О классическом решении смешанной задачи для параболического уравнения, содержащего оператор Бесселя по части пространственных переменных Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

О КЛАССИЧЕСКОМ РЕШЕНИИ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩЕГО ОПЕРАТОР БЕССЕЛЯ ПО ЧАСТИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

(с) А.Ю. Сазонов

Клкгиитс слоаа: оператор Бссссля; смотанная задача; параболическое уравнение. Устанавливаются лостаточттые условия тта границу области, коэффициенты оператора, правую часть и начальную функцию, при которых ряд Фурье представляет классическое рентеттт-те сметанной задачи для параболического уравнения второго порядка, содержащего оператор Ьесселя по нескольким пространственным переменным.

Обозначим через К,*+т часть пространства у-\ >(),..., ут > 0 точек, х = (а?і,..., хп. у 1,... ■ -.Ут) = {х',і/) действительного евклидового (» | т) -мерного пространства К”1 т. Пусть

П 1 произвольная ограниченная область, расположенная и Е" 1и прилегающая к гиперплоскостям рі 0 ,...,ут 0. Обозначим через Iм/...., часть границы области И1, лежащей на гиперплоскостях у\ 0 .....ут 0, Г 1 і и - - • ЦИ ? I'1 замыкание оставшейся

пасти границы, {'п І т І I)-мерный цилиндр, равный произведению і х (0 <£< /').

В данной статье изучается вопрос о разрешимости в классическом смысле смешанной задачи для сингулярного параболического уравнения следующего вида:

- 1-а'11 /ОМ) в цилиндре(3.1) и(х. 0) $?(.т) в области П1 , (3.2)

,ч Ои '"г 0. —

0уг

0, і I, т.

(3.3)

'-)Д(к:ь р(х), /(.г, *) заданные функции, определенные в областях П+ и соответ-

ственно. Ь,/- В -эллипти чес кий оператор, определенный в области П+ :

О

г-.3~ I

0

с)х.

О2 к О

X і:)Хі ) 1 1 С(Т^НШ И„2 1 „ • /),ц. ’

і- I

Уг

где л(аг) <0, кі> 0. і I, т. Условие /^-эллиптичности, сформулированное в [1], сводится к

ВЫНОЛИОПИЮ УСЛОВИЙ иц(х) = Ч]і{х) и равномерно по х Є 0+ и любого "V = (71....~)п | т)- І7ІФ

/0,

X) аи(х)ъъ I - Л1

ЧУ—1

(3,1)

І-1

где 6 некоторое положительное число.

Классической задаче (1) (3) (т 0, /.,/ самосопряженный эллиптический опера гор) посвящено болыное количество работ, напиная с самого первого результата (п I, т 0)

И.А. Стеклова [2| и до наиболее iio.iim.ix к настоящему времени результатом (т 0) В.А. Ильина [3]. В ноклассической задаче; случай т I рассмотрен в работе [1].

Общее решение задачи (I) (3) прсдставимо рядом Фурье

«ОМ) X '>,(г)

V-1

'ГР

г

' I I Мт)с.-Ы1-Т)(1т

(3.5)

и котором 1'р(х) ор-гоиормироншг 11ые собственные функции, а Аг> соотнетствующие соб-

ственные значения краеной задачи:

Ог

Ь,.>г I V = 0 в области 121. Нг = 0. —-' <>!)>■

= 0. х = 1. гп.

г?

Через фр н /р(1) обозначены коэффициенты Фурье ршпожошш функций <р(х) н /(.г. /,):

г-р

I Ф'}ир{х)укс1х,/р(1) I 1(хА)1',,(х)ук(1х.у'

к 71^*1

*У1 • • * Утп *

Пусть а («|..... ап, в\..... вт) (п'.в1), |о:| 0| I ... I ап I в\ I ... I в,п. 1)х.

О

д

Ох-,

1>У (/Л'1 • - - •, /Л/г у с)у ' ( /Л/1/Л/„, )■

Через <7* (121 и I ) т 5 0, I..... эс обозначим множество функций, четных по пере-

менным у\, ... , ут и .ч раз непрерывно дифференцируемых в 121 иГ°. Обозначим через | (12+) (ем. [Г>|) замыкание множества С] (П+ и Г°) по норме

"II//’_ ( \ч,\2ук(1х \ X / \1Уг' 1/,/ ,1\2!

о+ Н-Ъ-

/|2Л/.г.

Положим я“ (12+) =Ь2.*.(П+). Замыкание подмножества <?+(12+ иг0) функций из класса С^_(12| иг°) равных нулю вблизи Г1, но норме пространства /// , (12 1) образуют фу

о .

нионалыюе пространство II {. . (£21).

нк-

.■ I е м м а I. Если, <р € II | (12 1 ). ф € /// , (12 1),

то

I тг~Фук(1х — [ гтг-ук(1хЛ .1 Ох* ./ Ох.1

1.71.

(3.6)

о I

Есл и, г - Е III | (^+) . то

I. т.

(3.7)

Дока з а т е л ь с т в о. Докажем равенство (7). Согласно определению пространства

о

II к I (-^ ) (существует последовательность функций ЧОТНЫХ ПО поименным У г, Н('пре-рывпо дифференпируем]>1 х и ран11]>1х пулю вблизи Г1, сходящихся но норме пространства | (П 1 ) к функции р. Для функции ^ имеем

(3.8)

Согласно нераиенстиу Коши Вуняконского.

( Г%6

% ()<н

<>

У Ш - <р)В,нфук<Ь <

- ) Щкдх <

0уг дуг

Н1. 1 ),

I Ф2У

)2ук(1т.

0*8 Оц.

'VI «/?•

/<

{Ву{Ф)2ук(1х. г = 1, т.

{}-

И1 ,(п-)-

(3.9)

(3.10)

при й > 0. Переходя к пределу при 6—>0 в равенстве (8) и неравенствах (9). (10), получим формулу (7). Ра пенсию (6) устанавливается аналогично.

«I е м м а 2. Для любой функции <р€П1 | (^ ) справедливо неравенство следующего вида:

Х>2а,2< Г

п I

Х-Г&щ1 ?>

г.]— I •> г—I

д-р

ОУг

яр2

Ук(1х.

(3.11)

где. <рр(х) копффицисит Фурье, функции ф(х) по системе, собственных функций {'<'р(.г)} ^ частности, утве.рж,да.е.тся сходимость числового ряди, стоящего в левой части (11).

Док а з а т е л ь с т в о. Для любой <р€ Н . (й+) и ер(х) имеем:

/

о I

Еск'р О* V-' . иур и~р

сН'р О*

— се

р-Г

Грук<1х = \

■ргр-

Полагая в тождестве (12) :~р(х) ?'/(:г). получим:

/

7 г— 1

Рассмотрим следующую неотрицательную величину:

РС,

О I

укс1х

Хр,1=р, 0,1/р.

(3.13)

!

П

X аЧп.у ( г" ^гр^р ] ... I г ^2'Рр1'р 1 +

г.З- I

Р—I

/Ат

р-|

'Х>7

д

г—1

ОУг

г X *РГР

Р 1

— с-

Г X *Р,;Р р 1

укйх > 0.

Раскрывая скобки и учитывая (12) и (13). получим

/

£2 1

у 0£<± , (^\ .

с)х

Ра

укдх - X ^'р'р > 0 р-1

отку,ча вытекает неравенство Весса;1я (11).

. I е м м а 3. Для любой функции у €//* | (^ 1 ) « обладающей, обобщенными ‘производными второго порядка принадлежащих классу Ьч,к(И 1) справедливо неравенство вида:

У ^ ''Рр'Ур — I {Ьу/!г) У дх.

Р-1 г/

И частности, утверждается сходимость числового ряда, стоящего в левой части (14). Дока з а т о л ь с, т в о. Для любой функции *(х), удовлетворяющей условиям леммы 3 справедливо тождество (12). Производя в этом тождестве интегрирование по частям с помощью леммы 1. в которой полагаем р = гр, получим

I і'р1;уггук(іх Ар І рі'Рукііх Хрірр

О I О I

или

(/''/'г)/; — Хргр- (3.15)

'Здесь (/^з/г)р обозначает коэффициен т Фурье функции І^ір. Записывая для функции Ьу>ір пераиепстио Весселя н учитыиая раиеистио (15). получим перапеиспю (14).

. I (; м м а \. Пусть коэффициенты оператора Ьу> имеют в замкнутой обла-

сти 121 непрерывные производные до порядка я. коэффициенты Ы(х) и г(:г) до порядка ,ч — 1, « - любое целое положительное число. Пусть функция, є ІІ%.+\ (^+) удовлетворяет следующему требовал шю:

[і] о -

ір. Ьцгг...., Ь'у,р> принадлежат пространству Н *.+(£2 ).

Тогда для функции р(х) справедливы неравенства вида: для четного в

р і

для нечетного я

ук(1х, (3.10)

Х>^+,< у (4^) (3.17)

р 1 п

И частности, утверждается сходимость числовых рядов, стоящих в левых частях (16) и (17).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для нечетного я лемма 1 доказывается последовательным

Примененном ЛеММЫ 3 К фуПКЦИЯМ р, Ьу' р, .... і). 3 ^ р.

При четном а лемма 4 доказывается применением леммы 3 к функциям р. 1*.,/*....

[—1 . .

... . Ь ,2 И 1іриМ(ї1К!ПИ(!М леммы 2 к функции Ь*,.

Л о м м а 5. Пусть коэффициенты оператора. Ьу>, начальная функция р{х), и правая

часть уравнения /(а\ I) удовлетворяют следующим требованиям:

1) коэффициенты а^(х) и с(а?) удовлетворяют условию И-эллиптичности (4) и условию с(.г) < 0 в замкнутой области П1.

2) коэффициенты <н^(х) имеют непрерывные производные до порядка ' * "

а коэффициенты Л*(.т/) и с(х) до порядка

и І ш I к 2

2

+ 1,

І ’/і —її і к I | | I п—т—к I

3) //{ | 3 (И1) и, кроме того, функции р, Ьу>р,.... Ь , 1 р принадлежат про-

о

страпству II | (І21);

I" і І і І |2., . І "■ -ъ 111

•1) / Є НІ | 2 (<Эа') и. кроме того, функции /,/.у/Л, 1 / принадлежат

о

Тогда утверждается сходимость следующих ■числовых рядов

т

(3.18)

к к\ I ... I k.m. [cj:j целая часть числа а.

Д о к а з а г е л ь с г в о. Поскольку ip(x) удовлетворяет условиям леммы 4 мри $ п | т к]

, то сходи мост]» мерного ряда (18) следует из упомянутой леммы. Функция

2

f(x-t) удовлетворяет условиям леммы 1 при ft ряда

п I т I к

п | in | к I

2

12

и;} которой следует сходимость

р-1

для почти всех г € [0, Г] . Следоиателыю. существует интеграл

Т

ОО

п | m | jf I

12

( It.

Из теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега вытекает сходимость второго ряда в (18).

Лемма -г) в классической формулировке.

. I е м м а 0. Пусть коэффициенты оператора /-у, начальная функция у(.т), и правая часть уравнения, /(хЛ) удовлетворяют следующим требованиям:

1) коэффициенты <1г^(х). Ьг(х') и с(х) удовлетворяют условию И -эллиптичности (1) и условию г (г) < 0 в замкнутой области И 1.

2) коэффициенты Щ^(х) имеют непрерывные производные до порядка я | I, а коэффициенты Ы(х') и е(х) до порядка .%

3) *{х) непрерывно дифференцируема до порядка .%

‘производная порядка $ + 1 принадлежит классу /^>(121 );

I n+Hi— k I

1п 0, /-/;(/'у?||Ч 0 /1 i U ■ ■ 'v г

0;

П

1) f(x, t) непрерывно дифференцируема до порядка н | 1; производная, порядка ,ч I 2 принадлежит классу lj2,k{Q'\<)]

/1г

I ri + Hi+fc-2 I

0, /v/ г 0,.. /1 1 1 f ■ ’ V 0 г 1

Тогда при s

и I т | к 2

справедливы утверждения, леммы. Г>.

Т о о р е м а 1. Если f(x,t) = 0 коэффициенты оператора. Ьу> и (функция. (р(х) удовлетворяют условиям леммы о. то ряд (5) сходится равномерно во всем, замкнутом цилиндре Qt; о. ряды, полученные однократным почленным дифференцированием ряда (5) по I. и двукратным дифференцированием вида О2 /dXjiJXj, Иш сходятся равномерно в любой стропа внутренней подобласти Q[ CQ j. При этом сумма ряда (5) определяет классическое решение задами (I)—(3).

Д о к а з а г е л 1> с т к о. И условиях теоремы 1 ряд (5) имеет вид

х:

«ОМ)

р-1

Применяя к (19) неравенство Копти Вуняковского

(3.19)

ЕI*.

Р-1

р~\>/ ргр' 1•

I "+"Гк 1+1

и используя сходимость числового ряда ^ ррАр

установленную 1} лемме 5. и равно-

___ ОС I 71 —т — к I |

мерную в И 1 сходимость ряда г’р(а:)Ар 2 . установленную в |4|, получаем равно-

р-1 '

мерную сходимость ряда (19) в замкнутом цилиндре (^. Обозначим ряды, полученные однократным дифференцированием ряда (Г>) по /, дифференцированием ряда (Г>) вида ()2/дх{дху 1<г,з <«, В!/г г = 1.т через Щ, ит.т.. соответственно. Указанные ряды достаточ-

но исследовать лишь при I >е, г - произвольное положите. плюс чис.;ю. Докажем сходимость этих рядов при единственном условии 1;-2.к№ 1 )• 11ользуясь неравенством

сГХР1 <

(?о и 1 т 1 А'

(у/Ь)**'" 2 -

,* > = > 0,

оценим ряды Ні, иЖ{Х4* М-ни. следующими рядами:

р~ I

С<)

Я I

т-Е

р-1

дЧр(х)

Со

( у/\)

Со

р-1

(лАО

Я I ;Г

(3.20)

Со некоторая положительная копечата. Применяя неравенство Коши Вуняковского к но-

ОС '

лученным рядам, используя сходимость числового ряда ^ имеющую место в силу ра-

р 1

венства Парсеваття для любой функции :~р Е 1^2,к№1) и используя равномерную сходимость рядов

Е

р *

дхідх-і

-«-з

V 1

установленную в |б|. получим равномерную сходимость рядов

Лемма 7. Пусть область О 1 . коэффициенты оператора /.,/ и /ОМ) удовлетворяют требованиям леммы Тогда ряд

Е 1р(1У‘'р(х) р-1

сходится равномерно в замкнутом цилиндре. . Док а з а т е л ь с т в о. В силу леммы 5 при .у =

(3.21

п + т + к

ряд

П | 4(1 | А' I

Е^<г>л" 3 р-|

СХОДИТСЯ ДЛЯ ПОЧТИ псех / € |0, / |, И час тности. ДЛЯ некоторого /■() € |0, 7’| Применяя к (21) неравенство Копти Вуняковского

V 1 [р 1 /'1 )

п учитывая равномерную сходимость в 121 первого из рядов в правой части (22), получим

сходимость почти всюду в [0.7’| ря,д,а (21). в частности, для /о € |0,7’|. Из леммы 4, примененной к /*(а\ £)- предельным переходом под знаком интеграла Лебега следует сходимость

ряда

2С 1

Е/,^л!^]",

Р- 1 А

Р-1 о

где 1'р(т) коэффициент Фурье функции //.(;г,/). Как и вытпе, применяя неравенство К01 ВуПЯКОВСКОГО, покажем равномерную СХОДИ МОСТ], в ().р ряда

ОС

X '>(•'•) I Тр(т)<1т. (3.23)

р-1

о

Пусть I.'(/) непрерывно дифференцируемая на [0,7'|, равная пулю вблизи / I) и / /',

Изр(х) последовательность непрерывно дифференцируемых в 121 функций, ранных нулю вблизи Г1, сходящихся в норме пространства , (121) к собственной функции пр(х). Тогда для ?;<(а\£) € С1 ) справедливо тождество

7 . 7

п о о о

Применяя теорему Фубинп и переходя к пределу при ] —*•(), полупим равенство

Т _ 7

/ / /,И*)^(*)<Й-

о о

Отсюда следует, что Рр(1) — обобщенная производная функции /,,(/) па [0. Г]. Поскольку /,,(/) пен|К!рывиа па |(). Т], то

I.

У Гр(г)с/г = Ш - /„(/„)

*0

или

эс эс эс ^

= ^2 ‘ф-) I Рр{т)(1т.

V 1 р I р I /,

В силу равномерной сходимости ряда (23) отсюда следует равномерная сходимость в ряда (21).

Г е о р е м а 2. Вели коэффициенты оператора /-у, +(х) /(а*, I) и удовлетворяют условиям леммы 5, то относительно суммы ряда (5) и рядов, полученных почленным дифференцированием ряда (Г>), справедливы утвероюдения, теоремы. I.

Д о к а з а і е л і> с т в о. І Іокажем, ч то ряд

„ *

Е'-Р(х) [ /Р{т)<гх^-Т)йт

V 1 {

является классическим решением задачи (I) (3), в которой £ = 0. Имесм

ОС оо ^

ъ = 5>Р(*)/Р(о -Мг)<-х^-т)йт.

р 1 /' 1 о

В силу леммы 7 первый ряд (21) сходится в . Учитывая опойку

- I 1 2

I /р(т)е-М'-^г

(3.24)

< /<Г2Х'(‘-Г,<(т I %(т№ < ЩІ&Т)

и применяя ко второму ряду в (21) неравенство Копти Вуняковекого. полупим:

Е

р-1

т

'Ф)*р / Мт)с-^и-А\/т

- 1 Е';р^

р-1

2

ОС ~

Е

Р-1 о

,(т)г/тА}( *

12

(3.25)

Равномерная сходимость нерпою ряда 1! (25) установлена и |4|, сходимость второго ряда 1! (25) следует и:! леммы 5. К ряду

р і

применим неравенство Копти Вуняковекого

зс \

1'В* = £ В),у Л>,/т

Е

р—1

т

НУгМ*) / Гр(т)с-Х^-Х\1т

< \ ^(ІІ!/ґгР(;г))2 р-1

■ОС- . .

• 1 _ / I 7 ГУ

‘ Е ії(т)(1тХр

/>-' о

В силу равномерной сходимости второго ряда в (21) в произвольной подобласти 12С 121 и леммы 5 вытекает равномерная сходимость в С <2^ ряда //.« 4. Аналогично устанавливается равномерная сходимость в ряда иХ1Ху

3 а м е ч а и и с 1. В условиях леммы 6 справедливы утверждения теорем 1 и 2.

3 а м е ч а и и с; 2. Ограничение е(х) <0 в лемме 5 можно сиять. В случае с(.т) >0 замена »(.т,/) п(хЛ)еп1' приводит к уравнению

Он

---------Ь,/г = /(.т. 1)с

т ■' ^ •

в котором коэффициент с(х) —а I с(х) в силу непрерывности г(.г) на П+ отрицат('лсн при достаточно большой постоянной а > 0.

Автор выражает благодарность Т.Д. Воробьевой и М.В. Ворзовой за внимание к работе и обсуждения.

. IM I КРЛТУРЛ

1. Куприянов И.А. О краевых задачах для уравнений в частных производных с дифференциальным оператором Бесселя . / ДА11 СССР. 1964. Т. 158. .4* 2. С. 275-278.

2. Стеклоо В. А. Остютшыо задачи математической физики. ТТг. 1922. Т I.

‘Л.Ильин- В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболических и параболических уравнений ,7 УМП. I960. ГГ. 15. Выи. 2. С. 97-151.

4. Сазонов А.Ю. О классическом решении смешанной задачи для сингулярного параболического уравнения / Дифферепциальпые уравпепия. 1990. Т. 26. Л"» 8.

5.Киприм/шо И.А. Оиигуляриыс эллиптические краевые задачи. М.: Наука, 1997.

(>. Салонов Л. ТО, Фомичева ТО. Г. О разрешимости ехгептаттттой задачи для гиперболического уравпетптя, содержащего оператор Бесселя по части пространственных переменных Междупар. конф. "Дифферепци-альпые уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений", посвященная 100-летию со дня рождения (’..1. (Соболева. 11овосибирск: Октябрь, 2008.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты .V" 1 ••1-01-00877, № М-01-97501).

Поступила в редакцию 21 ноября 2013 г.

Sazonov A.Yu.

OX CLASSICAL SOLI. ТЮХ OF MIXED PRO В L НМ FOR. PARABOLIC EQUATION COX'TAINIXC

bessel operator ox so mi: space variables

The work derives the sullicient conditions on the area boundary, the operator cocHieicnts, the right,-hand side, and the initial function, under which the Fourier series is a classical solution of the mixed problem for a second order parabolic equation containing (he Bessel operator on some space variables.

Key words'. Bessel operator: mixed problem; parabolic equation.

Сазонов Анатолий Юрьевич, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры алгебры и геометрии, e-mail: aih&l su.tinb.ru

Sazonov Anatoly Yuryevich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics. Associate Professor of Algebra and Geometry Department. e-mail: aibStsu.tmb.ru