Первая краевая задача для уравнения параболо-гиперболического типа третьего порядка с вырождением типа и порядка в области гиперболичности Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 9. № 2 (2017). С. 25-39.

ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С ВЫРОЖДЕНИЕМ ТИПА И ПОРЯДКА В ОБЛАСТИ ГИПЕРБОЛИЧНОСТИ

Ж.А. БАЛКИЗОВ

Аннотация. В работе исследован аналог задачи Трикоми для уравнения иараболо-гииерболического типа третьего порядка с кратными характеристиками, содержащего слагаемые с младшими производными. При определенных условиях на заданные функции и параметры, входящие в рассматриваемое уравнение, доказана теорема о существовании и единственности решения исследуемой задачи. Единственность решения задачи доказана с использованием обобщенного метода Трикоми, существование -методом интегральных уравнений.

Ключевые слова: Вырождающееся гиперболическое уравнение, уравнение с кратными характеристиками, уравнение параболо-гиперболического типа третьего порядка, первая краевая задача, аналог задачи Трикоми, метод Трикоми, интегральное уравнение Вольтерра второго рода, интегральное уравнение Фредгольма второго рода.

Mathematics Subject Classification: 35М12

1. Введение

На евклидовой плоскости независимых переменных х и у рассмотрим уравнение

Г (-у)т UXX — Uyy + а(—у)(т-2)/2их, у < 0,

0 \иххх -иу + ЕаДх, у) 0, у> 0,

k i=0

где аг(х, у), г = 0, 2 - заданные функции; а, т ~ заданные числа, причем т > 0, |а| < т/2; и = и(х, у) - искомая функция.

Через Ь обозначим область, ограниченную при у < 0 характеристиками АС : х — -^¡++2(—у)(т+2">/2 = 0 и СВ : х + (—у)(т+2">/2 = г уравнения (1.1), выходящими из точек А = (0, 0), В = (г, 0), пересекающимися в точке С = (г/2, ус), ус < 0, а также прямоугольником с вершинами в точках А, В, Ао = (0, h) и В0 = (г, h), h > 0, при у > 0; Ь = Ь П [у < 0} Ь = Ь П [у > 0} Ь = Ь U Ь U J где J = {(х, 0) : 0 < х < г} -А В = 0

Уравнение (1.1) при у < 0 совпадает с вырождающимся гиперболическим уравнением

(—у)т ихх — иуу + а (—у)(т-2)/2 их = 0, (1.2)

а при у > 0 является уравнением третьего порядка вида

_^ — ^и

иххх — иу ^2_^аг(х, у) —— = 0. (1.3)

г=0

Zh.A. Balkizov, Dirichlet boundary value problem for a third order parabolic-hyperbolic

equation with degenerating type and order in the hyperbolicity domain.

© Балкизов Ж.A. 2017.

Поступила 7 июля 2016 г.

Уравнение (1.2) является уравнением гиперболического типа с параболическим вырождением вдоль прямой у = 0, При т =2 уравнение (1.2) переходит в уравнение Бицадзе-Лыкова [1, с. 37], [2], [3, с. 234], а при а = 0 из уравнения (1.2) приходим к уравнению Геллерстедта, которое, как показано в монографии [4, с. 234], находит применение в задаче определения формы прорези плотины. Частным случаем уравнения (1.2) также является уравнение Трикоми, являющееся теоретической основой околозвуковой газовой динамики [5, с. 38], [6, с. 280]. Исследованию первой и второй задач Дарбу для уравнения (1.2) посвящены работы [7]-[8]. В работе [9] исследован критерий непрерывности решения задачи Гурса для вырождающегося гиперболического уравнения вида (1.2). Достаточно полная библиография по исследованию различных краевых задач для вырождающихся гиперболических уравнений имеется в монографиях [10] [13].

Уравнение (1.3), которое в [14, с. 132] названо уравнением третьего порядка с кратными характеристиками, относится к уравнениям параболического типа [3, с. 72]. Изучение краевых задач для уравнения вида (1.3) началось с результатов работы [15], где методами теории потенциалов и интегрального преобразования Лапласа была изучена краевая задача, которая в настоящее время называется задачей Каттабрига, С помощью фундаментальных решений уравнения (1.3), полученных в [15], в [14, с. 132] построена функция Грина задачи Каттабрига для уравнения (1.3) и получены оценки фундаментальных решений и их производных различных порядков. Также с помощью функции Грина в [14, с. 135] построено решение задачи Каттабрига для уравнения (1.3) в замкнутом виде. Исследованию различных локальных и нелокальных краевых задач для уравнения (1.3) посвящены работы [16-18].

Уравнение (1) относится к классу уравнений параболо-гиперболического типа третьего порядка с вырождением порядка вдоль линии у = 0 изменения типа. На необходимость рассмотрения задачи сопряжения уравнений параболического и гиперболического типов впервые было указано в работе [19]. К задаче сопряжения уравнений параболического и гиперболического типов приводит изучение электрических колебаний в проводах. Такого рода задачи встречаются также при изучении движения жидкости в канале, окруженной пористой средой, в теории распространения электромагнитных полей и в ряде других областей физики.

На важность исследования краевых задач для уравнений смешанного типа высших порядков было указано в работе [20, с. 117], а в работе [21] отмечено, что наличие вырождения порядка вдоль линии изменения типа вносит новый аспект в теорию уравнений смешанного типа. Об актуальности исследования корректных краевых задач для уравнений смешанного типа высшего порядка говорят и многочисленные публикации отечественных и зарубежных авторов по данному направлению. Так, для модельного уравнения параболо-гиперболического типа третьего порядка с оператором Геллерстедта в области гиперболичности в работе [22] исследована нелокальная внутреннекраевая задача со смещением с операторами Сайго в граничных условиях, а в работе [23] исследована аналогичная задача для уравнения вида (1.1) с коэффициентом а2(х,у) = 0. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа третьего порядка с различными вырождающимися операторами в области гиперболичности изучены в работах [24]—[28],

В связи с выше изложенным возникает необходимость поиска корректно поставленных краевых задач, сформулированных одновременно для вырождающихся гиперболических уравнений и уравнений высших порядков с кратными характеристиками. В данной работе исследован аналог задачи Трикоми для уравнения параболо-гиперболического типа третьего порядка с вырождением типа и порядка в области его гиперболичности. Среди ранних работ, тесно примыкающих по тематике к данной статье, особо отметим работы [29, 30], где на корректность исследованы задачи сопряжения модельных и общих уравнений параболического и гиперболического типов по временной переменной и изучены структурные и качественные свойства их решений.

2. Постановка задачи и основные результаты

Регулярным в области П решением уравнения (1.1) назовем функцию и = и(х,у) из класса и(х, у) е С(П) ПС^П) ПС2(П\) ПСХ(П2), их(х, 0),иу(х, 0) € ¿1(0, г), при подстановке которой уравнение (1.1) обращается в тождество. В работе исследуется следующая

Задача 1. Найти, регулярное в области П решение уравнения (1.1), удовлетворяющее условиям

и(0,у) = ^l(y), их(0,у) = ^2(y), и(г,у) = ^э (У), 0 < У<Ь (2.1)

и \св = ф(х), г/2 < ж < г, (2.2)

где (у),^2(у),^э(у) е С[0, Ы\, ф(х) е С 1[г/2,г] - заданные функции.

Основная цель настоящей работы - доказательство теорем о единственности и существовании регулярного решения задачи 1.

3. Теорема единственности

Обозначим

а

т — 2а 2(т + 2):

Р

т + 2а 2(т + 2):

71

2 Г(1 — р)Г(а + р)

Г(а)Г(1 — а — р) [2(1 — а — р)]

а+/3 '

Справедлива следующая

Теорема 3.1. Пусть относительно коэффициентов а,г(х,у), г = 0, 2 уравнения (1.1) выполнены следующие условия:

<ц(х,у) е & (П2) , г = 072; (3.1)

а2(х, 0) > 0, 0 < ж < г;

х

1-а-Р

а2 (х, 0) — а1(х, 0) + 2а0(х, 0)

<

71

Г(а + р)

а2(х, 0) +

а2 (х, 0) — а[(х, 0) + 2а0(х, 0) — ^, Ъ ^ ха+33-1

0 < х < г,

> 0, 0 < х < г.

(3.2)

(3.3)

(3.4)

Г(а + р) П

Доказательство. Для доказательства теоремы 3.1 введем обозначения

и(х, 0) = г(х), 0 < х < г, (3.5)

иу(х, 0) = V(х), 0 < х < г. (3.6)

Считая функции т(ж) и V(ж) заданными, запишем решение задачи Коши (3.5)-(3.6) для уравнения (1.2).

Пусть вначале \а\ < у. Решение задачи (3.5)-(3.6) для уравнения (1.2) в этом случае выписывается по формуле [10, с. 14]

1

и(х,у) =

1

В (а, р)

У

т

2

х +--(—у)(т+2)/2(21 — 1)

В (1 — а, 1 — р)

V

X +

т + 2 2

г3-1 (1 — г)а-1 (И+

т + 2

(—у){ш+2)/2(21 — 1)

га (1 — г)-3 йг,

(3.7)

2

1

где В(р, д) — интеграл Эйлера первого рода (бета-функция). Удовлетворяя (3,7) условию (2,2), находим

и(х, у) \св = [т[х + (г — х)(21 — 1)] (1 — 1)а-1 сИ—

В (а, р) ] о

1

(1 _ а _ р)а+/3-1 Г

(В— — ар) — р) (г — х)1-а-? ] и[х + (т — х)(2Ъ — 1)] Га (1 — ^ ¿1 = ф(х).

Произведя сначала замену переменной интегрирования 8 = 2х — г + 2 гЬ — 2хЪ, а затем поменяв в полученном равенстве 2х — г на х, последнее соотношение перепишется в следующем виде

т

(г — х)1-а-/з Г

{-Важ-1ттт -(Г' « -х)е-1а-

т

[2(1 — а — р т и{Мг — ()-е а _хГ*л = ^ ^

В(1 — а, 1 — Р) У V 2

(3.8)

а

сх 5

Воспользуемся далее следующим определением оператора дробного интегро-дифферен-цирования [3, с,28]: оператором дробного (в смысле Римана-Лиувилля) интегро-дифференцирования порядка \а\ с началом в точке с € [а,Ь] называется оператор Ц который действует на абсолютно интегрируемую функцию € Ь1 (а, Ь) по формуле:

х

ЦХФ) = 85Г(!а)^ / \х — 1\-{а+1) Ж) Я, а< 0,

г , + 1 г ,

Ва*Ф) = 85п[а+1(х — с)Оах-[а]-1ф), а > 0,

где символ й5п(г) определяется как знак числа г; Г(х)— интеграл Эйлера второго рода (Гамма-функция), Подробное исследование свойств оператора В<ах^>(1) приведены в монографиях [3], [4], [31].

С учетом приведенного определения оператора Вах соотношение (3,8) перепишется в следующей форме

Г(Р) ( г — х)1-а-?В-! [г(1)(г — 1)а-1 ] —

В(а, р)

Г(1—Т:,а—Т ц*'к-—(з'9)

1

Обращая уравнение (3,9) относительно функции V(х), находим

^ (ж) = 71 П1-а-33 т (*) — 72 (г — х)3 Б1-

Ф

)

(3.10)

ГТТР ^ = 2Г(1-3)

Д 12 Т(1-а-[3)[2(1 -а-ГЗ)]а+Р'

Так как т(х),ф(!1+2г) € С[0,г], а т'(х),ф'(е Ь1(0,г), то, пользуясь следующим свойством оператора дробного дифференцирования порядка 0 < а < 1 [31, с. 43]

Г(1 — а)

(Г — Х)-* — Я«-У (*)

(3.11)

выражение (3.10) можно переписать в следующей форме

и(х) = — 71 о-а+3)т'(г) + | (г — х)3 в—'ф' (^) .

(3.12)

Соотношение (3.12) есть основное фундаментальное соотношение между искомыми функциями т(х) и и(х), принесенное из области П1 на линию у = 0 в случае, когда \а\ < тт-

Если а = — т, то коэффициенты а = т+2> ¡3 = 0, и решение задачи (3.5)-(3.6) для уравнения (1.2) имеет вид [10, с. 15]:

u(x, у) = т

X +

2

т + 2

(— )(

т+2)/2

+

2

т + 2

2

ж +--(—у)(т+2)/2 (21 — 1)

т + 2

(1 — г)-ам.

(3.13)

Из представления (3.13) с учетом условия (2.2) приходим к фундаментальному соотношению между функциями т(х) ъ и(х) следующего вида

Ф) = — у

2В-хат'(1) — В-хаф>

' И

(3.14)

Если же а = Цт, т0 а = 0, ¡3 = т+2- Решение задачи (3.5)-(3.6) для уравнения (1.2) в этом случае имеет вид [10, с. 15]:

u(x, у)

2

х —

т + 2

(— )

(т+2)/2

+

2

т + 2

2

х —

т + 2

(—У)°

т+2)/2 (2, _

(2 — 1)

(1 — г)-3 ¿г.

(3.15)

Удовлетворяя (3.15) граничному условию (2.2) па характеристике С В, приходим к равенству

и(х) = (2 — 2(3)-3 (г — х)3 ф' ^ .

(3.16)

Перейдем к доказательству единственности решения задачи 1. Для однородной задачи, соответствующей задаче 1, рассмотрим интеграл

,]* = J т(х)и(х)с1х. 0

1

+

1

+

При ф(х) = 0 (т(г) = ф(г) = 0) из соотношений (3,12), (3,14), (3,16) для различных а

и(х) = — 71 т'(1) = 71 01-а-т(I), \а\ < (3.17)

и(х) = —ъО-хат'(1) = 71 ОТ;ат (I), а = — -; (3.18)

и(х) = 0, а = —. (3.19)

Воспользуемся следующим свойством оператора Оах(р(Ъ) дробного интегро-дифференцирования (в смысле Римана-Лиувилля)

Лемма 3.1. Для, любой абсолютно непрерывной на сегменте [0, г] функции р = <р(х), удовлетворяющей условию ц>(г) = 0 справедливо неравенство

р(х) Щхч>(г) > 2 ОахР2(1), 0 < а < 1. (3.20)

Доказательство. Действительно, если р(г) = 0, то из формулы (3.11) находим

т

ЦагЖ1) = —^/ , [ , *м.

ТхГК 7 Г(1 — а) У (г — х)а

Аналогично,

Цтхр (1) = — Т(Г—а)] (I — х)а Я.

Пользуясь приведенными равенствами, находим

т

— = щ-—а¡^И^Ш^ш

х

т / Ь \ т / т

1 т *м I1 *)Л 1Л = ^ т I Т РЩа1 л | л

Г(1 — а)] (г — х)а\]гк ' / Г(1 — а^Му {Ъ — х)а

1 ^ — х)а уЩа И А«1*

Г(1 — а) ^ ; (в — х)а \ У (г — х)

а

в

2п

1С, ^ д

2Г(1 — а^(8 х)а дз

( - х)а

сИ

¿8

а С ла-1 1С *(1)

(^ — х)а-1 I , \ (И 1 ¿в > 0,

2Т(1 — а) ^ ; \J (г — х)а

х \ .в

откуда вытекает неравенство (3.20). Лемма доказана.

□

Отметим, что доказанная лемма 3.1 является аналогом леммы 1, приведенной в работе [32].

При \а\ < у из (3-17) и (3.20) приходим к неравенству

т

3* = 71 у т(х)В^-3тЦ) (х > Г+3-1т2(1) (1. (3.21)

0 0 К аналогичному неравенству мы приходим и при а = — у (а = у+2, 3 = 0), а при а = у из равенства (3.19) получаем, что 3* = 0.

Переходя далее в уравнении (1.1) к пределу при у ^ +0, с учетом граничных условий

( х) ( х)

из параболической части П2 облает и П па линию у = 0:

и(х) = т"'(х) + а2(х, 0)г"(х) + а:(х, 0)г'(х) + а0(х, 0)г(х), 0 < х < г, (3.22)

т(0) = ^1 (0), т'(0) = р'(0), т(г) = рз(0). (3.23)

Лемма 3.2. Пусть выполнены условия (3.1). Тогда из (3.22)-(3.23) следует равенство

2 Г

3* = — — [ а2(х, 0)т'2(х)(х+

0

г

+ 2

' ' а2(х, 0) — а1 (х, 0) + 2а0(х, 0) т2(х)(х. (3.24)

0

Равенство (3.24), при однородных граничных условиях, соответствующих условиям (3.23) ( pj(0) = 0, ) = 1, 3), легко получается путем умножения обеих частей соотноше-

( х)

х 0

С учетом (3.24) неравенство (3.21) перепишется в следующей форме

г

т"(г) + 2 а2(х, 0)т/2(х)(х—

а'2(х, 0) — а[(х, 0) + 2а0(х, 0) — Ъ ха+-1

Г(а + 3)

т2(х)(х < 0. (3.25)

Легко заметить, что при выполнении условий (3.2)-(3.4) теоремы 3.1 на коэффициенты аг(х, у), г = 0, 2 уравнения (1.1) неравенство (3.25) может иметь место в том и только в том случае, когда т(х) = 0. Тогда из соотношений (3.17), (3.18), (3.19) находим, что и и(х) = 0 для всех |а| < у. При этом из формул (3.7), (3.13), (3.15) сразу следует, что и(х, у) = 0 в П1.

Покажем далее, что и задача нахождения регулярного в области П2 решения уравнения (1.3), удовлетворяющего однородным граничным условиям, соответствующим условиям

и ( х, 0) = 0

может иметь решений, отличных от тривиального. Действительно, допустим, что однородная задача

_^ ^ ги

иххх — иу + а^(х, у) — = 0, (х, у) е П', (3.26)

г=0

и (0, у) = 0, их (0, у) = 0, и (г, у) = 0, 0 <у < к, (3.27)

и (х, 0) = 0, 0 <х <г (3.28)

г

г

г

имеет нетривиальное решение и = и (х, у) = 0, Следуя работам [16], [33], положим в уравнении (3,26)

и (х, у) = V (х, у) ехр (ц'х + /2у). (3,29)

При этом относительно функции V = V (х, у) получаем уравнение

Ъ^и^ = Vххх — Vy + [3/11 + а2(х, у)] Vхх+ + [3$ + 2/1 а2(х, у) + а'(х, у)]

+ [/3 + / а2(х, у) + /' а'(х, у) + ао(х, у) — = 0, (3,30)

с начальным и краевыми условиями

V (х, 0) = 0, 0 < х <г (3.31)

V (0, у) = 0, Vх (0, у) = 0, V (г, у) = 0, 0 <у < К. (3.32)

и ( х, )

(3.26)-(3.28), то как следует из (3.29), задача (3.30)-(3.32) тоже будет иметь ненулевое решение V = V (х, у) = 0.

Введем далее вспомогательную область 0,2е.; определенную неравенствами ^2£ = {(х, у) : £ < х < г — £, £ < у < К — £, £ > 0}. В области 0>2е справедливо тождество

= ! 2 V с1П2е =

= I {.дх \-2VVxx — Vх + 2 (3/1 + а2(х, y))vVх +

д ]

+ (3//\ + 2/1 а2(х, у) — а2х(х, у) + а'(х, у)) V2] — — [у2]) (Ю,2е+ + / [2/1 + 2/'а2(х, у) + 2/' а' (х, у) + а2**(х, у) — а'*(х, у) +

+ 2а0(х, у) — 2/2] V д,0,2е — 2J [3/' + а2(х, у)]ухд10:2е = 0. (3.33)

Применяя к равенству (3.33) формулу Грина, получим

2 (у,Ьри^2У)0 = ! У2йх + \2vvxx — V* + 2(3/1 + а2(х, у))УУ* +

Г2£

,2

+ (3 / + 2/'а2(х, у) — а2х(х, у) + а'(х, у)) V2] йу+

+ J [2/1 + 2/\а2(х, у) + 2/1а'(х, у) + а2**(х, у) — а'*(х, у) +

П2£

+ 2 а0(х, у) — 2/2]у2сЮ,2е — 2 ! [3/' + а2(х, у)]уХ;<Ш2е = 0, (3.34)

где Г2е - это граница вспомогательной области 0,2е. Переходя в равенстве (3.34) к пределу при £ ^ 0 с учетом однородных начально-краевых условий (3.31)—(3.32), приходим к равенству

v2x( г, y)dy + v2(x,h) dx + 2 / [3 yi + a2(x, у)} v2xdVt 2 —

-J [2^1 + 2^a2(x, y) - 2^1 (a2x (x, y) - ai(x, y)) +

П2

+ a2xx(x, y) - aix(x, y) + 2 ao(x, y) - 2^} v2 Ш2 = 0. (3.35)

С учетом условий (3.1) выберем значения параметров и у2 в равенстве (3.35) так, чтобы

уi > - max (|a2(x, у)\), 3 (x,y)en2

У2 > 1 max [2^1 + 2^2 | a2(x, у)| +

2 (x,y)&^,2

+ 2yi (|a2x(x, у)1 + |ai(x, у)|) + |a2xx(x, у)| + |aix(x, у)| + 2|ao(x, у)|]. Легко заметить, что при таком выборе параметров ^ и у2 равенство (3.35) может иметь место в том и только в том случае, когда v (x, у) = 0 в каждой точке замыкания П2, что

v ( x, ) = 0

вает, что и (x, у) = 0 всюду в П2. То есть при условиях (3.1) - (3.4) решение задачи 1 для

уравнения (1.1) единственно в требуемом классе. Теорема доказана. " " □

4. Теорема о существовании решения задачи 1

Теорема 4.1. При условиях (3.1)-(3.4) решение задачи 1 существует.

Доказательство. Действительно, из полученных выше фундаментальных соотношений

( x) ( x)

пий

Kx) = Ъ/01г-{а+)T(t) -ъ (Г - x)13 Dl-y () , u(x) = г (x) + a2(x, 0)r (x) + a1(x, 0)r (x) + a0(x, 0)r(x),

откуда относительно функции r(x) приходим к задаче нахождения регулярного решения уравнения

т (x) + a2(x, 0)r (x) + a1(x, 0)т (x)-

'r + f

ч У

удовлетворяющего условиям (3.23).

Решение задачи (3.23) для уравнения (4.2) эквивалентно решению интегрального уравнения

( г

1

!

-7i Dl-a~3T(t) + ao(x, 0)r(x) = -72 (г - x)3 D^ (Г-+ ) , (4.2)

r(x) = { 2 / К (x, t)r(t)dt - 2 (r-x) [r + x + rxa2(0, 0)}^i (0) -

-2rx (r - x)ip2(0) - 2x2 ^3(0) + x2 J (r - t)2f (t)dt-

x

x Л

- ( - x) ( + x - 2 x) ( ) , o

h

где

,_Лг-x)[(r + x)L(0, t) + rxLx(0, t)] - r2L(x, t), 0 <x<t, (X, ) = - x)[(r + x)L(0, t) + rxLx(0, t)], t < x < r,

L(x, t) = a2{t, 0) + (t -x) 2a2(t, 0) - a(t, 0)

+

+ (t - x)2

a2 (t, 0) -a[(t, 0) + ao(t, 0)1 - r( + 2) (t - x)a^+2.

J l(a + l + 2)

На основании свойств (3,1) заданных коэффициентов ai(x, у), г = 0, 2 уравнения (1.1), а также свойств заданных функций <pi(у), р2(у), P3(y),^(x) заключаем, что уравнение (4,3) есть интегральное уравнение Фредгольма второго рода с ядром К(x, t) G L2([0, г] x [0, г]) и с правой частью из класса Сl[0, г]. Однозначная и безусловная разрешимость уравнения (4,3) вытекает из единственности решения задачи 1. Решение т = r(x) уравнения (4,3), согласно общей теории интегральных уравнений Фредгольма, выписывается с помощью резольвенты R(x, t) ядра К(x, t), причем резольвента R(x, t), так ж как и ядро К(x, t), будет принадлежать классу L2([0, г] x [0, г]), Решение т = r(x) уравнения (4,3), в силу того что правая часть уравнения (4,3) принадлежит Сl[0, г].; будет принадлежать классу t(x) G С[0, г] U С3]0, г[. По найденному значению r(x) можно найти и функцию u(x) из фундаментальных соотношений (3,12), (3,14), (3,16), (3,22),

Когда коэффициенты ai(x, 0), г = 0, 2 уравнения (4,2) являются постоянными действительными числами, решение задачи (3,23), (4,2), а, значит, и решение интегрального уравнения (4,3) выписывается в явном виде.

Действительно, найдем решение задачи (3,23) для уравнения (4,2) в случае, когда ai(x, 0) = ai = const, i = 0, 2. С этой целью, заменим в уравнении (4,2) переменную x - x ( - x)

"' / \ " / \ ' / \ -т (г - x) + a2r (г - x) - air (г - x)-

-Ъ Dl-^r (г - t) + aor (r -x) = -Ъ x* ) , (4.4)

т(г -х) \х=г (0), т (г -х) \х=г = -<р2(0), т(г -х) |л=0 =рэ(0). (4.5)

Обозначив т(г — х) = д(х), относительно д(х) из (4.4) приходим к уравнению

д"(х) - а2д"(х) + а^д'(х) + 71 о10ха~^д(г) - аод(х) = f(х), (4.6)

где ¡(х) = 72 х13 О^ф (2г2~) ■

Применяя оператор О-х к обеим частям уравнения (4.6), приходим к эквивалентному уравнению (4.6) интегральному уравнению

g(x) -

a2 - ai(x - t) + — (x - t)2 ---^--(x - t)a+?+l

2 u ; 2 v J T(a + l + 2)y J

( )

X

= слх2 + С2х + с3 + 1 J (х - Ъ)2!(Ь)М, (4.7)

0

где с1, с2, с3- пока неизвестные постоянные.

Уравнение (4.7) относится к классу интегральных уравнений Вольтерра второго рода типа свертки. Используя определение свертки двух функций, уравнение (4.7) перепишем в следующем виде

д(х) - а.2(1 * д(х)) + а,1(х * д(х)) - ^(х2 * д(х)) + ^^^^(ха+^+1 * д(х)) =

2 1(а + р + 2)

= ? (х2 * ¡(х)) + С1х2 + С2х + Сз, (4.8)

X

где д1(х) * д2(х) = /д\(х — ¿)д2(Ь)(И = / д^)д2(х — Ь)(И— свертка функций д1(х) и д2(х). о о

Пусть С(р) и Р(р) в уравнении (4,8) являются изображениями функций д(х) и ¡(х).; соответственно, то есть

д(х) = С(р), /(х) = Р(р).

Тогда, применяя к уравнению (4,8) преобразование Лапласа, используя свойство линейности и теорему умножения, придем к следующему уравнению относительно С(р)

С(р)

откуда

а,2 а,1 ао 71

1---1--о--5" +

Р р2 р3 ра+3+2

Р (Р) + 2 С1 + С^ + С3

3 3 2

п( \ Р (Р) + 2 С1 + С2Р + сзр2 ( , С(Р) = --, ^

где А(р) = 1 — а2р 1 + а^р 2 + 71р а 3 2 — аор 3,

те

/е ~А(р)Чз 1

А( ) о

С учетом этого, равенство (4,9) перепишется в следующей форме

те

С(р) = у е"А(р)5 [Р(р)р"3 + 2С1р"3 + С2Р~2 + сзр"1]^. (4.10)

о

Найдем теперь обратное преобразование Лапласа. Прежде всего заметим, что -/3 те „

р-ц 1ф((],^; гх3), где ф(£, г/; г) = ^ п— функция Райта [34].

п=0

Пользуясь формулой д-\_(р)д2(р) ц <л(х) * д2(х), из (4.10) находим

д(х) = у е"в{/(х) * [х" 1/4ф(1, 3/4; а2хв)] * [х~ 1/4ф(2, 3/4; — а^2в)] * о

* [х~ 1/4ф(а + 3 + 2, 3/4; —1хха+3+2 в)] * [х~ 1/4ф(3, 3/4; аох3 в)]} ¿8+

те

+2 сл ! е ~3{[х- 1/4ф(1, 3/4; а2хв)] * [х~ 1/4ф(2, 3/4; — а1 х2 в)] * о

* [х~ 1/4ф(а + 3 + 2, 3/4; —1хха+3+2 в)] * [х~ 1/4ф(3, 3/4; аох3 в)]} ¿8+

те

+С2 ! е~3 {[х~ 1/2ф(1,1/2; а2хв)] * [х~ 1/2ф(2,1/2; —ахх2в)] * о

* [х~ 1/2ф(а + 3 + 2,1/2; —1гха+3+2в)] * [х~ 1/2ф(3,1/2; аох3в)]} ¿8+

те

+ 3 х - 3/4ф(1,1/4; а2х8)] * [ х 3/4 ф(2, 1/4; — а1 х2 ) *

о

* [х~3/4 ф(а + 3 + 2,1/4; — 71 ха+3+2 в)] * [х~ 3/4ф(3,1 /4; аох3 в)]} (18. (4.11) Воспользуемся следующими обозначениями [35]:

(х; г1,..., хт; З1 ,...,Рт) = Мх) * h2 (х) * ... * кт(х)

X

—а i

откуда

1, Ат; $11 Рт) I 6 (х; А1 S, ..., Хт в; $1, ...,рт)(8,

0

__т

где Ь,к(х) = х^к—1ф (рк, ¡к; х^к) , к=1,т; ¡1 = ^ ¡к.

к=1

В терминах приведенных выше обозначений представление (4,11) перепишется в следующей форме

(

д(х) = ! е[/(х) * Б3(х; а2в, -а1 в, -гу1 в, а0в; 1, 2, а + Р + 2, 3)] (в+ 0

(

+2с^ ! е—3Б3(х; а2в, -^в, -гу1 в, а0в; 1, 2, а + Р + 2, 3)(з+

0

(

+с2 ! е—38'2(х; а2в, -^в, ,а0в; 1, 2, а + Р + 2, 3)(з+ 0

(

+с3 J е—^(х; а2в, -^в, -гу1 в, а0в; 1, 2, а + Р + 2, 3)(з, 0

д(х) = 2 ^ С'3(х; а2, -а1, 1, а0; 1, 2, а + Р + 2, 3) + + С2 С(х; а,2, - а,1, - 71, а,0; 1, 2, а + Р + 2, 3) + +с3 С\(х; а.2, -аъ а0; 1, 2, а + Р + 2, 3) +

X

+ ! ¡(¿) &1(х - Ц 02, -а1, -Ъ, сю; 1, 2, а + Р + 2, 3) 0

Таким образом,

х

т(г - х) = 2 сл С1(х; а; Ь) + с2 С24(х; а; Ь) + с3 С\(х; а; Ь) + J К^) С\(х - Ц а; Ь) (И,

0

где а = (а2, - а]_, -гу1, а0), Ь = (1, 2, а + Р + 2, 3).

Переобозначив в последнем равенстве г - х через х, и, выполнив затем подстановку = -

т(х) = 2 ^С^г - х; а; Ь) + с2 С\(г - х; а; Ь) +

г

+Сз С\(г -х; а; Ь) + J ¡(г - в) СКв - х; а; Ь) (в. (4.12)

X

Функция а^п(х) обладает свойствами [35]:

О0)хС^; а; Ь) = С^(I; а; Ь), ¡> и; (4.13)

г^—1

Ст(х; а; Ь) = — + £ АО^С^Р; а; Ь). (4.14)

г=1

Пользуясь свойствами (4.13)-(4.14) функции С^(х; а; Ъ), из представления (4,12) находим

т (х) = — с3 \а2С14(г — х; а; Ъ) — а1С24(г — х; а; Ъ) — — 71С<а+3+'2(г — х; а; Ъ) + аоС4(г — х; а; Ъ)

— 2с1С24(г — х; а; Ъ) — с2С\(г — х; а; Ъ) — /(г — в) — х; а; Ъ) ¿8.

(4.15)

1, 2, 3

нему из условий (3.23), сразу находим:

г (г) = Сз = <£з(0).

Удовлетворяя далее (4.12) первым двум условиям (3.23), приходим к следующей системе линейных алгебраических уравнений:

Г2С1 С3(г; а; Ъ) + ^(г; а; Ъ) =

= <р1 (0) — ^з(0) С4(г; а; Ъ) — / /(г — в) С4(^; а; Ъ)^,

о

2 С1 С4(г; а; Ъ) + С2 С\(г; а; Ъ) = ^(0) — ^з(0) ^(г; а; Ъ) — —а^Кг; а; Ъ) — 71^а4+3+2(г; а; Ъ) + аоС^г; а; Ъ)

— / Кг — 5 а; Ъ) ¿в.

о

Решая систему (4.16), находим

1

А1

А

2=

А2

А ,

где

А=2

С4(г; а; Ъ) С34(г; а; Ъ) — (С4(г; а; Ъ))

(4.16)

(4.17)

А1 = у ¡(г — 8 ) [С4(г; а; Ъ)С4( 8; а; Ъ) — а; Ъ)С3(з; а; Ъ)]^+ о

+С4(г; а; Ъ) [^(0) — ^з(0) С4(г; а; Ъ)] — С24(т; а; Ъ)-^(0) — ^з(0) (а2С4(г; а; Ъ) — а^(г; а; Ъ) — ЪСа+3+2(г; а; Ъ) + аоС34(т; а; Ъ))

г

А2 = 2 [ ¡(г — 8 ) [вКз; а; Ъ)С4( 8; а; Ъ) — С3(з; а; Ъ)С4(^; а; Ъ)]^—

— 2С2(г; а; Ъ) [^(0) — ^з(0)С4(г; а; Ъ)] + 2С4(г; а; Ъ)-^2(0) — ^з(0) (а2С4(г; а; Ъ) — а^(г; а; Ъ) — ЪСа+3+2(г; а; Ъ) + аоС34(г; а; Ъ)

Из доказанной выше теоремы единственности решения задачи 1 следует, что определитель А = 2 С4(г; а; Ъ) С34(г; а; Ъ) — (С4(г; а; Ъ))2 системы (4.16) будет отличен от нуля,

а, следовательно, формула (4.12), где постоянные ^, с2 вычисляются по формулам (4.17), с3 = <^3(0), дает представление единственного решения задачи (3.23) для уравнения (4.2) при постоянных коэффицентах ао, а1, а2 уравнения (4.2) и —т/2 < а < т/2.

Если а = т/2, то при постоянных коэффицентах ао, а1, а2 из соотношений (3.16) и

= ( х)

т'"(х) + а2т"(х) + а1 т'(х) + аот(х) = (2 — 2/3)-3 (г — х)3 ф'^^^

(4.18)

г

2

г

r(0) = Vi(0), т'(0) = ^(0), r(r) = Vn(0). (4.19)

Решение задачи (4.18), (4.19) выписывается в явном виде по формуле

г

x2

t(x) = G(x, t)F(t)dt + — Ы0) — т<^2(0) — pi(0)] + <^(0)x + pi(0),

где

F(x) = (2 — 2ß)-ß (г — x)ß — а0^1 (0) — Кx + а1) p2(0) —

2

Р1(0) — r^2 (0) — Pi(0)

(2 а2 + 2 аlx + а0 )

С(х, ¿) — функция Грина задачи (4.18), (4.19), построенная в работе [25].

После того как функции т = т(х) и V = и(х) найдены, решение задачи 1 в области П1 определяется как решение задачи Коши (3.5)-(3.6) для уравнения (1.2) и выписывается по одной из формул: (3.7), (3.13) или (3.15), а в области Q2 приходим к задаче нахождения регулярного решения уравнения (1.3), удовлетворяющего условиям (2.1) и и(х, 0) = т(х), которая исследована в работах [14, с. 132], [15].

□

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа. М.: Издательство АН СССР. 1949. 155 с.

2. Лыков A.B. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло и массообмена // Инженерно-физический журнал. 1955. Т. 9, №3. С. 287-304.

3. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа. 301 с.

4. Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит. 2003. 272 с.

5. Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: Иностранная литература. 1951. 208 с.

6. Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука. 1973. 711 с.

7. Кальменов Т.Ш. Критерий единственности решения задачи Дарбу для, одного вырождающегося, гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1971. Т. 7, №1. С. 178-181.

8. Кальменов Т.Ш. О задаче Дарбу для, одного вырождающегося гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1974. Т.10, №1. С. 59-68.

9. Кальменов Т.Ш. Критерий непрерывности решения задачи Гурса для одного вырождающегося, гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8, №1. С. 41-55.

10. Смирнов М.М. Вырождающиеся, гиперболические уравнения. Минск: Вышэйшая школа. 1977. 150 с.

11. Репин O.A. Краевые задачи со смещением, для, уравнений гиперболического и смешанного типов. Саратов: издательство Саратовского университета. 1992. 161 с.

12. Нахушев A.M. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука. 2006. 287 с.

13. Кальменов Т.Ш. К теории начально-краевых задач, для, дифференциальных уравнений. Цикл научных работ Т.Ш. Кальменова. Алматы: Институт математики и математического моделирования. 2013. 306 с.

14. Джураев Т. Д. Краевые задачи для, уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: ФАН. 1979. 238 с.

15. L. Cattabriga Un Problema al contorno per una equazione parabólica di ordine dispari // Annali délia Scuola Normale Superiore di Pisa. 1959. V.13, №2. P. 163-203.

16. Иргашев Ю. Некоторые краевые задачи для, уравнений третьего порядка, с кратными характеристиками ¡I Сборник научных трудов «Краевые задачи для дифференциальных уравнений и их приложения». Ташкент: ФАН. 1976. С. 17-31.

17. Джураев Т. Д., Абдиназаров С. Краевые задачи типа задачи Бицадзе-С амурского для, уравнений третьего порядка, с кратным,и характеристиками // Известия АН Узбекской ССР. 1981. Ж. С. 8-11.

18. Абдиназаров С. Общие краевые задачи для уравнения третьего порядка с кратным,и характеристиками // Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17, №1. С. 3-12.

19. Гельфанд И. И. Некоторые вопросы анализа, и дифференциальных уравнений // УМН. 1959. Т. 14, №3(87). С. 3-19.

20. Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа. М.: Издательство АН СССР. 1959. 164 с.

21. Бицадзе A.B. К т,еори,и, одного класса, уравнений смешанного типа // Некоторые проблемы математики и механики. Л.: Наука. 1970. С. 112-119.

22. Репин O.A., Кумыкова С.К. Задача, со смещением, для, уравнения третьего порядка, с разрывным,и, коэффициентами // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физико-математические науки. 2012. №4 (29). С. 17-25.

23. Репин O.A., Кумыкова С.К. Нелокальная, задача, для, уравнения смешанного типа третьего порядка, с обобщенными операторам,и, дробного интегро-дифференцирования произвольного порядка, // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физико-математические науки. 2011. №4(25). С. 25-36.

24. Елеев В.А., Кумыкова С.К. Вн,ут,рен,н,екра,ева,я, задача, для, уравнения смешанного типа третьего порядка, с кратным,и, ха,ра,кт,ери,ст,и,ка,м,и, // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2010. №5. С. 5-14.

25. Балкизов Ж.А. Локальные и нелокальные краевые задачи, для, уравнения смешанного типа третьего порядка, с оператором Трикоми в гиперболической части // Вестник Самарского государственного технического университета. 2008. №2(17). С. 21-28.

26. Балкизов Ж.А. Краевые задачи, для, уравнения смешанного типа третьего порядка, с оператором Геллерстедта в гиперболической части // Известия Кабардино-Балкарского государственного университета. 2011. Т.1, №1. С. 21-33.

27. Балкизов Ж.А. Аналог задачи, Трикоми для уравнения параболо-гиперболического типа третьего порядка, с оператором Геллерстедта в области гиперболичности // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук. 2014. Т. 16, №2. С. 20-27.

28. Балкизов Ж.А. Нелокальная, краевая задача, для, модельного уравнения пара,боло-гиперболического типа третьего порядка, // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук. 2015. Т. 17, №4. С. 9-20.

29. Золина Л.А. О краевой задаче для модельного уравнения гиперболо-параболического типа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1966. Т. 6, №6. С. 991-1001.

30. Бжихатлов Х.Г., Нахушев A.M. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного пара,боло-гиперболического типа // Доклады Академии наук СССР. 1968. Т.183, №2. С. 261-264.

31. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка, и, некоторые их приложения. Минск: «Наука и техника». 1987. 588 с.

32. Алиханов A.A. Априорные оценки, решений краевых задач, для, уравнений дробного порядка, // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46, №5. С. 658-664.

33. Нахушев A.M. К теории линейных кра,евы,х задач, для, уравнения второго порядка, смешанного гиперболо-параболического типа // Дифференц. уравнения. 1978. Т.14, №1. С. 56-73.

34. Е.М. Wright The generalized Bessel function of order greater than one // Quart. J. Math. Oxford Ser. 1940. Vol. 11. P. 36-48.

35. Иеху A.B. Начальная, задача, для, линейного обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка, 11 Математический сборник. 2011. Т.202, №4. С. 111-122.

Жираслан Анатольевич Балкизов,

Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, ул. Шортанова, 89-а, 360005, г. Нальчик, Россия E-mail: [email protected]