Корректность задачи Дирихле в цилиндрической области для многомерного эллиптико-параболического уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.956

КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО ЭЛЛИПТИКО-ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

С. А. Алдашев

Доктор физико-математических наук, профессор, Казахский национальный педагогический университет имени Абая, Алматы, Казахстан, aldash51 @mail.ru

В работе для модельного многомерного эллиптико-параболического уравнения показана однозначная разрешимость классического решения задачи Дирихле в цилиндрической области.

Ключевые слова: уравнение, задача, область, функция.

Для общих эллиптико-параболических уравнений второго порядка постановку первой краевой задачи (или задачи Дирихле) впервые осуществил Г. Фикера [1]. Дальнейшее изучение этой задачи приведено в [2].

В работе для модельного многомерного эллиптико-параболичес-кого уравнения доказана однозначная разрешимость и получен явный вид классического решения задачи Дирихле в цилиндрической области.

Пусть — цилиндрическая область евклидова простран-

ства Ет+1 точек (ж1 , ...,хт, Ь), ограниченная цилиндром Г = = {(х, Ь) : |х| = 1}, плоскостями Ь = а > 0 и Ь = в < 0, где |х| — длина вектора х = (х1,..., хт).

Обозначим через Оа и О^ части области Оар, а через Га, Г^ — части поверхности Г, лежащие в полупространствах Ь > 0и Ь < 0; аа — верхнее, а ар — нижнее основание области Оа/з.

Пусть 5 — общая часть границ областей Оа, О^, представляющая множество {Ь = 0, 0 < |х| < 1} в Ет.

В области Оа/з рассмотрим многомерное смешанное эллиптико-параболическое уравнение:

0=

Дхи + пи, Ь > 0, Дхи - и, Ь < 0,

(1)

где Дх — оператор Лапласа по переменным х1,..., хт, т > 2.

В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат х1 ,...,хт, Ь к сферическим г, в1,..., 0т-1, Ь, г > 0, 0 < 61 < 2п, 0 < вг < п, г = 2, 3,..., т - 1, в = (01,..., вт-1).

Задача 1 (Дирихле). Найти решение уравнения (1) в области Оар при Ь = 0 из класса С)ПС2(ОаиО^), удовлетворяющее краевым условиям:

© Алдашев С. А., 2014

5

п\аа = <(г,0), и|га = ^М), (2)

и|Гв = (А 0) и\а@ = <2 М), (3)

при этом < (1,0) = (а, 0), <2(1,0) = ^2(в,0), ^1(0,0) = ^(0,0).

Пусть {^^(0)} — система линейно независимых сферических функций порядка п, 1 < к < кп, (т — 2)!п!кп = (п + т — 3)!(2п + т — 2), ^2(5), I = 0,1,... — пространства Соболева. Имеет место следующая лемма [3]. Лемма 1. Пусть /(г, 0) е ^ (5). Если I > т — 1, то ряд

ж к„

/ М) = ЕЕ /П (Г)^к,т (0), (4)

п=0 к=1

а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка р < I—т+1, сходятся абсолютно и равномерно.

Лемма 2. Для того чтобы /(г, 0) е ^(5), необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты ряда (4) удовлетворяли неравенствам:

ж к„

1/01 (г)\ < С1, ЕЕп21 \/П (г)\2< С2, С1, С2 =€СП81.

п= 1 к=1

Обозначим через <кп(г), (¿) коэффициенты ряда (4) разложений функций <2(г, 0), ^2(£,0) соответственно. Тогда справедлива

Теорема. Если <1 (г,0), <(г,0) е (5), (¿,0) е (Га), ^2(¿,0) е ^2(Г^), I > 3т/2, то задача 1 однозначно разрешима.

Доказательство. В сферических координатах уравнение (1) в области О^ имеет вид

т — 1 1

игг I--иг--- ои — и = 0, (5)

гг2

т-1 1 д / д \

0 = я, м,— 0, д- Г'"---1"-«-), = 1- я- = (Й1101 -»""--о2. ;> 1

Известно [3], что спектр оператора 0 состоит из собственных чисел Ап = п(п + т — 2), п = 0,1,..., каждому из которых соответствует кп ортонормированных собственных функций т (0).

Так как искомое решение задачи 1 в области О^ принадлежит классу С(О^) П С2(Ов), то его можно искать в виде

ж к„

и(г,0,*) = ££ ип(гЖпк т(0), (6)

п=0 к=1

где ип(г, ¿) — функции, подлежащие определению.

Подставляя (6) в (5), используя ортогональность сферических функций Упкт(0) [3], будем иметь

т 1 Ап

и пГГ I ипГ и п+ о и^п 0, к 1, кп, п 0,1,... , (7)

г г2

при этом краевое условие (3) с учетом леммы 1 соответственно запишется в виде

<(г,в ) = <2п(г), < (М) = А (¿), к = 1,кп, п = 0,1,.... (8) В (7), (8) произведем замену переменных ип (г, ¿) = (г, ¿) — (¿) и получим:

— к | ^^ 1 — к —к Ап — к ~гк / /п\

ипгг + ^ ипг ип£ ^2 ип / п(г, (9)

ип (г, в) = <2п (г), ^(1,^ = 0, к = 1,кп, п = 0,1,..., (10)

задаче:

/ П (г, Ь) = ^ + Л? ^п(Ь), Й2п(г) = А (г) - ^п (в). Произведя замену переменной иП(г, Ь) = г(1-т)/2иП(г, Ь), задачу (9), (10) приведем к следующей

= ипгг — и пЬ + ип = /п (г,Ь), (11)

иП (г, в) = йп (г), ик (1,«)=0, (12)

Дп = ((т — 1)(3 — т) — 4Лп), /к(), Ь) = г(т-1»/2/к(г,о, й„(г) = Ит-1»/2йкп(г).

Решение задачи (11), (12) ищем в виде

< (г,Ь) = и1п г,Ь + и2п (г,Ь)

где и1п (г, Ь) — решение задачи

= /п г,Ь, (13)

< (г, в) = 0, < (1,Ь) =0, (14)

а и2п(г, Ь)— решение задачи

= 0, (15)

и2п (г, в) = <Йп (г), и2п(1,Ь) = 0. (16)

Решение вышеуказанных задач аналогично [4] рассмотрим в виде

ипМ) = £ Яа(г)Та(Ь), (17)

8=1

при этом пусть

/п (г,Ь) = £ «а,п(Ь)Ла (г), йкп(г) = £ ьа,п Ла(г). (18)

а=1 а=1

Подставляя (17) в (13), (14), с учетом (18) получим:

Яагг + Л^Яа + дЯа = 0, 0 < г < 1, (19)

Яа (1)=0, |Да (0)1 < го, (20)

Таг + Ма,п Та = —<п (Ь), в<Ь< 0, (21)

Та (в)=0. (22)

Ограниченным решением задачи (19), (20) является [5]

Яа(г) = ^ (Да,пг), (23)

где V = п + (т — 2)/2, да,п — нули функций Бесселя первого рода (г), д = д Решением задачи (21), (22) является

2.

а,п.

в

Та,п(Ь) = (ехр(—д*^))/ <п(0(ехр С) (24)

г

Подставляя (23) в (18) получим:

те те

г-1/2/п(г,Ь) = £ ак,п(Ь)Л(да,пг), г-1/2йкп(г) = ЕЬк,пЛ(да,пг), 0 < г < 1. (25)

п V' 7 V ~ / у а,п У 7 V Уг"а,п' / 7 ' "Г2пУ ) ~ / У\г"а,п'

а=1 а=1

Ряды (25) — разложения в ряды Фурье-Бесселя [6], если

1

ак,п(*) = 2[Л+1 (дв,п)]-2У лД/2,(С,*)Л(дв,п

0 1

= 2[Jv+l(Ms,n)]-M V^n (J

(26)

(27)

, ^ = 1, 2,..., — положительные нули функций Бесселя ^(г), расположенные в порядке возрастания их величины.

Из (17),(23), (24) получим решение задачи (13), (14)

4 (r,t) = Е (t)J (Ms,nr),

8=1

где ак>п(£) определяется из (26).

Далее, подставляя (17) в (15), (16), с учетом (18) будем иметь задачу

тв4 + м2,пТ* = 0, в < * < 0, т (в) = ьк,п, решением которого является

Из (23), (29) получим:

где находится из (27).

u2n

Ts,n (t) = bk,n exp (e - t) .

(Г' t) = E V/r(exp M2,n (в - t) (Ms,nr)

s=1

Следовательно, единственным решением задачи (1), (3) в области О^ является функция

ж к„

и(г, М) = ££ (*) + г(1-т)/2 [< (г, *) + и2кп (г, *)] } Упкт (0),

n=0 k=1

где u1n (r, t), u2n(r, t) определяются из (28), (30).

Учитывая формулу 2 JV(z) = Jv-1 (z) — Jv+1(z) [6], оценки [3,4]

w n [2 ( п п л Л / 1

J V ( z) = W -cos z--V--+0 , ,

у } V nz V 2 4) \z3/2 J

V > 0,

|kn| < C1 n

m—2

d l

— (0)

d^i n,m V /

< C2 nm/2—1+1, j = 1, m — 1, l = 0,1,...,

(28)

(29)

(30)

(31)

а также леммы, ограничения на заданные функции (*, 0), <2(г,0), как в [7], можно доказать, что полученное решение (31) принадлежит классу С (О в) П С2(О^). Далее, из (28), (30),(31) при * ^ —0 имеем:

u(r,0,t) = Т (r,0) = £ Х>П (r)Ynkm (0),

(32)

n=0 k=1

тП (r) = ^n (0) + £ r(2—m)/2

s=1

ak,n(C)(exP M2,nC)dC + bk,n(exP ^2,nв)

Jn+( m— 2)/2 (Ms,nr).

Из (26)-(28), (30), а также из лемм 1 и 2, вытекает, что т(г,0) е Ж2(5), I > 3т/2.

0

в

0

Таким образом, учитывая краевые условия (2) и (32), мы приходим в области Оа к задаче Дирихле для многомерного уравнения Лапласа:

Ax u + uu = 0

(33)

с данными

u|s = Т (r,0), u | г а = М), u|^ = <¿>1 M), (34)

которое имеет единственное решение в классе CПC2(Оа) [7,8].

В [7, 8] приводится явный вид решения (33), (34), поэтому можно записать представления решения и для задачи (1). Теорема доказана.

Библиографический список

1. Фикера Г. К единой теории краевых задач для эл-липтико-параболических уравнений второго порядка // Сб. переводов. Математика. 1963. Т. 7, № 6. С. 99-121.

2. Олейник О. А., Радкевич Е. В. Уравнения с неотрицательной характеристической формой. М. : Изд-во Моск. ун-та, 2010. 360 с.

3. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М. : Физматгиз, 1962. 254 с.

4. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М : Наука, 1977. 659 с.

5. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М. : Наука, 1965. 703 с.

6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные

Well-posedness of the Dirichlet Problem in a Cylindrical Domain for Multidimensional Elliptic-parabolic Equation

S. A. Aldashev

Kazakh National Pedagogical University named after Abai, 13, Dostyk ave., 050010, Almaty, Kazakhstan, aldash51 @mail.ru

A unique solvability of classic solutions to Dirichlet's problem in the cylindrical domain for the model multidimensional elliptic-parabolic equation is shown in the article.

Key words: equation, problem, domain, function. References

1. Fikera G. K edinoi teorii kraevykh zadach dlia elliptiko-parabolicheskikh uravnenii vtorogo poriadka [The unified theory of boundary value problems for elliptic-parabolic equations of second order]. Sbornik perevodov. Matematika. 1963, vol. 7, no. 6, pp. 99-121 (in Russian).

2. Oleinik O. A., Radkevich E. V. Uravneniia s neotritsatel'noi kharakteristicheskoi formoi [Equations with nonnegative characteristic form]. Moscow, Moscow Univ. Press, 2010, 360 p. (in Russian).

3. Mihlin S. G. Mnogomernye singulyarnye integraly i integral'nye uravneniya [Higher-dimensional singular

функции : в 2 т. Т. 2. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. Справочная математическая библиотека. М. : Наука, 1974. 297 с.

7. Алдашев С. А. Корректность задачи Дирихле в цилиндрической области для одного класса многомерных эллиптических уравнений // Вестн. Новосиб. ун-та. Сер. Математика, механика, информатика. 2012. Т. 12, вып. 1. С. 7-13.

8. Алдашев С. А. Корректность задачи Дирихле в цилиндрической области для многомерного уравнения Лапласа // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, вып. 3. С. 3-7.

integrals and integral equations]. Moscow, Gosudarstv. Izdat. Fiz.-Mat. Lit., 1962, 254 p. (in Russian).

4. Tikhonov A. N., Samarskii A. A. Equations of mathematical physics. Translated from the Russian by A. R. M. Robson and P. Basu. Reprint of the 1963 translation. New York, Dover Publications, Inc., 1990. 765 p.

5. Kamke E. Spravochnik po obyknovennym differen-tsial'nym [Manual of ordinary differential equations]. Third revised edition. Translated from the German by

5. V. Fomin. Moscow, Nauka, 1965, 703 p. (in Russian).

6. Beitmen G., Erdeii A. Vysshie transtsendentnye

funktsii. T. II: Funktsii Besselya, funktsii paraboliches-kogo tsilindra, ortogonal'nye mnogochleny [Higher transcendental functions. Vol. II: Bessel functions, parabolic cylinder functions, orthogonal polynomials]. Translated from the English by N. Ja. Vilenkin. Second edition, unrevised. Spravochnaya Matematicheskaya Biblioteka [Mathematical Reference Library]. Moscow, Nauka, 1974. 295 p. (in Russian).

7. Aldashev S. A. The correctness of the Dirichlet problem Y^K 517.95; 517.984

in the cylindric domain for one class of multi-dimensional elliptic equations. Vestnik, Quart. J. of Novosibirsk State Univ. Ser. Math., mech., inform., 2012, vol. 12, iss. 1, pp. 7-13 (in Russian).

8. Aldashev S. A. The correctness of the Dirichlet problem in the cylindric domain for equation Laplase. Izv. Saratov. Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2012, vol. 12, iss. 3, pp. 3-7 (in Russian).

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПРОСТЕЙШЕГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ИНВОЛЮЦИЕЙ

М. Ш. Бурлуцкая1, А. П. Хромов2

1 Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, Воронежский государственный университет, ЬтвИ2001 @таН.ш

2Доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]

Исследуется смешанная задача для дифференциального уравнения первого порядка с инволюцией в потенциале и с периодическими краевыми условиями. Получены уточненные асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций соответствующей спектральной задачи, на основе которых проводится обоснование применения метода Фурье. Использованы приемы, позволяющие избежать исследования равномерной сходимости почленно продифференцированного формального решения по методу Фурье и получить классическое решение при минимальных требованиях на начальные данные задачи.

Ключевые слова: смешанная задача, инволюция, метод Фурье, классическое решение, асимптотика собственных значений и собственных функций, система Дирака.

В данной работе методом Фурье решается следующая смешанная задача с инволюцией:

ди(х,*) = ди(х,*) + д(ж)и(1 — X,*), X е [0,1], * е (—го, го), (1) д* дх

и(0, *) = и(М), (2)

и(х, 0) = <(х), (3)

где д(х) — комплекснозначная функция из С1 [0,1] такая, что д(0) = д(1), функция <(х) удовлетворяет естественным минимальным требованиям: <(х) е С1 [0,1], <(0) = <(1), (0) = (1).

Как ив [1, 2], где также рассматривается простейшая смешанная задача с инволюцией при производной их(х,*), применяя идеи А. Н. Крылова [3] и В. А. Чернятина [4], мы избегаем исследования равномерной сходимости почленно продифференцированного формального решения по методу Фурье. Это позволяет получить классическое решение задачи при минимальных требованиях на <(х).

1. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

1. Введем оператор

¿У = 1[У] = у'(х) + 3(х)У(1 — У(0) = У(1).

Рассмотрим соответствующую спектральную задачу ¿у = Ау:

у' (х) + д(х)у(1 — х) = Ау(х) (4)

© Бурлуцкая М. Ш., Хромов А. П., 2014