Задача Дирихле для уравнения Пулькина в прямоугольной области Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

Р.М. Сафина1

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУЛЬКИНА В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

В данной статье для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом изучена первая граничная задача. На основании свойства полноты системы собственных функций одномерной спектральной задачи установлен критерий единственности. Решение поставленной задачи построено в виде суммы ряда Фурье — Бесселя. При обосновании сходимости ряда возникает проблема малых знаменателей, в связи чем найдена оценка об отделенности малого знаменателя от нуля с соответствующей асимптотикой, что позволило обосновать сходимость построенного ряда в классе регулярных решений при определенных ограничениях на данные задачи.

Ключевые слова: уравнение смешанного типа, задача Дирихле, спектральный метод, ряд Фурье — Бесселя, единственность, существование.

1. Постановка задачи

Рассмотрим уравнение С.П. Пулькина [1]

к

Би = ихх + ^пу)пуу + -пх =0 (1.1)

в прямоугольной области Б = {(х,у)\ 0 < х < I, —а <у < в}, где а> 0, в > 0 — заданные действительные числа, к = 0 - известная произвольная постоянная. Здесь рассмотрим наиболее распространенный случай, когда 0 < к < 1.

Задача Дирихле. Найти в области Б функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям:

и(х,у) € С (Б) П С 1(Б) П С2(Б+ и Б-); (1.2)

Би(х,у) = 0, (х,у) € Б+ и Б-; (1.3)

и(0, у) = 0, и(1,у)=0, —а < у < в; (1.4)

и(х, в) = ф(х), и(х, —а) = ф(х), 0 ^ х ^ I, (1.5)

где ф, ф - заданные достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям ф(0) = ф(1) = ф(0) = ф(1) =0, Б+ = Б П{у> 0}, Б- = Б П {у < 0}.

Интерес к задаче Дирихле для уравнения смешанного типа возник после работы Ф.И. Франкля [2], в которой впервые обращено внимание на то, что задачи

!© Сафина Р.М., 2014

Сафина Римма Марселевна ([email protected]), кафедра физико-математических дисциплин и информационных технологий, Поволжская государственная академия физической культуры, спорта и туризма, 420138, Российская Федерация, г. Казань, ул. Деревня Универсиады, 35.

транзвуковой газовой динамики сводятся к этой задаче. Некорректность задачи Дирихле для уравнения Лаврентьева ихх + sgnyuyy =0 показал А.В. Бицадзе [3]. После этой работы возникла проблема поиска смешанных областей, для которых задача Дирихле является корректно поставленной. В дальнейшем задача Дирихле для уравнений смешанного типа изучалась многими авторами [4-12]. Более полную библиографию работ, посвященных этой тематике, можно найти в монографии [12].

В последние годы задача Дирихле для уравнений смешанного типа исследована в работах [13-18].

В данной работе установлен критерий единственности решение задачи Дирихле. Решение построено в виде суммы ряда Фурье — Бесселя. При обосновании сходимости ряда возникает проблема малых знаменателей как в работах [13-16], в связи с чем найдена оценка об отделенности малого знаменателя от нуля с соответствующей асимптотикой, что позволило обосновать сходимость построенного ряда в классе функций (1.2).

2. Единственность решения

Решения уравнения (1.1), не равные нулю на множестве Б+ и Б- и удовлетворяющие нулевым граничным условиям (1.4), будем искать в виде произведения и(х,у) = X (х) ■ У (у).

Подставляя данное произведение в уравнение (1.1), получим

п к I

X (х) + -X (х) + А2Х(х) = 0, 0 <х<1, (2.1)

х

X (0) = X (0 = 0, (2.2)

где А2 - постоянная разделения.

Решение спектральной задачи (2.1) и (2.2) определяется по формуле

1 — к

Xn(х) = х~ (Апх), (2.3)

Ап = ^, п = 1, 2, 3,..., (2.4)

где (¿) - функция Бесселя первого рода, ¡лп - п-ый корень уравнения

11——к (^п) = 0.

Отметим, что для собственных значений задачи (2.1) и (2.2) при больших п справедлива асимптотическая формула [19, с. 317]:

Цп = Ап1 = пп - —п + о(. (2.5)

4 \п у

Пусть и(х, у) - решение задачи (1.2)-(1.5). Рассмотрим функции

ип(у)= u(x,y)xkXn(x)dx, п = 1,2,3, ..., (2.6)

Jo

где Xn(x) определяются по формуле (2.3). На основании (2.6) введем функции

/1-е

и(х,у)хкXn(x)dx, п = 1, 2, 3,..., (2.7)

где е > 0 - достаточно малое число. Дифференцируя равенство (2.7) по у дважды при у € (—а, 0) и (0,в) и учитывая уравнение (1.1), получим

(у) = /е' £ иуу (х, у)хкХп(х)с1х =

= — ^пу) /ег е(ихх + Xих)хкХп(х)йх =

= — ^пу) ¡е-Е дх(хких)Хп(х)йх =

(2.8)

1-е

— ^пу) хкихХп(х) — /ег е хкихХп(х^х

Из равенства (2.7), в силу уравнения (2.1), имеем

ип,е(У) = — ¿Г и(х,У)хк ХП(х)+ х ХП (х)

= — ¿Г ¡е £ и(х,у) £ (хкХп=

dx =

1-е

(2.9)

и(х,у)хкХп(х) — /е е хкuXXn(x)dx

Из равенства (2.9) найдем

А-е

ихх Xn(x)dx = \и-п,е(у)+ и(х,у)х ХГ1(х)

1-е

(2.10)

Подставляя (2.10) в (2.8), получим

ип,е(У) = — ^У)

1-е

х ихХп(х) — Хп ип,е(у) — и(х,у)х Хп (х)

1-е

Переходя здесь к пределу при е ^ 0, с учетом граничных условий (1.4) и (2.2) получим, что ип(у) удовлетворяет дифференциальному уравнению

ип(у) + (щпу)Хпип(у) = 0, у € [—а, 0) и (0, в]•

Общее решение дифференциального уравнения (2.11) имеет вид

апвхгу + Ьпв-Хгу, у > 0,

(у) =

п

Сп сов Хпу + dn вт Хпу, у < 0,

п

*п ви* Хпк

(2.11)

(2.12)

где ап, Ьп, сп, dn - произвольные постоянные.

Теперь в (2.12) на основании (1.2) подберем постоянные ап, Ьп, сп и с!п так, чтобы выполнялись условия сопряжения

ип(0 — 0)= ип(0 + 0), ип(0 — 0)= ип(0 + 0)^

(2.13)

Условия (2.13) выполняются только тогда, когда сп = ап + Ьп и с!п = ап — Ьп, п = I, 2, 3,.....

С учетом последних равенств функции (2.12) принимают вид

(у) =

Сп сИ Хпу + dn вИ Хпу, у > 0, Сп сов Хпу + dn вт Хпу, у< 0^

(2.14)

Для нахождения постоянных сп и с1п воспользуемся граничным условием (1.5) и формулой (2.6):

ип(в) = I и(х,в)хkXn(x)dx = / ф(х)хkXn(x)dx = ф. ио -1 о

ип(—а) = и(х, —а)х kXn(x)dx = ф(х)х кХп(х)&. оо

x)dx = фп•

(2.15)

(2.16)

//

и

е

е

и

Теперь на основании (2.14)—(2.16) получим систему

cn ch Хпв + dn sh Хпв = фп, сп cos \па — dn sin \na = фп.

(2.17)

Если определитель системы (2.17) при всех n £ N

△ (n, а, в) = скАпв sin \па + вкАпв cos \па = 0, (2.18)

то данная система имеет единственное решение

фпйЬХпв+ ф п sin Апа

скАпв sin Апа + вНАпв cos Ап а

(2.19)

d = фп cos Апа — фпсНАпв (2 20)

скАпв sin Апа + зИ,Апв cos Апа

С учетом (2.14), (2.19) и (2.20) найдем окончательный вид функции

ип Ы = ^ Í

А(п,а,в) [фп(cos АпавкАпу + sin АпасНАпу) + фпsНАп(в — у)], У > 0, А(п,а,в) [фп sin Ап (у + а) + фп(вкАпв cos АпУ — скАпв sin Апу)], у < 0.

(2.21)

Пусть теперь ф(х) = 0 и ф(х) = 0 и выполнены условия (2.18). Тогда из равенств (2.15), (2.16) и (2.21) следует, что ип(у) = 0 при всех n £ N. Тогда из (2.6) получим

Í и(х,у)хкXn(x)dx = 0, n = 1, 2, 3,... . (2.22)

J о

Отсюда в силу полноты системы (2.3) в пространстве L2[0,/] с весом хк следует и(х,у) = 0 почти для всех х £ [0,/] и при любом у £ [—а, в]. Поскольку и(х,у) £ £ C(D), то и(х, у) = 0 в D.

Пусть при некоторых а, в и n = s £ N нарушено условие (2.18), т. е. △ (s, а, в) = 0. Тогда однородная задача (1.2) - (1.5) (где ф(х) = ф(х) = 0) имеет нетривиальное решение

и (х у) ( _ (1ц(вкАьускАьв — вкАьвскАьу)Х8(х), у > 0, (2 23)

' 1 (1д(скАдв sin А8у — вкА,$в cos А8у)Х8(х), у< 0,

где ds - произвольная постоянная, не равная нулю, Х8(х) определяются по формуле (2.3).

Выражение △(n,а,в) представим в виде

△ (n, а, в) = л/сН2Апв sin(pn5. + вп), (2.24)

где Апа = а = а = у, вп = arcsin ^kix в ^ П при n ^ Из представ-

ления (2.24) видно, что выражение △(n,а,в) = 0 только в том случае, когда

а =-^(nz — вп), z = 1, 2,... . (2.25)

Ап

Таким образом, доказана

Теорема 1. Если существует решение задачи (1.2)-(1.5), то оно единственно тогда и только тогда, когда выполнены условия (2.18) при всех n £ N.

п

3. Существование решения

Поскольку а и в - любые числа из промежутков задания, то при достаточно больших п выражение Д(п, а, в), которое входит в знаменатели коэффициентов (2.19) и (2.20), может стать достаточно малым, т. е. возникает проблема "малых знаменателей" [13]. Для обоснования существования решения данной задачи необходимо показать существование чисел а и в таких, что при достаточно больших п выражение Д(п,а,в) отделено от нуля.

Лемма 1. Если 5 = р/д, р,д е N, (р, д) = 1 и к = р(4г - 3д), 0 < 4г-3( < 1, г = 1,...,д — 1, то существуют положительные постоянные С0 и п0 е N такие, что при всех п > п0 справедлива оценка

\Д('П,а,в)\ > СоеХпв.

(3.1)

Доказательство. На основании формулы (2.5) имеем

„ А „ rJl

/лпа = nna — — па + O ( —

Тогда из соотношения (2.24) с учетом (3.2) получим

Д(n, а, в) = \/еН2Хпв sin

~ к _ (1N

nn a--п a + O — + вп

4 \n J

(3.2)

(3.3)

Пусть теперь 5 = р/д - рациональное число, где р,д е N, (р,д) = 1. В этом случае разделим пр на д с остатком: пр = зд + г, в, г е N и 0, 0 ^ г ^ д — 1. Тогда выражение (3.3) примет вид:

Д(п, а, в) = VоН2Хпв( — 1)s sin [q — ^к + вп + O (±) = ^ vr^^4^^ (—1)S sin [ q — np к + 4 — ^ + O (i)

(3.4)

здесь en > 0 и en ^ 0 при n ^ ж.

Применяя формулу разности арксинусов

arcsin x — arcsin y = arcsin(x\¡ 1 — y2 — y\J 1 — x2), xy > 0

и учитывая неравенство arcsin x < пx/2, 0 < x < 1, имеем

Ы =

П ü 4 — вп

1 • ch\n в

arcsin —= — arcsin . a

V2 Vch2\nP

\/2ch2\ne

arcsin

1 sh\nft—ch\ne

—2 -ch2\ne

_= < Пе-2\пв

2 ^Je2\nf} +e-2\n@ 2 '

\Д(n,a,e)\ >

Сое

(3.5)

Тогда из представления (3.4) следует, что существует номер no такой, что при всех n > no

еХпв \пг пр п

-=г- sin---к +--

а/2 [q 4q 4_

Теперь потребуем, чтобы постоянная Со была больше нуля, а это возможно только тогда, когда

пг пр, п , , ,

---- к + - = пё,,а G N,

q 4q 4

r 1 р

- + - = d + f- к. q 4 4q

т. е.

(3.6)

e

Поскольку левая часть неравенства (3.6) не превосходит 5/4, а правая часть при 1 ^ 2 не меньше двух, то данное неравенство (3.6) для таких 1 всегда справедливо.

Остается рассмотреть случай, когда 1 = 1. В этом случае неравенство (3.6) перепишем в следующем виде:

к = -(4т — 3д), (3.7)

Р

которое выполнено всегда, когда к принимает иррациональные значения из интервала (0,1) или 4г ^ 3д, или 4г-рЗд ^ 1.

Случай Р (4г — 3д) £ (0,1) в силу условия леммы исключается. Тогда из (3.5) следует справедливость оценки (3.1).

Лемма 2. Пусть выполнена оценка (3.1) при п> п0. Тогда при таких п для любых у £ [—а, в] справедливы оценки:

\пп(у)\ < С1 (Ы + \фп\), (3.8)

\пп(у)\ < ОМЫ + \фп\), (3.9)

\п'П(у)\ < Озп2(\ф„\ + \фп\), (3.10)

О\ - здесь и далее положительные постоянные.

Доказательство. На основании формул (2.21) с учетом оценки (3.1) найдем

\пп(у)\ < \А(п,а,в)\ [\фп\(вьхпв + снхпв)-+ \фп\внхпв] < (311)

^ с^пв [\фп\(«кХпв + сНХпв) + \Фп\«кХпв] < О1 [\фп\ + \фп\], У> 0, (. )

С0ехпв [\фп

\пп(у)\ < ое^ [\фп\ + Фп\(.^Хпв + сНХпв)] < О2[\фп\ + \Фп\], У< 0. (3.12) Тогда при всех у £ [—а, в] и п > по

\пп(у)\ < О1 (\фп\ + \Фп\), (3.13)

здесь О1 = тах{О1,О2}.

На основании формул (2.21) вычислим

Хп [фп(сов ХпасНХпу + втХпавкХпу) — фпсНХп(в — у)], у > 0, А(п,аф) [фп сов Хп(у + а) — фп(вНХпв вт Хпу + сНХпв сов Хпу)], у < 0.

г(у) = 4

(3.14)

Аналогично, исходя из равенств (3.1) и (3.14), получим

\п'п(у)\ < с^ерпв [\фп\(сНХпв + вНХп в) — \фп\сНХпв] <пОз(\фп\ + \фп\), у > 0, \п'п(у)\ < сепв [\фп\ — \фп\(вЬХпв + сНХпв)] < пО4(\фп\ + \фп\), у< 0.

(3.15)

Тогда при всех у £ [—а, в] и п > по

\пп(у)\ < пО2(\фп\ + \фп\), (3.16)

где О2 = тах{Оз, О4}.

Для второй производной справедливо тождество

п'п(у) = — ^п у)х2ппп(у), у £ [—а,0) и (0,в]. Отсюда в силу оценки (3.13) следует, что

\п'п(у)\ < Х2п\пп(у)\ < О3п\\фп\ + \фп\).

п

Лемма 3. Для достаточно больших n и при всех x € [0, l] справедливы оценки:

\Xn(x)\ < C5n-2, (3.17)

\X'n(x)\ < C6n1, (3.18)

\Х'П (x) \ < C7n3. (3.19)

где Ci - положительные постоянные.

Доказательство проводится аналогично работе [16].

Лемма 4. Если функции ф(x) € C4\0,l] и ф(x) € C4[00,l] и ф(0) = ф(0) = = ф (0) = ф' (0) = ф' (0) = ф" (0) = 0, ф(1) = ф(1) = ф (l) = ф' (l) = ф' (l) = ф' (l) = 0, то справедливы оценки:

CC

\фп\ < , \фп\ < -9. (3.20)

<П4 <П4

Доказательство. Интегрируя два раза по частям в интеграле (2.15) с учетом равенства (2.1), имеем

фп = /0 ф(х)хкХп(х)с1х = - /0 ф(х)(хк Х'п(х))' ¿X =

= /0 ф (х)хкх'п(х)вх = --р- /0(ф' (х)хк)'Xn(x)dx =

= --1 /0 ф ''(х)хкХп(х)(1х - к 10 ^хкХп(х)(1х.

Отсюда получим представление

1 к

фп = -ТГфП2 - ТГф1п; (3.21)

К К

гДе I I '

ф(2) = [ ф (х)хкХп(х)йх, ф\п = [ ф ( )хкХп(х)йх.

Jo Jo х

Аналогично получим представления для

ф(2) = -ф(4) - кф3п, (3.22)

1 (2) к СО ОЧА

ф1п = -Туфщ - ТУф2п, (3.23)

где

44) =[ Ф{4)(x)xkXn(x)dx, фзп =i xkXn(x)dx

J 0 J 0 x

ф?п = f фi(x)xkXn(x)dx, ф2п = f ф1((С) xkXn(x)dx, ф1(:с) = ф (x)/x.

J 0 J 0 x

Подставляя (3.22) и (3.23) в (3.21), получим

1 /4) k k (2) k2

tj фп + tJ фЗП + tJ ф1„ + t4

1 (4) k k (2) k фп = TTфп' + ТГф3п + 77ф1П + ТГф2п. (3.24)

Из представления (3.24) следует первая оценка из (3.20). Аналогично доказывается справедливость второй оценки из (3.20).

Если выполнены условие (2.18) и оценка (3.1), то на основании частных решений (2.3) и (2.21) решение задачи (1.2)—(1.5) можно представить в виде суммы ряда Фурье

(x,y) = Y, Un(y)Xn(x), (3.25)

0

u

где функции ип(у) определены по формуле (2.21), а функции Хп(х) - по формуле (2.3).

Формально из ряда (3.25) почленным дифференцированием составим ряды:

)(х,у) = ^2ипШп(х), их(х,у) = ^2ип{у)ХАх)- (3.26)

0

иУУ (х, у) = ^2 ии(у)хп(х), ихх(х, ^ = ¿2 ии{у)Хи (х). (3.27)

п=0 п=0

Ряды (3.25) и (3.26) при любом (х,у) € Б мажорируются рядом

п2 (\фп\ + \Фп\), (3.28)

п=0

а ряды (3.27) при любом (х,у) € Б+ и Б- - рядом

Сц^ п2 (\фп\ + \фп\). (3.29)

0

Согласно лемме 4 ряды из (3.28) и (3.29) оцениваются соответственно числовыми рядами

С12£ п-2, С^ п-5. (3.30)

п=1 п=1

На основании сходимости рядов (3.30) в силу признака Вейерштрасса сходятся равномерно ряды (3.25), (3.26) на замкнутой области Б, а ряды (3.27) соответственно на замкнутых областях Б+ и Б-. Поэтому функция и(х,у), определенная рядом (3.25), удовлетворяет условиям (1.2) и (1.3).

Если для указанных в лемме 1 чисел а при некоторых п = т = в1, в2,..., вь, где 1 ^ в1 < в2 < ... < вь, ^ п0, вь и Н - заданные натуральные числа, А(т,а,в) = 0. Тогда для разрешимости системы (2.17) достаточно, чтобы выполнялись условия

фт = 0,фт = 0,т = в1,в2, ...,8Н. (3.31)

В этом случае решение задачи (1.2)-(1.5) определяется в виде

(81 - 1 вн -1 \

+ + I ип(у)Хп(х)+^2 ит(х,у), (3.32)

п=1 п=в н —1 + 1 п=Ян + 1у т

здесь в последней сумме т принимает значения в1, в2,..., вь, функция ит(х,у) определяется по формуле (2.23).

Итак, доказана

Теорема 2. Пусть функции ф(х) и ф(х) удовлетворяют условиям леммы 4 и выполнена оценка (3.1) при п > п0. Тогда если А(п,а,в) = 0 при всех п = = 1,п0, то существует единственное решение задачи (1.2)-(1.5), и это решение определяется рядом (3.25); если А(п, а, в) =0 при некоторых п = в1, в2,..., то задача (1.2) - (1.5) разрешима только тогда, когда выполняются условия (3.31), и решение в этом случае определяется рядом (3.32).

и

Литература

[1] Пулькин С.П. О единственности решения сингулярной задачи Геллерстеда // Изв. вузов. Сер.: Математика. 1960. № 6(19). С. 214-225.

2] Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука, 1973. 711 с.

3] Бицадзе А.В. Некорректность задачи Дирихле для уравнений смешанного типа // ДАН СССР. 1953. Т. 122. № 2. С. 167-170.

4] Шабат Б.В. Примеры решения задачи Дирихле для уравнения смешанного типа // ДАН СССР. 1957. Т. 112. № 3. С. 386-389.

5] Вахания Н.Н. Об одной особой задаче для уравнения смешанного типа // Тр. АН Груз. ССР. 1963. Т. 3. С. 69-80.

6] Cannon J.R. Dirichlet problem for an equation of mixed type with a discontininius coefficient // Ann. Math. pura ed appl. 1963. Vol. 62. P. 371-377.

7] Нахушев А.М. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области // Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6. № 1. С. 190-191.

8] Хачев М.М. Задача Дирихле для уравнения Трикоми в прямоугольнике // Диф-ференцальные уравнения. 1975. Т. 11. № 1. С. 151-160.

9] Хачев М.М. О задаче Дирихле для одного уравнения смешанного типа // Диф-ференцальные уравнения. 1976. Т. 12. № 1. С. 137-143.

10] Солдатов А.П. Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева - Бицадзе. I. Теоремы единственности // ДАН. 1993. Т. 332. № 6. С. 696-698.

11] Солдатов А.П. Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева - Бицадзе. II. Теоремы существования // ДАН. 1993. Т. 333. № 1. С. 16-18.

12] Хачев М.М. Первая краевая задача для линейных уравнений смешанного типа. Нальчик: Эльбрус, 1998. 168 с.

13] Сабитов К.Б. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа в прямоугольной области // ДАН. 2007. Т. 413. № 1. С. 23-26.

14] Сабитов К.Б., Сулейманова А.Х. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа второго рода в прямоугольной области // Изв. вузов. Сер.: Математика. 2007. № 4. С. 45-53.

15] Сабитов К.Б., Сулейманова А.Х. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с характеристическим вырождением в прямоугольной области // Изв. вузов. Сер.: Математика. 2009. № 11. С. 43-52.

16] Сабитов К.Б., Вагапова Э.В. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения в прямоугольной области // Дифференциальные уравнения. 2013. Т. 49. № 1. С. 68-78.

17] Хайруллин Р.С. К задаче Дирихле для уравнения смешанного типа второго рода с сильным вырождением // Дифференциальные уравнения. 2013. Т. 49. № 4. С. 528-534.

18] Сафина Р.М. Критерий единственности решения задачи Дирихле с осевой симметрией для трехмерного уравнения смешанного типа с оператором Бесселя // Изв. вузов. Сер.: Математика. 2014. № 6. С. 78-83.

19] Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. М.: Мир, 1986. 381 с.

References

[1] Pulkin S.P. Uniqueness of solution of a singular problem of Gellerstedt. Izvestiia vuzov. Matematika [News of Higher Educational Institutions. Mathematics], 1960, no. 6, pp. 214-225 [in Russian].

2] Frankl F.I. The selected works on gas dynamics. M., Nauka, 1973, 711 p. [in Russian].

3] Bitsadze A.V. Incorrectness of the Dirichlet problem for the equations of mixed type. DAN SSSR [DAN of USSR], 1953, Vol. 122, no. 2, pp. 167-170 [in Russian].

4] Shabat B.V. The examples of solutions of the Dirichlet problem for mixed-type equation. DAN SSSR [DAN of USSR], 1957, Vol. 112, no. 3, pp. 386-389 [in Russian].

5] Vakhaniya N.N. On one singular problem for the equation of mixed type. Tr. AN GRUZSSR [Proceedings of AS of the Georgian Soviet Socialist Republic], 1963, Vol. 3, pp. 69-80 [in Russian].

6] Cannon J.R. Dirichlet problem for an equation of mixed type with a discontininius coefficient. Ann. Math. pura ed appl., 1963, Vol. 62, pp. 371-377.

7] Nakhushev A.M. Criterion of uniqueness of solution of Dirichlet problem for the equation of the mixed type in the cylindrical domain. Differentsial'nye uravneniia [Differential equations], 1970, Vol. 6, no. 1, pp. 190-191 [in Russian].

8] Hachev M.M. Dirichlet problem for the Tricomi equation in a rectangle. Differentsial'nye uravneniia [Differential equations], 1975, Vol. 11, no. 1, p. 151-160 [in Russian].

9] Hachev M.M. About the Dirichlet problem for an equation of a mixed type. Differentsial'nye uravneniia [Differential equations], 1976, Vol. 12, no. 1, pp. 137-143 [in Russian].

10] Soldatov A.P. Dirichlet type problem for the equation of Lavrentiev — Bitsadze. I. The uniqueness theorems. DAN SSSR [DAN of USSR], 1993, Vol. 332, no. 6, pp. 696-698 [in Russian].

11] Soldatov A.P. Dirichlet type problem for the equation of Lavrentiev — Bitsadze. II. The existence theorems. DAN SSSR [DAN of USSR], 1993, Vol. 333, no. 1, pp. 16-18 [in Russian].

12] Hachev M.M. The first boundary value problem for the equations of the mixed type. Nalchik: Izd. Elbrus, 1998, 168 p. [in Russian].

13] Sabitov K.B. The Dirichlet problem for mixed-type equation in a rectangular domain. DAN SSSR [DAN of USSR], 2007, Vol. 413, no. 1, pp. 23-26 [in Russian].

14] Sabitov K.B., Suleimanova A.Kh. The Dirichlet problem for a mixed-type equation of the second kind in a rectangular domain. Izvestiia vuzov. Matematika [News of Higher Educational Institutions. Mathematics], 2007, no. 4, pp. 45-53 [in Russian].

15] Sabitov K.B., Suleimanova A.Kh. The Dirichlet problem for a mixed-type equation with characteristic degeneration in a rectangular domain. Izvestiia vuzov. Matematika [News of Higher Educational Institutions. Mathematics], 2009, no. 11, pp. 43-52 [in Russian].

16] Sabitov K.B., Vagapova E.V. Dirichlet problem for an equation of mixed type with two degeneration lines in a rectangular domain. Differentsial'nye uravneniia [Differential equations], 2013, Vol. 49, no. 1, pp. 68-78 [in Russian].

17] Khairyllin R.S. On the Dirichlet problem for mixed-type equation of the second kind with strong degeneration. Differentsial'nye uravneniia [Differential equations], 2013, Vol. 49, no. 4, pp. 528-534 [in Russian].

18] R.M. Safina. A criterion of uniqueness of solution to the Dirichlet problem with the axial symmetry for the three-dimensional mixed type equation with the Bessel operator. Izvestiia vuzov. Matematika [News of Higher Educational Institutions. Mathematics], 2014, no. 6, pp. 78-83 [in Russian].

[19] Olver F. Introduction to asymptotic methods and special functions. M., Izd-vo Mir, 1986, 381 p. [in Russian].

R.M. Safina2

DIRICHLET PROBLEM FOR PULKIN'S EQUATION IN A RECTANGULAR DOMAIN

In the given article for the mixed-type equation with a singular coefficient the first boundary value problem is studied. On the basis of property of completeness of the system of own functions of one-dimensional spectral problem the criterion of uniqueness is established. The solution the problem is constructed as the sum of series of Fourier — Bessel. At justification of convergence of a row there is a problem of small denominators. In connection with that the assessment about apartness of small denominator from zero with the corresponding asymptotic which allows to prove the convergence of the series constructed in a class of regular solutions under some restrictions is given.

Key words: equation of a mixed type, Dirichlet problem, spectral method, series of Fourier — Bessel, uniqueness, existence.

Статья поступила в редакцию 6/VJ//2014. The article received 6/Ш/2014.

2 Safina Rimma Marselevna ([email protected]), Department of Physical and Mathematical Disciplines and Information Technologies, Volga Region State Academy of Physical Culture, Sport and Tourism, Kazan, 420138, Russian Federation.