Задача келдыша для уравнения Пулькина в прямоугольной области Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

Р.М. Сафина1

ЗАДАЧА КЕЛДЫША ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУЛЬКИНА В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

В данной статье для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом исследуется задача Келдыша с неполными граничными данными. На основании свойства полноты системы собственных функций одномерной спектральной задачи установлен критерий единственности. Решение построено в виде суммы ряда Фурье — Бесселя. При обосновании равномерной сходимости ряда возникла проблема малых знаменателей. При некоторых ограничениях на данные задачи найдена оценка об отделенности от нуля малого знаменателя с соответствующей асимптотикой, которая позволила доказать равномерную сходимость ряда и его производных до второго порядка включительно и теорему существования в классе регулярных решений.

Ключевые слова: уравнение смешанного типа, сингулярный коэффициент, задача Келдыша, спектральный метод, ряд Фурье — Бесселя, равномерная сходимость, единственность, существование.

1. Постановка задачи

Рассмотрим уравнение С.П. Пулькина [1]

к

Бп = ихх + ^пу)пуу + -их =0 (1.1)

в прямоугольной области Б = {(х,у)\ 0 < х < I, —а < у < в}, где к ^ 1, а > 0, в > 0 - заданные действительные числа.

В этой работе рассмотрим первую граничную задачу для уравнения (1.1) в области Б. В силу результатов работ [1; 2] в классе ограниченных в Б решений уравнения при к ^ 1 отрезок х = 0 границы области Б освобождается от граничного условия. В связи с этим предлагается следующая задача с неполными граничными данными, т. е. задача Е (по терминологии М.В. Келдыша)

Задача Е. Найти в области Б функцию п(х,у), удовлетворяющую условиям:

п(х,у) е С (Б) П С\Б) П С2(Б+ и Б-); (1.2)

Бп(х,у) = 0, (х,у) е Б+ и Б-; (1.3)

п(1, у) = 0, —а < у < в; (1.4)

!© Сафина Р.М., 2015

Сафина Римма Марселевна (rimma77705@mail.ru), кафедра физико-математических дисциплин и информационных технологий, Поволжская государственная академия физической культуры, спорта и туризма, 420138, Российская Федерация, г. Казань, ул. Деревня Универсиады, 35.

и(х,в) = ф(х), и(х, —а) = ф(х), 0 ^ х ^ I, (1-5)

где ф, ф - заданные достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям ф(0) = ф(1) = ф(0) = ф(1) =0, Б+ = Б П{у> 0}, Б- = Б П{у < 0}.

В работах [1; 3, с. 68], показано, что в случае задачи Е

их(0,у)=0, —а < у < в. (1.6)

Ф.И. Франкль [4, с. 288] впервые обратил внимание на то, что ряд задач трансзвуковой динамики сводится к задаче Дирихле для уравнений смешанного типа. Так, например, если рассматривать задачу перехода через звуковой барьер установившихся двумерных безвихревых течений идеального газа в соплах, когда сверхзвуковые волны примыкают к стенкам сопла вблизи минимального сечения, то она сводится к задаче Дирихле для уравнения Чаплыгина. В работе [5] была показана некорректность постановки задачи Дирихле для уравнения Лаврентьева ихх + (sgny)uyy = 0. Результат этой работы с необходимостью поставил вопрос поиска смешанных областей, для которых задача Дирихле является корректно поставленной. В дальнейшем задача Дирихле для уравнений смешанного типа изучалась многими авторами [6-12]. Более полную библиографию работ, посвященных этой тематике, можно найти в монографии [12].

В последние годы задача Дирихле для уравнений смешанного типа исследована в работах [13-18].

Данная работа является продолжением исследований автора [19], где изучена задача Дирихле для уравнения (1.1) в прямоугольной области Б при 0 < к < 1.

2. Единственность решения

Решения уравнения (1.1), не равные нулю на множестве Б+ и Б- и удовлетворяющие нулевым граничным условиям (1.4) и (1.6), будем искать в виде произведения и(х,у) = X (х) ■ У (у). Подставляя данное произведение в уравнение (1.1), получим

к

X (х) + кХ (х) + Х2Х(х)=0, 0 <х<1, (2.1)

х

X '(0) = X (1)=0, (2.2)

где А2 - постоянная разделения.

Решение спектральной задачи (2.1) и (2.2) определяется по формуле

1 — к

Xn(х) = х(Апх), (2.3)

Ап = ¡у, п =1, 2, 3,..., (2.4)

где Jv ^) - функция Бесселя первого рода, ¡п - п-й корень уравнения

Jк-1 (р>п) = 0.

Отметим, что для собственных значений задачи (2.1) и (2.2) при больших п справедлива асимптотическая формула [20, с. 317]:

¡п = Ап1 = пп + П(к + 2) + о( -1) . (2.5) 4 \п у

Пусть и(х,у) - решение задачи (1.2) - (1.5). Рассмотрим функции

ип(у)= u(x,y)xkXn(x)dx, п = 1,2,3,..., (2.6) Jo

где Xn(x) определяются по формуле (2.3). На основании (2.6) введем функции

/1-Е

u(x,y)x kXn(x)dx, n = 1, 2, 3,...,

(2.7)

где е > 0 - достаточно малое число. Дифференцируя равенство (2.7) по у дважды при у € (—а, 0) и (0,в) и учитывая уравнение (1.1), получим

Une(y) = f Е Uyy(x,y)xkXn(x)dx = -(sgny) f e(uxx + xUx)xkXn(x)dx

= -(sgny) f e д(xkUx)Xn(x)dx =

1-Е

= -(sgny) xkUxXn(x) - f e xkUxXn(x)dx L £

Из равенства (2.7) в силу уравнения (2.1), имеем

(2.8)

e(y) = - JT f Е U(x,y)xk [К (x)+ x X'n(x)

= - f-e u(x, y) ~t(xk X'n(x))dx =

dx

l-e

U(x,y)xkXn(x) - f e xkUxXn(x)dx

Из равенства (2.9) найдем

A-e

Uxx Xn(x)dx = XnUn,e(y) + U(x,y)x Xn(x)

le

Подставляя (2.10) в (2.8), получим

Une(y) = -(sgny)

l-e

x UxXn(x) - Xn Un,e(y) - U(x,y)x Xn (x)

l-e

(2.9)

(2.10)

Переходя здесь к пределу при е ^ 0, с учетом граничных условий (1.4), (1.6) и (2.2), получим, что ип(у) удовлетворяет дифференциальному уравнению

Un(y) + (sgny)X2nUn(y) = 0, y € [-а, 0) U (0,£]. Общее решение дифференциального уравнения (2.11) имеет вид

(2.11)

Un(y)

(2.12)

aneJny + bne-xny, y> 0, Cn cos Xny + dn sin Xny, y < 0,

где an, bn, cn, dn - произвольные постоянные.

Теперь в (2.12) на основании (1.2) подберем постоянные an, bn, cn и dn так, чтобы выполнялись условия сопряжения

Un(0 - 0)= Un(0 + 0), Un(0 - 0)= Un(0 + 0). (2.13)

Условия (2.13) выполняются только тогда, когда cn = an + bn и dn = an - bn,

n = 1, 2, 3,.....

С учетом последних равенств функции (2.12) принимают вид

(y) =

Cn ch Xny + dn sh Xny, y > 0, Cn cos Xny + dn sin Xny, y < 0.

(2.14)

Для нахождения постоянных сп и йп воспользуемся граничным условием (1.5) и формулой (2.6):

U

e

e

{

U

ип(@)= u(x, в)xkXn(x)dx = / ф(х)хкXn(x)dx = фп,

J 0 J 0

п(—а) = / u(x, —a)xkXn(x)dx = ф(x)xkXn(x)dx = фп.

00

-a)xk Xn(x)dx = ^(x)xky^ny 00 Теперь на основании (2.14)—(2.16) получим систему

Cn ch Xnfí + dn sh Ane = фп, cn cos Ana — dn sin Ana = фп.

Если определитель системы (2.17) при всех n £ N

△ (n, а, в) = chAne sin Ana + shAne cos Ana = 0,

{

(2.15)

(2.16)

(2.17)

(2.18)

(2.19)

(2.20)

У> 0, У< 0. (2.21)

Пусть теперь ф(х) = 0 и ф(х) = 0 и выполнены условия (2.18). Тогда из равенств (2.15), (2.16) и (2.21) следует, что ип(у) = 0 при всех п € N. Тогда из (2.6) получим

„к -

то данная система имеет единственное решение

Фп shAne + ф

п sin Ana

dn =

chAne sin Ana + shAne cos An а Фп cos Ana — фnchAnв

chAnв sin Ana + shAne cos Ana С учетом (2.14), (2.19), (2.20) найдем окончательный вид функции

>(у) =

/\(п,а.

△ (п,а,в)

[фп (cos AnashAn y + sin AnachAny) + фп shAn(e — y)] [фп sin An (y + a) + фn(shAnв cos Any — chAne sin Any)]

в)

/ u(x,y)xkXn(x)dx = 0, n = 1, 2, 3,... .

0

(2.22)

Отсюда в силу полноты системы (2.3) в пространстве ¿2 [0,1] с весом хк следует и(х,у) = 0 почти для всех х € [0,1] и при любом у € [—а, в]. Поскольку и(х,у) € € С (Б), то и(х, у) = 0 в Б.

Пусть при некоторых а, в и п = в € N нарушено условие (2.18), т. е. △ (в, а, в) = 0. Тогда однородная задача (1.2) - (1.5) (где ф(х) = ф(х) = 0) имеет нетривиальное решение

us(x,y)

ds(shAsychAse — shAsechAsy)Xs(x), y > 0, ds(chAse sin Asy — shAse cos Asy)Xs(x), y < 0,

(2.23)

где ds - произвольная постоянная, не равная нулю, Х8(х) определяются по формуле (2.3).

Выражение А(п,а.,в) представим в виде

△ (п,а,в) = \/ еН2\п в 8ш(^„а + вп),

где Ana = ^f-а = [лпа, а = у, 0

(2.24)

агс:3™ л/сША3в ^ П при п ^ Из представления (2.24) видно, что выражение А(п,а.,в) =0 относительно а только в том случае, когда

1

г = 1, 2,... . (2.25)

1

а = —(пг — вп), Рп

Таким образом, доказана

Теорема 1. Если существует решение задачи (1.2) - (1.5), то оно единственно тогда и только тогда, когда выполнены условия (2.18) при всех п € N.

3. Существование решения

Поскольку а и в - любые числа из промежутков задания, то при достаточно больших п выражение Д(п, а, в), которое входит в знаменатели коэффициентов (2.19) и (2.20), может стать достаточно малым, т. е. возникает проблема "малых знаменателей" [13]. Для обоснования существования решения данной задачи необходимо показать существование чисел а, в и к таких, что при достаточно больших п выражение △(п,а,в) отделено от нуля.

Лемма 1. Если а = р/д, р,д € М, (р, д) = 1 и к = Р (4<д — д — 4г) — 2, < € N, г = 1,...,д — 1, то существуют положительные постоянные С0 и п0 € N такие, что при всех п > п0 справедлива оценка

в)\ > СовХпв.

|А(г

(3.1)

Доказательство. На основании формулы (2.5) имеем

цпа. = nna +--(k + 2) а + O ( — ) .

Л \n J

4 ' \n

Тогда из соотношения (2.24) с учетом (3.2) получим

△ (n, а, в) = \Jch2\n@ sin

nna + П (k + 2)а + O ( — ) + 9п 4n

(3.2)

(3.3)

Пусть теперь а = р/д - рациональное число, где р,д € N, (р,д) = 1. В этом случае разделим пр на д с остатком: пр = вд + г, в,г € N и 0, 0 ^ г ^ д — 1. Тогда выражение (3.3) примет вид:

△ (п, а, в) = VhXne(-—)s sin f + ПР(k + 2) + вп + O (¿)

= 1 + e-4Xnl3(- — )s sin y?- + ПР(k + 2) + n — sn + O (i)

здесь sn > 0 и sn ^ 0 при n ^ ж.

Применяя формулу разности арксинусов

arcsin x — arcsin y = arcsin(x\¡ 1 — y2 — y\J 1 — x2), xy > 0,

(3.4)

и учитывая неравенство arcsin x < nx/2, 0 < x < 1, имеем

Ы =

П n 4 — en

arcsin — arcsin o

V2 л/сН2\пв

arcsin

лДСШХПР

< п

..... о

arcsin

1 sh\n ¡3-ch\n¡3 —2 -ch2\n¡3

2 ^Je2\ní3 +e-2\n¡3

П e-2\n¡3

< П e

Тогда из представления (3.4) следует, что существует номер по такой, что при всех п > по

△ (n,a,,e)l >

72"

nr np . П

— + / (k + 2) + -д 4д 4

^ce

(3.5)

Теперь потребуем, чтобы постоянная Со была больше нуля, а это возможно только тогда, когда

— + Пр (к + 2) + П = € N.

д 4д 4

или

е

е

Г + - = М^Р (3.6)

д 4 4д

при всех й € N, г € Ж0 П [0, д - 1]. Из (3.6) имеем

к = -(4йд - д - 4г) - 2. (3.7)

Р

Из неравенства (3.7) видно, что если к является положительным иррациональным числом, то неравенство (3.6) всегда выполнено. При рациональном к условие (3.6) может нарушаться. Поэтому потребуем, что постоянная к не принимала рациональные значения из правой части (3.7).

Лемма 2. Пусть выполнено неравенство (3.1) при п > п0. Тогда при таких п для любых у е [—а, ¡3] справедливы оценки:

\пп(у)\ < С1 (Ы + \фп\), (3.8)

\пп(у)\ < С2п(\фи\ + Ш), (3.9)

\п'П(у)\ < Сзп2(ф„\ + \фп\), (3.10)

С - здесь и далее положительные постоянные.

Доказательство. На основании формул (2.21) с учетом оценки (3.1) найдем

<

\un(y)\ < \А{п,ав)\ [\^n\(shXne + ch\nfi) + \^n\shXnв] < c^ne [\v>n\(shXne + chXnP) + \^n\shXnP] < Cl[\фп\ + \фп\], У> 0,

(3.11)

\un(y)\ ^ ce^ [\Фп\ + №n\(shXnв + chXne)] < С2[\фп\ + \фп\], У< 0. (3.12)

Тогда при всех y £ [—а, в] и n > no

\un(y)\ < C(\фп\ + \Фп\), (3.13)

здесь Ci = max{Ci,C2}.

На основании формул (2.21) вычислим

, ()\ А{пСав) [Фп (cos XnachXríy + sin XríashXríy) — фп^п(в — у)] , y> 0, n \ Aina,в) [фп cos Xn(y + а) — фn(shXnв sin Xny + chXne cos Xny)], y< 0.

(3.14)

Аналогично, исходя из равенств (3.1) и (3.14), получим

\u'n(y)\ < с0Пп [\фп \(chXne + shXn в) — \Фп\сЬЛпв] <nCs(^n\ + \фп\), У > 0, \u'n(y)\ < cene [\фп\ — \фn\(shXnв + ^кв)] < nCA(^n\ + \фп\), У < 0.

(3.15)

Тогда при всех y £ [—а, в] и n > no

\un(y)\ < nC2^n\ + \фп\), (3.16)

где C2 = max{Cs, C4}.

Для второй производной справедливо тождество

u'n(У) = — (sgn y)X2nun(y), y £ [—а,0) и (0,в]. Отсюда в силу оценки (3.13) следует, что

\un(У)\ < X2n\un(y)\ < C3П2(\Фп\ + \фп\).

Лемма 3. Для достаточно больших п и при всех х € [0,1] справедливы оценки:

\Хп(х)\ < С5П-1, (3.17)

\Х'п(х)\ < С6п1, (3.18)

\Х'П (х) \ < С7п3. (3.19)

где Сг - положительные постоянные.

Доказательство. Функция Хп(х) = х(Хп1х) € С2[0,1] и при больших г справедлива асимптотическая формула

Л (г) = о . (3.20)

Отсюда следует справедливость оценки (3.17). Найдем

/ 1 — к Хп(х) = —Хп1х ^ (Хп1х). (3.21)

Тогда из формул (3.20) и (3.21) следует справедливость оценки (3.18). Далее из уравнения (2.1) найдем

,, - / Хп (х) = --Хп(х) - Х2Хп(х). х

Отсюда в силу доказанных неравенств (3.17) и (3.18) следует справедливость оценки (3.19).

Лемма 4. Если функции ф(х) € С4\0,1] и ф(х) € С4[00,1] и ф(0) = ф(0) = = ф (0) = ф' (0) = ф ' (0) = ф" (0) = 0, ф(1) = ф(1) = ф (I) = ф' (I) = ф ' (I) = ф" (I) = 0, то справедливы оценки:

СС \фп\ < , \фп\ < -9. (3.22)

п4 п4

Доказательство. Интегрируя два раза по частям в интеграле (2.15) с учетом равенства (2.1), имеем

фп = 10) ф(x)xkXn(x)dx = - -^г /0 ф(х)(хк Х'п(х))' ¿х = = 10 ф' (х)хкХ'п(х)с1х = -/0(ф' (х)хк)'Xn(x)dx = = - ^ ф' '(х)хк Хп(х)с1х - к 4х1 хк Хп(х)с1х. Отсюда получим представление

1 ф(2) - -Х2п п Х2п

где

фп = -Т2ф(2) - туф1п, (3.23)

ф(2) = [ ф (х)хк Хп(х)йх, ф1п = [ ф ( )хкХп(х)йх. ./о J о х

Аналогично получим представления для

ф(2) = - Хп ф(4) - Хп ф3п, (3.24)

— ф(2) _ -

х27 1п хп

где

ф1п = -ТГфы - ТГф2п, (3.25)

ф(4) = 11 ф(4)(х)хкХпШх, ф3п = 11 хк Хп(х)сЪ,

■)о .)о х

ФП = [ Ф1(х)хк Хп (х)3,х, ф2п = ( хкХп (х)3,х, Ф\{х) = ф (х)/х.

■)о .) о х

Подставляя (3.24) и (3.25) в (3.23), получим

1 г.) к к (2) к2

Т4 Фп + Т4 ф3п + ф1п + Т"4

' '/с ' ',>-> ' '/с

1 (4) к к (2) к Фп = тгфп ) + ТГФ3п + тгФ1п + ТГФ2п. (3.26)

Из представления (3.26) следует первая оценка из (3.22). Аналогично доказывается справедливость второй оценки из (3.22).

Если выполнены условия (2.18) и (3.1), то на основании частных решений (2.3) и (2.21) решение задачи (1.2) - (1.5) можно представить в виде суммы ряда Фурье

(х,у) = ^2 ип(у)Хп(х), (3.27)

п=0

где функции ип(у) определены по формуле (2.21), а функции Хп(х) - по формуле (2.3).

Формально из ряда (3.27) почленным дифференцированием составим ряды:

гад

Лх,У) = 53 ип(У)Хп(хих(х,у) = ^ ип(У)Хп(х). (3.28)

о

+ад

//

иУУ (х> У) = ^ ип(У)Хп(х), ихх(х, ^ = £ ип(У)Хп (х). (3.29)

п=о п=о

Ряды (3.27) и (3.28) при любом (х,у) € Б мажорирутся рядом

+ад

СюХ) п2 (\Фп\ + \фп\), (3.30)

п=о

а ряды (3.29) при любом (х,у) € Б+ и Б- - рядом

+ад

п2 (\Фп\ + \фп\). (3.31)

о

Согласно лемме 4 ряды из (3.30) и (3.31) оцениваются соответственно числовыми рядами

+ад +ад

С12£ п-2, С^ п-5. (3.32)

п=1 п=1

На основании сходимости рядов (3.32) в силу признака Вейерштрасса сходятся равномерно ряды (3.27), (3.28) на замкнутой области Б, а ряды (3.29) соответственно на замкнутых областях Б+ и Б-. Поэтому функция и(х,у), определенная рядом (3.27), удовлетворяет условиям (1.2) и (1.3).

Если для указанных в лемме 1 чисел а при некоторых п = т = в1, В2,..., вь, где 1 ^ в1 < в2 < ... < вь ^ по, вь и Н - заданные натуральные числа, А(т,а,в) = 0. Тогда для разрешимости системы (2.17) достаточно, чтобы выполнялись условия

Фт = 0,фт = 0,т = в1,в2,..., вь. (3.33)

В этом случае решение задачи (1.2)-(1.5) определяется в виде

(81 — 1 -1 +ад \

+ + I ип(у)Хп(х)+^ ит(х,у), (3.34)

п=1 п=вН-1 + 1 п=Яь + 1/ т

и

и

здесь в последней сумме m принимает значения si, $2,sh, функция um(x,y) определяется по формуле (2.23).

Итак, доказана

Теорема 2. Пусть функции ф(х) и ф(х) удовлетворяют условиям леммы 4 и выполнена оценка (3.1) при n > n0. Тогда если △(n, a, ß) = 0 при всех n = l,n0, то существует единственное решение задачи (1.2)-(1.5), и это решение определяется рядом (3.27); если A(n,a,ß) = 0 при некоторых n = s\,s2,...,sh ^ n0, то задача (1.2)-(1.5) разрешима, когда выполняются условия (3.33), и решение в этом случае определяется рядом (3.34).

Литература

[1] Пулькин С.П. О единственности решения сингулярной задачи Геллерстеда // Изв. вузов. Сер.: Математика. 1960. № 6(19). С. 214-225.

[2] Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // ДАН. 1951. Т. 77. № 2. C. 181-183.

[3] Сабитов К.Б. К теории уравнений смешанного типа. М.: Физматлит, 2014. 304 с.

[4] Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука, 1973. 711 с.

[5] Бицадзе А.В. Некорректность задачи Дирихле для уравнений смешанного типа // ДАН СССР. 1953. Т. 122. № 2. С. 167-170.

[6] Шабат Б.В. Примеры решения задачи Дирихле для уравнения смешанного типа // ДАН СССР. 1957. Т. 112. № 3. С. 386-389.

[7] Вахания Н.Н. Об одной особой задаче для уравнения смешанного типа // Тр. АН Груз. ССР. 1963. Т. 3. С. 69-80.

[8] Cannon J.R. Dirichlet problem for an equation of mixed type with a discontininius coefficient // Ann. Math. pura ed appl. 1963. Vol. 62. P. 371-377.

[9] Нахушев А.М. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области // Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6. № 1. С. 190-191.

[10] Хачев М.М. Задача Дирихле для уравнения Трикоми в прямоугольнике // Диф-ференцальные уравнения. 1975. Т. 11. № 1. С. 151-160.

[11] Солдатов А.П. Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева — Бицадзе // ДАН. 1993. Т. 333. № 1. С. 16-18.

[12] Хачев М.М. Первая краевая задача для линейных уравнений смешанного типа. Нальчик: Эльбрус, 1998. 168 с.

[13] Сабитов К.Б. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа в прямоугольной области // ДАН. 2007. Т. 413. № 1. С. 23-26.

[14] Сабитов К.Б., Сулейманова А.Х. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа второго рода в прямоугольной области // Изв. вузов. Сер.: Математика. 2007. № 4. С. 45-53.

[15] Сабитов К.Б., Сулейманова А.Х. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с характеристическим вырождением в прямоугольной области // Изв. вузов. Сер.: Математика. 2009. № 11. С. 43-52.

[16] Сабитов К.Б., Вагапова Э.В. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения в прямоугольной области // Дифференциальные уравнения. 2013. Т. 49. № 1. С. 68-78.

[17] Хайруллин Р.С. К задаче Дирихле для уравнения смешанного типа второго рода с сильным вырождением // Дифференциальные уравнения. 2013. Т. 49. № 4. С. 528-534.

[18] Сафина Р.М. Критерий единственности решения задачи Дирихле с осевой симметрией для трехмерного уравнения смешанного типа с оператором Бесселя // Изв. вузов. Сер.: Математика. 2014. № 6. С. 78-83.

[19] Сафина Р.М. Задача Дирихле для уравнения Пулькина в прямоугольной области // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучн. сер., 2014. № 10(121). С. 91-101.

[20] Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. М.: Мир, 1986. 381 с.

References

[1] Pulkin S.P. Uniqueness of the solution of a singular problem of Gellerstedt. Izvestiia vuzov. Matematika [News of Higher Educational Institutions. Mathematics], 1960, no. 6(19), pp. 214-225 [in Russian].

[2] Keldysh M.V. On certain cases of degeneration of equations of elliptic type on the bondary. DAN [Reports of the Academy of Sciences], 1951, Vol. 77, no. 2, pp. 181-183 [in Russian].

[3] Sabitov K.B. On the theory of equations of the mixed type. M., Fizmatlit, 2014, 304 p. [in Russian].

[4] Frankl F.I. Selected works on gas dynamics. M., Nauka, 1973, 711 p. [in Russian].

[5] Bitsadze A.V. Incorrectness of the Dirichlet problem for the equations of the mixed type. DAN SSSR [Reports of the Academy of Sciences of the USSR], 1953, Vol. 122, no. 2, pp. 167-170 [in Russian].

[6] Shabat B.V. The examples of solutions of the Dirichlet problem for mixed-type equations. DAN SSSR [Reports of the Academy of Sciences of the USSR], 1957, Vol. 112, no. 3, pp. 386-389 [in Russian].

[7] Vakhaniya N.N. About one singular problem for the equations of the mixed type. Tr. AN GruzSSR [Materials of the Georgian Academy Academy of Sciences of the USSR], 1963, Vol. 3, pp. 69-80 [in Russian].

[8] Cannon J.R. Dirichlet problem for an equation of mixed type with a discontininius coefficient. Ann. Math. pura ed appl., 1963, Vol. 62, pp. 371-377.

[9] Nakhushev A.M. Criterion of uniqueness of solution of Dirichlet problem for the equation of the mixed type in the cylindrical domain. Differentsial'nye uravneniia [Differential equations], 1970, Vol. 6, no. 1, pp. 190-191 [in Russian].

[10] Hachev M.M. Dirichlet problem for the Tricomi equation in a rectangle. Differentsial'nye uravneniia [Differential equations], 1975, Vol. 11, no. 1, pp. 151-160 [in Russian].

[11] Soldatov A.P. Dirichlet type problem for the equation of Lavrentiev - Bitsadze. DAN [Reports of the Academy of Sciences], 1993, Vol. 333, no. 1, pp. 16-18 [in Russian].

[12] Hachev M.M. The first boundary value problem for the equations of the mixed type. Nalchik, Izd-vo Elbrus, 1998, 168 p. [in Russian].

[13] Sabitov K.B. Dirichlet problem for a mixed-type equation in a rectangular domain. DAN [Reports of the Academy of Sciences], 2007, Vol. 413, no. 1, pp. 23-26 [in Russian].

[14] Sabitov K.B., Suleimanova A.Kh. Dirichlet problem for a mixed-type equation of the second kind in a rectangular domain. Izvestiia vuzov. Matematika [News of Higher Educational Institutions. Mathematics], 2007, no. 4, pp. 45-53 [in Russian].

[15] Sabitov K.B., Suleimanova A.Kh. Dirichlet problem for a mixed-type equation with characteristic degeneration in a rectangular domain. Izvestiia vuzov. Matematika [News of Higher Educational Institutions. Mathematics], 2009, no. 11, pp. 43-52 [in Russian].

[16] Sabitov K.B., Vagapova E.V. Dirichlet problem for an equation of the mixed type with two degeneration lines in a rectangular domain. Differentsial'nye uravneniia [Differential equations], 2013, Vol. 49, no. 1, pp. 68-78 [in Russian].

[17] Khairullin R.S. On the Dirichlet problem for mixed-type equation of the second kind with strong degeneration. Differentsial'nye uravneniia [Differential equations], 2013, Vol. 49, no. 4, pp. 528-534 [in Russian].

[18] Safina R.M. Criterion of uniqueness of solution to the Dirichlet problem with the axial symmetry for three-dimensional mixed type equation with Bessel operator. Izvestiia vuzov. Matematika [News of Higher Educational Institutions. Mathematics], 2014, no. 6, pp. 78-83 [in Russian].

[19] Safina R.M. Dirichlet problem for Pulkin's equation in a rectangular domain. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta. Estestvennonauchn. ser. [Vestnik of Samara State University Natural Science Series], 2014, no. 10, pp. 91-101 [in Russian].

[20] Olver F. Introduction to asymptotics methods and special functions. M., Izd-vo Mir, 1986, 381 p. [in Russian].

R.M. Safina2

KELDYSH PROBLEM FOR PULKIN'S EQUATION IN A RECTANGULAR DOMAIN

In this article for the mixed type equation with a singular coefficient Keldysh problem of incomplete boundary conditions is studied. On the basis of property of completeness of the system of own functions of one-dimensional spectral problem the criterion of uniqueness is established. The solution is constructed as the summary of Fourier-Bessel row. At the foundation of the uniform convergence of a row there is a problem of small denominators.Under some restrictions on these tasks evaluation of separation from zero of a small denominator with the corresponding asymptotics was found, which helped to prove the uniform convergence and its derivatives up to the second order inclusive, and the existence theorem in the class of regular solutions.

Key words: equation of the mixed type, singular coefficient, Keldysh problem, spectral method, series of Fourier-Bessel, uniform convergence, uniqueness, existence.

Статья поступила в редакцию 16/7/2015. The article received 16/7/2015.

2 Safina Rimma Marselevna (rimma77705@mail.ru), Department of Physical and Mathematical Disciplines and Information Technologies, Volga Region State Academy of Physical Culture, Sport and Tourism, 35, ul. Derevnya Universiady, Kazan, 420138, Russian Federation.

УДК 519.63

О.П. Филатов1

ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Доказана глобальная теорема существования и единственности обобщенного решения первой краевой задачи для нелинейного интегродифференци-ального уравнения параболического типа.

Если правая часть уравнения интегрально ограничена, то имеет место оценка нормы разности двух решений, из которой следуют непрерывная зависимость решения от начальной функции и единственность решения первой краевой задачи.

Рассматриваемая задача обобщает реальные модели измерения уровня несжимаемой жидкости в топливных баках ракет. Поэтому такие задачи имеют актуальные приложения.

Ключевые слова: интегродифференциальное уравнение, параболический тип, первая краевая задача, априорная оценка, обобщенное решение, существование, единственность, непрерывная зависимость.

1. Постановка задачи

Рассматривается первая краевая задача

щ — ¿гу(р(х)Уи) = /(х,г; и), и\р0, и^Т =0 (1-1)

в цилиндре От = Сх[0,Т], где ограниченная область О С Ят, дО £ С2, Ят = дОх х [0, Т] — боковая поверхность цилиндра, у которого верхнее и нижнее основания обозначаются соответственно символами

Бт = {(х,г) : х £ О, г = Т}, Б0 = {(х,г) : х £ О, г = 0},

правая часть уравнения

/(х,г; и) = Г(х,г, и(х,т) ¿хйт),

¿Оь

!© Филатов О.П., 2015

Филатов Олег Павлович (filatov_oleg@samaradom.ru), кафедра уравнений математической физики, Самарский государственный университет, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.