Научная статья на тему 'Первая краевая задача для уравнения параболо-гиперболического типа третьего порядка с вырождением типа и порядка в области гиперболичности'

Первая краевая задача для уравнения параболо-гиперболического типа третьего порядка с вырождением типа и порядка в области гиперболичности Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
219
22
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ВЫРОЖДАЮЩЕЕСЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ / УРАВНЕНИЕ С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ / УРАВНЕНИЕ ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА / ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА / АНАЛОГ ЗАДАЧИ ТРИКОМИ / МЕТОД ТРИКОМИ / ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВОЛЬТЕРРА ВТОРОГО РОДА / ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА ВТОРОГО РОДА / DEGENERATE HYPERBOLIC EQUATION / EQUATION WITH MULTIPLE CHARACTERISTICS / THIRD ORDER PARABOLIC-HYPERBOLIC EQUATION / DIRICHLET BOUNDARY VALUE PROBLEM / ANALOGUE OF TRICOMI EQUATION / TRICOMI METHOD / SECOND KIND INTEGRAL VOLTERRA EQUATION / SECOND KIND INTEGRAL FREDHOLM EQUATION

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Балкизов Ж. А.

В работе исследован аналог задачи Трикоми для уравнения параболо-гиперболического типа третьего порядка с кратными характеристиками, содержащего слагаемые с младшими производными. При определенных условиях на заданные функции и параметры, входящие в рассматриваемое уравнение, доказана теорема о существовании и единственности решения исследуемой задачи. Единственность решения задачи доказана с использованием обобщенного метода Трикоми, существование методом интегральных уравнений.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Dirichlet boundary value problem for a third order parabolic-hyperbolic equation with degenerating type and order in the hyperbolicity domain

In the work we study an analogue of Tricomi equation for a third order parabolic-hyperbolic equation with smaller derivatives having multiple characteristics. Under certain conditions for the given functions and parameters involved in the considered equation, we prove unique solvability theorem for the studied problem. The uniqueness of the solution is proved by means of the generalized Tricomi method, while the existence is proved via the method of integral equations.

Текст научной работы на тему «Первая краевая задача для уравнения параболо-гиперболического типа третьего порядка с вырождением типа и порядка в области гиперболичности»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 9. № 2 (2017). С. 25-39.

ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С ВЫРОЖДЕНИЕМ ТИПА И ПОРЯДКА В ОБЛАСТИ ГИПЕРБОЛИЧНОСТИ

Ж.А. БАЛКИЗОВ

Аннотация. В работе исследован аналог задачи Трикоми для уравнения иараболо-гииерболического типа третьего порядка с кратными характеристиками, содержащего слагаемые с младшими производными. При определенных условиях на заданные функции и параметры, входящие в рассматриваемое уравнение, доказана теорема о существовании и единственности решения исследуемой задачи. Единственность решения задачи доказана с использованием обобщенного метода Трикоми, существование -методом интегральных уравнений.

Ключевые слова: Вырождающееся гиперболическое уравнение, уравнение с кратными характеристиками, уравнение параболо-гиперболического типа третьего порядка, первая краевая задача, аналог задачи Трикоми, метод Трикоми, интегральное уравнение Вольтерра второго рода, интегральное уравнение Фредгольма второго рода.

Mathematics Subject Classification: 35М12

1. Введение

На евклидовой плоскости независимых переменных х и у рассмотрим уравнение

Г (-у)т UXX — Uyy + а(—у)(т-2)/2их, у < 0,

0 \иххх -иу + ЕаДх, у) 0, у> 0,

k i=0

где аг(х, у), г = 0, 2 - заданные функции; а, т ~ заданные числа, причем т > 0, |а| < т/2; и = и(х, у) - искомая функция.

Через Ь обозначим область, ограниченную при у < 0 характеристиками АС : х — -^¡++2(—у)(т+2">/2 = 0 и СВ : х + (—у)(т+2">/2 = г уравнения (1.1), выходящими из точек А = (0, 0), В = (г, 0), пересекающимися в точке С = (г/2, ус), ус < 0, а также прямоугольником с вершинами в точках А, В, Ао = (0, h) и В0 = (г, h), h > 0, при у > 0; Ь = Ь П [у < 0} Ь = Ь П [у > 0} Ь = Ь U Ь U J где J = {(х, 0) : 0 < х < г} -А В = 0

Уравнение (1.1) при у < 0 совпадает с вырождающимся гиперболическим уравнением

(—у)т ихх — иуу + а (—у)(т-2)/2 их = 0, (1.2)

а при у > 0 является уравнением третьего порядка вида

_^ — ^и

иххх — иу ^2_^аг(х, у) —— = 0. (1.3)

г=0

Zh.A. Balkizov, Dirichlet boundary value problem for a third order parabolic-hyperbolic

equation with degenerating type and order in the hyperbolicity domain.

© Балкизов Ж.A. 2017.

Поступила 7 июля 2016 г.

Уравнение (1.2) является уравнением гиперболического типа с параболическим вырождением вдоль прямой у = 0, При т =2 уравнение (1.2) переходит в уравнение Бицадзе-Лыкова [1, с. 37], [2], [3, с. 234], а при а = 0 из уравнения (1.2) приходим к уравнению Геллерстедта, которое, как показано в монографии [4, с. 234], находит применение в задаче определения формы прорези плотины. Частным случаем уравнения (1.2) также является уравнение Трикоми, являющееся теоретической основой околозвуковой газовой динамики [5, с. 38], [6, с. 280]. Исследованию первой и второй задач Дарбу для уравнения (1.2) посвящены работы [7]-[8]. В работе [9] исследован критерий непрерывности решения задачи Гурса для вырождающегося гиперболического уравнения вида (1.2). Достаточно полная библиография по исследованию различных краевых задач для вырождающихся гиперболических уравнений имеется в монографиях [10] [13].

Уравнение (1.3), которое в [14, с. 132] названо уравнением третьего порядка с кратными характеристиками, относится к уравнениям параболического типа [3, с. 72]. Изучение краевых задач для уравнения вида (1.3) началось с результатов работы [15], где методами теории потенциалов и интегрального преобразования Лапласа была изучена краевая задача, которая в настоящее время называется задачей Каттабрига, С помощью фундаментальных решений уравнения (1.3), полученных в [15], в [14, с. 132] построена функция Грина задачи Каттабрига для уравнения (1.3) и получены оценки фундаментальных решений и их производных различных порядков. Также с помощью функции Грина в [14, с. 135] построено решение задачи Каттабрига для уравнения (1.3) в замкнутом виде. Исследованию различных локальных и нелокальных краевых задач для уравнения (1.3) посвящены работы [16-18].

Уравнение (1) относится к классу уравнений параболо-гиперболического типа третьего порядка с вырождением порядка вдоль линии у = 0 изменения типа. На необходимость рассмотрения задачи сопряжения уравнений параболического и гиперболического типов впервые было указано в работе [19]. К задаче сопряжения уравнений параболического и гиперболического типов приводит изучение электрических колебаний в проводах. Такого рода задачи встречаются также при изучении движения жидкости в канале, окруженной пористой средой, в теории распространения электромагнитных полей и в ряде других областей физики.

На важность исследования краевых задач для уравнений смешанного типа высших порядков было указано в работе [20, с. 117], а в работе [21] отмечено, что наличие вырождения порядка вдоль линии изменения типа вносит новый аспект в теорию уравнений смешанного типа. Об актуальности исследования корректных краевых задач для уравнений смешанного типа высшего порядка говорят и многочисленные публикации отечественных и зарубежных авторов по данному направлению. Так, для модельного уравнения параболо-гиперболического типа третьего порядка с оператором Геллерстедта в области гиперболичности в работе [22] исследована нелокальная внутреннекраевая задача со смещением с операторами Сайго в граничных условиях, а в работе [23] исследована аналогичная задача для уравнения вида (1.1) с коэффициентом а2(х,у) = 0. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа третьего порядка с различными вырождающимися операторами в области гиперболичности изучены в работах [24]—[28],

В связи с выше изложенным возникает необходимость поиска корректно поставленных краевых задач, сформулированных одновременно для вырождающихся гиперболических уравнений и уравнений высших порядков с кратными характеристиками. В данной работе исследован аналог задачи Трикоми для уравнения параболо-гиперболического типа третьего порядка с вырождением типа и порядка в области его гиперболичности. Среди ранних работ, тесно примыкающих по тематике к данной статье, особо отметим работы [29, 30], где на корректность исследованы задачи сопряжения модельных и общих уравнений параболического и гиперболического типов по временной переменной и изучены структурные и качественные свойства их решений.

2. Постановка задачи и основные результаты

Регулярным в области П решением уравнения (1.1) назовем функцию и = и(х,у) из класса и(х, у) е С(П) ПС^П) ПС2(П\) ПСХ(П2), их(х, 0),иу(х, 0) € ¿1(0, г), при подстановке которой уравнение (1.1) обращается в тождество. В работе исследуется следующая

Задача 1. Найти, регулярное в области П решение уравнения (1.1), удовлетворяющее условиям

и(0,у) = ^l(y), их(0,у) = ^2(y), и(г,у) = ^э (У), 0 < У<Ь (2.1)

и \св = ф(х), г/2 < ж < г, (2.2)

где (у),^2(у),^э(у) е С[0, Ы\, ф(х) е С 1[г/2,г] - заданные функции.

Основная цель настоящей работы - доказательство теорем о единственности и существовании регулярного решения задачи 1.

3. Теорема единственности

Обозначим

а

т — 2а 2(т + 2):

Р

т + 2а 2(т + 2):

71

2 Г(1 — р)Г(а + р)

Г(а)Г(1 — а — р) [2(1 — а — р)]

а+/3 '

Справедлива следующая

Теорема 3.1. Пусть относительно коэффициентов а,г(х,у), г = 0, 2 уравнения (1.1) выполнены следующие условия:

<ц(х,у) е & (П2) , г = 072; (3.1)

а2(х, 0) > 0, 0 < ж < г;

х

1-а-Р

а2 (х, 0) — а1(х, 0) + 2а0(х, 0)

<

71

Г(а + р)

а2(х, 0) +

а2 (х, 0) — а[(х, 0) + 2а0(х, 0) — ^, Ъ ^ ха+33-1

0 < х < г,

> 0, 0 < х < г.

(3.2)

(3.3)

(3.4)

Г(а + р) П

Доказательство. Для доказательства теоремы 3.1 введем обозначения

и(х, 0) = г(х), 0 < х < г, (3.5)

иу(х, 0) = V(х), 0 < х < г. (3.6)

Считая функции т(ж) и V(ж) заданными, запишем решение задачи Коши (3.5)-(3.6) для уравнения (1.2).

Пусть вначале \а\ < у. Решение задачи (3.5)-(3.6) для уравнения (1.2) в этом случае выписывается по формуле [10, с. 14]

1

и(х,у) =

1

В (а, р)

У

т

2

х +--(—у)(т+2)/2(21 — 1)

В (1 — а, 1 — р)

V

X +

т + 2 2

г3-1 (1 — г)а-1 (И+

т + 2

(—у){ш+2)/2(21 — 1)

га (1 — г)-3 йг,

(3.7)

2

1

где В(р, д) — интеграл Эйлера первого рода (бета-функция). Удовлетворяя (3,7) условию (2,2), находим

и(х, у) \св = [т[х + (г — х)(21 — 1)] (1 — 1)а-1 сИ—

В (а, р) ] о

1

(1 _ а _ р)а+/3-1 Г

(В— — ар) — р) (г — х)1-а-? ] и[х + (т — х)(2Ъ — 1)] Га (1 — ^ ¿1 = ф(х).

Произведя сначала замену переменной интегрирования 8 = 2х — г + 2 гЬ — 2хЪ, а затем поменяв в полученном равенстве 2х — г на х, последнее соотношение перепишется в следующем виде

т

(г — х)1-а-/з Г

{-Важ-1ттт -(Г' « -х)е-1а-

т

[2(1 — а — р т и{Мг — ()-е а _хГ*л = ^ ^

В(1 — а, 1 — Р) У V 2

(3.8)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

а

сх 5

Воспользуемся далее следующим определением оператора дробного интегро-дифферен-цирования [3, с,28]: оператором дробного (в смысле Римана-Лиувилля) интегро-дифференцирования порядка \а\ с началом в точке с € [а,Ь] называется оператор Ц который действует на абсолютно интегрируемую функцию € Ь1 (а, Ь) по формуле:

х

ЦХФ) = 85Г(!а)^ / \х — 1\-{а+1) Ж) Я, а< 0,

г , + 1 г ,

Ва*Ф) = 85п[а+1(х — с)Оах-[а]-1ф), а > 0,

где символ й5п(г) определяется как знак числа г; Г(х)— интеграл Эйлера второго рода (Гамма-функция), Подробное исследование свойств оператора В<ах^>(1) приведены в монографиях [3], [4], [31].

С учетом приведенного определения оператора Вах соотношение (3,8) перепишется в следующей форме

Г(Р) ( г — х)1-а-?В-! [г(1)(г — 1)а-1 ] —

В(а, р)

Г(1—Т:,а—Т ц*'к-—(з'9)

1

Обращая уравнение (3,9) относительно функции V(х), находим

^ (ж) = 71 П1-а-33 т (*) — 72 (г — х)3 Б1-

Ф

)

(3.10)

ГТТР ^ = 2Г(1-3)

Д 12 Т(1-а-[3)[2(1 -а-ГЗ)]а+Р'

Так как т(х),ф(!1+2г) € С[0,г], а т'(х),ф'(е Ь1(0,г), то, пользуясь следующим свойством оператора дробного дифференцирования порядка 0 < а < 1 [31, с. 43]

Г(1 — а)

(Г — Х)-* — Я«-У (*)

(3.11)

выражение (3.10) можно переписать в следующей форме

и(х) = — 71 о-а+3)т'(г) + | (г — х)3 в—'ф' (^) .

(3.12)

Соотношение (3.12) есть основное фундаментальное соотношение между искомыми функциями т(х) и и(х), принесенное из области П1 на линию у = 0 в случае, когда \а\ < тт-

Если а = — т, то коэффициенты а = т+2> ¡3 = 0, и решение задачи (3.5)-(3.6) для уравнения (1.2) имеет вид [10, с. 15]:

u(x, у) = т

X +

2

т + 2

(— )(

т+2)/2

+

2

т + 2

2

ж +--(—у)(т+2)/2 (21 — 1)

т + 2

(1 — г)-ам.

(3.13)

Из представления (3.13) с учетом условия (2.2) приходим к фундаментальному соотношению между функциями т(х) ъ и(х) следующего вида

Ф) = — у

2В-хат'(1) — В-хаф>

' И

(3.14)

Если же а = Цт, т0 а = 0, ¡3 = т+2- Решение задачи (3.5)-(3.6) для уравнения (1.2) в этом случае имеет вид [10, с. 15]:

u(x, у)

2

х —

т + 2

(— )

(т+2)/2

+

2

т + 2

2

х —

т + 2

(—У)°

т+2)/2 (2, _

(2 — 1)

(1 — г)-3 ¿г.

(3.15)

Удовлетворяя (3.15) граничному условию (2.2) па характеристике С В, приходим к равенству

и(х) = (2 — 2(3)-3 (г — х)3 ф' ^ .

(3.16)

Перейдем к доказательству единственности решения задачи 1. Для однородной задачи, соответствующей задаче 1, рассмотрим интеграл

,]* = J т(х)и(х)с1х. 0

1

+

1

+

При ф(х) = 0 (т(г) = ф(г) = 0) из соотношений (3,12), (3,14), (3,16) для различных а

и(х) = — 71 т'(1) = 71 01-а-т(I), \а\ < (3.17)

и(х) = —ъО-хат'(1) = 71 ОТ;ат (I), а = — -; (3.18)

и(х) = 0, а = —. (3.19)

Воспользуемся следующим свойством оператора Оах(р(Ъ) дробного интегро-дифференцирования (в смысле Римана-Лиувилля)

Лемма 3.1. Для, любой абсолютно непрерывной на сегменте [0, г] функции р = <р(х), удовлетворяющей условию ц>(г) = 0 справедливо неравенство

р(х) Щхч>(г) > 2 ОахР2(1), 0 < а < 1. (3.20)

Доказательство. Действительно, если р(г) = 0, то из формулы (3.11) находим

т

ЦагЖ1) = —^/ , [ , *м.

ТхГК 7 Г(1 — а) У (г — х)а

Аналогично,

Цтхр (1) = — Т(Г—а)] (I — х)а Я.

Пользуясь приведенными равенствами, находим

т

— = щ-—а¡^И^Ш^ш

х

т / Ь \ т / т

1 т *м I1 *)Л 1Л = ^ т I Т РЩа1 л | л

Г(1 — а)] (г — х)а\]гк ' / Г(1 — а^Му {Ъ — х)а

1 ^ — х)а уЩа И А«1*

Г(1 — а) ^ ; (в — х)а \ У (г — х)

а

в

2п

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1С, ^ д

2Г(1 — а^(8 х)а дз

( - х)а

сИ

¿8

а С ла-1 1С *(1)

(^ — х)а-1 I , \ (И 1 ¿в > 0,

2Т(1 — а) ^ ; \J (г — х)а

х \ .в

откуда вытекает неравенство (3.20). Лемма доказана.

Отметим, что доказанная лемма 3.1 является аналогом леммы 1, приведенной в работе [32].

При \а\ < у из (3-17) и (3.20) приходим к неравенству

т

3* = 71 у т(х)В^-3тЦ) (х > Г+3-1т2(1) (1. (3.21)

0 0 К аналогичному неравенству мы приходим и при а = — у (а = у+2, 3 = 0), а при а = у из равенства (3.19) получаем, что 3* = 0.

Переходя далее в уравнении (1.1) к пределу при у ^ +0, с учетом граничных условий

( х) ( х)

из параболической части П2 облает и П па линию у = 0:

и(х) = т"'(х) + а2(х, 0)г"(х) + а:(х, 0)г'(х) + а0(х, 0)г(х), 0 < х < г, (3.22)

т(0) = ^1 (0), т'(0) = р'(0), т(г) = рз(0). (3.23)

Лемма 3.2. Пусть выполнены условия (3.1). Тогда из (3.22)-(3.23) следует равенство

2 Г

3* = — — [ а2(х, 0)т'2(х)(х+

0

г

+ 2

' ' а2(х, 0) — а1 (х, 0) + 2а0(х, 0) т2(х)(х. (3.24)

0

Равенство (3.24), при однородных граничных условиях, соответствующих условиям (3.23) ( pj(0) = 0, ) = 1, 3), легко получается путем умножения обеих частей соотноше-

( х)

х 0

С учетом (3.24) неравенство (3.21) перепишется в следующей форме

г

т"(г) + 2 а2(х, 0)т/2(х)(х—

а'2(х, 0) — а[(х, 0) + 2а0(х, 0) — Ъ ха+-1

Г(а + 3)

т2(х)(х < 0. (3.25)

Легко заметить, что при выполнении условий (3.2)-(3.4) теоремы 3.1 на коэффициенты аг(х, у), г = 0, 2 уравнения (1.1) неравенство (3.25) может иметь место в том и только в том случае, когда т(х) = 0. Тогда из соотношений (3.17), (3.18), (3.19) находим, что и и(х) = 0 для всех |а| < у. При этом из формул (3.7), (3.13), (3.15) сразу следует, что и(х, у) = 0 в П1.

Покажем далее, что и задача нахождения регулярного в области П2 решения уравнения (1.3), удовлетворяющего однородным граничным условиям, соответствующим условиям

и ( х, 0) = 0

может иметь решений, отличных от тривиального. Действительно, допустим, что однородная задача

_^ ^ ги

иххх — иу + а^(х, у) — = 0, (х, у) е П', (3.26)

г=0

и (0, у) = 0, их (0, у) = 0, и (г, у) = 0, 0 <у < к, (3.27)

и (х, 0) = 0, 0 <х <г (3.28)

г

г

г

имеет нетривиальное решение и = и (х, у) = 0, Следуя работам [16], [33], положим в уравнении (3,26)

и (х, у) = V (х, у) ехр (ц'х + /2у). (3,29)

При этом относительно функции V = V (х, у) получаем уравнение

Ъ^и^ = Vххх — Vy + [3/11 + а2(х, у)] Vхх+ + [3$ + 2/1 а2(х, у) + а'(х, у)]

+ [/3 + / а2(х, у) + /' а'(х, у) + ао(х, у) — = 0, (3,30)

с начальным и краевыми условиями

V (х, 0) = 0, 0 < х <г (3.31)

V (0, у) = 0, Vх (0, у) = 0, V (г, у) = 0, 0 <у < К. (3.32)

и ( х, )

(3.26)-(3.28), то как следует из (3.29), задача (3.30)-(3.32) тоже будет иметь ненулевое решение V = V (х, у) = 0.

Введем далее вспомогательную область 0,2е.; определенную неравенствами ^2£ = {(х, у) : £ < х < г — £, £ < у < К — £, £ > 0}. В области 0>2е справедливо тождество

= ! 2 V с1П2е =

= I {.дх \-2VVxx — Vх + 2 (3/1 + а2(х, y))vVх +

д ]

+ (3//\ + 2/1 а2(х, у) — а2х(х, у) + а'(х, у)) V2] — — [у2]) (Ю,2е+ + / [2/1 + 2/'а2(х, у) + 2/' а' (х, у) + а2**(х, у) — а'*(х, у) +

+ 2а0(х, у) — 2/2] V д,0,2е — 2J [3/' + а2(х, у)]ухд10:2е = 0. (3.33)

Применяя к равенству (3.33) формулу Грина, получим

2 (у,Ьри^2У)0 = ! У2йх + \2vvxx — V* + 2(3/1 + а2(х, у))УУ* +

Г2£

,2

+ (3 / + 2/'а2(х, у) — а2х(х, у) + а'(х, у)) V2] йу+

+ J [2/1 + 2/\а2(х, у) + 2/1а'(х, у) + а2**(х, у) — а'*(х, у) +

П2£

+ 2 а0(х, у) — 2/2]у2сЮ,2е — 2 ! [3/' + а2(х, у)]уХ;<Ш2е = 0, (3.34)

где Г2е - это граница вспомогательной области 0,2е. Переходя в равенстве (3.34) к пределу при £ ^ 0 с учетом однородных начально-краевых условий (3.31)—(3.32), приходим к равенству

v2x( г, y)dy + v2(x,h) dx + 2 / [3 yi + a2(x, у)} v2xdVt 2 —

-J [2^1 + 2^a2(x, y) - 2^1 (a2x (x, y) - ai(x, y)) +

П2

+ a2xx(x, y) - aix(x, y) + 2 ao(x, y) - 2^} v2 Ш2 = 0. (3.35)

С учетом условий (3.1) выберем значения параметров и у2 в равенстве (3.35) так, чтобы

уi > - max (|a2(x, у)\), 3 (x,y)en2

У2 > 1 max [2^1 + 2^2 | a2(x, у)| +

2 (x,y)&^,2

+ 2yi (|a2x(x, у)1 + |ai(x, у)|) + |a2xx(x, у)| + |aix(x, у)| + 2|ao(x, у)|]. Легко заметить, что при таком выборе параметров ^ и у2 равенство (3.35) может иметь место в том и только в том случае, когда v (x, у) = 0 в каждой точке замыкания П2, что

v ( x, ) = 0

вает, что и (x, у) = 0 всюду в П2. То есть при условиях (3.1) - (3.4) решение задачи 1 для

уравнения (1.1) единственно в требуемом классе. Теорема доказана. " " □

4. Теорема о существовании решения задачи 1

Теорема 4.1. При условиях (3.1)-(3.4) решение задачи 1 существует.

Доказательство. Действительно, из полученных выше фундаментальных соотношений

( x) ( x)

пий

Kx) = Ъ/01г-{а+)T(t) -ъ (Г - x)13 Dl-y () , u(x) = г (x) + a2(x, 0)r (x) + a1(x, 0)r (x) + a0(x, 0)r(x),

откуда относительно функции r(x) приходим к задаче нахождения регулярного решения уравнения

т (x) + a2(x, 0)r (x) + a1(x, 0)т (x)-

'r + f

ч У

удовлетворяющего условиям (3.23).

Решение задачи (3.23) для уравнения (4.2) эквивалентно решению интегрального уравнения

( г

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1

!

-7i Dl-a~3T(t) + ao(x, 0)r(x) = -72 (г - x)3 D^ (Г-+ ) , (4.2)

r(x) = { 2 / К (x, t)r(t)dt - 2 (r-x) [r + x + rxa2(0, 0)}^i (0) -

-2rx (r - x)ip2(0) - 2x2 ^3(0) + x2 J (r - t)2f (t)dt-

x

x Л

- ( - x) ( + x - 2 x) ( ) , o

h

где

,_Лг-x)[(r + x)L(0, t) + rxLx(0, t)] - r2L(x, t), 0 <x<t, (X, ) = - x)[(r + x)L(0, t) + rxLx(0, t)], t < x < r,

L(x, t) = a2{t, 0) + (t -x) 2a2(t, 0) - a(t, 0)

+

+ (t - x)2

a2 (t, 0) -a[(t, 0) + ao(t, 0)1 - r( + 2) (t - x)a^+2.

J l(a + l + 2)

На основании свойств (3,1) заданных коэффициентов ai(x, у), г = 0, 2 уравнения (1.1), а также свойств заданных функций <pi(у), р2(у), P3(y),^(x) заключаем, что уравнение (4,3) есть интегральное уравнение Фредгольма второго рода с ядром К(x, t) G L2([0, г] x [0, г]) и с правой частью из класса Сl[0, г]. Однозначная и безусловная разрешимость уравнения (4,3) вытекает из единственности решения задачи 1. Решение т = r(x) уравнения (4,3), согласно общей теории интегральных уравнений Фредгольма, выписывается с помощью резольвенты R(x, t) ядра К(x, t), причем резольвента R(x, t), так ж как и ядро К(x, t), будет принадлежать классу L2([0, г] x [0, г]), Решение т = r(x) уравнения (4,3), в силу того что правая часть уравнения (4,3) принадлежит Сl[0, г].; будет принадлежать классу t(x) G С[0, г] U С3]0, г[. По найденному значению r(x) можно найти и функцию u(x) из фундаментальных соотношений (3,12), (3,14), (3,16), (3,22),

Когда коэффициенты ai(x, 0), г = 0, 2 уравнения (4,2) являются постоянными действительными числами, решение задачи (3,23), (4,2), а, значит, и решение интегрального уравнения (4,3) выписывается в явном виде.

Действительно, найдем решение задачи (3,23) для уравнения (4,2) в случае, когда ai(x, 0) = ai = const, i = 0, 2. С этой целью, заменим в уравнении (4,2) переменную x - x ( - x)

"' / \ " / \ ' / \ -т (г - x) + a2r (г - x) - air (г - x)-

-Ъ Dl-^r (г - t) + aor (r -x) = -Ъ x* ) , (4.4)

т(г -х) \х=г (0), т (г -х) \х=г = -<р2(0), т(г -х) |л=0 =рэ(0). (4.5)

Обозначив т(г — х) = д(х), относительно д(х) из (4.4) приходим к уравнению

д"(х) - а2д"(х) + а^д'(х) + 71 о10ха~^д(г) - аод(х) = f(х), (4.6)

где ¡(х) = 72 х13 О^ф (2г2~) ■

Применяя оператор О-х к обеим частям уравнения (4.6), приходим к эквивалентному уравнению (4.6) интегральному уравнению

g(x) -

a2 - ai(x - t) + — (x - t)2 ---^--(x - t)a+?+l

2 u ; 2 v J T(a + l + 2)y J

( )

X

= слх2 + С2х + с3 + 1 J (х - Ъ)2!(Ь)М, (4.7)

0

где с1, с2, с3- пока неизвестные постоянные.

Уравнение (4.7) относится к классу интегральных уравнений Вольтерра второго рода типа свертки. Используя определение свертки двух функций, уравнение (4.7) перепишем в следующем виде

д(х) - а.2(1 * д(х)) + а,1(х * д(х)) - ^(х2 * д(х)) + ^^^^(ха+^+1 * д(х)) =

2 1(а + р + 2)

= ? (х2 * ¡(х)) + С1х2 + С2х + Сз, (4.8)

X

где д1(х) * д2(х) = /д\(х — ¿)д2(Ь)(И = / д^)д2(х — Ь)(И— свертка функций д1(х) и д2(х). о о

Пусть С(р) и Р(р) в уравнении (4,8) являются изображениями функций д(х) и ¡(х).; соответственно, то есть

д(х) = С(р), /(х) = Р(р).

Тогда, применяя к уравнению (4,8) преобразование Лапласа, используя свойство линейности и теорему умножения, придем к следующему уравнению относительно С(р)

С(р)

откуда

а,2 а,1 ао 71

1---1--о--5" +

Р р2 р3 ра+3+2

Р (Р) + 2 С1 + С^ + С3

3 3 2

п( \ Р (Р) + 2 С1 + С2Р + сзр2 ( , С(Р) = --, ^

где А(р) = 1 — а2р 1 + а^р 2 + 71р а 3 2 — аор 3,

те

/е ~А(р)Чз 1

А( ) о

С учетом этого, равенство (4,9) перепишется в следующей форме

те

С(р) = у е"А(р)5 [Р(р)р"3 + 2С1р"3 + С2Р~2 + сзр"1]^. (4.10)

о

Найдем теперь обратное преобразование Лапласа. Прежде всего заметим, что -/3 те „

р-ц 1ф((],^; гх3), где ф(£, г/; г) = ^ п— функция Райта [34].

п=0

Пользуясь формулой д-\_(р)д2(р) ц <л(х) * д2(х), из (4.10) находим

д(х) = у е"в{/(х) * [х" 1/4ф(1, 3/4; а2хв)] * [х~ 1/4ф(2, 3/4; — а^2в)] * о

* [х~ 1/4ф(а + 3 + 2, 3/4; —1хха+3+2 в)] * [х~ 1/4ф(3, 3/4; аох3 в)]} ¿8+

те

+2 сл ! е ~3{[х- 1/4ф(1, 3/4; а2хв)] * [х~ 1/4ф(2, 3/4; — а1 х2 в)] * о

* [х~ 1/4ф(а + 3 + 2, 3/4; —1хха+3+2 в)] * [х~ 1/4ф(3, 3/4; аох3 в)]} ¿8+

те

+С2 ! е~3 {[х~ 1/2ф(1,1/2; а2хв)] * [х~ 1/2ф(2,1/2; —ахх2в)] * о

* [х~ 1/2ф(а + 3 + 2,1/2; —1гха+3+2в)] * [х~ 1/2ф(3,1/2; аох3в)]} ¿8+

те

+ 3 х - 3/4ф(1,1/4; а2х8)] * [ х 3/4 ф(2, 1/4; — а1 х2 ) *

о

* [х~3/4 ф(а + 3 + 2,1/4; — 71 ха+3+2 в)] * [х~ 3/4ф(3,1 /4; аох3 в)]} (18. (4.11) Воспользуемся следующими обозначениями [35]:

(х; г1,..., хт; З1 ,...,Рт) = Мх) * h2 (х) * ... * кт(х)

X

—а i

откуда

1, Ат; $11 Рт) I 6 (х; А1 S, ..., Хт в; $1, ...,рт)(8,

0

__т

где Ь,к(х) = х^к—1ф (рк, ¡к; х^к) , к=1,т; ¡1 = ^ ¡к.

к=1

В терминах приведенных выше обозначений представление (4,11) перепишется в следующей форме

(

д(х) = ! е[/(х) * Б3(х; а2в, -а1 в, -гу1 в, а0в; 1, 2, а + Р + 2, 3)] (в+ 0

(

+2с^ ! е—3Б3(х; а2в, -^в, -гу1 в, а0в; 1, 2, а + Р + 2, 3)(з+

0

(

+с2 ! е—38'2(х; а2в, -^в, ,а0в; 1, 2, а + Р + 2, 3)(з+ 0

(

+с3 J е—^(х; а2в, -^в, -гу1 в, а0в; 1, 2, а + Р + 2, 3)(з, 0

д(х) = 2 ^ С'3(х; а2, -а1, 1, а0; 1, 2, а + Р + 2, 3) + + С2 С(х; а,2, - а,1, - 71, а,0; 1, 2, а + Р + 2, 3) + +с3 С\(х; а.2, -аъ а0; 1, 2, а + Р + 2, 3) +

X

+ ! ¡(¿) &1(х - Ц 02, -а1, -Ъ, сю; 1, 2, а + Р + 2, 3) 0

Таким образом,

х

т(г - х) = 2 сл С1(х; а; Ь) + с2 С24(х; а; Ь) + с3 С\(х; а; Ь) + J К^) С\(х - Ц а; Ь) (И,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

0

где а = (а2, - а]_, -гу1, а0), Ь = (1, 2, а + Р + 2, 3).

Переобозначив в последнем равенстве г - х через х, и, выполнив затем подстановку = -

т(х) = 2 ^С^г - х; а; Ь) + с2 С\(г - х; а; Ь) +

г

+Сз С\(г -х; а; Ь) + J ¡(г - в) СКв - х; а; Ь) (в. (4.12)

X

Функция а^п(х) обладает свойствами [35]:

О0)хС^; а; Ь) = С^(I; а; Ь), ¡> и; (4.13)

г^—1

Ст(х; а; Ь) = — + £ АО^С^Р; а; Ь). (4.14)

г=1

Пользуясь свойствами (4.13)-(4.14) функции С^(х; а; Ъ), из представления (4,12) находим

т (х) = — с3 \а2С14(г — х; а; Ъ) — а1С24(г — х; а; Ъ) — — 71С<а+3+'2(г — х; а; Ъ) + аоС4(г — х; а; Ъ)

— 2с1С24(г — х; а; Ъ) — с2С\(г — х; а; Ъ) — /(г — в) — х; а; Ъ) ¿8.

(4.15)

1, 2, 3

нему из условий (3.23), сразу находим:

г (г) = Сз = <£з(0).

Удовлетворяя далее (4.12) первым двум условиям (3.23), приходим к следующей системе линейных алгебраических уравнений:

Г2С1 С3(г; а; Ъ) + ^(г; а; Ъ) =

= <р1 (0) — ^з(0) С4(г; а; Ъ) — / /(г — в) С4(^; а; Ъ)^,

о

2 С1 С4(г; а; Ъ) + С2 С\(г; а; Ъ) = ^(0) — ^з(0) ^(г; а; Ъ) — —а^Кг; а; Ъ) — 71^а4+3+2(г; а; Ъ) + аоС^г; а; Ъ)

— / Кг — 5 а; Ъ) ¿в.

о

Решая систему (4.16), находим

1

А1

А

2=

А2

А ,

где

А=2

С4(г; а; Ъ) С34(г; а; Ъ) — (С4(г; а; Ъ))

(4.16)

(4.17)

А1 = у ¡(г — 8 ) [С4(г; а; Ъ)С4( 8; а; Ъ) — а; Ъ)С3(з; а; Ъ)]^+ о

+С4(г; а; Ъ) [^(0) — ^з(0) С4(г; а; Ъ)] — С24(т; а; Ъ)-^(0) — ^з(0) (а2С4(г; а; Ъ) — а^(г; а; Ъ) — ЪСа+3+2(г; а; Ъ) + аоС34(т; а; Ъ))

г

А2 = 2 [ ¡(г — 8 ) [вКз; а; Ъ)С4( 8; а; Ъ) — С3(з; а; Ъ)С4(^; а; Ъ)]^—

— 2С2(г; а; Ъ) [^(0) — ^з(0)С4(г; а; Ъ)] + 2С4(г; а; Ъ)-^2(0) — ^з(0) (а2С4(г; а; Ъ) — а^(г; а; Ъ) — ЪСа+3+2(г; а; Ъ) + аоС34(г; а; Ъ)

Из доказанной выше теоремы единственности решения задачи 1 следует, что определитель А = 2 С4(г; а; Ъ) С34(г; а; Ъ) — (С4(г; а; Ъ))2 системы (4.16) будет отличен от нуля,

а, следовательно, формула (4.12), где постоянные ^, с2 вычисляются по формулам (4.17), с3 = <^3(0), дает представление единственного решения задачи (3.23) для уравнения (4.2) при постоянных коэффицентах ао, а1, а2 уравнения (4.2) и —т/2 < а < т/2.

Если а = т/2, то при постоянных коэффицентах ао, а1, а2 из соотношений (3.16) и

= ( х)

т'"(х) + а2т"(х) + а1 т'(х) + аот(х) = (2 — 2/3)-3 (г — х)3 ф'^^^

(4.18)

г

2

г

r(0) = Vi(0), т'(0) = ^(0), r(r) = Vn(0). (4.19)

Решение задачи (4.18), (4.19) выписывается в явном виде по формуле

г

x2

t(x) = G(x, t)F(t)dt + — Ы0) — т<^2(0) — pi(0)] + <^(0)x + pi(0),

где

F(x) = (2 — 2ß)-ß (г — x)ß — а0^1 (0) — Кx + а1) p2(0) —

2

Р1(0) — r^2 (0) — Pi(0)

(2 а2 + 2 аlx + а0 )

С(х, ¿) — функция Грина задачи (4.18), (4.19), построенная в работе [25].

После того как функции т = т(х) и V = и(х) найдены, решение задачи 1 в области П1 определяется как решение задачи Коши (3.5)-(3.6) для уравнения (1.2) и выписывается по одной из формул: (3.7), (3.13) или (3.15), а в области Q2 приходим к задаче нахождения регулярного решения уравнения (1.3), удовлетворяющего условиям (2.1) и и(х, 0) = т(х), которая исследована в работах [14, с. 132], [15].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа. М.: Издательство АН СССР. 1949. 155 с.

2. Лыков A.B. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло и массообмена // Инженерно-физический журнал. 1955. Т. 9, №3. С. 287-304.

3. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа. 301 с.

4. Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит. 2003. 272 с.

5. Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: Иностранная литература. 1951. 208 с.

6. Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука. 1973. 711 с.

7. Кальменов Т.Ш. Критерий единственности решения задачи Дарбу для, одного вырождающегося, гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1971. Т. 7, №1. С. 178-181.

8. Кальменов Т.Ш. О задаче Дарбу для, одного вырождающегося гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1974. Т.10, №1. С. 59-68.

9. Кальменов Т.Ш. Критерий непрерывности решения задачи Гурса для одного вырождающегося, гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8, №1. С. 41-55.

10. Смирнов М.М. Вырождающиеся, гиперболические уравнения. Минск: Вышэйшая школа. 1977. 150 с.

11. Репин O.A. Краевые задачи со смещением, для, уравнений гиперболического и смешанного типов. Саратов: издательство Саратовского университета. 1992. 161 с.

12. Нахушев A.M. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука. 2006. 287 с.

13. Кальменов Т.Ш. К теории начально-краевых задач, для, дифференциальных уравнений. Цикл научных работ Т.Ш. Кальменова. Алматы: Институт математики и математического моделирования. 2013. 306 с.

14. Джураев Т. Д. Краевые задачи для, уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: ФАН. 1979. 238 с.

15. L. Cattabriga Un Problema al contorno per una equazione parabólica di ordine dispari // Annali délia Scuola Normale Superiore di Pisa. 1959. V.13, №2. P. 163-203.

16. Иргашев Ю. Некоторые краевые задачи для, уравнений третьего порядка, с кратными характеристиками ¡I Сборник научных трудов «Краевые задачи для дифференциальных уравнений и их приложения». Ташкент: ФАН. 1976. С. 17-31.

17. Джураев Т. Д., Абдиназаров С. Краевые задачи типа задачи Бицадзе-С амурского для, уравнений третьего порядка, с кратным,и характеристиками // Известия АН Узбекской ССР. 1981. Ж. С. 8-11.

18. Абдиназаров С. Общие краевые задачи для уравнения третьего порядка с кратным,и характеристиками // Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17, №1. С. 3-12.

19. Гельфанд И. И. Некоторые вопросы анализа, и дифференциальных уравнений // УМН. 1959. Т. 14, №3(87). С. 3-19.

20. Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа. М.: Издательство АН СССР. 1959. 164 с.

21. Бицадзе A.B. К т,еори,и, одного класса, уравнений смешанного типа // Некоторые проблемы математики и механики. Л.: Наука. 1970. С. 112-119.

22. Репин O.A., Кумыкова С.К. Задача, со смещением, для, уравнения третьего порядка, с разрывным,и, коэффициентами // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физико-математические науки. 2012. №4 (29). С. 17-25.

23. Репин O.A., Кумыкова С.К. Нелокальная, задача, для, уравнения смешанного типа третьего порядка, с обобщенными операторам,и, дробного интегро-дифференцирования произвольного порядка, // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физико-математические науки. 2011. №4(25). С. 25-36.

24. Елеев В.А., Кумыкова С.К. Вн,ут,рен,н,екра,ева,я, задача, для, уравнения смешанного типа третьего порядка, с кратным,и, ха,ра,кт,ери,ст,и,ка,м,и, // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2010. №5. С. 5-14.

25. Балкизов Ж.А. Локальные и нелокальные краевые задачи, для, уравнения смешанного типа третьего порядка, с оператором Трикоми в гиперболической части // Вестник Самарского государственного технического университета. 2008. №2(17). С. 21-28.

26. Балкизов Ж.А. Краевые задачи, для, уравнения смешанного типа третьего порядка, с оператором Геллерстедта в гиперболической части // Известия Кабардино-Балкарского государственного университета. 2011. Т.1, №1. С. 21-33.

27. Балкизов Ж.А. Аналог задачи, Трикоми для уравнения параболо-гиперболического типа третьего порядка, с оператором Геллерстедта в области гиперболичности // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук. 2014. Т. 16, №2. С. 20-27.

28. Балкизов Ж.А. Нелокальная, краевая задача, для, модельного уравнения пара,боло-гиперболического типа третьего порядка, // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук. 2015. Т. 17, №4. С. 9-20.

29. Золина Л.А. О краевой задаче для модельного уравнения гиперболо-параболического типа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1966. Т. 6, №6. С. 991-1001.

30. Бжихатлов Х.Г., Нахушев A.M. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного пара,боло-гиперболического типа // Доклады Академии наук СССР. 1968. Т.183, №2. С. 261-264.

31. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка, и, некоторые их приложения. Минск: «Наука и техника». 1987. 588 с.

32. Алиханов A.A. Априорные оценки, решений краевых задач, для, уравнений дробного порядка, // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46, №5. С. 658-664.

33. Нахушев A.M. К теории линейных кра,евы,х задач, для, уравнения второго порядка, смешанного гиперболо-параболического типа // Дифференц. уравнения. 1978. Т.14, №1. С. 56-73.

34. Е.М. Wright The generalized Bessel function of order greater than one // Quart. J. Math. Oxford Ser. 1940. Vol. 11. P. 36-48.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

35. Иеху A.B. Начальная, задача, для, линейного обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка, 11 Математический сборник. 2011. Т.202, №4. С. 111-122.

Жираслан Анатольевич Балкизов,

Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, ул. Шортанова, 89-а, 360005, г. Нальчик, Россия E-mail: [email protected]

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.