Первая краевая задача в нелокальной постановке для обобщенного уравнения Аллера с дробной производной Римана-Лиувилля Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95 ББК 22.161.1 М 15

Макаова Р.Х.

Младший научный сотрудник отдела уравнений смешанного типа института прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарскогой научного центра Российской академии наук, Нальчик, e-mail: [email protected]

Первая краевая задача в нелокальной постановке для обобщенного уравнения Аллера с дробной производной Римана-Лиувилля

(Рецензирована)

Аннотация. Для обобщенного уравнения Аллера с дробной производной Римана-Лиувилля исследована первая краевая задача в нелокальной постановке. Доказана теорема существования и единственности решения. Найдено явное представление регулярного решения.

Ключевые слова: обобщенное уравнение Аллера, оператор дробного интегро-дифференцирования.

Makaova R.Kh.

Junior Researcher of the Department ofMixed Type Equations of Institute of Applied Mathematics and Automation of Kabardino-Balkarian Scientific Centre, Russian Academy of Sciences, Nalchik, e-mail: makao-va.ruzanna@mail. ru

The first boundary value problem in a nonlocal setting for the generalized Hallaire equation with the Riemann-Liouville fractional derivative

Abstract. We investigate the first boundary value problem in a nonlocal setting for the generalized Hallaire equation with fractional Riemann-Liouville derivative. Existence and uniqueness theorem is proved. An explicit representation of the regular solution is found.

Keywords: the generalized Hallaire equation, the fractional integro-differentiation operator.

Введение

В прямоугольной области Q = {(x, y): 0 < x < r,0 < y < T} рассматривается обобщенное уравнение Аллера вида

D0>(x, = \au(x, у ) + bDa0yu(x, r)]+ f (x, y), (1)

где a, b - заданные положительные числа; u(x, y) - искомая действительная функция; f (x, y) - известная функция.

Здесь через D0y обозначается оператор дробного дифференцирования в смысле Рима-на-Лиувилля по переменной y порядка ое]0,1 [ с началом в точке 0 и с концом в точке y [1, с. 9], определяемый следующим образом:

D0yu(xr r) = jyDOMx, r), D0?u (x, r) = f(—) ¡jr^, r) = u(x, y)

где r(z) - гамма-функция Эйлера.

Уравнение (1) при о = 1 и f (x, y ) = 0 совпадает с уравнением Аллера [2]:

du д

^ du 7 d2u ^ a--ъ b

(2)

ду дх ^ дх дхду у

которое еще называют модифицированным уравнением диффузии [3, с. 137]. При определенных допущениях уравнение (2) описывает движение почвенной влаги, и его решение и = и(х, у) интерпретируется как влажность почвы с коэффициентом диффузии а и коэффициентом влагопроводности Ь в точке х почвенного слоя 0 < х < г в момент времени у е [0,Г] [4]. Хотя уравнение (2) является уравнением гиперболического типа, его относят к

уравнениям псевдопараболического типа по определению R.E. Showalter и T.W. Ting [5]. Исследованию различных краевых задач для псевдопараболических уравнений третьего порядка посвящены работы [6-9]. В работе [10] для обобщенного уравнения Аллера с дробной производной Римана-Лиувилля (1) исследована вторая краевая задача и найдено явное представление регулярного решения.

Постановка задачи и полученный результат

Регулярным в области Q решением уравнения (1) назовем функцию u = u(x, y), такую, что y1-Yu е C(q) , D"yu , D"yux e С(Q), и удовлетворяющую уравнению (1). Исследуется следующая

Задача. Найти регулярное в области Q решение u = u (x, y) уравнения (1), удовлетворяющее следующим краевым условиям:

lim D"~lu(x, f) = (p(x), 0 < x < r , (3)

u(0,y) = u(r,y) = 0, 0 <y < T, (4)

где cp(x) e C2 [0, r ].

Справедлива следующая

Теорема. Задача (3), (4) для уравнения (1) имеет единственное решение u = u(x, y) и его можно представить в виде

u(x, y) = ¡Ga(x, y£,0) [) - bqfiz)] d£ + j ¡Ga(x, y; f )f(, f fd£df, (5)

0 0 0

где

G"(x, y£r f) = 2 ¿T—1 E Y {- (y -fY-A sin (O) sin ((£, ця = , (6) rn=1 1 + bßn A( 1 + bun j w / w / ( r )

k

Еу {1; у) = -ч - функция типа Миттаг-Леффлера.

/« к=о Т{ак + у)

Доказательство. Для доказательства применим метод редукции к уравнениям целого порядка [11]. Предположим, что функция V = v{x, у) является решением неоднородного уравнения Аллера

дv д ( & 7 д2v ^

а--h b-

dy dx ( dx dxdy

+ f * (x, y) (7)

и удовлетворяет следующим краевым условиям:

v{x,0) =р{х), 0 < х < г , (8)

v{0,у) = v{г,у) = 0, 0 < у < Т. (9)

Решение задачи (8), (9) для уравнения (7) выписано в работе [12] и имеет вид:

v{x,у) = |а(х,у;£0) №)-Ь</Г{ф£ + \}а{х,у;^)/*{,?), (10)

0 0 0

где

а{х, = 2 £ -+Ь- ъп{{Гях) в1п , = К

г п=11 + Ь^„ К г )

Покажем, что если / {х, у) = А'/* {х, у), то с учетом свойств преобразования А' функция и = и{х, у), определяемая равенством

Ux, y) = A;v(x, y), (11)

является решением уравнения (1), удовлетворяет условиям задачи и совпадает с (5).

Здесь A^ - есть интегральное преобразование [11, с. 67] по переменной y, которое

для заданной на положительной полуоси функции v = v(x, y) определяется по формуле:

A>(x, y ) = f v(x, t )y "'ei;

С _t I У)

dt,

0 < а < 1,

(12)

где e^(z ) = £

k=0

- функция типа Райта [13].

ß,aW to r(ßk + r)(S-ak) Применяя к (10) интегральное преобразование (12) по переменной y , имеем:

Aav(x, y ) =

jjG(x, t j,0)[p(j)-bqfitfo "'¿а - W t ;J, j) * (j, j) Л^ i" =

00 V y ) 000 V y )

= f 2 Z1 Ъ sin(ß) sin (j) [)- Ъ<р"(£% (y)dj +

J0 r „=j1 + bßn

+ f 2 Z т , Ъ Sin ((nx) sin ((j)l2 (j ytä ,

0 Г n=1 1 + bßn

(13)

где

O aßn

Ф) = f e ^-y-¿a

С t I

O t aMn

va

V У )

dt, I2 (j, y) = ffe

(t-r)

00

Учитывая известную формулу [11, с. 78]

Aa exp Az = za-1E v (Aza;a), 0 <a< 1,

/а

1+bMn "л;-1e1,0 1

y

/* (jjjdjdt.

вычислим интеграл

I1 (v) = A

exp

aßn

1 + bß,

y

n)

= ylaE 1

aßn а

y ;a

1 +

(14)

(15)

Далее рассмотрим интеграл

12 (j, y) = f / * jrjdj\e

0 r

который после замены z = t -j перепишем в виде

O O - aßn

12 (J, y) = f / * (Jrjdjf e

0 ((-j) 1+bßn y-1e;a

С t I

ya)

dt,

1+bßn y -1e11,,a

С z + jl

dz.

(16)

0 0 V у у

Функцию типа Райта, стоящую под интегралом в (16), можно представить в виде [13]:

y-1e1,,a

f

z + j

Л

y)

= y Ча

( п. \

y)

* y -1e;,°

s 1,a

С jl

ya)

где Ь1{у)* (у) = |к[(я)И2(у - - есть свертка Лапласа функций \(у) и И2(у).

0

Следовательно, с учетом (17) равенство (16) перепишем следующим образом:

k

z

t

о

y ад aMn

I-ü,y) = Jf *(iri)diJJe s-1e1,/( -^ |(y-s)el

f

о 0 y

i "

J f' (£,ridvJ

f a—n s \

l+bMn

v J

(У - s У еЦ

i

y a—n

V

a—n

- s )

v (У - s)J

Л

ds =

dzds =

J

JA/e 1+b—n Aay-J*(,y-s)) = A°e 1+b—n *A/f*(üy).

Учитывая свойства свертки и формулу (14), имеем:

12(£ y) = J(-i)a-1 Eya

f a— (y-iУ;a\AaJ*У;,i)di.

1 + b—

(18)

Подставляя (15) и (18) в (13), получаем равенство (5).

Непосредственной подстановкой можно показать, что (5) удовлетворяет уравнению (1) и условиям (3), (4). Действительно, из представления решения (5) видно, что условия (4) выполняются. Пользуясь определением оператора дробного интегро-дифференцирования, находим, что

1 у \ г г * 1

КЧх, * ) = -рт——Ч |{у - * П{ Оа{х, Ьср" {ф£ + Цоа{х, *;£,«)/ ,

^ I1 ' 0 [ 0 00 ]

которое после тождественных преобразований примет вид

D£u(x, t ) = - J jj —b— EJ-l^b—y" ;l\ sin((-nx) bcp"(ü)]

y r 0 tl1 + b— 1 + b— J

. +b— /«v 1 + оИп J

" J J jj E J- 7— (y-г)! sin ((—x )sin(—)f (üriididü

riin^1 + b— /а 1 + b —, , zw

+ r J0 J0 j1 + b—nEy«V 1 + b—n J

Переходя к пределу при y ^ 0, из (19) находим, что

(19)

lim D/u(x,i) = - Jj —^ Sin(j—nx ))((;£))()-bv"^ y^0 r о n=11+b— y ' y '

= ~ J j sin(—nx) sin = V(x) .

Из (1) с учетом (5) и (19) имеем:

а

— [D/^x i) - bD/yUx (x, i)]- aUx (x, y) :

-T U -1E J-T——Ve;1| sin((—x) sin(—ü)[)-

[0r n"1 /«v 1+b— J

+ J J - jj E1« f- (y - r) 1 sin((—x) sin(Cü) (ü, iid&i + rt1 /«l 1 +b— J 4 / v ^ I

+

2 ^ a—n ./-1

0 r j

0 ' n=1

r n=1 1 + b—n a—

y E1

a—n

1 + b—

-y«;1

nJ

sin((—x) sin b^" (ü)]dü

+ JJ-jjV—— (y - ii«-1 EV f- 7— (y - ii« ;1~] *Cx) sin(ü, iid&i.

0 0 rn=11 + b— 1 + b— J

v n J

Отсюда после нахождения производной следует, что

X)

Ч" bD^Uxx (x,r)]-aUxx (х, y) = j - ¿ f y)sin(7^x)sin(7/^)d£ = f (x, y).

4y o r n=1

Итак, решение, определяемое равенством (5), удовлетворяет уравнению (1) и условиям (3), (4).

Далее перейдем к доказательству единственности задачи (3), (4) для уравнения (1). Умножим однородное уравнение, соответствующее уравнению (1), на sin (^//x) и проинтегрируем полученное равенство по переменной x в пределах от 0 до r . Будем иметь

j D"y [u(x,^) - buxx (x,r)] sin((x)dx - aj uxx (л y) sSin((/ünx)dx = 0. (20)

o

где

Применяя интегрирование по частям, из (20) с учетом условий (4) получаем, что

(1 + b/nDu*Ы+a/u (r) = 0, (21)

u*(y) = ju(x,y) sin((>)dx.

0

При cp(x) = 0 из условия (3) для функции u* (y) должно выполняться условие

limD"-lu (r) = limD"- ju(x,y) sin((x)) = 0, 0 < x < r . (22)

Задача (22) для уравнения (21) имеет только тривиальное решение u*(y) = 0 . Следова-

u

тельно, должно иметь место равенство

f u(x, y)sin ((~¡7nx)dx = 0. (23)

О

В силу полноты системы [l4, с. 32О]

ч 2

, /— \ Í ш

sin

), цп = , п = 1,2,...,

на [0, г ] получаем, что (23) выполняется тогда и только тогда, когда для любого п = 1,2,... функция п{х, у ) 0. Откуда заключаем, что соответствующее неоднородное уравнение (1) имеет единственное решение. Теорема доказана.

Заметим, что для неоднородного уравнения (1) задача (3), (4) с неоднородными условиями

и(0, у)=г(у), и(г, у)=тг(у), 0 < у < Т, где г(у), тг (у) - заданные достаточно гладкие функции, путем замены

и(х, y ) = U (x, y ) +-т(у )+-тг {y ),

r r

сводится к задаче, рассмотренной выше.

Примечания: References:

1. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его приме- 1. Nakhushev A.M. Fractional calculus and its applica-нение. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 272 с. tion. M.: FIZMATLIT, 2003. 272 pp.

2. Hallaire M. L'eau et la productions vegetable // Institut 2. Hallaire M. L'eau et la productions vegetable // Institut National de la Recherche Agronomique. 1964. Vol. 9. National de la Recherche Agronimique. 1964. No. 9.

3. Чудновский А.Ф. Теплофизика почв. М.: Наука, 3. Chudnovsky A.F. Thermal physics of soils. M.: Nau-1976. 352 с. ka, 1976. 352 pp.

4. Нахушев А.М. Об одном классе нагруженных урав- 4. Nakhushev A.M. On a class of loaded partial differen-нений в частных производных дробного порядка // tial equations of fractional order // Reposts of the Доклады Адыгской (Черкесской) Международной Adyghe (Circassian) International Academy of Sci-академии наук. 2012. Т. 14, № 1. С. 51-57. ences. 2012. Vol. 14, No. 1. P. 51-57.

5. Showalter R.E., Ting T.W. Pseudoparabolic partial differential equations // SIAM J. Math. Anal. 1970. Vol. 1, No. 1. P. 1-26.

6. Colton D. Pseudoparabolic equations in one space variable // Differ. Equations. 1972. Vol. 12, No. 3. P. 559-565.

7. Barenblatt G.I., Zheltov Iu.P., Kochina I.N. Basic concepts in the theory of seepage of homogeneous liquids in fissured rocks [strata] // PMM. 1960. Vol. 24, No. 5. P. 852-864.

8. Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнений третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18, № 4. С. 689-699.

9. Водахова В.А. Краевая задача с нелокальным условием А.М. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18, № 2. С. 280-285.

10. Макаова Р.Х. Вторая краевая задача для обобщенного уравнения Аллера с дробной производной Римана-Лиувилля // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2015. Т. 17, № 3. С. 35-38.

11. Псху А.В. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка. Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2005. 186 с.

12. Макаова Р.Х. Первая краевая задача для неоднородного уравнения Аллера // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 4-1 (16). С. 45-49.

13. Wright E.M. The generalized Bessel function of order greater than one // Quart. J. Math. Oxford Ser. 1940. Vol. 11. P. 36-48.

14. Бугров Я. С., Никольский С.М. Высшая математика. М.: Дрофа, 2004. 512 с.

5. Showalter R.E., Ting T.W. Pseudoparabolic partial differential equations // SIAM J. Math. Anal. 1970. Vol. 1, No. 1. P. 1-26.

6. Colton D. Pseudoparabolic equations in one space variable // Differ. Equations. 1972. Vol. 12, No. 3. P. 559-565.

7. Barenblatt G.I., Zheltov Iu.P., Kochina I.N. Basic concepts in the theory of seepage of homogeneous liquids in fissured rocks [strata] // PMM. 1960. Vol. 24, No. 5. P. 852-864.

8. Shkhanukov M.Kh. On some boundary value problems for third-order equations arising in the modeling of fluid filtration in porous media // Differential Equations. 1982. Vol. 18, No. 4. P. 689-699.

9. Vodakhova V.A. A boundary value problem with Nakhushev's nonlocal condition for one pseudo-parabolic equation of moisture transfer // Differential Equations. 1982. Vol. 18, No. 2. P. 280-285.

10. Makaova R.Kh. The second boundary value problem for the generalized Hallaire equation with the Rie-mann-Liouville fractional derivative // Reposts of the Adyghe (Circassian) International Academy of Sciences. 2015. Vol. 17, No. 3. P. 35-38.

11. Pskhu A.V. Boundary value problems for partial differential equations of fractional and continual order. Nalchik: Publishing House of KBNTs RAS, 2005. 186 pp.

12. Makaova R.Kh. The first boundary value problem for the non-homogeneous Hallaire equation // KRAUNTs Bulletin. Physical and Mathematecal Sciences. 2016. No. 4-1 (16). P. 45-49.

13. Wright E.M. The generalized Bessel function of order greater than one // Quart. J. Math. Oxford Ser. 1940. Vol. 11. P. 36-48.

14. Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Higher mathematics. Moscow: Drofa, 2004. 512 pp.