Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями перехода в прямоугольной области Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

MS С 35М10

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С ДВУМЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМИ ЛИНИЯМИ ПЕРЕХОДА В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

A.A. Гималтдинова

Поволжская социально-гуманитарная академия, ул. М.Горького, 65/67, Самара, 443099, Россия, e-mail: [email protected]

Аннотация. Для уравнения аллиитико-гиперболическсих) тина с двумя внутренними перпендикулярными линиями етепенншх) и разрывших) вырождения изучена первая краевая задача. Методом спектральнсих) анализа установлен критерий единственности решения поставленной задачи. Решение построено в виде суммы ряда Фурье-Бееселя.

Ключевые слова: уравнение смешаннсих) тина, задача Дирихле, биортсихжальная система функций, полнота, существование и единственность решения.

1. Введение. Рассмотрим уравнение

Lu = (sgny)|y|nuxx + (sgnx)uyy = 0 , n > 0

(1)

в области Б = {(х,у) € Е2 | - 1 < х < 1, -а < у < в}, а, в £ Е, а,в > 0.

Обозначим Б = БП{х > 0,у > 0}, Б2 = БП{х > 0, у < 0}, Б3 = БП{х < 0, у < 0}, Б4 = Б П {х < 0, у > 0}.

В области Б для уравнения (1) поставим следующую задачу. Задача Дирихле. Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям:

и(х,у) Е С1(Б)ПС2(Б1иБ2иБзиБ4), Lu(x,y) = 0, (x,y) G Di U D2 U Бэ U Б4 ,

u(x,y)

x=1

u(x,y)

x=— 1

= 0, y G [-а, в] ,

u(x,y) = ^(x), u(x,y) = ^(x), x G [-l, 1] ,

v=ß

y=—a

(2)

(3)

(4)

(5)

где и ф - заданные достаточно гладкие функции.

Краевые задачи для уравнений смешанного тина с одной или несколькими .пиниями изменения или вырождения тина были объектом изучения многих авторов.

В работе |1| построена теория задачи Трикоми для уравнений смешанного тина в классической смешанной области, в которой гиперболическая часть состоит из двух подобластей, ограниченных характеристиками уравнения и .пиниями изменения тина. Там приведен достаточно полный обзор работ, посвященных данному направлению.

В работе |2| предложена задача дня уравнения с двумя .пиниями вырождения в смешанной области, состоящей из четырех эллиптических подобластей и четырех гиперболических подобластей, последние из которых ограничены характеристиками данного уравнения и линиями изменения тина.

Многие авторы, например, |3|- |7|, занимались поиском областей, в которых является корректной задача Дирихле дня уравнений смешанного тина. В этих работах единственность решения задачи Дирихле дня уравнений смешанного тина с одной линией вырождения или изменения тина доказана с помощью принципа экстремума или методом интегральных тождеств, а существование - методом интегральных уравнений или разделения переменных.

В работах |8,9| исследована задача Дирихле дня уравнения смешанного тина с одной внутренней .пинией степенного вырождения и вырождением на границе в прямоугольной области и методом спектрального анализа установлен критерий единственности, решение построено в виде суммы ряда но системе собственных функций.

В настоящей работе на основании работы |8| установлен критерий единственности и построено решение задачи (2)-(5) в прямоугольной области, состоящей из двух гиперболических и двух эллиптических подобластей, в виде суммы ряда но системе собственных функций одномерной задачи Штурма-Лиувилля, При доказательство единственности решения поставленной задачи использовалась только полнота построенной системы собственных функций аналогично тому, как это было сделано в |10| при доказательство единственности решения смешанной задачи дня гиперболических уравнений. При доказательство существования решения задачи (2)-(5) аналогично |8,11,12| возникла так называемая «проблема малых знаменателей», которая создает трудности при обосновании сходимости построенного ряда в классе функций (2). При определенных ограничениях на параметры а, в получены оценки об отделимости малых знаменателей от пуня с соответствующей асимптотикой, которые позволили обосновать сходимость построенных рядов в классе функций (2).

2. Построение частных решений. После разделения переменных посредством подстановки и(х, у) = X(х)У (у) в уравнении (1) получим два обыкновенных дифференциальных уравнения с разрывными коэффициентами и условиями сопряжения:

^пх)Х'' + & • X = 0, х € (-1, 0) и (0,1)

(6)

X(+0)= X(-0), Х'(+0)= Х'(-0), X(1)= X(-1) = 0 ,

(7)

У" - у)|у|пУ = 0, у € (-а, 0) и (0,в),

(8)

У(+0) = У(-0), У'(+0)= У'(-0),

(9)

где & = € С.

Можно доказать, что постоянная & может принимать значения ¿к = > 0 и ¿к -^к < 0, к € М, и решениями задачи (6), (7) будут соответственно функции

X^x) =

= rr > 0,

cos ßk

41- (x)

sh[//'fc(x + 1)] ch ßk

x(2)(x) = <;

x < 0

- 1)] ch ßk

+ 1)] cos ßk

x > 0,

x<0

(10)

где - положительные корни уравнения tg ^ = - Ш для них справедливо асимптотическое представление

п

ßk = -j + тгА: + 0(е~2жк), к е N.

(Н)

В силу того, что система {xk1)(x), xk2)(x)} не ортогональна в Ь2[-1,1], рассмотрим задачу, сопряженную к задаче (6), (7), т.е. задачу

sgnx ■ Z'' + d ■ Z = 0, x G (-1, 0) U (0,1) ,

Z(-0) = -Z(+0), Z'(-0) = -Z'(+0), Z(-1) = Z(1) = 0 .

Решениями задачи (12), (13) являются функции

(12) (13)

Zk:)(x) =

sm[ßk(x - 1)]

COS ßk

sh[^fc(x + 1)] ch ßk

x>0

x < 0 ,

Zk2)(x) =

sh[^fc(x - 1)] ch ßk

sill[^fc(^ + 1)] cos ßk

x > 0

x<0

(14)

Лемма 1. Система {Zk1)(x), Zk2)(x)} полна bL2[-1, 1] и образует базис Рисса. □ Доказательство леммы основано на работе [13] и приведено в [14]. ■ Найдем общее решение уравнения (8):

Г Ct^I1/2q(Vdyyq)+Ct^K1/2q{Vdyq/q), У> о,

г (у) = < _ _ (15)

1 Ciy/=yJ1/2q(Vd(-y)«/q)+Ciy/=yY1/2g(y/d(-y)«/q), у < 0,

где q = (n + 2)/2, J1/2q(■), Y1/2q(■) - функции Бесселя порядка 1/2q первого и второго рода соответственно, I1/2q(■), K1/2q(■) - модифицированные функции Бесселя порядка 1/2q

1) Пусть dk = ßk > 0. Аналогично [15] и [9] можно показать, что условия (9) выполнены ТОЛЬКО при С2 = — — С2 и Cf = —Ci + С2— ctg —.

Тогда функции (15) можно привести к виду:

, л ] ak] VV {ßk yq/q) + b[}] у/у I<1/2q {ßk yq/q),

Yk (y)

У > 0,

-a^^J^ißki-yY/q) + Ь^уГу Yl/2q{ßk(-y)q/q), у < 0,

(16)

__п

= 2 8т(тг/2д) ^1/2д &к(~У)9/о) + 1-1/2д(»к(~У)9/о)]-

2

2) При = -^2 > 0 аналогично найдем:

у(2) / \ = ( -а[2) у/У {»к^/я) + ^ у/У У1/2д (рк^/я), У > 0,

* \ 42) >/=? Ь,ъ (-У)V?) + 42) >/=? ^1/2, (-У)V?), У < 0. 1 ;

В формулах (16) и (17) коэффициенты а^, ^ = 1, 2, - произвольные постоянные.

3. Единственность решения задачи (2)-(5). Пусть существует решение и(х, у) задачи (2)-(5). Рассмотрим функции

1 1

4^) = / м(х,у)^(1)(х)^х, и(2)(у) = У м(х,у)42)(х)^х, к € N , (18)

-1 -1

где ^(х) определены по формуле (14), Можно доказать, что и(1)(у) является решением уравнения (8) и удовлетворяют условиям (9), то есть и(1)(у) = УА(1)(у), следовательно, функции и(1)(у) определяются по формулам (16),

Аналогично доказывается, что и(2)(у) = У^2) (у), т.е. функции и(2)(у) определяются по формулам (17),

Для нахождения постоянных а^, б7 воспользуемся граничными условиями (5) и формулами (16) и (17):

1 1

и(1)(в) = У и(х,в)^(1)(х)^х = I ^(х)^(1)(х)^х = ^ -1 -1 1 1

,(2) / т _ ( ( а\7(2)(„\1„_ [' - „(2)

и к (в ) = у и(х,в (х)^х = j ;(х)^х = ^ к

-1 -1

1 1

»1^) = / = / = е

-1 -1

1 1

ик2)(-а) = J и(х, —а)^(2)(х)^х = J ф(х)^(2)(х)^х = ф(2).

-1 -1

(19)

Тогда на основании (16), (17) и (19) получим системы для нахождения неизвестных

коэффициентов а^, б7 :

(1)

^1/2, (м кД?) + ь(1) #1/2, (м к Д?) =

^к

(1)

у/Р.

,(1) 7 . N , А(1)Т7 Л. N _ ^

(1)

-а к ^1/(2д)(^ ка,)+ Ьк У 1/(2,) СМ ка,) =

а

~42) ^/т&кРд) + ^ У_1/{2д)(^к13д)

(2)"

,(2) ^1/(2,) ка,) + К-1/(2,) ка,)

(2)

(2) <Рк

у/В ф

2)

а

где а, = а9/д, в, = в,/?.

Если при всех к € N определители систем (20) и (21) отличны от нуля:

(а',/3) = ¥1/(2д)(^кад)11/(2д)(1-1'к13д) + ^/(2д)(^к01д)К1/(2д)(^кРд) Ф 0,

Д к (а,в) = ^1/(29) ка,)У 1/(2,) Фд) + К1/(2,)(М ка,)Л/(2д)(М кв,) = 0,

то они имеют единственное решение:

^ ^ У 1/(2«) (М'А-а«) - у/В 4'к] К1/(2д) {ИМ

а(1) =

(1)

Ч^к Л/(2«)(^'А-а«) + у/В Фк]

(1)

у/сф [3)

(2) _ -у/®р[2) К1/{2д)((Лкад) + 4{г) У 1/С2д)(^Фд)

(2)"

6(2) = ч/о' Л/(2«)(^А-Д'«) + У7/^ Фк] Л/(2 д){ЦкРд) Тогда с учетом найденных значений а^, б7 функции (18) примут вид:

(2)

и(1)(у)

у/^У

(1)

(а, в)

^ N (а, -у) +

>к А(1)(-у,в)

42)(у)

у/У

у/сф [3)

у/^У

\ у/аР (3)

а Мк(а, -у) + уДЗф^А<£\-у, ¡3)

у > 0,

у < 0, у > 0,

, у< 0,

(20)

(21)

(22) (23)

(24)

(25)

к

а

к

к

Мк (с, ¿) = /1/(29) (МкС9/?)К1/(2д)(^к ¿9/д) - К1/(2д) (^кС9/?)/1/(2д)(^к ¿9/д) , (26) = ,71/(2д)(Н'кСЯ / д)¥ 1/{2д)(Н'кС1д / д) ~ У 1/(2д) (Нк^ / Я) Л/(2д) (Нк^ / Я) ■ (27)

Пусть <^(х) = ^(х) = 0 на [-1,1] и выполнены условия (22) и (23) при всех к € N. Тогда на основании (18), (19), (24) - (25) получим

и(х,у)^кЛ(х)&х = 0, з = 1, 2, к = 1, 2, 3, ....

-1

Отсюда в силу полноты системы {^^(х), ^к2)(х)} в Ь2[-1,1] имеем, что функция и(х,у) = 0 почти всюду при х € [-1,1] при люб ом у € [-а, в]. А в силу непрерывности и(х, у) в I) будет и(х, у) = 0 в И.

Пусть при некоторых а, в и к = 5 € N нарушено одно из условий (22) или (23). Пусть, например, А^1)(а,в) = 0, а32) (а, в) = 0. Тогда однородная задача (2) - (5) (где <^(х) = -0(х) = 0) имеет нетривиальное решение

иДх,у)

8туа(х - 1)у/уА{а\а1,у)

СОJl/(2q) (^СУд)

8тц3(х - 1)уГ=уЫа(а, -у) эЬ ц8(х + 1) у/^у Ы8(а, -у)

С'Ь 1-1$

эЬ /13(х + 1) у/у л!1} (а, у) сЬ ^ ^1/(29) (^зад)

(х,у) €

(х,у) € ^2, (х,у) € Д^

(х,у) € ^4.

Докажем существование нулей выражения А^ (а, в). Для этого представим его в виде

Ак1)(а,в) = /1/(29) (Мк в9 )^к1)(а,в), (28)

где

41}(а''/3) = Л/(29)(^А-Д'д)+ У 1/(2д)(¿¿А.а'д) = 7А.(а,/3) + сгА.(а'). (29)

!1/(29)

(Мкв9 )

Существование нулей ¿к^(а, в) относительно а следует го того, что функции /1/(29)(^к¿) и ^'"1/(2д)(/-1'к~), ~ = являются линейно независимыми решениями уравнения Бесселя

у"(~) + -у'(~) +

2

1

2^

у(*) = 0.

(30)

Тогда функции /1/(2,)(м кг) и ¿^(г1^, в) также являются линейно независимыми решениями уравнения (30). Из общей теории линейных дифференциальных уравнений известно, что нули двух линейно независимых решений уравнения Бесселя строго чередуются, т.е. на интервале между любыми двумя последовательными нулями каждого из этих решений содержится ровно один нуль другого решения. Функция Л/(2,) (р кг) имеет счетное множество положительных нулей, тогда функция ¿^(г1^, в) также имеет счетное множество положительных пуней.

Таким образом, доказан следующий критерий единственности.

Теорема 1. Если существует решение задачи (2)-(5), то оно единственно, только если для всех к € N выполняются условия Д^а, в) = 0, ] = 1, 2.

4. Существование решения задачи Дирихле. Из формул (24) и (25) видно, что выражения Д^^в) являются знаменателями дробей и могут обратиться в нуль, т.е. возникает проблема «малых знаменателей» |8,11,121. Поэтому для обоснования

ав

таких, что при больших к выражения Д^^в) отделены от нуля.

Исходя из представления (29), рассмотрим выражение

/п\

СГк(а) = ^ вт ¡^^СГ^а) = ^ вт (т^У1/(2д)011>кад) = Л/2д{Нк<Уд) + ^-1/2</0'Л'као). (31)

На основании асимптотической формулы для функции Бесселя |16, е,98|

к

(32)

0 к

(си) = 2л /—-— сое (иша —сое -—Ь О (к 3^2).

уп^а, V я 47 4д

(33)

С учетом (11) из равенства (33) имеем

у/к. а к (а) = Ак сое \пкад - -(а, + 1) + 0{е~2жк)\ + 0{к~1),

(34)

где Ак = 2л/27г 1

п

сое ■

4д

2пк ,

-1/2

причем величина Ак ограниче-

на и отделена от нуля: 0 < А < А к < В =

Пусть а, = р/к - рациональное число, р, к € N (р, к) = 1. Разделим рк на к с остатком: рк = зк + г, г, 5 € N0, 0 < г < к — 1, и оценим первое слагаемое в (34) следующим образом:

А к сое

п

тгкач - т(а'д + 1) + 0(е~2жк)

ч 4 V-,

А > —

~ 2

сое

пг п р йь ~ 4 и +

= К > 0 . (35)

пг п / р \ п

В (35) потребуем, чтобы Кх > 0, а это возможно только при —---- ( -—Ь 1) —Ь о?7г,

п 4 \п / 2

& € т.е.

4г — р — 3П

-^-о < г < Л. — 1. (36)

4п

В частности, если П = г = 0, и услов ие (36) примет в ид р = — 3, & € N.

Таким образом, при выполнении условия (36) при достаточно больших к имеем, что выражение у/к. ад.(се) отделено от нуля, и в силу известных асимптотических форму:: |16, с.991

Ш . V, ад ^е-», Y(z) ~ • 5 —* +00* (37)

величина Yk(a,ß) из (29) есть бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с ак(а).

Тогда из (28) с учетом (37) получим, что JA^^ß)| > Ri ежквч/к. Итак, нами доказано утверждение.

Лемма 2. Если aq = p/h, p, h £ N, (p, h) = 1 i выполнено условие (36), то существуют положительные постоянные Ri и ki, ki £ N, зависящие, вообще говоря, от а, ß, n, такие, что при всех k > ki справедлива оценка

nkß

\A[}\a,ß)\>R1e-1^>0. (38)

Аналогично доказывается

ßq = p/h, p, h £ N, (p, h) = 1 юг положительные постоянные R2 и k2, к2 £ N, зависящие, вообще говоря, от а, ß, n, такие, что при всех к > к2 справедлива оценка

gnkaq

\А^(а,/3)\>Я2—>0. (39)

Если А^а, в) = 0, ^ = 1, 2, при к < шах{к1; к2} для указанных а и в из лемм 1 и 2 и выполнены оценки (38) и (39), то решение задачи (2)-(5) можно искать в виде суммы ряда Фурье

те

и(х,у) = £ (и^Х^х) + 42)(у)х(2)(х)) . (40)

к=1

Покажем, что при определенных условиях на функции <^(х) и ^(х) ряд (40) сходится равномерно в области Д и его там можно почленно дифференцировать по х и у, и дважды дифференцировать но I и у и Д, г = 1, 4.

Исходя из форму:: (24), (26), (27), рассмотрим следующие отношения:

Ак{у) = ^ А[}\а, у)/А[}\а,13), Вк{у) = у/у Мк(у,0)/А<£\а,0), у £ [0,13],

СМ = у^Мк(а,-у)/А[}\а,13), Ок{у) = ^У А<£\-у,0)/А<£\а,0), у € [-а,0]. Далее через Р^ будем обозначать положительные постоянные.

Используя асимптотические формулы (32) и (37), легко доказать следующие утверждения.

Лемма 4. При выполнении условия (38) для достаточно больших к справедливы следующие оценки:

|А(у)|< Р1, (у)|< Р к, |А(у)|< Р к2,

|В(у)|< Р2к1/2-Л, (у)|< Р2к1/2+л, |В''(у)| < Р2к5/2-Л,у € [0,в], С(у)|< Рэк1/2+лв- ы, |С(у)|< Рзке- ы С(у)|< Рэк5/2+лв-Ы,

|Дк(у)|< Р4к1/2+л, (у)|< Р4к1+л, |Д'(у)|< Р4к5/2+л,у € [-а, 0],

где й = , А = 1 /(2д).

Такие же оценки справедливы и для аналогичных отношений из (25).

Лемма 5. Пусть выполнена оценка (38). Тогда при любом у € [-а, в] для достаточно к

|и(1)(у)1 < Р5к1/2+л(|^ | + |^к |), |(и(1)(у))'| < Р6к(|^ | + кл|^ |), 1(и£1)(у))"| < Р7к5/2+л(|^ к| + |).

Аналогичное утверждение справедливо и для и(2) (у) и ее производных. Доказательство лемм 4 и 5 проводится аналогично работе |15|,

Из леммы 5 следует, что ряд (40) и его производные первого порядка в Д, а производные второго порядка в г = 1,4, мажорируются числовым рядом

Р8£ к2+л(|^ к| + |). (41)

к=0

Лемма 6. Если ^(ж), ^(ж) € С 1[-1,1] П С3[- 1, 0] П С3[0,1] и на этих сегментах имеют кусочно-непрерывные четвертые производные, причем <^(±1) = <^"(±1) = 0, ^(±1) = ^''(±1) = 0, </(+0) = -¥>"(-0), </'(+0) = -^'"(-0), ^"(+0) = -^"(-0), ^'"(+0) = -10'''(-0), то справедливы соотношения

р(1) р(2) (1) (2) ,Л1) _ Ек_ ,А2) _ Рк_ ,(1) _ 0к_ .1,(2) _

г к — „4 ' г к — „4 ' г к — 4 , ук — 4 , № к № к № к №к

С?) рк

1 1

У /у (х)4Л(х)&х, = I ^ (х)^к?')(х)&х, ^ = 1, 2. -1 -1

Тогда легко получить сходимость ряда (41) и равномерную сходимость ряда (40), а также рядов, полученных однократным дифференцированием по переменным х и у, и I). а ряды из вторых производных сходятся равномерно в замкнутых областях

г = Т~4.

Если при указанных в леммах 2 и 3 числах а и в и некоторых к = к2, ..., кг, где 1 < к1 < к2 < • • • < кг < ко, одно го выражений Ак')(а,в) = 0 (пусть для определенности Ак1)(а,в) = 0 при этих к^, Ак2)(а,в) = 0), то для разрешимости системы (20) относительно «к^ и необходимо и достаточно выполнение условий

Лдад^а«) + У/РФьЬ/ш^М = 0, г = 1,1.

Тогда при к = к1, к2, ..., кг функции (16) примут вид:

(42)

П(1)(у)

, ^ _ у/уЬ/шЫу^ п г- Мк(у,р)

п1;-(у) = —

Л/(2д) кв?)

(1)/ Л _ V/3УJl/(2 Я)(»к(-У)д) , ^ ^ Д^ (-у, ¡3)

^1/(2д) кв? )

у> 0, у < 0,

(43)

где Ск - произвольная постоянная.

Поэтому решение задачи (2)-(5) в этом случае определяется в виде суммы ряда

к!-1 к2-1

и(х,У) = | X] + X] к=1 к=к 1+1

к; — 1 те

X + X I иПу)ХГ(х)+ к=к;—1+1 к=кг+1.

+ Х и!2)(у)х(2)(х)+ X И к(х,у) к=1 к=к1, к2,..., к;

где и к(х,у) определяются формулой

(44)

ик(х, у) = <

Г Х(1+ (х)У£+(у), (х,у) € Д Х(1+ (х)Ук(1 (у), (х,у) € Д

Х(1— (х)Ук;—(у), (х,у) € Д

(1)

I Х(1— (х)Ук1,+ (у), (х,у) € Д ,

X(1±(х) задаются формулой (10), Ук(±(у) - формулой (43), конечные суммы считаем равными нулю, если нижний продол суммирования больше верхнего.

(2)

к А (а, в) = 0,

А(1)(а, в) = 0,

(1)

те

Теорема 2. Пусть , ^(ж) удовлетворяют условиям леммы 6 и выполнены оценки (38), (39) при k > fco- Тогда если при указанных в леммах 2 и 3 значениях а н ß при всех к = 1, fco выполнены условия (22), (23), то существует едииствешюе решение задачи (2)-(5) и оно определяется рядом (40).

Если A^\a,ß) = 0 при некоторых к = fci, fc2, ..., fc/ < fco, п Af\a,ß) ф 0 при всех к = 1, ко, то задача (2)-(5) разрешима только тогда, когда выполнены условия (42), и решение определяется в виде суммы ряда (44).

Литература

1. Сабитов К.В., Биккулова Г.Г., Гималтдииова A.A. К теории уравнений смешанного тина с двумя .линиями изменения тина / Уфа: Гилем, 2006. 150 е.

2. Rassias J.M. The exterior Trieomi and Frankl problems for quaterelliptie-quatergiperbolie equations with eight parabolic lines /7 European journal of pure and applied mathematics. 2011. 4, №2. P.186-208.

3. Шабат B.B. Примеры решения задачи Дирихле для уравнения смешанного тина /7 ДАН СССР. 1957. 112, №3. С.386-389.

4. Cannon .J.R. Dirichlet problem for an equation of mixed type with a discontinious coefficient /7 Ann. math, pure and appl. 1963. 62. P.371-377.

5. Нахушев A.M. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смсшаннох'о тина в цилиндрической области /7 Дифференц. уравнения. 1970. 6, №1. С.190-191.

6. Хачев М.М. О задаче Дирихле для однох'о уравнения смсшаннох'о тина /7 Дифференц. уравнения. 1976. 12, №1. С.137-143.

7. Солдатов А.П. Задачи тина Дирихле для уравнения Лаврентьева-Вицадзе. I, II // Докл. РАН. 1993. 332, №6. С.696-698; 333, №1. С. 16-18.

8. Сабитов К.Б. Задача Дирихле для уравнений смешаннохх) тина в прямоугольной области /7 ДАН. 2007. 413, №1. С.23-26.

9. Сабитов К.В., Ваганова Э.В. Задача Дирихле для уравнения смешанного тина с двумя линиями вырождения в прямоугольной области // Дифференц. уравнения. 2013. 49, №1. С. 68-78.

10. Ильин В.А. Единственность и принадлежность W^ классического решения смешанной задачи для самосопряженного гиперболического уравнения // Мат. заметки. 1975. 17,№1. С.91-101.

11. Арнольд В.И. Малые знаменатели. I. Об отображениях окружности на себя /7 Известия Академии наук СССР. Серия математическая. 1961. 25. С.21-86.

12. Ломов И.С. Малые знаменатели в аналитической теории вырождающихся дифференциальных уравнений /7 Дифференц. уравнения. 1993. 29, №12. С.2079-2089.

13. Ломов И.С. Негладкие собственные функции в задачах математической физики /7 Дифференц. уравнения.2011. 47,№3. С.358-365.

14. Гпмалтдпнова A.A. О полноте системы собственных функций дифференциального оператора с разрывным коэффициентом /7 Труды междунар. науч. конф. «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы»: в 2-х т. (26-30 июня 2013 г., г. Стерлитамак). Уфа: РЙЦ БашГУ, 2013. Т.1. С.39-47.

15. Сабитов К.В., Сидоренко О.Г. Задача с условиями периодичности для вырождающегося уравнения смешанного типа /7 Дифференц. уравнения. 2010. 46, №1. С.105-113.

16. Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции: Функции Бееееля, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены /' М., 1966. 296 с.

DIRICHLET's PROBLEM FOR A MIXED TYPE EQUATION WITH TWO PERPENDICULAR TRANSITION LINES IN RECTANGULAR DOMAIN

A.A. Gimaltdinova

Samara State Academy of Social Sciences arid Humanities, M.Gorky, 65/67, Samara, 443099, Russia, e-mail: [email protected]

Abstract. First boundary-value problem for an equation of elliptic-hyperbolic type with two perpendicular lines of internal power and burst degeneration is studied. Uniqueness criterion of solution is proved by spectral analysis. The solution is built as the Fourier-Bessel sum.