Аналог задачи Трикоми для характеристически нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа с переменными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 9. № 2 (2017). С. 94-103.

АНАЛОГ ЗАДАЧИ ТРИКОМИ ДЛЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛО-ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

К.У. ХУБИЕВ

Аннотация. В работе исследуется аналог задачи Трикоми для характеристически нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа с переменными коэффициентами. Доказана теорема единственности и существования решения исследуемой задачи. Единственность решения доказывается с помощью принципа максимума, существование - методом интегральных уравнений.

Ключевые слова: нагруженные уравнения, уравнения смешанного типа, гиперболо-параболические уравнения, задача Трикоми, краевая задача.

Mathematics Subject Classification: 35М12

1. Введение

Уравнения смешанного типа занимают важное место в теории дифференциальных уравнений в частных производных благодаря их теоретической и прикладной значимости. Одним из важнейших классов уравнений с частными производными являются нагруженные уравнения смешанного типа. Исследованию локальных и нелокальных краевых задач для нагруженных уравнений с частными производными посвящена монография A.M. Haxv-шева [1].

Впервые аналог задачи Трикоми для модельного гиперболо-параболического уравнения был изучен в работе [2]. Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнений гиперболо-параболического типа, в том числе обратные задачи и задачи для вырождающихся уравнений исследовались в работах многих авторов (см., например, [3]-[6]).

В настоящее время теория краевых задач и теория обратных задач для уравнений гиперболо-параболического типа, в том числе для вырождающихся уравнений продолжает интенсивно развиваться. В этой связи укажем следующие работы. В [7] доказывается априорная оценка классического решения аналога задачи Трикоми для неоднородного модельного уравнения гиперболо-параболического типа с правой частью из класса Гельдера. В [8] для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа в прямоугольной области изучена обратная задача, связанная с поиском неизвестной правой части, установлен критерий единственности решения задачи, решение построено в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей одномерной спектральной задачи. В [9] исследуется нелокальная внутреннекраевая задача с оператором Эрдейи-Кобера для модельного уравнения гиперболо-параболического типа. В [10] для вырождающегося в области гиперболичности уравнения в прямоугольной области методом спектрального анализа установлен

К.U. Khubiev, Analogue of Tricomi problems for characteristicly loaded hyperbolic-parabolic equations with variable coefficients.

© Хубиев К.У. 2017.

Поступила 7 июля 2016 г.

критерий единственности решения задачи с нелокальным условием, связывающим значения искомого решения, которые принадлежат разным типам изучаемого уравнения, построено решение задачи в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей одномерной спектральной задачи, установлена устойчивость решения по нелокальному условию. В [11], [12] исследованы нелокальные краевые задачи с условием типа условия Бицадзе-Самарского для вырождающегося уравнения гиперболо-параболического типа второго рода. В [13] для неоднородного гиперболо-параболического уравнения с нехарактеристической линией изменения типа изучается краевая задача с граничными условиями первого рода на характеристиках в параболической и гиперболической частях области задания уравнения, и с условием третьего рода на нехарактеристической части границы в параболической части.

Отметим также работы для нагруженных уравнений гиперболо-параболического типа второго и третьего порядков в различных областях [14]—[19]. В [14] исследуются краевые задачи для модельных нагруженных уравнений гиперболо-параболического типа второго порядка, когда линия изменения типа является нехарактеристической, и третьего порядка, когда линия изменения типа является характеристической. В [15] доказана однозначная разрешимость краевых задач для нагруженного дифференциального уравнения третьего порядка с гиперболическим и параболо-гиперболическим оператором. В [16] для уравнения гиперболо-параболического типа исследована однозначная разрешимость нелокальной задачи с обобщенными операторами дробного интегро-дифференцирования в краевом условии. В [17], [18] для различных уравнений смешанного гиперболо-параболического типа с нагруженными слагаемыми установлены критерии единственности решения начально-граничной задачи в прямоугольной области. Решения построены в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей одномерной задачи на собственные значения. В [19] исследован аналог задачи Трикоми для нагруженного модельного уравнения гиперболо-параболического типа с дробной производной при нагрузке.

В настоящей работе рассмотрим нагруженное [1] уравнение гиперболо-параболического типа

ихх - иу + агих + С\и + ¿1и(х, 0) = /ь у> 0, , ,

ихх - иуу + а2их + Ь2Пу + С2и + ¿2и{х + у, 0) + е2и{х - у, 0) = ¡2, у < 0, ^

в области П, ограниченной отрезками АА0, ВВ0, А0В0 прямых х = 0, х = I, у = Н > 0 соответственно, и характеристиками АС : х + у = 0 ВС : х — у = I. Через ^ и П2 обозначим параболическую и гиперболическую части смешанной области П соответственно, а через 3 - интервал 0 < X < I прямой у = 0 аг = ^г{х,у), Сг = Сг(х,у), ¿г = dг{х,у), ¡% = !г{х,у), Ь2 = Ь2(х,у), е2 = е2{х, у) - заданные функции из класса С(Пг), г = 1, 2.

Регулярным в области П решением уравнения (1.1) назовем функцию и (х,у) из класса С(П) ПС1^) ПС2(П2) ПСх2(П1), их,иу е Ь{3), удовлетворяющую уравнению (1.1) в П1 и П2.

Задача Т. Найти регулярное в области П решение и(х,у) уравнения (1-1), удовлетворяющее краевым условиям

и (0,у) = (у), и (1,у) = & (у), 0 < у < Н, (1.2)

и (х/2, —х/2) = ■ф (х), 0 < ж < I, (1.3)

где (у),№(у), ф(х)— заданные функции, р0(у),ф1 (у) е С[0,Н], ф(х) е С[0,/] П С2]0,1[, причем, <£0(0) = ф(0).

В работах [20], [21] для задачи Т при е2 = 0 было доказано существование и единственность решения исследуемой задачи при очень сильных ограничениях на функцию ¿2, а точнее в случае, если функция ¿2 определенным образом зависела от функций а2,Ь2,с2. В данной работе эти условия существенно ослаблены, причем при ¿1 = <12 = е2 = 0 полученные результаты совпадают с результатами, приведенными в [3].

2. Теорема существования и единственности решения Для задачи Т справедлива следующая Теорема 2.1. Пусть

1) в функции а1(х, у), С\(х, у), d\(x, у), ¡1(х, у) непрерывны и удовлетворяют по х условию Гельдера, а1 (х, 0) Е С1 [0,1], кроме того

с^х, y) + d1(x, у) < 0, d1(x, у) > 0; (2,1)

2) функции а2(х, у), Ь2(х, у) Е С1 (П2), с2(х,у)^2(х, у), е2(х, у), f2(х, у) Е С(П2), функция и(х, у) обладает свойством (j^ — Е С^Q2 \ Jj, кроме того, выполняются условия

а2 — Ь2 + 2а2х + 2Ъ2Х + 2а2У + 2Ъ2У — 4С2 > 0, (2.2)

а2(х, у) + Ь2(х, у) > 0, С2(х, у) + ¿2(х, у) + в2(х, у) > 0, d2(х, у) < 0, е2(х, у) < 0. (2.3) Тогда решение задачи Т существует и единственно.

и( х, )

и(х, 0) = т(х), иу(х, 0) = и(х). (2.4)

Тогда из условий задачи следует, что т(0) = p0(0) = ф(0), т(1) = <pi(0), т(х) Е С(J) П С 1(J), и(х) ЕС (J) П L(J).

2.1. Единственность решения задачи Т. Рассмотрим однородную задачу Т, т.е. р0(у) = pi (у) = ф(х) = 0 f1(х, у) = f2(х, у) = 0, В Q2 уравнение (1.1) в характеристических координатах £ = х + у, у = х — у примет вид

Щч + Pva + Qvv + rv + Xv(€, 0 + (v, v) = 0, (2.5)

где 4p = а2 + b2, 4q = а2 — b2, 4r = c2, 4X = d2, = e2, v = v(£, y) = и(х, у), & Q- U AB перейдет в область D = {(£, у) : 0 < £ < у < I}.

Следуя [22], покажем, что положительный максимум функции , у) в D может до-

0 < = < ( , ) образом фиксированная точка из области D, £,5 = const > 0. Как следует из условий

D , —

D, = ( , ), D

смешанные производные, эквивалентно уравнению

(Q1 vv + P1V)? + nv + X1V(£, £) + y,1V (у, у) = 0 или нагруженному уравнению первого порядка

Q1(C, V)Щ(С, V)+ Р1(С, , 7i) + f ^^ vMZu V)d^1 =

£

г г

= Q1(£, V)Щ(£, V)+ Р1(£, v)v(£, V) — J X1(V)v(— j М^1,V)v(V, 1, (2-6)

£ £

а

где Г1 = г Q1 — рч, P1 =PQ1, Q1 = expf q(t, rj) dt, X1 = X qu p1 = V h, 0 <£ <y <1-

s

Перепишем (2.6) в следующем виде:

Q1(C, V)(C, V)= , V) — v(£ъ y)]Г1(y)d^1 + Q1(£, y) vv(£, y) + р(£, y)v(£, y)

+

рЛ£,'П) + + (6 ,'П) + МСъ'пМг

+

+ 1 Н£,л) - (6+ У Н£,л) - у('п/п)Ы£ъ'пН1-

£ £

(2.7)

Допустим теперь, что положительный максимум функции г/), являющейся регулярным решением уравнения (2.5), в I) достигается в точке (£о,Цо), 0 < £о < Щ < I. Из (2.7) при £ = = щ, £ ^ 0, имеем:

?0

яЛСо/По^(Со,'По)= [у(Со/По) - У^ъ'По^г^ъ'По)^1 +

?0

?0

+ у ['и(Со,'По) - ^ъЫК^ъ^б + у [ь(Со,'По) - ь('По,'По)]^1 (6 ,'По)^1-оо

-^(Со,'По) Р1(Со,'По)+ [г(^1,'По) + Ч£ъ'По)+ К£1,'По)]д1(£1,'По)^

+

+Я1(0/п) Щ(0,<п)+ р(0,'п)ь(0,'п) . (2.8)

Из условий теоремы 2.1 следует, что р,р^,д,г,\ и ^ принадлежат С(0 < С < V < 0, € С(0 < С < V < кроме того, из (2.2), (2.3) получим, что

Г1(£,л) < 0, < 0, < 0,

Р1(С,'П) + У [г(С1,'П) + ЩъЧ) + ^1,'п)] 41 а1 > 0,

о

а из того, что ф(х) = 0 следует, что

Щ (0,г}) + р(0,ц)у(0,г1) = 0.

Таким образом, учитывая условия теоремы 2.1 и то что > 0, из (2.8) получаем,

что ^(£о,щ) < 0. Но это противоречит сделанному допущению, так как в точке (£о, щ) положительного максимума ^(£о,цо) > 0. Следовательно, положительный максимум функции в И достигается только на отрезке 0 < £ = ц < 1,ъ при выполнении условий теоремы 2.1 решение и(х,у) уравнения (1.1) при у < 0 свой положительный максимум в П2 принимает во внутренней точке (хо, 0) отрезка АВ, причем в точке положительного максимума

V(хо) > 0.

(2.9)

5

1

Замечание 2.1. Отметим, что при й2 = е2 = 0 полученный принцип экстремума для нагруженного гиперболического уравнения совпадает с принципом экстремума Агмона-Ниренберга-Проттера, сформулированным для гиперболического уравнения в [22], и полученные условия согласуются с условиями, полученными в работе [23], Краткий обзор результатов исследований по принципу максимума для уравнений смешанного типа приведен в работе [24],

Покажем, аналогично [22], что при у > 0 положительный максимум функции и(х, у) в Й + может достигается только на ААо, АВ, ВВо. Пусть регулярное решение и(х, у) уравнения (1.1) при у > 0 достигает положительного максимума в точке (хо, уо) € Й+, Необходимое условие максимума функции и в точке (хо, уо) имеет следующий вид: их = 0, иу = 0, ихх < 0, Принимая это во внимание, из (1.1) находим

сл(хо, уо)и(х0, уо) + ^(х0, уо)и(х0, 0) = -Щх(хо, уо) > 0. С другой стороны, при выполнении условий (2.1) теоремы 2.1 с\ + < 0 > 0, получим

сл(хо, Уо)и(хо, Уо) + с1г(хо, Уо)и(хо, 0) = = С! (хо, Уо)и(хо, Уо) + (1х(хо, Уо)и(хо, 0) + ¿х(хо, Уо)и(хо, Уо) - ^(хо, Уо)и(хо, Уо) = = [сх(хо, Уо) + (1х(хо, Уо)]и(хо, Уо) - ¿х(хо, Уо)[и(хо, Уо) -и(хо, 0)] < 0.

Полученное противоречие - результат неверного допущения, и (хо, уо) € Й+. Утвержде-

Ао Во

когда уо < к, то с той лишь разницей, что необходимое условие экстремума иу (хо, уо) = 0 при уо < к заменяется условием иу(хо, уо) > 0 при уо = к.

Таким образом, при выполнении условий теоремы 2.1 следует, что положительный мак-и( х, ) А Ао В Во А В

Покажем теперь, что для функции и(х, у) любая внутренняя точка (хо, 0) отрезка АВ не может быть точкой положительного максимума. В самом деле, в силу непрерывности производных их, иу, ихх из уравнения (1.1) мы можем перейти к пределу при у ^ +0 и тогда получим

т"(х) + аг(х, 0)т'(х) + [сл(х, 0) + ¿г(х, 0)]т(х) - и(х) = 0. (2.10)

Из (2.10) в силу условий (2.1) теоремы 2.1 в точке положительного максимума имеем ( хо ) < 0, и( х, )

жет достигать положительного максимума во внутренней точке (хо, 0) отрезка АВ. Таким

и( х, )

может достигаться только на отрезках ААо и ВВо. Так как ^о(у) = (у) = 0, то заключаем, что максимум функции и(х, у) = 0 в П. Аналогично доказывается, что функция и( х, ) и( х, ) = 0

Следовательно, однородная задача, соответствующая задаче Т, имеет только тривиальное и( х, ) = 0

2.2. Существование решения задачи Т. Решая задачу Коши [25] для уравнения (1.1) в области Й2 как для неоднородного волнового уравнения с правой частью ¡2(х, у) — ¿2(х, у)т(х + у) — е2(х, у)т(х — у), получим

и(х, у) = \[R(х, у;х + y, 0)т(х + у) + R(х, у;х - y, 0)т(х - У)\ -

х+у х+у

1 Г 1 г

[Rv(х, у; £, 0) + ЫС, 0) R(х, у; ^ 0)]т(£)% + - / R(х, у; ^ 0)и(0^+

2 ] 1 ЧУ ' 24 ' 4 " 4 2 „ х-у х-у

О х—у+11

+111 П(Х,У;С, ^ 'Ц) - ^ 'Ц)Т^ + ^ - ^ (£ - V)] dCdv, (2.11)

у х+у-Г!

где К(х,у; - функция Римана, определяемая как решение задачи Гурса

И,1 = К(х,у; ^,'ц)1.п=х+у-^ = ехр | ^ [а,2(Ь,х + у - г) + Ь2^,х + у - г)] <И

X

В,2 = Я(х,у; £,г))1г,=/:-х+у = ехр | ^ [а,2(Ь,Ь - х + у) + Ь2(Ь,Ь - х + у)] <И

К(х,у; х,у) = 1

для уравнения

% - Пщ - (а,2П)с - (Ъ2Щп + С2К = 0. (2.12)

Удовлетворяя (2.11) условию (1.3), получим

х

Н2(х/2, -х/2; ж, 0)т(х) + ^ (х/2, -х/2; С, 0) + Ь2(£, 0)Н(х/2, -х/2; £, 0)] т(£)с1£-

о

О х+Г1

Г Г (Ь^, г))К(х/2, -х/2; Л)т(£ + п) - е2(£, ч)Я(х/2, -х/2; Л)т(£ - п)^ =

-х/2 —V

—х/2 —ц

= 2ф(х) - П1(х/2, -х/2;0, 0)ф(0) + ^ JR(x/2, -х/2;

о х+г]

+ Я(х/2, -х/2; С, 0)и(£)%. (2.13)

Меняя пределы интегрирования в двойных интегралах, получим

О х+Г1

I I (¡2(£, ч)Щх/2, -х/2; Л)т(£ + п)^ =

—х/2 —V

х О

= / Т / ^ - 'Ц,'Ц)К(Х/2, -х/2; £ -

0 (-х

2

О х+Г1

1 I е2& ч)Щх/2, -х/2; Л)т(£ - п)^ =

—х/2 —V

х О

= / Т(^ I ^ + Л/П)Н(Х/2, -х/2; % + 'П,'П)Л'П^,

о —Ц/2

х

и обозначив

о о

0= /* «„ ,)Я,/2, -х/2, - * Ч№+ ¡^ ШФ, + , „„

М -(,/2

К(х, о

К1(х, 0 - Rv(х/2, -х/2; 0) - Ь2(£, 0)R(х/2, -х/2; ^ 0)

—х/2 —ц

2ф(х) -R1(х/2, -х/2;0, 0)ф(0) + / / R(х/2, -х/2; £, г])¡2(£, ^¿г]

/ ч __о х+ц

91(х) = ,

х

Г R(х/2, -х/2; ,£, 0)и(С) ..

о

получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода

х

т(х) - ! К(х, 0т(№ = 9(х).

о

( х)

первое функциональное соотношение между т(х) и и(х), принесенное из области Й2 в виде

х

т(х) - ! Т(х, 0Н0^ = р(х), (2.14)

о

где

R(х/2, -х/2, £, 0) + — Г(х, t)R(t/2, -г/2; ^ 0)сИ

Т (х, ® = ,

х

^ = 9М + !цх,&я«)«, . г<х,О - резолы«-, ядра К(х,

о

Замечание 2.2. Отметим, что для уравнения (1.1) в Й2 при ¿2 = е2 = /2 = 0 аналогичные соотношения были получены в [3], [26].

Для неоднородного уравнения (1.1) соотношение (2.10) примет вид:

т"(х) + а1(х, 0)т'(х) + [с 1 (х, 0) + ¿1(х, 0)] т(х) = ^(х, 0) + и(х). (2.15)

( х) ( х)

ное из области Й^ определим как решение уравнения (2.15), удовлетворяющее краевым условиям

т(0) = ро(0), т(1) = 'М0). (2.16)

При выполнении условий теоремы 2.1 на гладкость функций а1, с1,й1, /1 оно имеет вид

т(х) = /(х) - ! С(х, 0"(№, (2.17)

о

где

f (х) = <р0(0)+ х{^ (0) - <р0(0)} +

(

С(х,0[ !г(С, 0)-

-ЫС, 0)+ С[сг(С, 0) + 0)]}{^ (0) - щ(0)} - м(0)[сг(С, 0) + 0)]

^,

а С(х,£) - функция Грина, обладающая свойствами [25]

а) в промежутках 0 < х <£, £ < х < I непрерывна вместе со своими производными до второго порядка и удовлетворяет уравнению, сопряженному с уравнением (2.15), кроме того, при каждом фиксированном 0 < £ < I, удовлетворяет как функция от х однородным краевым условиям (2.16);

б) в точке £ = х как функция £ сама непрерывна, а ее первая производная по х имеет скачок, причем Сх(х, х + 0) - Сх(х,х - 0) = 1.

Исключая т(х) из (2.14) и (2.17), получаем интегральное уравнение

X I

IТ(х,£)и(£№ + р(х) = f (X) - ! С(х,£)и(£)%,

о о

из которого после дифференцирования по х с учетом того, что Т(х,х) = 1 имеем

^(ж) - Т1(х,С)и(№ = Г(Х) - р'(х) - Сх(х,0и(№,

(2.18)

где Т1(х,£) = д2 (х/2(-'х/2 х о) ■ ОбраЩая уравнение (2.18), получим

Здесь

V(ж) + J К2(х,1)и(Ь)(И = а(х).

о

К2(х,1) = Сх(х,{) + Гг(х,С )СХ(£№,

а(х) = Г(х) - р'(х) + Гг(х,0 [/(£) - р!(£)] С

(2.19)

а ^(ж,£) - резольвента ядра Т1(х,£).

Так как мы будем искать V(ж) в классе непрерывных функций, интегрируемых на интервале, то о(х) тоже должно быть в этом же классе. В силу свойств функций С(х,£) и Я(х,у,^,г/) заключаем, что функция К2(х, £) в промежутке 0 < х < £ < х < I непрерывна и непрерывно дифференцируема по ж, а а(х) непрерывно дифференцируема в 0 < х <1.

Разрешимость интегрального уравнения Фредгольма второго рода (2.19) в классе непрерывных функций, интегрируемых на интервале, следует из единственности решения задачи Т.

Из (2.19), принимая во внимание условия, наложенные на коэффициенты уравнения (2.15), вышеприведенные свойства функции Грина, а также равенство

^^) = ^ Ых, 0)С(х,С)] - Ых, 0) + ¿1(х, 0)]С(х,£),

х

X

X

верное при х = имеем:

v'(x) = a'(x) + v(ж) — J ^ — \a1(x, 0)G(x, t)] — [с\(х, 0) + d1(x, 0)]G(x, t)^v(t)dt

о

l l X

— j T1(x,x)Gx(x, t)v(t)dt — J j Ты(х, 0Gx(C, t)v(t)d£dt, 0 0 0 откуда нетрудно заключить, что v(x) £ С1 (J),

( x) ( x)

r(x) £ С (J) П C2(J). Далее решение задачи T в области Q сводится к решению задачи Коши для уравнения (1.1) в Q2, т.е. задается формулой (2.11), а в учитывая, что a1 (x, у), c1(x, у), d1(x, у), f1 (x, у) непрерывны и удовлетворяют по x условию Гельдера, к решению первой краевой задачи для уравнения (1.1) в ^ [27]. Теорема 2.1 доказана.

Замечание 2.3. Заметим, что условие (2.2) теоремы 2.1 при |a2l = |b2l = const не имеет места, если с2 = 0, так же, как и в [3], поэтому этот случай должен быть рассмотрен отдельно.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Нахушев A.M. Нагруженные уравнения и их применения. М.: Наука, 2012. 232 с.

2. Золина Л.А. О краевой задаче для модельного уравнения гиперболо-параболического типа j j Жур. вычис. матем. и матем. физ. 1966. Т. 6. № 6. С. 991-1001.

3. Джураев Т.Д., Сопуев A.C., Мамажанов М. Краевые задачи для, уравнений параболо-гипер-болического типа. Ташкент: ФАН. 1986. 220 с.

4. Бжихатлов Х.Г., Нахушев A.M. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного па,ра,боло-гиперболического типа j j Докл. АН СССР. 1968. Т. 183. № 2. С. 261-264.

5. Нахушев A.M. Задачи со смещением, для, уравнений, в частных производных. М.: Наука, 2006. 287 с.

6. Елеев В.А. О некоторых краевых задачах со смещением, для, одного уравнения смешанного параболо-гиперболического типа j j Днфференц. уравнения. 1978. Т. 14. № 1. С. 22-29.

7. Моисеев E.H., Капустин Н.Ю. Уточнение априорной оценки, решения одной, известной задачи для параболо-гиперболического уравнения j j Доклады Академии наук. 2009. Т. 427. № 5. С. 591-592.

8. Сабитов К.Б., Сафин Э.М. Обратная, задача, для, уравнения смешанного параболо-гиперболи-ческого типа // Математические заметки. 2010. Т. 87. № 6. С. 907-918.

9. Нахушева З.А. Нелокальная, задача, для, уравнения Лаврентьева-Бицадзе и его аналогов в т,еори,и, уравнений, смешанного параболо-гиперболического типа // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49. № 10. С. 1332-1339.

10. Сабитов К.Б., Сидоров С.Н. Об одной, нелокальной задаче для вырождающегося пара,боло-гиперболического уравнения j j Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50. № 3. С. 356-365.

11. Исламов Н.Б. Аналог задачи, Бицадзе-Самарского для одного класса, уравнений, па,ра,боло-гиперболического типа, второго рода, // Уфимский математический журнал. 2015. Т. 7. № 1. С. 31-45.

12. Салахитдинов М.С., Исламов Н.Б. Нелокальная, краевая задача, с условием Бицадзе-Самарского для уравнения параболо-гиперболического типа второго рода, // Известия вузов. Математика. 2015. № 6. С. 43-52.

13. Гуляев Д.А. О неоднородной, задаче для параболо-гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 10. С. 1423-1425.

14. Елеев В.А. О некоторых кра,евы,х задачах для смешанных нагруженных уравнений, второго и, третьего порядка, // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. № 2. С. 230-237.

15. Балтаева У.И., Исломов И.Б. Краевые задачи для нагруженных дифференциальных уравнений гиперболического и смешанного типов третьего порядка // Уфимский математический журнал. 2011. Т. 3. № 3. С. 15-25.

16. Тарасенко А.В. О разрешимости нелокальной задачи для, нагруженного параболо-гиперболи-ческого уравнения // Известия вузов. Математика. 2013. № 1. С. 73-81.

17. Сабитов К.Б. Начально-граничная задача, для, нагруженного уравнения параболо-гиперболи-ческого типа, // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2009. Т. 11. № 1. С. 66-73.

18. Сабитов К.Б. Начально-граничная задача, для, параболо-гиперболического уравнения с нагруженными слагаемыми // Известия вузов. Математика. 2015. № 6. С. 31-42.

19. Хубиев К.У. Аналог задачи Трикоми для нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа с дробной производной при нагрузке // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2015. Т. 17. № 3. С. 54-59.

20. Хубиев К.У. Аналог задачи Трикоми для нагруженного уравнения смешанного типа с переменными коэффициентами // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2006. Т. 8. № 2. С. 69-72.

21. Хубиев К.У. Аналог задачи Трикоми для нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа с переменными коэффициентами // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: физико-математические науки. 2007. № 2(15). С. 155-158.

22. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1995. 301 с.

23. S. Agmon, L. Nirenberg, M. Frotter A maximum principle for a class of hyperbolic équations and applications to equtions of mixed elliptic-hyperbolic type// Communications on pure and applied mathematics. 1953. V. VI. P. 455-470.

24. Сабитов К.Б. О принципе максимума для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24. № 11. С. 1967-1976.

25. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 444 с.

26. Пулькин С.П. Задача, Трикоми для общего уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Докл. АН СССР, 1958. Т. 118. № 1. С. 38-41.

27. Ильин А.М., Калашников А.С., Олейник О.А. Линейные уравнения второго порядка, параболического типа // Успехи мат. наук. 1962. Т. 17. Вып. 3(105). С. 3-141.

Казбек Узеирович Хубиев,

Институт прикладной математики и автоматизации, ул. Шортанова, 89 А, 360000, г. Нальчик, Россия E-mail: khubiev_math@mail.ru