Задача Трикоми для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения третьего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 3(23). C. 67-75. ISSN 2079-6641

DOI: 10.18454/2079-6641-2018-23-3-67-75

УДК 517.95

ЗАДАЧА ТРИКОМИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ВНУТРИ ОБЛАСТИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Р. Х. Макаова

Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, 360000, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89А E-mail: [email protected]

В работе исследуется задача Трикоми для гиперболического уравнения третьего порядка с вырождением порядка внутри смешанной области. Доказана теорема существования и единственности регулярного решения.

Ключевые слова: вырождающееся гиперболическое уравнение, уравнение Аллера, задача Трикоми, оператор дробного интегро-дифференцирования.

© Макаова Р.Х., 2018

MSC 35L25, 35L80

THE TRICOMI PROBLEM FOR A THIRD ORDER HYPERBOLIC EQUATION DEGENERATING INSIDE THE DOMAIN

R. Kh. Makaova

Institute of Applied Mathematics and Automation, 89А Shortanova St., Nalchik, 360000, Russia E-mail: [email protected]

In this paper, we study the Tricomi problem for a third-order hyperbolic equation with degeneracy of order inside a mixed domain. The existence and uniqueness theorem for a regular solution is proved.

Key words: degenerate hyperbolic equation, Hallaire equation, Tricomi problem, fractional integro-differentiation operator.

© Makaova R. Kh., 2018

Введение

В евклидовой плоскости точек (x,y) рассмотрим уравнение вида

0

Uy - auxx - buxxy, y > 0,

(1)

(-y)mUxx - Uyy - c( y) V Ux, У < 0,

где a, b, m - заданные положительные числа; |c| < m/2; u = u(x,y) - искомая действительная функция независимых переменных x и y.

Уравнение (1) при y > 0 совпадает с уравнением Аллера [1]:

Уравнение (2) так же называют модифицированным уравнением диффузии и относится к уравнениям псевдопараболического типа [3], [4, с. 137]. Известно [5], что при определенных допущениях уравнение (2) описывает движение почвенной влаги и его решение интерпретируется как влажность почвы с коэффициентом диффузии а и коэффициентом влагопроводности Ь в точке х почвенного слоя 0 < х < г в момент времени у е [0, Г]. Решению различных локальных, нелокальных и смешанных краевых задач для псевдопараболических уравнений третьего порядка, в частности, и для уравнения Аллера посвящены работы [6] - [11].

Уравнение (3) является уравнением гиперболического типа с параболическим вырождением вдоль прямой у = 0 и при т = 2 его называют уравнением Бицадзе - Лыкова [12, с. 234]. При с = 0 уравнение (3) переходит в уравнение Геллерстедта, которое, как отмечено в работе [13, с. 236], находит применение при отыскании оптимальной формы плотины прорези. В работах [14, 15] были изучены первая и вторая задачи Дарбу для уравнения (3), а в работах [16, 17] в явном виде выписаны решения первой краевой задачи и задачи Гурса соответственно. Достаточно полная библиография по исследованию различных краевых задач для вырождающихся гиперболических уравнений имеются в монографиях [2, 18, 19].

Для гиперболического уравнения вида (1) автором были исследованы краевые задачи, для которых доказаны теоремы существования и единственности [20, 21].

Постановка задачи и полученные результаты

Пусть О+ = {(х, у) :0 < х < г, 0 < у < Г}. Через О. обозначим область, ограниченную характеристиками уравнения (3):

(2)

а при y < 0 - с вырождающимся гиперболическим уравнением [2, с. 13]:

(-y)mUxx - Uyy - c( y) 2 Ux = 0.

m-2

(3)

2 , . -+2 АоС : х -—— (-у) -+- = 0, — + 2

2 . . —+2 АгС : х + —-г(-у) 2 = г, — + 2

выходящими из точек Ао = (0,0), Аг = (г, 0) и пересекающимися в точке С =

(г/2, - [(— + 2)г/4]2/(—+2)) и А0Аг = {(х, 0) : 0 < х < г}. Пусть В0 = (0,Г), Вг = (г,Г) и А0В0 = {(0,у): 0 < у < Г }, АгВг = {(г,у): 0 < у < Г }; а = а+ и а-и (А0 Аг).

Регулярным в области а решением уравнения (1) назовем функцию и = и(х, у) такую, что и е С (а) ПС1 (а) ПС2(а-) и ихху е С(а+), удовлетворяющую уравнению (1).

Исследуется следующая

Задача. Найти регулярное в области а решение уравнения (1) из класса их(х, 0), иу(х, 0) е С[0, г] и удовлетворяющее следующим условиям:

и(0,у)= и(г,у) = 0, 0 < у < Г,

(4)

где h(x) g C3[0, r]. Положим

u|a0c = h(x), 0 < x < r,

w(x,0) = ç(x), 0 < x < r,

(5)

(6)

иу(х, 0) = у(х), 0 < х < г. (7)

Из (2), переходя к пределу при у ^ +0 с учетом (6) и (7), находим функциональное соотношение между функциями ф(х) и у(х) принесенное из области а+ на линию у = 0 в виде

у(х) - аф"(х) - Ьу"(х) = 0, 0 < х < г. Решение задачи Коши (6), (7) для уравнения (3) имеет вид [2, ^ 14]:

(8)

w(x, y) =

1

B(a, ß )

ç

2 _m+2 .

x+m+2 (-y) ^(2t -1)

tß-1(1 -t )a-1dt+

a— 1,

B(1 - a, 1 - ß)

¥

2 . m+2 .

x+m+2 (-y) ^(2t -1)

t-a(1 -1)-edt, |c| < m

(9)

w(x, y) = ç

2 . . m+2

x+ —x(-y) 2 m + 2

+

2y

m + 2

¥

x+

2 m+ 2

(-y) m+ (2t - 1)

m + 2

(1 -1)-e dt,

m

C = 2 ,

(10)

1

1

y

+

1

w(x, y) = ф

x —

m + 2

m+2 (-y) 2

+

2y

m + 2

¥

x (-y) m+2 (1 - 2t)

m + 2

m

(1 - t) m+2 dt, С = - —

(11)

а =

m — 2c

в =

m + 2c

2(т + 2)' 2(т + 2)'

где В(г1,г2) - бета функция.

Учитывая условие (5), перепишем (9)-(11) следующим образом:

'X ) = x1-«-в Г(а) D-a 2) = В(а, в) Dox

4в-1ф (4)

Г(1 - в)

B(1 - а, 1 - в)\ 4

m + 2\m+2 ^в-1

m

0x

[4->(4^ , |c|

*( X

= Ф (x) -

Г(1 - в) m + 2

~4~

в

в 1 m

h (2) = Ф(0) - 1 (^)-аDo-1 [4-а¥(4)], c = -m

(12)

(13)

(14)

Здесь - оператор дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана -Лиувилля по переменной х порядка у с началом в точке 0 и с концом в точке х, определяемый следующим образом [13, с. 9]:

D0xv(4) =

1

v(4 )d4

Г(-у)У |x- 4Г1'

Y < 0;

d n

DoxV(4 ) = ^Do0-nv(4), n - 1 < Y < n, n = 1,2,...;

D0xV(4 )= v(x), Y = 0,

Г(г) - гамма функция Эйлера.

Для любой функции v(x) G L1[0, r] справедливы следующие свойства дробного интегро-дифференцирования с одинаковыми началами [13, с. 11, с. 18]:

D«^v(s) = D^v(4), 0 < а < в;

D«x 4а+вDв4v(s)= xвD««^4аv(4), в < 0, 0 < а < 1,

с учетом которых, из (12)-( 14) находим функциональное соотношение между функциями ф(x) и ¥(x) принесенное из области О- на линию y = 0:

Ф (x) = -1 d0

^-^н ^^d«x4а+в|), |с| < m,

(15)

2

1

x

Ф(х)= csD^-V^Hkg) , c = m, (16)

Ф(0) = C4D-1 § -«y(É) + кГ- , c = —, (17)

^-«y (é )+к{ X), c=- m

2

_fm+2\m+2 Г(2 - a - в ) _ Г(о + ß ) C1 VГ(1 - a) , C2 " "T^T,

es = 1 m-ßr(i-ß), c4 = 1 ^m+24-a

2\ 4 ) 4 " 2\ 4

Из (8) и соотношений (15)-(17), исключая функцию ф(x), относительно функции у(x) получим следующие равенства

v"(x) + g +V (S ) - 1У (x) = fa (x), |c| < m, (18)

y"(x) + g D;+ßy (É ) - b y (x) = fo(x), c = m,

(19)

y(x) = -2c4n2), c = - 2, (20)

xa lf /x\ m

где

fa (x) = - ¿x1-ß D0«Éa+ß-1к ( § )

Заметим, что (19) получается из (18) при а = 0, поэтому найдем решение уравнения (18). Воспользовавшись результатами приведенными в работе [22], решение уравнения (18) запишем в виде:

y (x) = J fa (t )G2Î x -1 ; - g, 1;1 - a - ß, 2j dt+

o

+aiG2("x; - g, 1;1 - a - ß, 2) + ^ (x; - g, - a - ß, ^ , (21)

где

Здесь

lim

x-» o

y7 (x)+^ D0ax+ßy (é )

= a1, lim y (x) = a2.

x-» o

где

bc2

СЮ

G^(x; Ai,..., A„; yb..., y„) = J (x; Aii,..., V ; yb..., y„)di,

o

S^(x;A1Î,...,V;71,...,y„) = (к1 *к2*... *hn)(x),

x

(Ф * y)(x) =J ф(x- É)y(É)dÉ

0

x

- свертка Лапласа функций ф(x) и ¥(x),

п

й,- = й,-(х) = хкг-1ф(7,к,-; ), г = М; к = £к,-, у > 0, к,- > 0,

г=1

ф(у,к;г) = £ .--т - есть функция Райта.

7=0 7!Г( Л + к)

Из (21), с учетом условия согласования ¥(0) = 0 и второго условия из (4), получаем, что а2 = 0, а значение а1 однозначно можно найти следующим образом

г

а1 =--7--1-г ]/а(гГ-?;-аС1,т;1 - а-в,^ Ж,

^2 (г;-ЬС1,Ь;1 - а-в,2Н V Ьс2 Ь У

если выполнено условие

ac1 1

G2( r;-^,b;1 -а-в,2) = 0. (22)

Тогда решения (18) и (19) запишутся соответственно в виде:

x

2 I ac1 1

¥ (x) = J /а (t )G2( x -1; - bc1, b ;1 -а- в, 2 ) dt -0

G (x;-&,b;1 -а-в,^ r 0( ac1 1 ) m

n 2 b ) j/а(t)G2 ^r-1;-b|,b;1 -а-в,2j dt, |c| < 2, (23)

G2(r;-£,b;1 -а-в,2)0 v bc2 b ' 2

x(

а 1

bc3, b;

x )

¥ (x) = j /0(t )G2ix -1; - bcs, b ;1 - в, 2j dt -

а2(х; - |сз, - в,2) /2( - - а 1;1 - в, л л, с = т. (24)

а2 (г;-асз, Ь;1 - в, 2) 0 ^ ) Ч Ь 3, Ь' ^ ^ , 2 1 ;

По найденному значению ¥(х) соответствующими равенствами (20), (23) и (24) значение функции ф(х) можно найти из фундаментальных соотношений (8) и (15), (16). После того как функции ф(х) и ¥(х) найдены, решение задачи (4), (6) для уравнения (2) в области О+ выписывается по формуле [23]:

г

и(х,у) = /с(х,у;§,0)[ф(§) -Ьф"(§)]*§,

0

где

2 г

G(x,y;4,n) = 2 ¿т-1— e А(y n}81и(^ДП4)sin^x), Mn = (—)2.

r n=1 1 + V r /

А в области О решение задачи Коши (6), (7) для уравнения (3) выписывается по одной из формул (9)-(11).

Заключение

Результатом данной работы является следующая

Теорема. Пусть выполнено условие (22). Тогда существует единственное регулярное решение задачи (4), (5) для уравнения (1).

Список литературы

[1] Hallaire M., "L'eau et la productions vegetable", Institut National de la Recherche Agronomique, 9 (1964).

[2] Смирнов М. М., Вырождающиеся гиперболические уравнения, Вышэйшая школа, Минск, 1977, 150 с. [Smirnov M. M., Vyrozhdayushchiesya giperbolicheskie uravneniya, Vyshehjshaya shkola, Minsk, 1977, 150 pp.]

[3] Showalter R.E., Ting T.W., "Pseudoparabolic partial differential equations", SIAM J. Math. Anal, 1:1 (1970), 1-26.

[4] Чудновский А.Ф., Теплофизика почв, Наука, М., 1976, 352 с. [CHudnovskij A.F., Teplofizika pochv, Nauka, M., 1976, 352 pp.]

[5] Нахушев А.М., "Об одном классе нагруженных уравнений в частных производных дробного порядка", Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 14:1 (2012), 51-57. [Nahushev A.M., "Ob odnom klasse nagruzhennyh uravnenij v chast-nyh proizvodnyh drobnogo poryadka", Doklady Adygskoj (CHerkesskoj) Mezhdunarodnoj akademii nauk, 14:1 (2012), 51-57].

[6] Coleman B. D., Duffin R. J., Mizel V. J., "Instability, Uniqueness, and Nonexistence Theorems for the Equation on a Strip", Arch. Rat. Mech. Anal., 19 (1965), 100-116.

[7] Colton D., "Pseudoparabolic Equations in One Space Variable", Journal of Differ. Equations, 12:3 (1972), 559-565.

[8] Шхануков М. Х., "О некоторых краевых задачах для уравнений третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах", Дифференциальные уравнения, 18:4 (1982), 689-699. [Shkhanukov M. Kh., "Some boundary value problems for a third-order equation that arise in the modeling of the filtration of a fluid in porous media", Differential Equations, 18:4 (1982), 689-699].

[9] Yangarber V.A., "The mixed problem for a modified moisture-transfer equation", Journal of Applied Mechanics and Technical Physics., 8:1 (1967), 62-64.

[10] Kozhanov A. I., "On a Nonlocal Boundary Value Problem with Variable Coefficients for the Heat Equation and the Aller Equation", Differential Equations, 40:6 (2004), 815-826.

[11] Макаова Р.Х., "Вторая краевая задача для обобщенного уравнения Аллера с дробной производной Римана-Лиувилля", Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 17:3 (2015), 35-38. [Makaova R.H., "Vtoraya kraevaya zadacha dlya obob-shchennogo uravneniya Allera s drobnoj proizvodnoj Rimana-Liuvillya", Doklady Adygskoj (CHerkesskoj) Mezhdunarodnoj akademii nauk, 17:3 (2015), 35-38].

[12] Нахушев А. М., Уравнения математической биологии, Высшая школа, М., 1995, 301 с. [Nahushev A. M., Uravneniya matematicheskoj biologii, Vysshaya shkola, M., 1995, 301 pp.]

[13] Нахушев А. М., Дробное исчисление и его применение, Физматлит, М., 2003, 272 с. [Nahushev A. M., Drobnoe ischislenie i ego primenenie, Fizmatlit, M., 2003, 272 pp.]

[14] Kal'menov T. Sh., "A criterion for the uniqueness of the solution of the Darboux problem for a certain degenerate hyperbolic equation", Differential Equations, 7:1 (1971), 178-181.

[15] Kal'menov T. Sh., "The Darboux problem for a certain degenerate equation", Differential Equations, 10:1 (1974), 59-68.

[16] Балкизов Ж.А., "Первая краевая задача для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения", Владикавказский математический журнал, 18:2 (2016), 19-30. [Balkizov Zh. A., "The first boundary value problem for a degenerate hyperbolic equation", Vladikavkaz. Mat. Zh, 18:2 (2016), 19-30].

[17] Балкизов Ж.А., "Краевая задача для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения", Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные науки., 1:189 (2016), 5-10. [Balkizov ZH.A., "Kraevaya zadacha dlya vyrozhdayushchegosya vnutri oblasti giperbolicheskogo uravneniya", Izvestiya VUZov. Severo-Kavkazskij region. Seriya: Estestvennye nauki., 1:189 (2016), 5-10].

[18] Репин О. А., Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов., издательство Саратовского университета, Саратов, 1992, 161 с. [Repin O. A., Kraevye zadachi so smeshcheniem dlya uravnenij giperbolicheskogo i sme-shannogo tipov., izdatel'stvo Saratovskogo universiteta, Saratov, 1992, 161 pp.]

[19] Нахушев А. М., Задачи со смещением для уравнений в частных производных, Наука, М., 2006, 287 с. [Nahushev A. M., Zadachi so smeshcheniem dlya uravnenij v chastnyh proizvodnyh, Nauka, M., 2006, 287 pp.]

[20] Макаова Р.Х., "Краевая задача для гиперболического уравнения третьего порядка с вырождением порядка внутри области", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 21:4 (2017), 651-664. [Makaova R. Kh., "A boundary value problem for a third order hyperbolic equation with degeneration of order inside the domain", Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 21:4 (2017), 651-664].

[21] Макаова Р.Х., "Краевая задача для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения третьего порядка с оператором Аллера в главной части", Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 149:211 (2018), 64-71. [Makaova R.H., "Kraevaya zadacha dlya vyrozhdayushchegosya vnutri oblasti giperbolicheskogo uravneniya tret'ego poryadka s operatorom Allera v glavnoj chasti", Itogi nauki i tekhn. Ser. Sovrem. mat. i ee pril. Temat. obz, 149:211 (2018), 64-71].

[22] Псху А.В., "Начальная задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка", Математический сборник, 202:4 (2011), 111-122. [Pskhu A. V., "Initial-value problem for a linear ordinary differential equation of noninteger order", Mat. Sb, 202:4 (2011), 111-122].

[23] Макаова Р.Х., "Первая краевая задача в нелокальной постановке для обобщенного уравнения Аллера с дробной производной Римана - Лиувилля", Вестник АГУ. Серия 4: Естественно-математические и технические науки, 4:211 (2017), 36-41. [Makaova R.H., "Pervaya kraevaya zadacha v nelokal'noj postanovke dlya obobshchennogo uravneniya Allera s drobnoj proizvodnoj Rimana - Liuvillya", Vestnik AGU. Seriya 4: Estestvenno-matematicheskie i tekhnicheskie nauki, 4:211 (2017), 36-41].

Список литературы (ГОСТ)

[1] Hallaire M. L'eau et la productions vegetable // Institut National de la Recherche Agronomique. 1964. vol. 9.

[2] Смирнов М. М. Вырождающиеся гиперболические уравнения. Минск: Вышэйшая школа. 1977. 150 с.

[3] Showalter R.E., Ting T.W. Pseudoparabolic partial differential equations // SIAM J. Math. Anal. 1970. vol. 1. №. 1. pp. 1-26.

[4] Чудновский А.Ф. Теплофизика почв. М.: Наука, 1976. 352 c.

[5] Нахушев А.М. Об одном классе нагруженных уравнений в частных производных дробного порядка // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2012. Т. 14. №1. С. 51-57.

[6] Coleman B. D., Duffin R. J., Mizel V. J. Instability, Uniqueness, and Nonexistence Theorems for the Equation on a Strip // Arch. Rat. Mech. Anal. 1965. vol. 19. pp. 100-116.

[7] Colton D. Pseudoparabolic Equations in One Space Variable // Journal of Differ. Equations. 1972. vol. 12. №3. pp. 559-565.

[8] Шхануков М. Х. О некоторых краевых задачах для уравнений третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференциальные уравнения. 1982. vol. 18. № 4. С. 689-699.

[9] Yangarber V.A. The mixed problem for a modified moisture-transfer equation // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 1967. vol. 8. №1. pp. 62-64.

[10] Kozhanov A. I. On a Nonlocal Boundary Value Problem with Variable Coefficients for the Heat Equation and the Aller Equation // Differential Equations. 2004. vol. 40. no. 6. pp. 815-826.

[11] Макаова Р.Х. Вторая краевая задача для обобщенного уравнения Аллера с дробной производной Римана-Лиувилля // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2015. Т. 17. №3. С. 35-38.

[12] Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа. 1995. 301 с.

[13] Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 c.

[14] Kal'menov T. Sh. A criterion for the uniqueness of the solution of the Darboux problem for a certain degenerate hyperbolic equation // Differential Equations. 1971. vol. 7. no. 1. pp. 178-181.

[15] Kal'menov T. Sh. The Darboux problem for a certain degenerate equation // Differential Equations. 1974 vol. 10. no 1. pp. 59-68.

[16] Балкизов Ж.А. Первая краевая задача для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Владикавказский математический журнал. 2016. Т. 18. №2. С. 19-30.

[17] Балкизов Ж.А. Краевая задача для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные науки. 2016. Т. 189. №1. С. 5-10.

[18] Репин О. А. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. Саратов: Издательство Саратовского университета, 1992. 161 с.

[19] Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006. 287 c.

[20] Макаова Р.Х. Краевая задача для гиперболического уравнения третьего порядка с вырождением порядка внутри области // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2017. Т. 21. №4. C. 651-664.

[21] Макаова Р.Х. Краевая задача для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения третьего порядка с оператором Аллера в главной части // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. 2018. Т. 149. № 211. С. 64-71.

[22] Псху А.В. Начальная задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка // Математический сборник. 2011. Т. 202. №4. С. 111— 122.

[23] Макаова Р.Х. Первая краевая задача в нелокальной постановке для обобщенного уравнения Аллера с дробной производной Римана - Лиувилля // Вестник АГУ. Серия 4: Естественно-математические и технические науки. 2017. Т. 4. №211. С. 36-41.

Для цитирования: Макаова Р. Х. Задача Трикоми для вырождающегося внутри области

гиперболического уравнения третьего порядка // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018.

№ 3(23). C. 67-75. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-23-3-67-75

For citation: Makaova R. Kh. The Tricomi problem for a third order hyperbolic equation

degenerating inside the domain, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2018, 23: 3, 67-75. DOI:

10.18454/2079-6641-2018-23-3-67-75

Поступила в редакцию / Original article submitted: 08.06.2018