRST KIND INTEGRAL EQUATION WITH CAUCHY KERNEL

Hajrullina L. E., Habibullina G. Z.

The method of subdomains solution of a singular integral equation of the first kind with Cauchy kernel is investigated. A pair of weight spaces, which are the narrowing of the space of continuous functions are introduced. The correctness of the equations on this pair of spaces is proved. Sufficient conditions for the convergence of the method of subdomains in the uniform metric are established.

Key words: singular integral equations, Cauchy kernel, method of subdomains.