Аналог задачи Бицадзе-Самарского для одного класса уравнений параболо-гиперболического типа второго рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 7. № 1 (2015). С. 31-45.

УДК 517. 956

АНАЛОГ ЗАДАЧИ БИЦАДЗЕ-САМАРСКОГО ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО

ТИПА ВТОРОГО РОДА

Н.Б. ИСЛАМОВ

Аннотация. В данной статье доказана однозначная разрешимость задачи типа задачи Бицадзе-Самарского для вырождающегося уравнения параболо-гиперболического типа второго рода, в случае, когда на первой и второй части характеристики задаётся краевое условие типа условия Бицадзе-Самарского.

Ключевые слова: вырождающиеся уравнения, краевая задача, уравнение второго рода, условие типа Бицадзе-Самарского, существование и единственность решения задачи, принцип экстремума, интегральное уравнение Фредгольма.

Mathematics Subject Classification: 35L75, 35М10, 35L35, 34B53

1. Введение

Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнения эллитико-гиперболического и параболо-гиперболического типов первого рода в различных областях изучены в работах А.В. Бицадзе [1], М.С. Салахитдинова [2], Т.Д. Джураева [3], Е.И. Моисеева [4], А.М. На-хушева [5], Т.Ш. Кальменова [6], К.Б. Сабитова [7], М.С. Салахитдинова и Б.И. Исломова [8], G.C.Wen [9] и их учеников. Далее выяснилось, что эти задачи возникают при изучении различных проблем математической биологии, прогнозировании почвенной влаги, решение проблем физики, плазмы и при математическом моделировании процессов излучения лазера.

В работах М.В. Келдыша [10] и А.В. Бицадзе [1] впервые было указано существенное влияние младших членов уравнения на постановки краевых задач для вырождающихся эллиптических и гиперболических уравнений. В литературе принято называть уравнением смешанного типа второго рода уравнения, линия вырождения которых является одновременно огибающей семейства характеристик, т.е. сама является характеристикой.

Начиная с 1953 г., после публикации известной работы И.Л. Кароля [11] появился интерес к изучению краевых задач для уравнений смешанного типа второго рода. Аналоги задачи Трикоми для уравнения эллитико-гиперболического типа второго рода в области, часть границы которой является линией вырождения, рассмотрены в работах [12]-[18], а в работах [19]-[20] изучена задача Дирихле для уравнения смешанного типа второго рода в прямоугольных областях.

Краевые задачи для уравнения параболо-гиперболического типа второго рода без вырождения в параболической части были исследованы в работах [21]-[22]. Однако небольшое число работ посвящено уравнениям смешанного параболо-гиперболического типа второго рода с вырождением в параболической части. Отметим работы [23], [24].

Обобщенная задача Трикоми для уравнения эллитико-гиперболического типа первого рода, в случае, когда краевое условие на первой части характеристики задаётся локально, а на второй части и параллельной ей характеристике задаётся условие типа

N.B. Islamov, Analogue of Bitsadze - Samarskii problem for a class of parabolic-hyperbolic equation of second kind.

© Исламов Н.Б. 2015.

Поступила 12 июля 2014 г.

Бицадзе-Самарского, изучены в работах [25], [26]. Такие задачи для уравнения смешанного параболо-гиперболического и эллитико-гиперболического типов второго рода исследованы сравнительно мало. Отметим работу [27].

В настоящей работе изучается краевая задача для вырождающегося уравнения параболо-гиперболического типа второго рода, в случае, когда краевое условие на первой части характеристики задаётся нелокальное условие, а на второй части и параллельной ей характеристике задаётся условие типа Бицадзе-Самарского.

2. Постановка задачи

Рассмотрим уравнение

0

!

ия

^XX Щ ,

- (-У)тщ

вП3 0 < т < 1

р> 0 в^

В?

^хх V У/ ""УУ 1

где В^ — область, ограниченная отрезками ОА^, А^Bj,RBj, ОК прямых у = 0, х = (—1У+1,у =1, х = 0, соответственно при у > 0, здесь и далее ] = 1 при х ^ 0, ] = 2 при х ^ 0; В3 — характеристический треугольник, ограниченный характеристиками А1С : ж + (1 — 2/3)(—у)1/(1-2^) = 1, А2С : ж — (1 — 2£)(—у)1/(1-2^) = —1 , А1А2 : у = 0, — 1 < х < 1 уравнения (1) при у < 0. Здесь = т/(т — 2), причем

— 1 < < 0. (2)

Введем следующие обозначения: 31 = {(х,у) : 0 < х < 1, у = 0} ,

32 = {(х,у): —1 < ж < 0, у = 0} , З3 = {(х, у) : ж = 0, 0 <у < 1} ,

ОС1 : ж — (1 — 2£)(—у)1/(1-2^ = 0, ОС2 : ж + (1 — 2$)(—у)1/{1-Щ = 0,

С (0; —(2/(2 — т))2/(2-т)^ , 0(0, 0) € ЛЛ, € А1С, С2 € А2С. В = Вх и В2 и В3 и 31 и 32 и З3, В4 = В1 и В2 и З3,

03 (х)

(

х — 1

ж + 1 2(1 — 2£)

0»=(2; —

(X

2

X

2(1 — 2£)

1-2^

V = 1, 2),

(3,)

(3)

01(ж) и 02(х) — точки пересечения характеристики А2С с характеристикой, выходящей из точки М2(х, 0),ж € [— 1; 0] и М1(х, 0),ж € [0; 1] соответственно, а 0*(х) — точки пересечения характеристики ОС1 с характеристикой, выходящей из точки М^х, 0), ж € [0; 1] .

Через В31, В32 и В33 соответственно обозначим характеристические треугольники ОС1А1, А2С20 и четырехугольник ОС1СС2.

Задача В8. Найти в области И функцию и(х,у), обладающую свойствами:

1)и(х,у) € С (В);

2)и(х, у) является регулярным решением уравнения (1) на множествах и В^К (] = 1, 2);

3)и(х,у) является обобщенным решением уравнения (1) из класса К2 [28] в области

ДД (ОС1 и ОС2);

4) и(х,у) удовлетворяет краевым условиям:

и(х,у)1А,в, = ъ(у), 0 ^ у ^ 1, (з = 1, 2), (4,)

3.

—и [01(ж)] + а(х)и(х, 0) = Ъ(х), (х, 0) € 32 ах

и [02(ж)] = уи [0*(ж)] + р(х), (х, 0) € 3\;

(5)

(6)

5) Uy еС (Di и Ji) П С (D2 и J2) П С (D3 и Ji UJ2) иих е С (Di и Jз) П ПС (D2 и Jз) на интервалах Ji и J2 и J3 соответственно выполняются условия склеивания

Km = Pi(х) lim + q,(х), (х, 0) е Jj, (7,)

y^-О -у y^+o -у

и

Km Щ^! =Ш ^ирУ!, (0, у) е J3, (7з)

х^-О дх х^+О дх К У'

где а(х), Ь(х), р(х),р,(у) р,(х), qj(x)(j = l, 2) — заданные функции, причем

b( - 1) = 0, Ь(0) = 0, а(0) = 0, p'(0) = 0, (8)

р = const > 0, а(х) ^ 0, а' (х) ^ 0, Ухе [-1,1] , р, (х) < 0, V х е J,, (9)

^(у), Му) ееЩ ПС 1Щ, (10)

а(х), Ь(х) е С2 Щ , р(х) е С2 (Ji), рj (х), qj (х) е С (Jj) П С2 (Jj). (11)

3. Основные функциональные соотношения

Введем следующие обозначения

и (х, 0) = т, (х) , (х, 0) е Jj, иу (х, ±0) = и± (х) , (х, 0) е Jj, (j = 1, 2), (12j)

и (0, у) = тз (у), (0, у)е7з, их (±0, у) = из (у), (0, у) е J3. (12з)

Обобщенное решение задачи Коши с данными (12\) для уравнения (1) из класса R2 в области D^ даётся формулой [11], [28, стр. 230(27.5)]:

£ v

и (С, V) = J(V - t)-13(С - t)-l3Ti (t) dt + J(V - t)-13(t - 0-Ni (t) dt, (13i) О

где

Ni (t) = Ti (t)/2cosn/ - (t), (14i) 71 = [2(1 - 2/3)]23-ir (2 - 2(3)/Г2 (1 -/),

С = х - (1 - 2/) (-у)1/(1-23), 7] = х + (1 - 2/) (-у)i/(i-23\ (15)

х

п (х) = j (х - t)-23Tx (t) dt, (х, 0) е Ji, (16i)

О

функции T (х) и и- (х) непрерывны в (0,1) и интегрируемы на [0,1] , а т\ (х) обращается в нуль порядка не меньше -2/ при х ^ 0.

Обобщенное решение задачи Коши с данными (122) для уравнения (1) из класса R2 в области D^d = 2, 3) даётся формулой:

£ v

и (С, v) = f(v - t)-3(С - t)-3T2 (t) dt + J(n -t)-3(t - О-33N2 (t) dt, (1З2) -1

где

N2 (t) = T2 (t)/2cosn/ - 7pi- (t), (142)

а £,1] — определяется из (15);

х

Т2 (х) = j (х - t)-23T2 (t) dt, (х, 0)е,Ь, (162)

-1

функции T2 (х) и и2 (х) непрерывны в (-1, 0) и интегрируемы на [-1, 0] , а т2 (х) обращается в нуль порядка не меньше -2/ при х ^ -1.

Положив £ = —1 и г] = х в (132) с учётом (3i), (5), (142) и

х

и [01 (х)]=/(х — t)-13 (1+t)-?N2 (t)dt, (х, 0) е4 (17i)

-i

получим функциональное соотношение между Т2 (х) и v- (х), перенесенное из области Ds2 на J2 :

— / \ (1 + х)^ —R . . . .

^ (х) = Г(1 — ff) D"l*a (х) Т2 (х) + + (х) — ^• ^ GJ* (18)

где D^x [■] — оператор интегродифференцирования дробного порядка а [28], а т2 (х) — определяется из (162).

Точно также положив £ = —1 , г/ = х и £ = 0 , г/ = х соответственно в (132) и (131) с учётом (32), (3), после некоторых преобразований получим

х

U [02 (х)] = У(х — t)'13 (1+t)-N2 (t)dt, (х, 0) eJ2, (172)

-1

х

и [0* (х)] = J (х — t)-13t-l3Ni (t) dt, (х, 0) G Ji. (19)

0

Дифференцируя (6) по х, а затем, применяя к обеим частям полученного равенства оператор D- [■], имеем

d

D-—и [02 (х)] = D-—и [0* (х)] + D-f (х). (20)

Подставляя (172), (19) в (20) с учетом (5), (6), (141), (142), (18) и тождеств D-ID 1х(1+х)-^2 (х) = (1+х)-^2(х), D-d0xх~13N1 (х) = х~^(х), получим функциональное соотношение между Т1 (х) и //- (х), перенесенное из области Ds1 на J1:

Т (—) х^

(х) = -^-L + -------D-a (х) Т2 (х) + F1 (х) , (х, 0) G J1, (21)

2 cos пр (1 — р)

где т2 (х) определяется из (162),

Р1 (х) = ){в-?</ (х) — Б^Ь (х)} . (22)

В силу условия р'(0) = 0, 6(0) = 0, а(0) = 0 с учетом (171), (172), (19) из (5) и (6) следует, что и (0,0) = 0. Следовательно, в силу условий задачи В8 имеем П (0) = Т2 (0) = т3 (0) = 0.

Переходя к пределу при у ^ +0 в уравнении (1) при х > 0, у > 0 и ж < 0, у > 0 с учетом (41), (42), (8), (161), (123)(] = 1, 3), сответственно имеем

т1 (ж) = хри+ (ж), (х, 0) €31, (2З1)

П (0) = г* (0) = 0, п (1) = ^1(0) (241)

и

тЦ (х) = (—х)Р4 (х), (х, 0) G J2, (232)

Т~2 (—1) = ¥>2 (0) , Т~2 (0) = Ts (0) = 0. (242)

Решая задачу (23^ и (24^, получим функциональное соотношение между ^ (х) и (х) , перенесенное из области на Jj ^ = 1,2):

1

П(х) = !в1 (х, г) 1ри+(1)(И + Ф1 (х), (х, 0) Е 71, (251)

0

0

Т2(х) = J С2 (х,г) (-г)ри+(г)<и + Ф2(х), (х, 0) е (252)

1

где

Ф1 (х) = хМ0), (261)

Ф2 (х) = -х?2(0), (262)

п (х Л = { х (1 - ^ , 0 ^ х ^ t, (27 )

01 (х, ^ = \ г(х - 1), ^х ^ 1, (271)

п (х+■) = I 1(1 + х), - 1 < х < Ъ (27 )

п (х, г) = \х (1 + г), ^х ^ 0. (272)

4. Единственность решения задачи Вв

Теорема 1. Если выполнены условия (2), (8), (9), то в области И решение задачи Б8 единственно.

При доказательстве теоремы 1 важную роль играют следующие леммы.

Лемма 1. Если выполнены условия (2), (8), то решение и(х, у) Е С (Й4) П С2^ (И1 и ПВ1 иИ и В2Щ , их(х, у) Е С (И 4 и В1В2) уравнения (1) при у > 0, достигает своего положительного максимума и отрицательного минимума в замкнутой области И4 лишь на А1В1 и А2В2 и J1 и ,12.

Доказательство леммы 1. В силу принципа экстремума для параболических уравнений [29], [30] решение и(х, у) уравнения (1) при у > 0 внутри области И1 и И2 не может достигать своего положительного максимума и отрицательного минимума.

Покажем, что решение и(х, у) уравнения (1) при у > 0 не достигает своего положительного максимума (отрицательного минимума) на J3.

Предположим обратное. Пусть и (х, у) в некоторой точке (0, у0) интервала Jз достигает свой положительный максимум (отрицательный минимум). Тогда на основе принципа экстремума [31], [32] из области И1 имеем

их(+0, Уо) < 0 (> 0). (28)

А с другой стороны, из области И2 получим

ихХ-0, уо) > 0(< 0).

Это неравенство в силу (73) противоречит отношению (28). Следовательно, и (х, у) не достигается положительный максимум (отрицательный минимум) на интервале J3.

В силу условия (8) из (5) и (6) следует, что и (0,0) = 0. Значит, и(х, у) не достигает своего экстремума в точке 0(0, 0).

Используя леммы 1.1 и 1.2 [33, Гл. 2, § 2.3. стр. 93-94], можно доказать, что в точке (0,1) не существует положительный максимум (отрицательный минимум).

Таким образом, и ( х, ) не достигает своего положительного максимума (отрицательного минимума) на интервале J3.

Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Пусть т2 (х) Е С [—1,0] П С(1'к (—1,0), где к > — 2(3 в точке х = х0 (х0 Е (— 1,0)) принимает наибольшее положительное (наименьшее отрицательное) значение. Тогда функцию

Т2(х) =

1

D___Xßт2 (х)

Г(1 - 2ß)

sin2nß d2 2nß dx2

Tx (t) (x - t)2ß dt

(29)

-l

в точке x = xo можно представить в виде

Т2 (хо)

s i п2ж ß

ж

XQ

(l+xo)2ß-_ Т2 (хо) + (1 - 2ß)

-1

Т2 (xo) - Т2 (t) (xo - t)

2-2 ß

причем

Т2 (xo) < 0 (Т2 (xo) > 0), (xo, 0)eJ2.

(30)

(31)

Лемма 2 доказывается с помощью теоремы 1 [14, стр. 1080-1081] и леммы 27.1 [28, стр. 231-232].

Точно так же, как выше, можно доказать леммы 2 в случае, когда х0 Е (0,1). Следовательно, имеет место тождество

Т (xo) =

1

DLoßTi (xo)

Г(1 - 2ß)

s i п2ж ß

ж

xf Vi (xo) +

xo

+ (1 - 2ß) [n (xo) - n (t)] (xo - t)

2 ß-2

(32)

и неравенство

Т (xo) < о (Тг (xo) > 0) , (33)

где (xo, 0) G Ji точка положительного максимума (отрицательного минимума) функции

П (x) Е С (Ji) П С(l'k) J).

Лемма 3. (аналог принципа экстремума А.В. Бицадзе.) Если выполнены условия (2),(8),(9), то решение и (x, у) задачи BS при p(x) = 0, q\ (x) = 0, q2 (x) = 0, b(x) = 0, свой положительный максимум и отрицательный минимум в замкнутой области D4 достигает лишь на АВ U А2В2.

Доказательство леммы 3. В силу леммы 1 решение u(x, у) уравнения (1) при у > 0 свой положительный максимум и отрицательный минимум в замкнутой области D4 достигает лишь на АВ U А2В2 U J\ U J2.

Покажем, что решение u(x, у) уравнения (1) не достигает своего положительного максимума (отрицательного минимума) на интервалах Jj (j = 1, 2) ив точке 0(0,0). Предположим обратное. Пусть и (x, у) в некоторой точке Q (xo, 0) Е J2 достигает свой положительный максимум (отрицательный минимум).

Тогда равенство (18) при b (x) = 0 принимает вид

Ъ(x)

1

Т (x) + D-ßXa (x) T2 (x) , (x, 0) Е J2.

(34)

' Г(1 — ()'

В силу (72) при q2(х) = 0 с учетом определения и принципа экстремума оператора интегродифференцирования дробного порядка [28, стр. 16-19, (4.1), (4.6)] из (34) после некоторых вычислений получим

(1+хУ

ЪP2(x)v+ (x)

1

2 cosnß

Т2 (x) +

Г(1 -ß) Г (1 + ß)

[(1+x)ß а (x) T2 (x) -

X

— Л Т2 (ж) — Т2 ® а (*) (ж — № — рТ2 (ж) / а (х) — а(1) (х — ^ . (35) } х — Ь } х — Ь

-1 -1

Принимая во внимание (2), (9), (11) с учетом леммы 2 из (35), заключаем, что в точке Q(x0, 0) положительного максимума (отрицательного минимума)

(х0) > 0 (х0) < 0) . (36)

С другой стороны, в точке Q (х0, 0) с учётом т'2 (х0) ^ 0 [г2' (ж0) ^ 0] из (232) получим (ж0) ^ 0 [и+ (ж0) ^ 0 . Это неравенство противоречит неравенству (36).

Таким образом, и (х, у) не достигает своего положительного максимума (отрицательного минимума) на интервале 32.

Аналогично, принимая во внимание (2), (71), (9), (11), (231), (33) из (21) при Ь(х) = 0, р (х) = 0, д1 (х) = 0, заключаем, что и (х, у) не достигает своего положительного максимума (отрицательного минимума) на интервале 3]^.

В силу (8) следует, что и(х, у) не достигает своего экстремума в точке 0(0, 0).

Лемма 3 доказана.

Переходим к доказательству теоремы 1.

Пусть р1 (у) = (у) = Ь(х) = р (ж) = д1 (ж) = д2 (ж) = 0, тогда в силу леммы 3 с учетом (41 ) и (42 ) имеем

и (х, у) = 0 в В4.

Отсюда следует, что

и (х, 0) = 0, (ж, 0) €3з, щ (х, ±0) = 0, (ж, 0) € Jj, 0' = 1, 2). (37)

Принимая во внимание (141), (142), (29), (32), (37) из решения задачи Коши (13-,) для уравнения (1) в областях = 1, 3), получим и (х, у) = 0 в И3.

Следовательно, и(х, у) = 0 в области И. Тем самым, решение задачи В8 единственно.

Теорема 1 доказана.

5. Существование решение задачи ВБ

Теорема 2. Если выполнены условия (2), (8), (10) и (11), то в области Б решение задачи В8 существует.

Доказательство теоремы 2. В силу (161) с учетом ^(0) = 0 из (21) имеем

^ Ох13 Т~1(х) =

Г(1 — 2/3)

= 2 со з п/3 (ж)---— ЦО/а (ж) т2 (ж) — ^ (ж) , (ж, 0) € 31. (38)

Из (18) с учетом (162) после некоторых вычислений получим интегральное уравнение относительно Т2(ж):

х

Т (х)^^ (х, 1)Т2 (1)31 = ^2 (ж), (ж, 0) (39)

1

где

2 сое п/З (1+ж)^ (Ж, Г (1 — /3) Г (1 + /3) х

х { I а'(г) (ж — г)" ( г — г)-213 Зг — 2/3 ф) (ж — г)ГЗ (г — г)-213-1 Зг } , (40

X

Р2(ж) = 2 сое [(ж) +

(1 +х)

О'ЛЪ (х)

(41)

Г(1 — Р)

Принимая во внимание (2), (11), из (40) следует, что ядро К2(х, ¿) допускает оценку

|К2 (х, ¿)| ^сопвг(1 + х)3. (42)

В силу (11) с учетом класса К2 (см.(132)) из (41) следует, что правая часть уравнения (39) непрерывна в интервале (—1, 0) и интегрируема на [—1, 0] .

В силу (2), (42) уравнение (39) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода со слабой особенностью.

Из постановки задачи В8 с учетом (42) и свойства функции Р2(ж) следует, что решение уравнения (39) надо искать в классе функции непрерывна в (—1, 0 ) и интегрируема на [—1, 0].

Согласно теории интегральных уравнений Вольтерра [34], заключаем, что интегральное уравнение (39) однозначно разрешимо, и его решение дается формулой

Т2(х) = ^2(ж) — К*(х, (ж, 0) € 32,

1

где К**(х, ¿) — резольвента ядра К2 (х, ¿).

В силу (162) с учетом т2(—1) = 0 из (43) получим

Г (1 — 2/3) Т2 (Х)

(43)

(ж) — 73 К*(х, г)и° (г) сИ + Р3 (ж), (ж, 0) € 32,

1

где = 2^008ж[3,

Рз (ж)

2 сое

Г(1 — Р)

(44)

(1 + х)13 (ж) — К*2(х, г) (1 + ^0-^Ь(г)сИ.

(45)

-1

Исключив ^(ж) и т2(х) из соотношений (38), (251) и (44), (252) с учетом (71) и (72), соответственно имеем

1

1

Г(1 — 2/3)

в-213

С1х (х, г) €и+(ъ)(И + Ф[(х)

7з [?1(х) и+ (ж) + д1(х)] —

2совттРх^ 3 ^Г(1 — р)Г(1 + р) Зх

(ж — г)"а(г)3г / С2 (г, г) (—г)р4(г)3г+

1

+ Р4(х), (х, 0) €31,

(46)

1

Г(1 — 2/3)

Б

-2 ¡3

— 1х

С^ (х, *)( — 1)РL/^+(t^)Зt + Ф2(ж)

1

7з \_Р2(ж)(ж) + ^(ж)] —

— 7з К*(х, I) [Р2(г)4 (г) + ^ + Рз (ж), (Ж, 0) € з2,

(47)

х

X

X

0

X

0

где

Р4(х) = —2с08ж( Введем обозначения

К1(х) = г(1—Щ

х

В—а (х) Ф2 (х) — Р1 (х)

№1 — (у

1

в-2 / С1х (х, г) гри+(г)(И, 0 < х < 1,

(48)

(461)

П2(х) =

о-2х I с'2х (х, г) (—г)р —1 <х< 0.

г(1 — 2()

(471)

-1

Тогда в силу (27\) и (272) с учетом определения оператора интегродифференцирования дробного порядка [28, см.формулы (4.1) и (4.6)], а также, используя свойства бета-функций [28, (1.7)] из (461) и (471), имеем

х 1

В(х) = ъ

Я2(х) = ъ

р11(х,г)(г)а+ / Р12(х,г)(г) а

1

= ! р1 (х, г) и+(1)(И} 0

0

Р21(х, г)4 (г) а + Р22(х,г)4 (г) а

1

р2 (х, г) и+(г)М,

1

где Ъ = 1/Г(1 — 2()Г(1 + 2(),

Г ъРц (х, I), 0 ^¿^х, Р1 (X, ^=1 ЪР12 (х, Ь) , х ^^ 1,

г ъР21(х, V, —1

Р2 (х, ^ \ ЪР22 (х, I) , х ^^ 0, Ри (х, г) = (х — г)213гр + х23 • гр(г — 1), р12 (х, г) = х213гр(г — 1),

Р21 (х, 1) = (х — 1)213 • (—1)р+1 + (х — 1)213 • (1 + 1) (—1)р — (х +1)213 (—)р,

Р22 (х, г) = — (х + 1)213 (—1)р+1.

Подставляя (462) и (472) в (46) и (47), соответственно, находим

0

(х) — ! р (х, г) (г) а = р5 (х), —1 <х< 0, -1

1 0 (х) — ! Q (х, г) (г) а = р6 (х) + ^ к1 (х, г)и+(г)((г, 0 < х < 1, 01

(462)

(472)

(46з)

(473)

(49)

0

1

х

0

где

( ,)=([Р (х, 1)+1зК*(х, 1)Р(1)]/1зР2 (х), —1 С1Сх,

р (х, ] \ Р (х, г)/Ър2(х), х сгс 0, (51)

Q (х, 1) = Р1 (х, г)/ъР1(х), (52)

Р (х)= В-23 Ф2 (х) — 1302 (х) + Рз (х) + Г К*(х, (53)

5 Г (1 — 2/3) >узР2 (х) >узР2 (х) } Р2 (х) ,

-1

р ( )= В-2 ф1(х) _ р4 (х) + 1зЯ1 (х) (54)

Р6 (х) Г(1 — 23)ЪР1 (х) ЪР1 (х) , (54)

х

К (х- « = ^¡Г^%)РМ И аШ-х — ^, ^ <55)

0

В силу (2), (11), (40), (42), (46з), (47з) из (51) и (52) получим оценки

\Р х С { — ^ , " 1Л1Лх, (56)

соп в г(1 + г)2р, х ctc 0,

!

, соп в Ь (х — Ь)23 , 0 С Ь С х,

^ (х, 1)\ ( + 2? , ^ ' (57)

соп в ъ х 3, х С ъ С 1.

Из (56) и (57) следует, что уравнения (49) и (50) являются интегральными уравнениями Фредгольма второго рода со слабой особенностью.

В силу (2), (8), (10), (11) из (53) и (54) с учетом (22), (261), (262), (40), (41), (42), (45), (48) заключаем, что:

1) функция Р5 (х) непрерывна в (—1, 0) и интегрируема на [—1,0], причем функция Р5 (х) при х ^ — 1 обращается в бесконечность порядка меньше —2/3;

2) функция Р6 (х) непрерывна в (0,1) и интегрируема на [0,1], причем функция Р6 (х) при х ^ 0 обращается в бесконечность порядка меньше —2/.

Разрешимость интегрального уравнения Фредгольма второго рода (49) и (50) (в силу эквивалентности его задаче ВБ) вытекает из единственности решения задачи В8 и соответственно дается формулой [34]:

0

(х) = ! р * (х, г) р5 (г)а + Р5 (х) , —1 <х< 0 (58)

-1

и принадлежит классу, (х) Е С (—1, 0) П Ь1 [— 1, 0] , (х) функция при х ^ — 1 обращается в бесконечность порядка меньше —2/3;

1

(х) = ш* (х, г) Р7 (г) а + Рт (х), 0 < х < 1 (59)

0

и принадлежит классу, (х) Е С (0,1) П Ь1 [0,1] , причем функция (х) при х ^ 0 обращается в бесконечность порядка меньше —2/. Здесь

0

Р7 (х) = Рб (х) — IК (х, I) 1

0

Р* (г, г) Р5 (г) (г + Р5 (I)

1

а,

а Р* (х, Ь) и Q* (х, Ь) — резольвента ядра Р(х, Ь) и Q(х, Ь) соответственно.

Поставляя (58) и (59) в (251) и (252), соответственно определим т2(х) и т\(х) функцию из класса

т2(х) еС1 [-1, 0] ПЬ1 [-1, 0] и 71 (х) еС1 [0,1] ПЬ1 [0,1]. (60)

Теперь решим следующую задачу.

Задача ЛЮ. Найти решение и (х, у) е С {О^ П СХУ (О1 и КВ1 и О2 и В2В) уравнения (1), удовлетворяющее условиям (41), (42), (73) и

и (х, 0) = ^ (х), (х, 0) е 71, (611)

и (х, 0) = Т2 (х), (х, 0) е ,2, (622)

где ^ (х) (] = 1,2) — заданные функции, удовлетворяющие условию (60), причем п (0) = Т2 (0).

Теорема 3. Если выполнены условия (2), (10), (60), то задача ЛЮ в области однозначно разрешима.

Доказательство теоремы 3. Решение первой краевой задачи с условиями (41), (611) и и(0,у) = т3(у), (0,у) е ,73 для уравнения (1) в О1 и ЯВ1 имеет вид [29], [31]:

1 д У и(х, у) = У Со(х,1,у,а)1рт1(1)(И + —— ^ С(1\х,1,у,а)т3({)сИ+

о о

у

+ С(2)(х,1,у,а)М^ (62)

о

и принадлежит классу и(х, у) е С (О^ П С2Х'У (О1 и ЯВ1), если выполняется (10), (60) и т3(у) е С (7з) П С1 (.73). Здесь С(^(х,Ь,у,а), (] = 1, 2) определяются формулами

1

т (1 - о)2(а-1) -х [ (1 - а)2(а-1) -í

С( ) (х, I, у, а) = (1 - а)2(а-1) - У (1 _ а)2(а-1) С (х, У, а) (63)

о

1

С(2) (х, г, у, а) = (1 - а)2(1-а)х Со (х, г, у, а) (1 - а)2(1-а)ЬРМ, (64)

о

а С0(х,^,у,а) — функция Грина первой краевой задачи для уравнения (1) в области И1 имеет вид

Л2у

С0(х,^,у,а) = ^^ е-(1 - а)л/х^х

«=о

14 ^,(1 — а)£ з«1-^)

,1-а (лв(1 - а)х2<1-«>) ,1-а (лв (1 - а)£2<1-«>) х V /V /

72-аЛ)

где 7х(г) = ^ 2У * — функция Бесселя первого рода, а = ^, причем

=о

1 < а < 1, (65)

а Л8 — положительные корни уравнения 71-а(Л5) = 0, 5 = 0,1, 2,... .

Дифференцируя (62) по х и переходя к пределу при х ^ +0 с учетом (123), находим

у

-

Щ(у) = ду / ^(у - *)т3(^ + р8(у), (0, у) е 73, (66)

о

где

Z{у - t) = (1 - аГ-i lim ^^ - ',а)

1У ' V ' x^+o dx

22

= -(1 -а) -

2a ~ \ — 2a p - ^f-1

Г2(1 -а)^ J^_a(\s) '

s=o

il У

Go (x,t,y,a) tp n(t)dt+ — G(2)(x,t,y,a)^_(t)dt. (67) J Oy J

oo

На основании свойства функции Jx (z) функция Z (у - t) представима в виде [21], [31]:

Z(У - t) = - 1 ) (у - t)a—l + В(у - t), (68)

Г(1 - а)

где В (у - t) — непрерывно-дифференцируемая функция при у ^ t.

Подставляя (68) в (66), получим функциональное соотношение между т3(у) и У3(у) , принесенное из области D_ на J3:

У У

1 В (' В С

Му) = - Г{1-а) öyj (у - t)a—lT3(t)dt + — J В(у - t)n(t)dt + F8(y). (69)

oo

Нетрудно заметить, что решение первой краевой задачи с условиями (42), (612) и и(0, у) = т3(у), (0, у) Е J3 для уравнения (1) в D2 U КВ2 даётся формулой:

o у

u(x, у) = J Go(-x,t,y,a)(-t)pT2(t)dt- — J G(l\-x,t,y,a)r3(t)dt-

—l o

y

В i

- —j G(2)(-x,t,y,a)<p2(t)dt. (70)

o

Точно так же, как выше, дифференцируя (70) по x и переходя к пределу x ^ -0 с учетом (123), (68), получим функциональное соотношение между т3 (у) и У3(у), принесенное из области D2 на J3:

У У

из(у) = -j^J (у - t)a—lT3(t)dt - В(у - t)T3(t)dt + Fg(y), (71)

oo

где

Fg(y)= lim f Go(-x,t,y,a)(-t)pT2(t)dt-

x^—o Ox I J

- -Ц- j G(2)(-x,t,y,a)^2(t)dt 1 . (72)

o

В силу (73) из соотношений (69) и (71) получим равенство относительно т3(у):

у у

2 В Г В С

' (у - t)a—lr3(t)dt - 2— В (у - t) r3(t)dt = Fs(y) - F9 (у).

Г(1 - а) 3

oo

Отсюда, в силу определения оператора интегродифференцирования дробного порядка [28, (4.1), (4.6)] имеем

у

2Г(а) ^ П(у) - 2В(0) Т3(у) - 2 У В'у (у - г) = ЗД) - ВД. (73)

о

Г(1 - а)"

Применяя оператор D0¡y 1 к обеим частям равенства (73), с учетом тз (0) = 0 и

Dao-lDl-a т3(у) = т3(у), (74)

получим интегральное уравнение относительно тз(у):

y

тз(у) = j М(у, t)r3(t)dt + Fw(y), (0, у) е Зз, (75)

о

где

м(у,^) = Г(Т(-г|Б(0)(^ - f)~a + / (z - f)(y - z)~°dz

Fio (у) = r2T(ay)Doy"1 [Fe (y) - Fg(y)]. (76)

Ядро М(y, t) е С ([0,1] x [0,1]) при у = t, а при у = t допускает оценку

|М(у, t)l ^ const(y - t)~a. (77)

Исследуем теперь функцию F10 (у). В работах [21] и [33], используя свойства функции G0 (х, £,у - г], а), Зх (z) с учетом (2), (10), (60), доказано, что функция Fi (у) , (i = 8, 9) принадлежит классу

Fi(y) еС (З) ПС1 (З), (г = 8,9). (78)

В силу (77), (78) с учетом определения оператора интегродифференцирования дробного

порядка [28, (4.1)] из (76) получим оценку

y

lFio(y)l ^ ЩО) J (У - f)~a [|F8+ ÍFe(í)|] dt ^

o y

^ const j (y - t)~adt ^ const y1-a. o

Отсюда, применяя во внимание (65) и 0 1, имеем

| F10(у)| < соnst. (79)

В силу (10), (60), (65) с учетом (79) из (76) следует, что

Fw(y) е С (Зз) П С1 (Зз). (80)

Таким образом, в силу (77), (79), (80) уравнение (75) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода со слабой особенностью.

Согласно теории интегральных уравнений Вольтерра [34], заключаем, что интегральное уравнение (75) однозначно разрешимо в классе С (З3) П С1 (З3), и его решение дается формулой

y

тз(у) = Fw(y) + j М*(у, t)Fw(t)dt, (0, у) е Зз, (81)

o

где М*(у, t) — резольвента ядра М (у, t).

Следовательно, задача AD однозначно разрешима в силу эквивалентности ее интегральному уравнению Вольтерра второго рода (75).

Подставляя т3(у) из (81) в (62) и (70), восстановим решение задачи AD как решение первой краевой задачи в областях Dl и D2 соответственно.

Таким образом, решение задачи BS можно восстановить в областях Dt и D2 как решение первой краевой задачи для уравнения (1) (см.(62), (70)), а в области D3 как решение задачи Коши для уравнения (1) (см. (13j) (j = 1, 2)).

Теорема 2 доказана.

Автор выражает признательность научному руководителю академику АН РУз Салахитдинову М.С. за внимание к работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бицадзе А.В. Избранные труды. Изд. КБНЦРАН, Россия, 2012. 400 с.

2. Салахитдинов М.С. Избранные научные труды Ташкент. МУМТОЗ СУЗ. 2013. 500 с.

3. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типа. Ташкент: ФАН. 1979. 240 с.

4. Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. Изд. МГУ. Россия. 1988. 152 с.

5. Нахушев А.М. Об одном классе линейных краевых задач для гиперболического и смешанного типов уравнений второго порядка. Россия. Нальчик. 1992. 156 с.

6. Кальменов Т.Ш. Научные труды, воспоминания и размышление в начале века. Алматы. 2006. 108 с.

7. Сабитов К.Б. Начально-граничная задача для параболо-гиперболического уравнения со степенным вырождением на переходной линии // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47. № 10. С. 1474-1481.

8. Салахитдинов М.С., Исломов Б. Нелокальная краевая задача с конормальной производной для уравнения смешанного типа с двумя внутренними линиями и различными порядками вырождения // Известия вузов. Математика. 2011. № 1. С. 49-58.

9. G.C. Wen Solvability of the Tricomi problem for second or der equations of mixed type with degenerate curve on the sides of on angle // Math. Anachr. 281(2008). P. 1047-1062.

10. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // Докл. АН СССР. 1951. Т. 77. № 2. C. 181-183.

11. Кароль И.Л. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа // Докл. АН СССР. 1953. Т. 88. № 2. С. 197-200.

12. Салахитдинов М.М., Исамухамедов С.С. О некоторых смешанных задачах для уравнения sgny\y\-muxx + иуу = 0, 0 < т < 1 // Изв. АН УзССР. Сер. физ-мат. наук. 1970. № 5. С. 15-19.

13. Смирнов М.М. Краевая задача для уравнения смешанного типа 2-го рода со смещением // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. № 5. С. 931-943.

14. Ивашкина Г.А. О задачах типа Бицадзе-Самарского для уравнения ихх + sgny\y\muyy = 0, 0 <т < 1. // Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17. № 6.

С. 1078-1089.

15. Сабитов К.Б., Бибакова С.Л. Построение собственных функций задачи Трикоми-Неймана уравнения смешанного типа с характеристическим вырождением и их применение // Математические заметки. 2003. Т. 74. Вып. № 1. С. 83-94.

16. Сабитов К.Б. О постановке краевых задач для уравнения смешанного типа с вырождением второго рода на границе бесконечной области // Сибирский математический журнал. 1980. Т. 21. № 4. С. 146-150.

17. Хайруллин Р.С. К задаче Трикоми для уравнения смешанного типа второго рода // Сибирский математический журнал. 1994. Т. 35. № 4. С. 927-936.

18. Хайруллин Р.С. К задаче Дирихле для уравнения смешанного типа второго рода с сильным вырождением // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49. № 4. С. 528-534.

19. Сабитов К.Б., Сулейманова А.Х. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа второго рода в прямоугольной области // Известия вузов. Математика. 2007. № 4. С. 45-53.

20. Сабитов К.Б., Сулейманова А.Х. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с характеристическим вырождением в прямоугольной области // Известия вузов. Математика. 2009. № 11. С. 43-52.

21. Джураев Н. Задача Трикоми для смешанного параболо-гиперболического уравнения с двумя линиями вырождения второго рода // Изв. АН УзССР. Сер. физ.-мат. наук. 1989. № 2. С. 1923.

22. Салахитдинов М.М., Эргашев Т.Г. О двух краевых задачах со смещением для вырождающегося гиперболического уравнения второго рода // Доклады АН УзССР. 1991. № 7. C. 3-5.

23. Исломов Б., Жумоев Б. Аналог задачи Трикоми для вырождающегося параболо-гиперболического уравнения второго рода // Меж. Российско-Болгарский симпозиум «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики.» Россия. Нальчик. 2010. С. 106-108.

24. Жумоев Б. Нелокальная краевая задача для уравнения параболо-гиперболического типа второго рода, вырождающегося внутри области // Узбекский мат. журнал. 2012. № 1. С. 38-46.

25. Салахитдинов М.М., Мирсабуров М. Нелокальные задачи для уравнения смешанного типа с сингулярными коэффициентами. Ташкент. Университет. 2005. 223 с.

26. Мирсабуров М. Краевая задача для одного класса уравнений смешанного типа с условием Бицадзе-Самарского на параллельных характеристиках // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37. № 9. С. 1281-1284.

27. Исламов Н.Б. Об одной нелокальной краевой задаче для уравнения эллиптико-гиперболического типа второго рода // Узбекский мат. журнал. 2012. № 4. С. 38-50.

28. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Высшая школа. 1985. С. 304.

29. Салахитдинов М.С., Акбарова С.Х. Краевая задача для смешанного эллиптико-параболического уравнения с различными порядками вырождения внутри области // Узбекский мат. журнал. 1994. № 4. C. 51-60.

30. Ильин А.М., Калашников А.С., Олейник О.А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // Успехи мат. наук. 1962. Т. 17. Вып. 3(105). С. 3-141.

31. Терсенов С.А. Первая краевая задача для уравнения параболического типа с меняющимся направлением времени. Новосибирск. 1978. 53 с.

32. Терсенов С.А. Введение в теорию уравнения вырождающегося на границе. Новосибирск. НГУ. 1973. 144 с.

33. Акбарова С.Х. Краевые задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического и эллиптико-параболического типов с двумя линиями и различными порядками вырождения. Дис... канд. физ.-мат. наук. Ташкент: ИМ АН РУз. 1995. 120 с.

34. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматгиз. 1959. 232 с.

Носир Бозорович Исламов,

Ташкентский государственный экономический университет, Узбекистан,

ул. Узбекистан, 49,

100003, г. Ташкент, Узбекистан,

E-mail: [email protected]