Научная статья на тему 'Аналог задачи Трикоми для характеристически нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа с переменными коэффициентами'

Аналог задачи Трикоми для характеристически нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа с переменными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
163
39
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
НАГРУЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ / УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА / ГИПЕРБОЛО-ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ / ЗАДАЧА ТРИКОМИ / КРАЕВАЯ ЗАДАЧА / LOADED EQUATIONS / MIXED EQUATIONS / HYPERBOLIC-PARABOLIC EQUATIONS / TRICOMI PROBLEM / BOUNDARY VALUE PROBLEM

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Хубиев Казбек Узеирович

В работе исследуется аналог задачи Трикоми для характеристически нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа с переменными коэффициентами. Доказана теорема единственности и существования решения исследуемой задачи. Единственность решения доказывается с помощью принципа максимума, существование методом интегральных уравнений.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Analogue of Tricomi problems for characteristicly loaded hyperbolic-parabolic equations with variable coefficients

In the work we study an analogue of Tricomi problems for characteristicly loaded hyperbolic-parabolic equations with variable coefficients. We prove the unique solvability of the studied problem. The uniqueness of the solutions is proved by means of the maximum principle, while the existence is established by the method of integral equations.

Текст научной работы на тему «Аналог задачи Трикоми для характеристически нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа с переменными коэффициентами»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 9. № 2 (2017). С. 94-103.

АНАЛОГ ЗАДАЧИ ТРИКОМИ ДЛЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛО-ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

К.У. ХУБИЕВ

Аннотация. В работе исследуется аналог задачи Трикоми для характеристически нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа с переменными коэффициентами. Доказана теорема единственности и существования решения исследуемой задачи. Единственность решения доказывается с помощью принципа максимума, существование - методом интегральных уравнений.

Ключевые слова: нагруженные уравнения, уравнения смешанного типа, гиперболо-параболические уравнения, задача Трикоми, краевая задача.

Mathematics Subject Classification: 35М12

1. Введение

Уравнения смешанного типа занимают важное место в теории дифференциальных уравнений в частных производных благодаря их теоретической и прикладной значимости. Одним из важнейших классов уравнений с частными производными являются нагруженные уравнения смешанного типа. Исследованию локальных и нелокальных краевых задач для нагруженных уравнений с частными производными посвящена монография A.M. Haxv-шева [1].

Впервые аналог задачи Трикоми для модельного гиперболо-параболического уравнения был изучен в работе [2]. Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнений гиперболо-параболического типа, в том числе обратные задачи и задачи для вырождающихся уравнений исследовались в работах многих авторов (см., например, [3]-[6]).

В настоящее время теория краевых задач и теория обратных задач для уравнений гиперболо-параболического типа, в том числе для вырождающихся уравнений продолжает интенсивно развиваться. В этой связи укажем следующие работы. В [7] доказывается априорная оценка классического решения аналога задачи Трикоми для неоднородного модельного уравнения гиперболо-параболического типа с правой частью из класса Гельдера. В [8] для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа в прямоугольной области изучена обратная задача, связанная с поиском неизвестной правой части, установлен критерий единственности решения задачи, решение построено в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей одномерной спектральной задачи. В [9] исследуется нелокальная внутреннекраевая задача с оператором Эрдейи-Кобера для модельного уравнения гиперболо-параболического типа. В [10] для вырождающегося в области гиперболичности уравнения в прямоугольной области методом спектрального анализа установлен

К.U. Khubiev, Analogue of Tricomi problems for characteristicly loaded hyperbolic-parabolic equations with variable coefficients.

© Хубиев К.У. 2017.

Поступила 7 июля 2016 г.

критерий единственности решения задачи с нелокальным условием, связывающим значения искомого решения, которые принадлежат разным типам изучаемого уравнения, построено решение задачи в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей одномерной спектральной задачи, установлена устойчивость решения по нелокальному условию. В [11], [12] исследованы нелокальные краевые задачи с условием типа условия Бицадзе-Самарского для вырождающегося уравнения гиперболо-параболического типа второго рода. В [13] для неоднородного гиперболо-параболического уравнения с нехарактеристической линией изменения типа изучается краевая задача с граничными условиями первого рода на характеристиках в параболической и гиперболической частях области задания уравнения, и с условием третьего рода на нехарактеристической части границы в параболической части.

Отметим также работы для нагруженных уравнений гиперболо-параболического типа второго и третьего порядков в различных областях [14]—[19]. В [14] исследуются краевые задачи для модельных нагруженных уравнений гиперболо-параболического типа второго порядка, когда линия изменения типа является нехарактеристической, и третьего порядка, когда линия изменения типа является характеристической. В [15] доказана однозначная разрешимость краевых задач для нагруженного дифференциального уравнения третьего порядка с гиперболическим и параболо-гиперболическим оператором. В [16] для уравнения гиперболо-параболического типа исследована однозначная разрешимость нелокальной задачи с обобщенными операторами дробного интегро-дифференцирования в краевом условии. В [17], [18] для различных уравнений смешанного гиперболо-параболического типа с нагруженными слагаемыми установлены критерии единственности решения начально-граничной задачи в прямоугольной области. Решения построены в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей одномерной задачи на собственные значения. В [19] исследован аналог задачи Трикоми для нагруженного модельного уравнения гиперболо-параболического типа с дробной производной при нагрузке.

В настоящей работе рассмотрим нагруженное [1] уравнение гиперболо-параболического типа

ихх - иу + агих + С\и + ¿1и(х, 0) = /ь у> 0, , ,

ихх - иуу + а2их + Ь2Пу + С2и + ¿2и{х + у, 0) + е2и{х - у, 0) = ¡2, у < 0, ^

в области П, ограниченной отрезками АА0, ВВ0, А0В0 прямых х = 0, х = I, у = Н > 0 соответственно, и характеристиками АС : х + у = 0 ВС : х — у = I. Через ^ и П2 обозначим параболическую и гиперболическую части смешанной области П соответственно, а через 3 - интервал 0 < X < I прямой у = 0 аг = ^г{х,у), Сг = Сг(х,у), ¿г = dг{х,у), ¡% = !г{х,у), Ь2 = Ь2(х,у), е2 = е2{х, у) - заданные функции из класса С(Пг), г = 1, 2.

Регулярным в области П решением уравнения (1.1) назовем функцию и (х,у) из класса С(П) ПС1^) ПС2(П2) ПСх2(П1), их,иу е Ь{3), удовлетворяющую уравнению (1.1) в П1 и П2.

Задача Т. Найти регулярное в области П решение и(х,у) уравнения (1-1), удовлетворяющее краевым условиям

и (0,у) = (у), и (1,у) = & (у), 0 < у < Н, (1.2)

и (х/2, —х/2) = ■ф (х), 0 < ж < I, (1.3)

где (у),№(у), ф(х)— заданные функции, р0(у),ф1 (у) е С[0,Н], ф(х) е С[0,/] П С2]0,1[, причем, <£0(0) = ф(0).

В работах [20], [21] для задачи Т при е2 = 0 было доказано существование и единственность решения исследуемой задачи при очень сильных ограничениях на функцию ¿2, а точнее в случае, если функция ¿2 определенным образом зависела от функций а2,Ь2,с2. В данной работе эти условия существенно ослаблены, причем при ¿1 = <12 = е2 = 0 полученные результаты совпадают с результатами, приведенными в [3].

2. Теорема существования и единственности решения Для задачи Т справедлива следующая Теорема 2.1. Пусть

1) в функции а1(х, у), С\(х, у), d\(x, у), ¡1(х, у) непрерывны и удовлетворяют по х условию Гельдера, а1 (х, 0) Е С1 [0,1], кроме того

с^х, y) + d1(x, у) < 0, d1(x, у) > 0; (2,1)

2) функции а2(х, у), Ь2(х, у) Е С1 (П2), с2(х,у)^2(х, у), е2(х, у), f2(х, у) Е С(П2), функция и(х, у) обладает свойством (j^ — Е С^Q2 \ Jj, кроме того, выполняются условия

а2 — Ь2 + 2а2х + 2Ъ2Х + 2а2У + 2Ъ2У — 4С2 > 0, (2.2)

а2(х, у) + Ь2(х, у) > 0, С2(х, у) + ¿2(х, у) + в2(х, у) > 0, d2(х, у) < 0, е2(х, у) < 0. (2.3) Тогда решение задачи Т существует и единственно.

и( х, )

и(х, 0) = т(х), иу(х, 0) = и(х). (2.4)

Тогда из условий задачи следует, что т(0) = p0(0) = ф(0), т(1) = <pi(0), т(х) Е С(J) П С 1(J), и(х) ЕС (J) П L(J).

2.1. Единственность решения задачи Т. Рассмотрим однородную задачу Т, т.е. р0(у) = pi (у) = ф(х) = 0 f1(х, у) = f2(х, у) = 0, В Q2 уравнение (1.1) в характеристических координатах £ = х + у, у = х — у примет вид

Щч + Pva + Qvv + rv + Xv(€, 0 + (v, v) = 0, (2.5)

где 4p = а2 + b2, 4q = а2 — b2, 4r = c2, 4X = d2, = e2, v = v(£, y) = и(х, у), & Q- U AB перейдет в область D = {(£, у) : 0 < £ < у < I}.

Следуя [22], покажем, что положительный максимум функции , у) в D может до-

0 < = < ( , ) образом фиксированная точка из области D, £,5 = const > 0. Как следует из условий

D , —

D, = ( , ), D

смешанные производные, эквивалентно уравнению

(Q1 vv + P1V)? + nv + X1V(£, £) + y,1V (у, у) = 0 или нагруженному уравнению первого порядка

Q1(C, V)Щ(С, V)+ Р1(С, , 7i) + f ^^ vMZu V)d^1 =

£

г г

= Q1(£, V)Щ(£, V)+ Р1(£, v)v(£, V) — J X1(V)v(— j М^1,V)v(V, 1, (2-6)

£ £

а

где Г1 = г Q1 — рч, P1 =PQ1, Q1 = expf q(t, rj) dt, X1 = X qu p1 = V h, 0 <£ <y <1-

s

Перепишем (2.6) в следующем виде:

Q1(C, V)(C, V)= , V) — v(£ъ y)]Г1(y)d^1 + Q1(£, y) vv(£, y) + р(£, y)v(£, y)

+

рЛ£,'П) + + (6 ,'П) + МСъ'пМг

+

+ 1 Н£,л) - (6+ У Н£,л) - у('п/п)Ы£ъ'пН1-

£ £

(2.7)

Допустим теперь, что положительный максимум функции г/), являющейся регулярным решением уравнения (2.5), в I) достигается в точке (£о,Цо), 0 < £о < Щ < I. Из (2.7) при £ = = щ, £ ^ 0, имеем:

?0

яЛСо/По^(Со,'По)= [у(Со/По) - У^ъ'По^г^ъ'По)^1 +

?0

?0

+ у ['и(Со,'По) - ^ъЫК^ъ^б + у [ь(Со,'По) - ь('По,'По)]^1 (6 ,'По)^1-оо

-^(Со,'По) Р1(Со,'По)+ [г(^1,'По) + Ч£ъ'По)+ К£1,'По)]д1(£1,'По)^

+

+Я1(0/п) Щ(0,<п)+ р(0,'п)ь(0,'п) . (2.8)

Из условий теоремы 2.1 следует, что р,р^,д,г,\ и ^ принадлежат С(0 < С < V < 0, € С(0 < С < V < кроме того, из (2.2), (2.3) получим, что

Г1(£,л) < 0, < 0, < 0,

Р1(С,'П) + У [г(С1,'П) + ЩъЧ) + ^1,'п)] 41 а1 > 0,

о

а из того, что ф(х) = 0 следует, что

Щ (0,г}) + р(0,ц)у(0,г1) = 0.

Таким образом, учитывая условия теоремы 2.1 и то что > 0, из (2.8) получаем,

что ^(£о,щ) < 0. Но это противоречит сделанному допущению, так как в точке (£о, щ) положительного максимума ^(£о,цо) > 0. Следовательно, положительный максимум функции в И достигается только на отрезке 0 < £ = ц < 1,ъ при выполнении условий теоремы 2.1 решение и(х,у) уравнения (1.1) при у < 0 свой положительный максимум в П2 принимает во внутренней точке (хо, 0) отрезка АВ, причем в точке положительного максимума

V(хо) > 0.

(2.9)

5

1

Замечание 2.1. Отметим, что при й2 = е2 = 0 полученный принцип экстремума для нагруженного гиперболического уравнения совпадает с принципом экстремума Агмона-Ниренберга-Проттера, сформулированным для гиперболического уравнения в [22], и полученные условия согласуются с условиями, полученными в работе [23], Краткий обзор результатов исследований по принципу максимума для уравнений смешанного типа приведен в работе [24],

Покажем, аналогично [22], что при у > 0 положительный максимум функции и(х, у) в Й + может достигается только на ААо, АВ, ВВо. Пусть регулярное решение и(х, у) уравнения (1.1) при у > 0 достигает положительного максимума в точке (хо, уо) € Й+, Необходимое условие максимума функции и в точке (хо, уо) имеет следующий вид: их = 0, иу = 0, ихх < 0, Принимая это во внимание, из (1.1) находим

сл(хо, уо)и(х0, уо) + ^(х0, уо)и(х0, 0) = -Щх(хо, уо) > 0. С другой стороны, при выполнении условий (2.1) теоремы 2.1 с\ + < 0 > 0, получим

сл(хо, Уо)и(хо, Уо) + с1г(хо, Уо)и(хо, 0) = = С! (хо, Уо)и(хо, Уо) + (1х(хо, Уо)и(хо, 0) + ¿х(хо, Уо)и(хо, Уо) - ^(хо, Уо)и(хо, Уо) = = [сх(хо, Уо) + (1х(хо, Уо)]и(хо, Уо) - ¿х(хо, Уо)[и(хо, Уо) -и(хо, 0)] < 0.

Полученное противоречие - результат неверного допущения, и (хо, уо) € Й+. Утвержде-

Ао Во

когда уо < к, то с той лишь разницей, что необходимое условие экстремума иу (хо, уо) = 0 при уо < к заменяется условием иу(хо, уо) > 0 при уо = к.

Таким образом, при выполнении условий теоремы 2.1 следует, что положительный мак-и( х, ) А Ао В Во А В

Покажем теперь, что для функции и(х, у) любая внутренняя точка (хо, 0) отрезка АВ не может быть точкой положительного максимума. В самом деле, в силу непрерывности производных их, иу, ихх из уравнения (1.1) мы можем перейти к пределу при у ^ +0 и тогда получим

т"(х) + аг(х, 0)т'(х) + [сл(х, 0) + ¿г(х, 0)]т(х) - и(х) = 0. (2.10)

Из (2.10) в силу условий (2.1) теоремы 2.1 в точке положительного максимума имеем ( хо ) < 0, и( х, )

жет достигать положительного максимума во внутренней точке (хо, 0) отрезка АВ. Таким

и( х, )

может достигаться только на отрезках ААо и ВВо. Так как ^о(у) = (у) = 0, то заключаем, что максимум функции и(х, у) = 0 в П. Аналогично доказывается, что функция и( х, ) и( х, ) = 0

Следовательно, однородная задача, соответствующая задаче Т, имеет только тривиальное и( х, ) = 0

2.2. Существование решения задачи Т. Решая задачу Коши [25] для уравнения (1.1) в области Й2 как для неоднородного волнового уравнения с правой частью ¡2(х, у) — ¿2(х, у)т(х + у) — е2(х, у)т(х — у), получим

и(х, у) = \[R(х, у;х + y, 0)т(х + у) + R(х, у;х - y, 0)т(х - У)\ -

х+у х+у

1 Г 1 г

[Rv(х, у; £, 0) + ЫС, 0) R(х, у; ^ 0)]т(£)% + - / R(х, у; ^ 0)и(0^+

2 ] 1 ЧУ ' 24 ' 4 " 4 2 „ х-у х-у

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

О х—у+11

+111 П(Х,У;С, ^ 'Ц) - ^ 'Ц)Т^ + ^ - ^ (£ - V)] dCdv, (2.11)

у х+у-Г!

где К(х,у; - функция Римана, определяемая как решение задачи Гурса

И,1 = К(х,у; ^,'ц)1.п=х+у-^ = ехр | ^ [а,2(Ь,х + у - г) + Ь2^,х + у - г)] <И

X

В,2 = Я(х,у; £,г))1г,=/:-х+у = ехр | ^ [а,2(Ь,Ь - х + у) + Ь2(Ь,Ь - х + у)] <И

К(х,у; х,у) = 1

для уравнения

% - Пщ - (а,2П)с - (Ъ2Щп + С2К = 0. (2.12)

Удовлетворяя (2.11) условию (1.3), получим

х

Н2(х/2, -х/2; ж, 0)т(х) + ^ (х/2, -х/2; С, 0) + Ь2(£, 0)Н(х/2, -х/2; £, 0)] т(£)с1£-

о

О х+Г1

Г Г (Ь^, г))К(х/2, -х/2; Л)т(£ + п) - е2(£, ч)Я(х/2, -х/2; Л)т(£ - п)^ =

-х/2 —V

—х/2 —ц

= 2ф(х) - П1(х/2, -х/2;0, 0)ф(0) + ^ JR(x/2, -х/2;

о х+г]

+ Я(х/2, -х/2; С, 0)и(£)%. (2.13)

Меняя пределы интегрирования в двойных интегралах, получим

О х+Г1

I I (¡2(£, ч)Щх/2, -х/2; Л)т(£ + п)^ =

—х/2 —V

х О

= / Т / ^ - 'Ц,'Ц)К(Х/2, -х/2; £ -

0 (-х

2

О х+Г1

1 I е2& ч)Щх/2, -х/2; Л)т(£ - п)^ =

—х/2 —V

х О

= / Т(^ I ^ + Л/П)Н(Х/2, -х/2; % + 'П,'П)Л'П^,

о —Ц/2

х

и обозначив

о о

0= /* «„ ,)Я,/2, -х/2, - * Ч№+ ¡^ ШФ, + , „„

М -(,/2

К(х, о

К1(х, 0 - Rv(х/2, -х/2; 0) - Ь2(£, 0)R(х/2, -х/2; ^ 0)

—х/2 —ц

2ф(х) -R1(х/2, -х/2;0, 0)ф(0) + / / R(х/2, -х/2; £, г])¡2(£, ^¿г]

/ ч __о х+ц

91(х) = ,

х

Г R(х/2, -х/2; ,£, 0)и(С) ..

о

получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода

х

т(х) - ! К(х, 0т(№ = 9(х).

о

( х)

первое функциональное соотношение между т(х) и и(х), принесенное из области Й2 в виде

х

т(х) - ! Т(х, 0Н0^ = р(х), (2.14)

о

где

R(х/2, -х/2, £, 0) + — Г(х, t)R(t/2, -г/2; ^ 0)сИ

Т (х, ® = ,

х

^ = 9М + !цх,&я«)«, . г<х,О - резолы«-, ядра К(х,

о

Замечание 2.2. Отметим, что для уравнения (1.1) в Й2 при ¿2 = е2 = /2 = 0 аналогичные соотношения были получены в [3], [26].

Для неоднородного уравнения (1.1) соотношение (2.10) примет вид:

т"(х) + а1(х, 0)т'(х) + [с 1 (х, 0) + ¿1(х, 0)] т(х) = ^(х, 0) + и(х). (2.15)

( х) ( х)

ное из области Й^ определим как решение уравнения (2.15), удовлетворяющее краевым условиям

т(0) = ро(0), т(1) = 'М0). (2.16)

При выполнении условий теоремы 2.1 на гладкость функций а1, с1,й1, /1 оно имеет вид

т(х) = /(х) - ! С(х, 0"(№, (2.17)

о

где

f (х) = <р0(0)+ х{^ (0) - <р0(0)} +

(

С(х,0[ !г(С, 0)-

-ЫС, 0)+ С[сг(С, 0) + 0)]}{^ (0) - щ(0)} - м(0)[сг(С, 0) + 0)]

^,

а С(х,£) - функция Грина, обладающая свойствами [25]

а) в промежутках 0 < х <£, £ < х < I непрерывна вместе со своими производными до второго порядка и удовлетворяет уравнению, сопряженному с уравнением (2.15), кроме того, при каждом фиксированном 0 < £ < I, удовлетворяет как функция от х однородным краевым условиям (2.16);

б) в точке £ = х как функция £ сама непрерывна, а ее первая производная по х имеет скачок, причем Сх(х, х + 0) - Сх(х,х - 0) = 1.

Исключая т(х) из (2.14) и (2.17), получаем интегральное уравнение

X I

IТ(х,£)и(£№ + р(х) = f (X) - ! С(х,£)и(£)%,

о о

из которого после дифференцирования по х с учетом того, что Т(х,х) = 1 имеем

^(ж) - Т1(х,С)и(№ = Г(Х) - р'(х) - Сх(х,0и(№,

(2.18)

где Т1(х,£) = д2 (х/2(-'х/2 х о) ■ ОбраЩая уравнение (2.18), получим

Здесь

V(ж) + J К2(х,1)и(Ь)(И = а(х).

о

К2(х,1) = Сх(х,{) + Гг(х,С )СХ(£№,

а(х) = Г(х) - р'(х) + Гг(х,0 [/(£) - р!(£)] С

(2.19)

а ^(ж,£) - резольвента ядра Т1(х,£).

Так как мы будем искать V(ж) в классе непрерывных функций, интегрируемых на интервале, то о(х) тоже должно быть в этом же классе. В силу свойств функций С(х,£) и Я(х,у,^,г/) заключаем, что функция К2(х, £) в промежутке 0 < х < £ < х < I непрерывна и непрерывно дифференцируема по ж, а а(х) непрерывно дифференцируема в 0 < х <1.

Разрешимость интегрального уравнения Фредгольма второго рода (2.19) в классе непрерывных функций, интегрируемых на интервале, следует из единственности решения задачи Т.

Из (2.19), принимая во внимание условия, наложенные на коэффициенты уравнения (2.15), вышеприведенные свойства функции Грина, а также равенство

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

^^) = ^ Ых, 0)С(х,С)] - Ых, 0) + ¿1(х, 0)]С(х,£),

х

X

X

верное при х = имеем:

v'(x) = a'(x) + v(ж) — J ^ — \a1(x, 0)G(x, t)] — [с\(х, 0) + d1(x, 0)]G(x, t)^v(t)dt

о

l l X

— j T1(x,x)Gx(x, t)v(t)dt — J j Ты(х, 0Gx(C, t)v(t)d£dt, 0 0 0 откуда нетрудно заключить, что v(x) £ С1 (J),

( x) ( x)

r(x) £ С (J) П C2(J). Далее решение задачи T в области Q сводится к решению задачи Коши для уравнения (1.1) в Q2, т.е. задается формулой (2.11), а в учитывая, что a1 (x, у), c1(x, у), d1(x, у), f1 (x, у) непрерывны и удовлетворяют по x условию Гельдера, к решению первой краевой задачи для уравнения (1.1) в ^ [27]. Теорема 2.1 доказана.

Замечание 2.3. Заметим, что условие (2.2) теоремы 2.1 при |a2l = |b2l = const не имеет места, если с2 = 0, так же, как и в [3], поэтому этот случай должен быть рассмотрен отдельно.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Нахушев A.M. Нагруженные уравнения и их применения. М.: Наука, 2012. 232 с.

2. Золина Л.А. О краевой задаче для модельного уравнения гиперболо-параболического типа j j Жур. вычис. матем. и матем. физ. 1966. Т. 6. № 6. С. 991-1001.

3. Джураев Т.Д., Сопуев A.C., Мамажанов М. Краевые задачи для, уравнений параболо-гипер-болического типа. Ташкент: ФАН. 1986. 220 с.

4. Бжихатлов Х.Г., Нахушев A.M. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного па,ра,боло-гиперболического типа j j Докл. АН СССР. 1968. Т. 183. № 2. С. 261-264.

5. Нахушев A.M. Задачи со смещением, для, уравнений, в частных производных. М.: Наука, 2006. 287 с.

6. Елеев В.А. О некоторых краевых задачах со смещением, для, одного уравнения смешанного параболо-гиперболического типа j j Днфференц. уравнения. 1978. Т. 14. № 1. С. 22-29.

7. Моисеев E.H., Капустин Н.Ю. Уточнение априорной оценки, решения одной, известной задачи для параболо-гиперболического уравнения j j Доклады Академии наук. 2009. Т. 427. № 5. С. 591-592.

8. Сабитов К.Б., Сафин Э.М. Обратная, задача, для, уравнения смешанного параболо-гиперболи-ческого типа // Математические заметки. 2010. Т. 87. № 6. С. 907-918.

9. Нахушева З.А. Нелокальная, задача, для, уравнения Лаврентьева-Бицадзе и его аналогов в т,еори,и, уравнений, смешанного параболо-гиперболического типа // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49. № 10. С. 1332-1339.

10. Сабитов К.Б., Сидоров С.Н. Об одной, нелокальной задаче для вырождающегося пара,боло-гиперболического уравнения j j Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50. № 3. С. 356-365.

11. Исламов Н.Б. Аналог задачи, Бицадзе-Самарского для одного класса, уравнений, па,ра,боло-гиперболического типа, второго рода, // Уфимский математический журнал. 2015. Т. 7. № 1. С. 31-45.

12. Салахитдинов М.С., Исламов Н.Б. Нелокальная, краевая задача, с условием Бицадзе-Самарского для уравнения параболо-гиперболического типа второго рода, // Известия вузов. Математика. 2015. № 6. С. 43-52.

13. Гуляев Д.А. О неоднородной, задаче для параболо-гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 10. С. 1423-1425.

14. Елеев В.А. О некоторых кра,евы,х задачах для смешанных нагруженных уравнений, второго и, третьего порядка, // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. № 2. С. 230-237.

15. Балтаева У.И., Исломов И.Б. Краевые задачи для нагруженных дифференциальных уравнений гиперболического и смешанного типов третьего порядка // Уфимский математический журнал. 2011. Т. 3. № 3. С. 15-25.

16. Тарасенко А.В. О разрешимости нелокальной задачи для, нагруженного параболо-гиперболи-ческого уравнения // Известия вузов. Математика. 2013. № 1. С. 73-81.

17. Сабитов К.Б. Начально-граничная задача, для, нагруженного уравнения параболо-гиперболи-ческого типа, // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2009. Т. 11. № 1. С. 66-73.

18. Сабитов К.Б. Начально-граничная задача, для, параболо-гиперболического уравнения с нагруженными слагаемыми // Известия вузов. Математика. 2015. № 6. С. 31-42.

19. Хубиев К.У. Аналог задачи Трикоми для нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа с дробной производной при нагрузке // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2015. Т. 17. № 3. С. 54-59.

20. Хубиев К.У. Аналог задачи Трикоми для нагруженного уравнения смешанного типа с переменными коэффициентами // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2006. Т. 8. № 2. С. 69-72.

21. Хубиев К.У. Аналог задачи Трикоми для нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа с переменными коэффициентами // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: физико-математические науки. 2007. № 2(15). С. 155-158.

22. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1995. 301 с.

23. S. Agmon, L. Nirenberg, M. Frotter A maximum principle for a class of hyperbolic équations and applications to equtions of mixed elliptic-hyperbolic type// Communications on pure and applied mathematics. 1953. V. VI. P. 455-470.

24. Сабитов К.Б. О принципе максимума для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24. № 11. С. 1967-1976.

25. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 444 с.

26. Пулькин С.П. Задача, Трикоми для общего уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Докл. АН СССР, 1958. Т. 118. № 1. С. 38-41.

27. Ильин А.М., Калашников А.С., Олейник О.А. Линейные уравнения второго порядка, параболического типа // Успехи мат. наук. 1962. Т. 17. Вып. 3(105). С. 3-141.

Казбек Узеирович Хубиев,

Институт прикладной математики и автоматизации, ул. Шортанова, 89 А, 360000, г. Нальчик, Россия E-mail: khubiev_math@mail.ru

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.