Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с двумя линиями перехода в прямоугольной области Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2015. T. 19, № 4. С. 634—649

ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) doi: http://dx.doi.org/10 УДК 517.956.6

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С ДВУМЯ ЛИНИЯМИ ПЕРЕХОДА В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ*

А. А. Гималтдинова

Башкирский государственный университет, Стерлитамакский филиал, Россия, 453103, Стерлитамак, проспект Ленина, 49.

Аннотация

Изучена первая краевая задача для уравнения эллиптико-гиперболиче-ского типа с двумя перпендикулярными внутренними линиями изменения типа и спектральным параметром. Доказаны единственность и существование решения. При доказательстве единственности используется полнота в пространстве L2 системы, биортогонально сопряженной с системой собственных функций соответствующей одномерной задачи. При построении решения в виде суммы ряда по биортогональной системе функций возникает проблема малых знаменателей. Получены оценки об отделимости знаменателей от нуля.

Ключевые слова: уравнение смешанного типа, задача Дирихле, единственность, существование решения, спектральный метод. doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1384

1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение

Lu = sgn x ■ uxx + sgn y ■ uyy + Au = 0, (1)

где A e C, в области

D = {(x, y) e R2 | - 1 < x < 1, -a < y < в},

a, в e R; a, в > 0. Обозначим Di = Dn{x > 0, y > 0}, D2 = Dn{x > 0, y < 0}, D3 = D П {x < 0, y < 0}, D4 = D П {x < 0, y > 0}.

Задача Дирихле (Задача D). Найти функцию u(x, y), удовлетворяющую условиям

u(x, y) e C( D) П C1(D) П C2(Di U D2 U D3 U D4), (2)

© 2015 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования Гималтдинова А. А. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с двумя линиями перехода в прямоугольной области // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2015. Т. 19, № 4. С. 634-649. аок 10.14498/vsgtu1384. Сведения об авторе

Альфира Авкалевна Гималтдинова (к.ф.-м.н., доц.; alfiragimaltdinova@mail.ru), доцент, каф. математического анализа.

* Настоящая статья представляет собой расширенный вариант доклада [1], сделанного авторами на Четвёртой международной конференции «Математическая физика и её приложения» (Россия, Самара, 25 августа - 1 сентября 2014).

.14498/vsgtu1384

Ьп(х, у) = 0, (х,у)е А и Д2 и Д3 и ДА, (3)

п(х,у)\х=1 = и(х,у) |л=-1 = 0, у е [-а; в], (4)

и(х,у)\у=-а = ф(x), и(х,у)\у=в = р(x), х е [-1;1], (5)

где р и ф —заданные достаточно гладкие функции, р(±1) = ф(±1) = 0.

Краевые задачи для уравнений смешанного типа с одной или несколькими линиями изменения или вырождения типа были объектом изучения многих авторов.

В работе [2] построена теория задачи Трикоми для уравнений смешанного типа в классической смешанной области, в которой гиперболическая часть состоит из двух подобластей, ограниченных характеристиками уравнения и линиями изменения типа. Там приведен достаточно полный обзор работ, посвященных данному направлению.

В работе [3] предложена задача для уравнения с двумя линиями вырождения в смешанной области, состоящей из четырех эллиптических подобластей и четырех гиперболических подобластей, последние из которых ограничены характеристиками данного уравнения и линиями изменения типа.

В [4, с. 303] было показано, что некоторые задачи трансзвуковой газовой динамики сводятся к задаче Дирихле для уравнений смешанного типа. В [5] доказана некорректность задачи Дирихле для уравнения Лаврентьева. В дальнейшем задача Дирихле для уравнений смешанного типа привлекала внимание многих авторов [6—11]. В этих работах единственность решения задачи Дирихле для уравнений смешанного типа с одной линией вырождения или изменения типа доказана с помощью принципа экстремума или методом интегральных тождеств, а существование — методом интегральных уравнений или разделения переменных.

В работах [12,13] исследована задача Дирихле для уравнения смешанного типа с одной внутренней линией степенного вырождения и вырождением на границе в прямоугольной области и методами спектрального анализа установлен критерий единственности и решение задачи построено в виде суммы ряда по системе собственных функций.

В данной работе впервые для уравнения (1) с двумя внутренними перпендикулярными линиями изменения типа со спектральным параметром изучена задача Дирихле в прямоугольной области Д. Найдены собственные значения соответствующей спектральной задачи. Установлен критерий единственности, и решение задачи (2)—(5) построено в виде суммы ряда по биортогональ-ной системе функций. Единственность решения поставленной задачи доказана на основании полноты биортогональной системы в пространстве Ь2[-1,1]. Ранее такая идея использовалась в работе [14] при доказательстве единственности решения начально-граничной задачи для гиперболических уравнений и в работе [12] для уравнений смешанного типа с одной линией изменения типа. При доказательстве существования решения задачи (2)—(5) аналогично [15,16,12] возникла так называемая «проблема малых знаменателей», которая создает трудности при обосновании сходимости построенного ряда в классе функций (2). При определенных ограничениях на параметры а, в доказаны леммы об отделимости малых знаменателей от нуля.

2. Спектральная задача. Построение биортогональной системы.

Задача Найти значения А и соответствующие им функции и(ж,у), удовлетворяющие задаче (2)-(5), где ^>(ж) = ^(ж) = 0.

После разделения переменных и(ж, у) = X (ж) У (у) получим два обыкновенных дифференциальных уравнения:

8§пж ■ X" + й ■ X = 0, ж е (-1, 0) и (0,1), (6)

8§пу ■ У" + (А - й)У = 0, у е (-а, 0) и (0,в), (7)

где й = е С — постоянная разделения, причем в силу условий задачи должны быть выполнены условия

X(0 - 0) = X(0 + 0), Х'(0 - 0) = Х'(0 + 0), (8)

X (-1)= X (1) = 0, (9)

У(0 - 0) = У(0 + 0), У'(0 - 0) = У'(0 + 0), (10)

У (-а) = У (в) = 0. (11)

Спектральные задачи (6), (8), (9) и (7), (10), (11) не являются классическими из-за незнакоопределенности коэффициента при старшей производной.

Решениями уравнения (6), удовлетворяющими условиям (8), являются функции

, , ( Ci cos ^ж + C2 sin ^ж, ж> 0, I C1 ch ^ж + C2 sh ^ж, ж < 0,

где Ci, C2 — произвольные постоянные, и с учетом условия (9) для ^ получим уравнение

tg ^ = - th (12)

Лемма 1. Уравнение

tg(az) = - th(bz), a, b e R, a, b> 0,

имеет счетное множество корней, состоящее из нуля, простых попарно противоположных действительных и попарно противоположных чисто мнимых корней, для которых справедливы следующие асимптотические представления :

4Щ2) = ±(-¿ + + 0(е-2^/«)), 43)'(4) = ±i(-П + Пк + O(e-2nka/b)), k e N.

Уравнение (12) в силу леммы 1 имеет счетное множество действительных корней и чисто мнимых корней причем для положительных ^

справедливо асимптотическое представление

= - П + nk + O(e-2nk).

(13)

Тогда d может принимать значения dk ' = > 0 и dk ' = — ц, \ < 0, и решениями задачи (6), (8), (9) будут соответственно функции

Г sin[^ fc — 1)], x> о, Г S^MX—М, x> 0,

Xi1' (x) = MC°S ^ * x(2)(x) = . k ^

k() Г s%fc (x + 1)] x< 0 k() Г sin[^fc (x + 1)] x< 0

{ ch ^ k , , [cos ^ fc , '

При найденных ^k решениями уравнения (7) с учетом условий (10) будут соответственно функции

Y(1)(y) = 1 k *_k wy.«_„ , (14

Yk (У) ьа^л,,./:^^1)^,./;;^^,^ (

ak1' ch(y^k — А) + bk1' sh(yy^k — А), У > 0,

У(2) (у) = ^ 2 ^ у • к ■>■ к у , к „ , (15)

2 "аК2) еЬ(^У^[Гл) + ЬК2) у< 0,

где а^, ьК1), аК2), ЬК2) — неизвестные пока коэффициенты.

Далее, удовлетворяя функции (14) и (15) граничным условиям (11), получим системы для нахождения неизвестных коэффициентов а к , Ъук , ^ = 1, 2:

ak1) cos(y^k— Л) + bk1) sin(y^k — Л), У < 0,

ak2) cos(y^i + Л) + bk2) sin(^, У > 0,

ak1' ch(^^k — Л) + bk1) sh(^^2 — Л) = 0, ak1) cos(a^| — Л) — bk1' sin(a\/^k — Л) = 0,

ak2) cos(e^^k + Л) + bk2) sin(e^^k + Л) = 0, ak2) ch(ay^k + Л) — bk2) sh(a^k + Л) = 0.

(16)

(17)

Системы (16) и (17) имеют нетривиальные решения тогда и только тогда, когда при всех к е N соответственно определители этих систем равны 0:

АК1)(а,в)=ео8(а^^К - Л^(в^2 - Л)+

+ Л) еКву^к - Л) = 0, (18)

А22)(а,в) =еЬ(аУ^[+Л )81п(в^2 + Л)+

+ еов(ву^К + Л) = 0. (19)

В этом случае

Ь21) = а21) еtg(аyVk - Л), ^ = а22) еЛ(а^| + Л),

и функции (14) и (15) примут вид

П(1)(у) =

(1) лл _ J ак] ( С0Ку^/„к - А) + - А) Л)) , у < 0,

а!1)(сЬ(у\/„к- А) + Л) йЬ(уЛ)), у >0,

У(2)(у) = |ак2)(сЬ(у^„к + А) + сШ(а^2 + А) 8%^ + А)), у < 0, к \ак2)(+ А) + „к + А)вШ(у ^/„к + А)), у> 0,

где ак1), а^ — произвольные коэффициенты.

Лемма 2. Собственными значениями спектральной задачи ^д являются числа

А1,1) = »2 \(1,2) = „2 (с(1))2 ч(1>3) = „2 + (с(2))2 Ак,0 = „к, Ак,п = „к - (СП ^ , Ак,п = „к + (СП ^ ,

\(2,1) = „2 А(2,2) = „2 + („(2) )2 ч(2,3) = „2 (с(1))2

Ак,0 = -»к, Ак,п = -»к + (сП Ч , Ак,п = -»к - (сП ^ ,

где „к _ корни уравнения (12), определяемые формулой (13), сП1), сП2) — корни уравнения tg(аc) = - Л(вс), определяемые так:

сП1) = --П-+-п+0(е-2ппв/а), сП2) = -П+Пп+0(е-2ппа/в), п = 1, 2,... . п 4а а у ' п 4в в

Доказательство. Собственные значения поставленной задачи являются корнями уравнений (18) и (19). Уравнение (18) равносильно уравнению

tg(ayVk - А) = -- А).

Обозначим „к - А = с, тогда уравнение tg(ac) = - Л(вс) согласно лемме 1 имеет следующие корни:

со = 0, сП1) = (-4а + ап + 0(е-2ппв/а)),

«£2) = <( - 4в + Пп + 0(е-2ппа/в )), сП3) = -(-+ ^ + 0(е-2ппв/а)),

(4) = _ + -п + П(е-2пп«/

гсП4) = - 4-в + ^п + °(е где п е N. Тогда собственными значениями будут действительные числа

Ак1о1) = „к, Ак1п2) = „к - (сП1))2, Ак1п3) = „к + (сП2))2.

Аналогично из уравнения (19) найдем

А?о1) = -„к, А&2) = -„к + (сП2))2, Ак2„3) = -„к - (сП1))2. □

Соответствующие собственные функции имеют вид

ий?(ж,у) = xkj)(ж)Уk(j)(y,Аkj•;;)),

где

Ук('°(у, А^'Л = У^л-Л™, 3 = 1, 2, 1 = 1,2, 3.

к,п

Система {X(1)(ж), X(2)(ж)} не ортогональна в £2[-1,1]. Задача, сопряженная к задаче (6), (8), (9), имеет следующий вид:

sgnж ■ 2'' + й ■ 2 = 0, ж е (-1, 0) и (0,1), (20)

2(0 - 0) = -2(0 + 0), 2'(0 - 0) = -2'(0 + 0), 2(-1) = 2(1) = 0. (21)

Решениями задачи (20), (21) являются функции

, (ж - 1)], ж> 0, ж> 0,

2(1)(ж) ) С0S „к 2(2)(ж)^ Сh „к

2к (ж) 1 sh[„k(ж + 1)], ж< 0, 2к (ж) 1 sin[„k(ж + 1)], ж< 0.

I сь „к , , I ^ „к , .

Система {2(1); 2(2)} является биортогонально сопряженной с системой {X"; xf) , т.е. имеет место равенство

1

X

1

Xii)(ж)2£)(ж)йж = 0, к = т, 3 = 1, 2; 1 = 1, 2.

Справедливо следующее утверждение.

Лемма 3. Система {2(1), 2(2)} полна в пространстве Ь2[-1,1].

3. Единственность решения задачи О. Пусть теперь А е К, А = Ак^.

Далее рассмотрим функции

/1 1

и(ж,у)2к1)(ж)йж, ик2)(у) = / и(ж,у)2к2) (ж)йж, (22) 1 -1 к = 1, 2, 3, . . . .

Вычислим вторую производную (ик1)(у)), преобразуем ее на основании равенства (1), затем после двукратного интегрирования по частям получим равенство

sgnу ■ (ик1))"(у) + (А - й)ик1)(у) = 0,

совпадающее с уравнением (7). Таким образом, «^(у) = УА(1)(у), поэтому

ик1)(у) определяются по формулам (14). Аналогичное справедливо и для функ-

(2)

ций ик )(у), т.е. они определяются по формулам (15).

Тогда из граничных условий (5) и равенств (22) получим

4%) = / и(х,в)^21)(х)^х = I р(х)^21)(х)^х = (21),

/11 -1 и(х,в )^2)(х)^х = у р(х)^(2) (х)^х

(2)

(23)

41)(-а) =

42)(-а) =

/1 (1 и(х, -а)^(1)(х)^х = / ф(х)^(1)(х)^х = ф

У и(х, -а)^(2)(х)^х = I ф(х)^(2)(х)^х = ф(

(1), к ,

(24)

Тогда на основании (14), (15), (23) и (24) получим систему для нахождения

(„л („•)

неизвестных коэффициентов ак , ЬК :

а™ еЬ(^^Дк-Л) + Ь<1) - Л) =

(1)

а21) - Л) - ь21) 8т(а^к- Л) = ф(1\

аК2) ео8(^^К + Л) + ЬК2) 8т(в^2 + Л) = рК2), а22) еЬ(аУ^[+Л) - б«2 8Ь(ау^к + Л) = ф(2).

(25)

(26)

Если при всех к е N определители систем (25) и (26), определяемые соотношениями (18) и (19), отличны от нуля, то эти системы однозначно разрешимы:

,(1)

ьК" =

1

АК1)(а,в)

АК1)(а,в)

рК1) 81п(^^к - л) + ф(1) - Л)

(1)

рК1) ео8(^^К- Л) - ф(1) еМв\Ак- Л)

(2)

ак =

АК2)(а,в)

(К2) + Л) + ф(2) 81п(влДк + Л)

Ь(2) =

=

АК2)(а,в)

(К2) ^К + Л) - ф(2) ео8(влЫ + Л)

(2)

Тогда с учетом найденных значений а', ь' функции и' (у) примут вид

иК1)(у) =

1

АК1)(а,в) 1

АК1)(а,в)

(К1) ■ АК1)(а,у) +

+Ф(1) ■ 8ь((в - уК/^К - Л

(К1) ■ 8Ц(а + у^^к - Л) +

+ф(1) ■ АК1)(-у,в)",

, у> 0,

у < 0,

(27)

к

1

1

1

ик2)(у) =

Лк2)(«,в)

Лк2)(«,в)

^к

(2) Дк2)(а,у) +

+^(2) ■ sin((в - у) л/„к + А

^к2) ■ sh((а + у)л/„к + А +

+^2) ■ Дк2)(-у,в)

у > 0,

у < 0,

(28)

где

Ак1)(а,у) =cos(^v/»i_Л)sh(^V/»i_Л) + sin(^V/»i_Л)ch(^V/»i_A), А^-у^НМуу^к - А)sh(в^„к - А) - ^(уу^к - А)сКв^„к - А), дк2)(а,у) = сЦау^к + А) sin(^д//„k + А) + sh(а^/„k + А) + А),

Ак2)(-у,в)=СЬ(у^„к + А) sin(в^„к + А) - sh(y^„k + А+ А).

Пусть <^(ж) = ^(ж) = 0 на [-1,1], тогда на основании (23), (24), (27) и (28) получим

/1

и(ж,у)2к^)(ж)йж = 0, 3 = 1, 2, к = 1, 2, 3,....

Отсюда в силу полноты системы {2(1)(ж); 2(2)(ж)} в £2[-1,1] следует, что функция и(ж,у) = 0 при любом у е [-а,в] почти всюду при ж е [-1,1]. А в силу непрерывности и(ж, у) в Д будет и(ж, у) = 0 в Д.

Пусть при некоторых а, в и к = р е N выполняется условие А^1)(а, в) = 0

или АР2)(а,в) = 0. Пусть, например, А^1)(а, в) = 0, а А^2)(а, в) = 0. Тогда однородная задача (2)-(5), где <^(ж) = ^(ж) = 0, имеет нетривиальное реше-

ние:

иР(ж,у) = <

(1)

sin[„p(ж - 1)]Ар )(а, у) cos „р cos(a^»p - А) sin[„p(ж - 1)] sin[(a + у)^/„р - А]

cos „р cos(a^»p - А) sh[„p(ж + 1)] sin[(a + у)^/„р - А]

СЬ „р cos(ay/„р - А) sh[»p(ж + 1)]АР1)(а,у) сЬ „р cos(a^»p - А)

(ж, у) е Дь

(ж, у) е Дг,

(ж, у) е Д3, (ж, у) е Д4.

(2)

Если при некотором к = р е N имеем А^Да, в) = 0, то также существует нетривиальное решение задачи.

1

1

Естественно возникает вопрос об обращении определителей Д^ (а, в) в нуль. Представим их в следующем виде:

(29)

Д ^(а, в) = Д Í1'(а,в) = ychjíe^i-^) sin («^k - А + {k), Д к2)(а,в) = Д к1)(а,в) = ^ch (2аУ^|-Л) sin (ву^к - А + Xk),

{k = arctg ^th (в^| - А, Xk = arctg ^th (ау^к - А,

причем

lim {к = lim Xk = п/4,

k^-те k^-те

и для всех к G N справедливы неравенства {к < п/4, Xk < п/4. Отсюда найдем множества их нулей:

nm - {k a nt - Xk , , ^ ш /оПч

«fc,m = —¡=, вк,г = , ■■, m, t, к G N. (30)

^ - Л у - Л

Равенства (30) представляют собой систему относительно и Можно убедиться, что эта система совместна, причем существует счетное множество её решений (а, в).

Таким образом, справедливо следующее утверждение. Теорема 1. Если существует 'решение задачи (2)-(5), то оно единственно, только если для всех к € N выполняются условия Д^^а, в) = 0, ] = 1, 2. 4. Обоснование существования решения. Из формул (27) и (28) видно, что

выражения Д ^ (а, в) являются знаменателями дробей и при значениях а, в, удовлетворяющих (30), могут обратиться в нуль, т.е. возникает проблема «малых знаменателей». Поэтому для обоснования существования решения задачи (2)-(5) необходимо показать существование чисел а и в таких, что

при больших к выражения Д к')(а,в) отделены от нуля.

Лемма 4. Если выполнено одно из следующих условий:

1) а —любое натуральное число, кроме чисел вида 4р — 3, р € N

2) а —любое дробное число, т.е. а = р/д, где р, д € N (р, д) = 1, число д — р не кратно 4,

то существуют постоянная С01 > 0 и номер ко1 € N такие, что для всех к > ко1 справедлива оценка

|Дк1)(а,в)| ^ Со1впкв. (31)

Доказательство. Оценим величину из (29):

у^вУ^к—Л) ^ ^ Сепкв,

где С — некоторая положительная постоянная. 642

Так как

sin а

(а\Ак - Л + - sin(а(-4 + nk) + 4) а(^к- л+4- nk)+& - 41 ^ 1а(пк - 4 - V - л)

а

(nk - п/4)2 - ^ + л

nk - п/4 + л/- Л

< Mia ke

— 2nk

Mi« > 0,

можем оценить выражение

sin

Ч- 4+nk)+4 = |zk1

1) Пусть а € N. Возможны три случая: а = 2p, а = 4p - 1, а = 4p - 3, p € N. В первых двух случаях имеем |zk| = const > 0, а в третьем случае

|zk I =0.

2) Пусть а = p/q, p, q € N, (p, q) = 1. Тогда

zk = sin

П f1 - p) +

4 q q

Разделим число kp на q с остатком: kp = sq + r, где s,r € N U {0}, 0 ^ r < q. Тогда

. n(q - p + 4r)

Zk

sin ■

4q

и при условии, что q - p не кратно 4, имеем |zk| = const > 0. □

Нетрудно показать, что если а = 4p - 3,p € N,p ^ 2, то существуют постоянная C01 > 0 и номер kO1 € N такие, что для всех k > kO1 справедливы оценки

|Дк2)(а, в)| < C01е-пкв при 0 < в < 1,

|Дк2)(а,в)| < C^enk(e-2) при в > 1.

Следовательно, приведенное в лемме 4 условие а = 4p - 3 является существенным. Аналогично можно показать существенность условия, что q - p не кратно 4.

Лемма 5. Если выполнено одно из следующих условий:

1) в _ любое натуральное число, кроме чисел вида 4p - 3, p € N,

2) в _ любое дробное число, т.е. в = p/q, где p, q € N, (p, q) = 1, число q-p не кратно 4,

то существуют постоянная С02 > 0 и номер ko2 € N такие, что для всех k > k02 справедлива оценка

|Дк2)(а,в)| ^ C02е

пка

(32)

Если выполнены оценки (31), (32) и условия Д^^а, в) = 0 при к ^ к0 = = тах{ко1, ко2}, то решение задачи (2)—(5) можно представить в виде суммы ряда Фурье

u(x,y) = £ uk1)(y)xk1)(x) + uk2)(y)xk2)(x).

(33)

k=1

Определим условия на функции ^>(ж) и ^(ж), при которых ряд (33) будет сходиться равномерно в области Д и допускать почленное дифференцирование по ж и у.

Рассмотрим следующие отношения:

Pо-)(y) = Akf)(a>y) -sh ((в - )

k (У) A^'W)' '

(2) sin ((в - yV ^k +Л) (i)

А^в) Ак1)(а,в)

sin ((e - y^ ^k + Л) (1) sin ((a + y^ ^k- Л)

Ак2)(а,в) ' ' Ак1)(а,в)

М (У)= А<2)(а,в) , ^ (У)= А^(а,в) ,

где первые три выражения определены при у > 0, а последние три — при У < 0.

Лемма 6. Пусть выполнены оценки (31), (32) при всех к > к0. Тогда для таких к справедливы следующие оценки:

1Р?(У)1 < С^, |(р?)(у))'| < С20)к, |(Р^(у))//| < Сз0)к2,

1^(у)1 < С41), |(дк1)(у))'| < с51)к, |(дк1)(у))"| < с61)к2,

1^к2)(у)1 < с42)е-пка, |(дк2)(у))'| < С52)ке-Пка, К^ЫЛ < с62)к2е-пка, |мк1)(у)| < С71)е-Пкв, |(мк1)(у))/| < С81)ке-Пкв, |(М^1)(у))//| < С$1)к2е-пкв,

M<2)(y)| < C72), |(M2)(y))'| < Cfk, |(Mf(y))"| < Cffc2,

|N^0)(y)| < C|°0), |«(у)У| < j |(N( (y))"| < Cj^k2,

где C(0) > 0, j = 1, 2, l = 1,12.

Лемма 7. При всех k > k0 справедливы оценки

|u k0)(y)| < C^lO + I), l(uk°)(y))/| < Ci°4)k(|^0)| + l^l),

I(uk°)(y))//1 < Cl5)k2(|^k°)| + I), У G [-«,в],

где C0) > 0, j = 1, 2, l = 13,15.

В силу леммы 7 ряд (33) и его первые производные в D, а вторые производные в Dj, i = 1, 4, по абсолютной величине мажорируются рядом

те

C Е k2(I^k1)I + I^k1)I + l^l + I^fl), C = const > 0. k=1

Лемма 8. Если функции р(ж), ф(ж) € С 1[—1,1] П С3[—1, 0] П С3[0,1] и на этом сегменте имеют кусочно-непрерывную производную четвертого порядка, причем

1) = р(1) = </(—1) = </(1) = 0,

ф(—1)= ф(1)= <(—1) = ф//(1) = 0, ^"(0 + 0) = —^>"(0 — 0), ^"(0 + 0) = — (0 — 0), ф//(0 + 0) = —ф//(0 — 0), ф///(0 + 0) = —ф///(0 — 0),

то справедливы соотношения

(1)

„(1) _ рк)

(2)

(2) _ рк )

(1) _ д(1)

(2)

(2) д(2)

^ = тт, = тт, ^ = ^, = ^,

я

я

Я

я

где

/1 /■!

^(4)(х)^(1)(х)^х, рк2) = I ^(4)(ж)^(2)(ж)^ж,

/1 1

ф(4)(х)^(1)(х)^х, д(2) = I ф(4)(х)^(2)(х)^х.

Для доказательства следует проинтегрировать по частям четыре раза интегралы в равенствах (23) и (24).

Можно показать, что для системы справедливо неравенство

Бесселя, и так как р(4)(ж) и ф(4)(ж) кусочно-непрерывны, то ряды ^ь=1(рк"'))2

и X]ь=1(д(?))2 сходятся. Тогда сходится ряд

те

Т к < 1 + 1 д(!) 1 + 1 рк2) | +1 д(2)| )•

откуда следует равномерная сходимость ряда (33) и рядов, полученных дифференцированием по переменным ж и у в Д, а ряды из производных второго порядка сходятся в замкнутых областях А, г = 1, 4.

Если при указанных в леммах 4 и 5 числах а и в и некоторых к = к1, к2,..., кг, где 1 ^ к1 < к2 < ■ ■ ■ < кг ^ к0, одно из выражений Д^а, в) = 0 (пусть для определенности Д^^а, в) = 0, Дк_2)(а, в) = 0 при этих кг), то для

разрешимости системы (16) относительно а[,1) и ь£1) необходимо и достаточно выполнение условий

с08(а\М — Л) = ) А^л/^ — Л), г = 1,

(34) 645

Тогда при к = к1, к2,..., кг получим 8ш[м к (ж — 1)]

%(ж,у) =

с08 М к

-(с^уу^ к — Л) +

+

ук1) — сЬ(в ^^^А) ь( ГГ-). ( ) п

--*--8%./^к — Л) , (ж, у) € А,

8Кву^ к — Л) У У

— 1)] (с08(уУ^ГЛ) +

С08 М к V V К _

у к1) — сЬ(в /Й^А) г—Л . . п

+-, —8т(уум|— Л), (ж,у) € ,

8Кву^ к — Л) У У

Н»/^) +

у к1) — А(в л/мк —Л) ,-.

+-! -81п(у\/м! — Л) , (ж,у) € ^

к — Л) у у

КУ^)+

+

у к1) — сЦв^Л) ь( г— ,

-т==— 8% ум к— Л) ],

к — Л)

(ж, у) € А.

Поэтому решение задачи (2)-(5) в этом случае определяется в виде суммы ряда

^ кгх — 1 &2 — 1 те ч

и(ж,у) = ( Т + Т + ••• + Т Ьк1)(у)х(1)(ж) +

к=1 к=к1+1 к=кг + 1

+ £ Айк(ж,у) + £ и к(у)Х ((ж), (35)

где А — произвольные коэффициенты, причем конечные суммы следует считать равными нулю, если нижний предел суммирования больше верхнего. Аналогичное решение строится в случае, когда при некоторых к будет

Д к_2) (а, в) = 0, Д к_1) (а, в) = 0, или если оба знаменателя обращаются в нуль.

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть у(ж), ф(ж) удовлетворяют условиям леммы 8 и выполнены оценки (31), (32) при к > к0. Тогда если при указанных в леммах 4

и 5 значениях а и в при всех к = 1,к0 выполнены условия Д ^1)(а,в) = 0, (2)

Д к)(а, в) = 0, то существует единственное решение задачи Дирихле (2)-(5) и оно определяется рядом (33).

Если Д £1) (а, в) = 0 при некоторых к = к1, к2,..., кг ^ к0, то задача (2)-(5) разрешима только тогда, когда выполнены условия (34), и решение определяется в виде суммы ряда (35).

Благодарности. Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 14-01-97003-р_Поволжье_а).

ORCID

Альфира Авкалевна Гималтдинова: http://orcid.org/0000-0001-7535-213X

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гималтдинова А. А. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с двумя линиями перехода в прямоугольной области / Четвертая международная конференция «Математическая физика и ее приложения»: материалы конф.; ред. чл.-корр. РАН И. В. Волович; д.ф.-м.н., проф. В. П. Радченко. Самара: СамГТУ, 2014. С. 120-121.

2. Сабитов К. Б., Биккулова Г. Г., Гималтдинова А. А. К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа. Уфа: Гилем, 2006. 150 с.

3. Rassias J. M. The Exterior Tricomi and Frankl Problems for Quaterelliptic-Quaterhyper-bolic Equations with Eight Parabolic Lines // Eur. J. Pure Appl. Math., 2011. vol. 4, no. 2. pp. 186-208, http://www.ejpam.com/index.php/ejpam/article/view/1175/195.

4. Франкль Ф. И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука, 1973. 711 с.

5. Бицадзе А. В. Некорректность задачи Дирихле для уравнений смешанного типа // ДАН СССР, 1958. Т. 122, №2. С. 167-170.

6. Шабат Б. В. Примеры решения задачи Дирихле для уравнения смешанного типа // ДАН СССР, 1957. Т. 112, №3. С. 386-389.

7. Cannon J. R. A Dirichlet problem for an equation of mixed type with a discontinuous coefficient// Annali di Matematica, 1963. vol.61, no. 1. pp. 371-377. doi: 10.1007/ bf02410656.

8. Нахушев А. М. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области // Диффер. уравн., 1970. Т. 6, №1. С. 190-191.

9. Хачев М. М. О задаче Дирихле для одного уравнения смешанного типа // Диффер. уравн., 1976. Т. 12, №1. С. 137-143.

10. Солдатов А. П. Задачи типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. I: Теоремы единственности// Докл. РАН, 1993. Т. 332, №6. С. 696-698.

11. Солдатов А. П. Задачи типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. II: Теоремы существования// Докл. РАН, 1993. Т. 333, №1. С. 16-18.

12. Сабитов К. Б. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области// Докл. РАН, 2007. Т. 413, №1. С. 23-26.

13. Сабитов К. Б., Вагапова Э. В. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения в прямоугольной области// Диффер. уравн., 2013. Т. 49, № 1. С. 68-78.

14. Ильин В. А. Единственность и принадлежность W¡ классического решения смешанной задачи для самосопряженного гиперболического уравнения // Матем. заметки, 1975. Т. 17, №1. С. 91-101.

15. Арнольд В. И. Малые знаменатели. I. Об отображениях окружности на себя // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1961. Т. 25, №1. С. 21-86; Арнольд В. И. Исправления к работе

B. Арнольда "Малые знаменатели. I"// Изв. АН СССР. Сер. матем., 1964. Т. 28, №2.

C. 479-480.

16. Ломов И. С. Малые знаменатели в аналитической теории вырождающихся дифференциальных уравнений // Диффер. уравн., 1993. Т. 29, №12. С. 2079-2089.

Поступила в редакцию 19/XII/2014; в окончательном варианте — 20/II/2015; принята в печать — 08/IV/2015.

ramaitghhoea a. a.

Vestn. Samar. Gos. Techn. Un-ta. Ser. Fiz.-mat. nauki

[J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & Math. Sci.], 2015, vol. 19, no. 4, pp. 634-649 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1384

MSC: 35M12

THE DIRICHLET PROBLEM FOR MIXED TYPE EQUATION WITH TWO LINES OF DEGENERACY IN A RECTANGULAR AREA*

A. A. Gimaltdinova

Sterlitamak Branch of Bashkir State University,

49, Lenin Avenue, Sterlitamak, 453103, Russian Federation.

Abstract

We study the first boundary value problem for the elliptic-hyperbolic type equation with two perpendicular lines of change of type and spectral parameter. We prove the existence and uniqueness of the solution. In the proof of the uniqueness of solution we use the completeness of biorthogonal system in space L2. When building a solution as the sum of a series there is a problem of small denominators. We obtained estimates of the denominators of the separation from zero.

Keywords: mixed type equation, Dirichlet problem, uniqueness, existence of a solution, spectral method.

doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1384

Acknowledgments. This work has been supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 14-01-97003-r_Povolzh'e_a).

ORCID

Alfira A. Gimaltdinova: http://orcid.org/0000-0001-7535-213X

REFERENCES

1. Gimaltdinova A. A. The Dirichlet problem for mixed type equation with two lines of degeneracy in a rectangular area, The 4nd International Conference "Mathematical Physics and its Applications", Book of Abstracts and Conference Materials; eds. I. V. Volovich; V. P. Radchenko. Samara, Samara State Technical Univ., 2014, pp. 120-121 (In Russian).

2. Sabitov K. B., Bikkulova G. G., Gimaltdinova A. A. K teorii uravnenii smeshannogo tipa s dvumia liniiami izmeneniia tipa [On the Theory of Mixed Type Equations with Two Lines of Change of Type]. Ufa, Gilem, 2006, 150 pp. (In Russian)

© 2015 Samara State Technical University. Please cite this article in press as:

G i m a l t d i n o v a A. A. The Dirichlet problem for mixed type equation with two lines of degeneracy in a rectangular area, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & Math. Sci.], 2015, vol. 19, no. 4, pp. 634-649. doi: 10.14498/vsgtu1384. (In Russian) Author Details:

Alfira A. Gimaltdinova (Cand. Phys. & Math. Sci.; alfiragimaltdinova@mail.ru), Associate Professor, Dept. of Mathematical Analysis).

*This paper is an extended version of the paper [1], presented at the Mathematical Physics and Its Applications 2014 Conference.

3. Rassias J. M. The Exterior Tricomi and Frankl Problems for Quaterelliptic-Quaterhyper-bolic Equations with Eight Parabolic Lines, Eur. J. Pure Appl. Math., 2011, vol.4, no. 2, pp. 186-208, http://www.ejpam.com/index.php/ejpam/article/view/1175/195.

4. Frankl F. I. Izbrannye trudy po gazovoi dinamike [Selected Works in Gas Dynamics]. Moscow, Nauka, 1973, 711 pp. (In Russian)

5. Bitsadze A. V. Incorrectness of Dirichlet's problem for the mixed type of equations in mixed regions, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1958, vol. 122, no. 2, pp. 167-170 (In Russian).

6. Shabat B. V. Examples of solving the Dirichlet problem for equations of mixed type, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1957, vol. 112, no. 3, pp. 386-389 (In Russian).

7. Cannon J. R. A Dirichlet problem for an equation of mixed type with a discontinuous coefficient, Annali di Matematica, 1963, vol.61, no. 1, pp. 371-377. doi: 10.1007/ bf02410656.

8. Nakhushev A. M. A criterion for uniqueness of the Dirichlet problem for a mixed-type equation in the cylindrical domain, Differ. Uravn., 1970, vol.6, no. 1, pp. 190-191 (In Russian).

9. Khachev M. M. On the Dirichlet Problem for an Equation of Mixed Type, Differ. Uravn., 1976, vol. 12, no. 1, pp. 137-143 (In Russian).

10. Soldatov A. P. Dirichlet-type problems for the Lavrent'ev-Bitsadze equation. I. Uniqueness theorems, Dokl. Math., 1994, vol.48, no. 2, pp. 410-414.

11. Soldatov A. N. Dirichlet-type problems for the Lavrent'ev-Bitsadze equation. II. Existence theorems, Dokl. Math., 1994, vol.48, no. 3, pp. 433-437.

12. Sabitov K. B. The Dirichlet problem for equations of mixed type in a rectangular domain, Dokl. Math., 2007, vol.75, no. 2, pp. 193-196. doi: 10.1134/S1064562407020056.

13. Sabitov K. B., Vagapova E. V. Dirichlet problem for an equation of mixed type with two degeneration lines in a rectangular domain, Differ. Equ., 2013, vol.49, no. 1, pp. 68-78. doi: 10.1134/s0012266113010072.

14. Il'in V. A. Proof of uniqueness and membership in W2 of the classical solution of a mixed problem for a self-adjoint hyperbolic equation, Math. Notes, 1975, vol. 17, no. 1, pp. 53-58. doi: 10.1007/BF01093843.

15. Arnol'd V. I. Small denominators. I. Mapping the circle onto itself, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 1961, vol. 25, no. 1, pp. 21-86 (In Russian) ; Arnol'd V. Correction to V. Arnol'd's paper: "Small denominators. I.", Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 1964, vol.28, no. 2, pp. 479-480 (In Russian).

16. Lomov I. S. Small denominators in analytic theory of degenerate differential equations, Differ. Equ., 1993, vol.29, no. 12, pp. 1811-1820.

Received 19/XII/2014;

received in revised form 20/II/2015;

accepted 08/IV/2015.