CC BY
24
УДК 517-95
ОБ ОДНОМ ПРИБЛИЖЕННОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ АЛЛЕРА
ON AN APPROXIMATE METHOD OF SOLVING A NONLOKAL BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THE HALLAIRE EQUATION
Р.Х. Макаова R.KH. Makaova
Институт прикладной математики и автоматизации, Россия, 360000, Нальчик, ул. Шортанова, 89-а Institute of Applied Mathematics and Automation, 89-a Shortanova St, Nalchik, 360000, Russia
E-mail: [email protected]
Аннотация. В данной работе приводится описание одного приближенного метода решения нелокальной краевой задачи для уравнения Аллера, основанный на редукции к нагруженному уравнению.
Abstract. In this paper we provide a description of one approximate method of solving of nonlocal boundary value problem for the Hallaire equation. This method is based on a reduction to the loaded equation.
Ключевые слова: уравнение Аллера; нелокальная краевая задача; приближенное решение. Key words: Hallaire equation; nonlocal boundary value problem; approximate solution.
Введение
В прямоугольной области О = {(х, y) :0 < х < r, 0 < y < t) рассматривается уравнение
du д2u , З3и , .
— = a—-+b—-—, (1)
dy дх дх dy
где a, b - заданные положительные числа; u = и(х,y) - значение искомой функции в точке х в момент времени y .
Известно [1, с. 73], что при определенных физических допущениях уравнение (1) описывает одномерное движение почвенной влаги. В работе [2] уравнение такого вида называется модифицированным уравнением влагопереноса.
Уравнение (1) является уравнением в частных производных третьего порядка гиперболического типа, хотя по определению R. E. Showalter, T. W. Ting [3] его принято называть уравнением псевдопараболического типа. Краевые задачи для различных уравнений третьего порядка псевдопараболического типа исследовались в работах [2] - [6], в частности для уравнения влагопереноса [7] - [9].
В данной работе приводится описание одного приближенного метода решения нелокальной краевой задачи для уравнения Аллера (1), основанный на редукции к нагруженному уравнению [10].
Постановка задачи и полученные результаты
Регулярным в области О решением уравнения (1) назовем функцию u = и(х,y) такую, что u еС(о) , uxx, uxxyeC(o), удовлетворяющую уравнению (1). Исследуется следующая
Задача. Найти регулярное в области О решение u=u(%,y) уравнения (1) из класса
u е С1 (О U {х = 0)) , удовлетворяющее следующим условиям:
^х,0)=ф(х), 0 < х < r , (2)
где ф(х)еС1[0,r], v(y)eC[0,T], а =const >0. Обозначим через
U(0,y) = v(y), 0<y <T, ^(o,у)=аи(г,у), 0<y <T,
8(y) = u = — [ u(x, y )dx г
' л
(3)
(4)
(5)
- интегральное среднее значение и(х,у) по переменной х на сегменте [0,г].
В левой части уравнения (1) произведем замену производной — его средним значением
9у
8'(у)=— [ иу (х, у )аХ. Тогда уравнение (1) заменяется аппроксимирующим уравнением
V *
аи(х, у)+Ь -
8'(у )=З?
З2 / \ , du(x,y)
dy
(6)
Функцию и = и(х,у) назовем приближенным решением задачи (2) - (4) для уравнения (1),
если оно будет точным решением задачи (2) - (4) для аппроксимирующего уравнения (6). Перепишем уравнение (6) в виде
иу (Х у)+аи(х у )=8'(у)+хС— (у)+С2 (У) > Ь 2Ь
где С (у), С (у) - пока неизвестные, непрерывные для всех уе[0,Г], функции.
Решение уравнения (7), удовлетворяющее начальному условию (2), представимо в виде
(7)
i(X y)=J <
-(y-л)
Х- 8'(n)+ xC— (n)+ C2 (л)
2b
dn+ф(x)e
Удовлетворяя (8) условию (3) и соотношению (5), будем иметь
а (у-л)
Jb(y_ 'C (n)dn = v(y)-ф'(0)е ьУ ,
y a \ 2 y а, x
Je-a(^(n)dn = 8(y)- r-Je a(^8'^-Г i 6b i 2
v(y)-ф'(0)е ьУ
-фе
(8)
(9) (10)
С учетом (9) и (10), представление (8) перепишется в следующей форме
¡е -(^8^-
6Ь О
<(x,y) = | 1+|8(y)-i
-I 1+:
6b
фе b +| x-—
v(y)-ф'(0)е ^
Нф(х)е
(11)
где ф =
— r
ф = — J u(x,0)dx.
Г J
Удовлетворяя (11) нелокальному условию (4), получаем
у —(- )
ДДу)-е " ->-,8(лЦ = /а(у),
(12)
где
2 2
^а=а-1 + (2а+1)^, Ва=(2а+1)аГг > 0 ,
/а(у)=A
а
- by
афе b -(а + 1)г
v(y)^'(0)e b>
-[ф(0)-аф(г )]е
При Ла ф 0, уравнение (12) относительно функции 8(у) представляет собой интегральное
уравнение Вольтерра второго рода с разностным ядром К (у -"л)=е -а ^ , единственное решение которого выписывается в виде
а
У
b
0
а
0
а
y
b
r
у
b
0
0
а
у
b
у [—|(у_л)
5(y)=/(у)+Ме^ 6 ^ f(4)d4, (13)
о
где л=В-• I•
Дх Аа.
Если А = 0, то уравнение (12) является интегральным уравнением Вольтерра первого рода
р("ty^ —¿Ы.
у _а, _
Vhy - ' . (14)
Дифференцируя обе части по у , из (14) переходим к интегральному уравнению Вольтерра второго рода
8(у)=a i е ЬУ "8(п)*п + g(у),
6 0
где
решение которого выписывается в виде
gM=—^,
В.8(У-=а 1/".(°)-!.(У-]-Ш • А,= 0 • (15)
С учетом (13) и (15), из формулы (11) получаем точное решение задачи (2) - (4) для аппроксимирующего уравнения (6).
Список литературы
1. Нахушев А.М. 2012. Нагруженные уравнения и их применение. М.: Наука, 232.
Nakhushev A.M. 2012. Nagruzhennye uravneniya i ih primenenie [Loaded equations and their applications]. Moscow, Nauka, 232. (In Russian)
2. V.A. Yangarber. 1967. The mixed problem for a modified moisture-transfer equation. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 8 (1): 62-64.
3. R.E. Showalter, T.W. Ting. 1970. Pseudoparabolic partial differential equations. SIAM J. Math. Anal, 1
(1): 1-26.
4. G.I. Barenblatt, Iu.P. Zheltov, I.N. Kochina. 1960. Basic concepts in the theory of seepage of homogeneous liquids in fissured rocks [strata]. PMM, 24 (5): 852-864.
5. D. Colton. 1972. Pseudoparabolic Equations in One Space Variable. Journal of Differ. Equations, 12 (3):
559-565.
6. Шхануков М.Х. 1982. О некоторых краевых задачах для уравнений третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах. Журнал Дифференц. уравнения, 18 (4): 689-699.
Shkhanukov M.Kh. 1982. O nekotoryh kraevyh zadachah dlya uravnenij tretego poryadka voznikayushchih pri modelirovanii filtracii zhidkosti v poristyh sredah [Some boundary value problems for a third order differential equations that arise in the simulation of fluid flow in porous media]. Journal of Differ. Equations, 18 (4): 689-699. (In Russian)
7.B.D. Coleman, R.J. Duffin, V.J. Mizel. 1965. Instability, Uniqueness, and Nonexistence Theorems for the Equation ut = uxx — uxtx on a Strip. Arch. Rat. Mech. Anal, 19: 100-116.
8. A.I. Kozhanov. 2004. On a Nonlocal Boundary Value Problem with Variable Coefficients for the Heat Equation and the Aller Equation. Journal of Differ. Equations, 40 (6): 815-826.
9. Макаова Р.Х. 2015. Задача Трикоми для одного уравнения смешанного типа. Доклады Адыгской (Черкесской) Международной Академии наук, 17 (1): 22-24.
Makaova R.Kh. 2015. Zadacha Trikomi dlya odnogo uravneniya smeshannogo tipa [Tricomi problem for mixed type equation]. Reports Adyghe (Circassian) International Academy of sciences, 17 (1): 22-24. (In Russian)
10. Нахушев А.М. 1982. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод. Журнал Дифференц. уравнения, 18 (1): 72-81.
Nakhushev A.M. 1982. Ob odnom priblizhennom metode resheniya kraevyh zadach dlya differencialnyh uravnenij i ego prilozheniya k dinamike pochvennoj vlagi i gruntovyh vod [On an approximate method of solving boundary value problems for differential equations and its application to the dynamics of soil moisture and ground-water]. Journal of Differ. Equations, 18 (1): 72-81. (In Russian)
