CC BY
11
УДК 517.956 ББК 22.161.626 М 15
Макаова Рузанна Хасанбиевна
Младший научный сотрудник отдела уравнений смешанного типа института прикладной математики и автоматизации, филиал Кабардино-Балкарского научного центра Российской академии наук, Нальчик, e-mail: makaova. ruzanna@mail.ru
Первая краевая задача для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения третьего порядка
(Рецензирована)
Аннотация. Исследуется первая краевая задача для гиперболического уравнения третьего порядка с вырождением порядка внутри смешанной области. Доказана теорема существования и единственности регулярного решения.
Ключевые слова: вырождающееся гиперболическое уравнение, уравнение Аллера, оператор дробного интегро-дифференцирования.
Makaova Ruzanna Khasanbievna
Junior Researcher of the Department of Mixed Type Equations of Institute of Applied Mathematics and Automation, Branch of Kabardino-Balkarian Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Nalchik, e-mail: makao-va.ruzanna@mail. ru
The first boundary-value problem for a third order hyperbolic equation
degenerating inside the domain
Abstract. In this paper, we study the first boundary-value problem for a third-order hyperbolic equation with degeneracy of order inside a mixed domain. The theorem is proved on the existence and uniqueness of a regular solution.
Keywords: degenerating hyperbolic equation, the Hallaire equation, the fractional integral-differentiation operator.
Введение
В евклидовой плоскости точек (x, y) рассматривается уравнение вида
'Uy - aUxx - bUxxy, y > °
(" yYuxx - uyy - c(- уux, у < 0
0 =
y xx xxy ">
m-2 (1)
где a, Ь , m - заданные положительные числа; |с| < —; u = ^х, у) - искомая действительная функция.
Уравнение (1) при у > 0 совпадает с уравнением Аллера [1, с. 137]:
du д ( du 1 д2u ^ a-—ъ b-
V
(2)
ду дх ^ дх дхду
а при у < 0 - с вырождающимся гиперболическим уравнением первого рода [2, с. 13]:
(" У^хх - 'Ыуу - ^ У) 2 Uх = 0. (3)
Уравнение (2) так же называют модифицированным уравнением диффузии и относится к уравнениям псевдопараболического типа [2, 3]. Исследованию локальных, нелокальных и смешанных краевых задач для псевдопараболических уравнений третьего порядка, в частности, и для уравнения Аллера посвящены работы [4-7].
Уравнение (3) является уравнением гиперболического типа с параболическим вырождением вдоль прямой у = 0 и при m = 2 его называют уравнением Бицадзе-Лыкова [8, с. 234]. При c = 0 уравнение (3) переходит в уравнение Геллерстедта, которое находит при-
менение при отыскании оптимальной формы плотины прорези [9, с. 236]. В работах [10, 11] были изучены первая и вторая задачи Дарбу для уравнения (3), а в работах [12, 13] в явном виде выписаны решения первой краевой задачи и задачи Гурса соответственно.
В данной работе исследуется первая краевая задача для уравнения (1). При определенных условиях на коэффициенты, входящие в рассматриваемое уравнение, найдено представление решения исследуемой задачи.
Постановка задачи и полученный результат
Пусть 0+ = {(х, у) :0 < х < г, 0 < у < Т}. Через О- обозначим область, ограниченную характеристиками уравнения (3) (рис. 1):
2 , . т+2 2 / чт+2
А С = х---(- У) 2 = 0, ЛгС = х+--(- у) 2 = г ,
т + 2 т + 2
выходящими из точек
A0 = (0,0), Ar = (r,0),
мися в точке
C =
, -А. 1
m + 2 1 m+2
—
-r I
4 J
пересекающи-
и отрезком
и
Л0Лг ={(х,0): 0 < х < г}. Пусть В0 =(0,Т), ВГ =(г,Т)
Рис. 1. Области, ограниченные АоВо = {(0,у): 0 < у <Т], АГВГ = {(г, у): Оку <Т}-
характеристиками уравнения (3) О = 0+о>0(Л0 ЛГ) .
Регулярным в области О решением уравнения (1) назовем функцию и = и(х,у) такую, что и е С(о)пС1 (О)пС2(О-) и ихху еС(о+), удовлетворяющую уравнению (1). Исследуется следующая
Задача. Найти регулярное в области О решение и = и(х,у) уравнения (1) из класса их (х,0), иу (х,0)еС[0, г ] и удовлетворяющее следующим краевым условиям:
и(0,у)=и(г,у)= 0, 0 <у < Т, (4)
и|Л С = Иг (х), 0 < х < г , (5)
где Иг(х)еС3[0,г]. Положим
и(х,0)=ф(х), 0 < х < г , (6)
иу(х,0)=у(х), 0 < х <г . (7)
Из (2), переходя к пределу при у ^+0 с учетом (6) и (7), находим функциональное соотношение между функциями ф(х) и у(х), принесенное из области 0+ на линию у = 0 в виде
у(х)-аф''(х)-¿у''(х) = 0, 0<х<г . (8)
Для того чтобы получить соотношение между ф(х) и у(х), принесенное из области О- на линию у = 0, выпишем решение задачи Коши (6), (7) для уравнения (3) [2, с. 14]:
+
l(x,y) = —Д-г Гф
i
y Jv
2 / \m+2
x+--(- y) 2 (2t -l)
B(l-a,1-ß)
m + 2
2 / .m+2
t ß-1(l-t )a-1 dt +
x+--(- y(2t-1)
m+2
t-a(i-t)dt, < m
(9)
u(x, y )=ф u(x, y )=ф
x+-
2 / vm+2
(- У) 2
m + 2
2 m+2
X--(- У ) 2
+
2 У m + 2
J,
0
2 / 4m±2/ \ x+—г (- У) 2 (2t-1) m + 2
(1-1 )-p dt, c(10)
m + 2
где B(zj, z2)- бета-функция,
2y
m + 2J„
2 / / \ x + (- У) 2 (1-2t)
m + 2
(1-1 )-a dt,
c = —
m ~2
(11)
a = -
m - 2c
ß =
m + 2c
2(m + 2) 2(m + 2) Учитывая условие (5), равенства (9)-(11) перепишем в виде:
к.
'r + x 1=(r - x )1-a-ßr(ß)
. 2 J = B(a,ß)
D-ß(rЧ) ф()-
z,
В/Щ^ТJ^MOV©, И<f.
h
r + x
-ß
„ 2 , = ф(,)-1I ^ Г Dx(r-tfMÖ, c=§
К
'r+xU(x)-%4 ^YdXO, c=-m.
(12)
(13)
(14)
2 J 2 ^ 4 J v ' 2
Здесь через D* обозначается оператор дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля, определяемый следующим образом [8, с. 28]:
sign (х - c) X v(t)dt
оу(< )=
J;
ia+1 '
a < 0,
r(-a) c |x -1\ (x), a = 0,
[a]+1 (x - ÄDax-[a]-1v((), a > 0,
sign
dx
где Г(г) - гамма-функция Эйлера, [а] - целая часть числа а, так что [а]<а<[а]+1.
Известно, что для любой функции у(х )е 1^0, г ] справедливы следующие свойства дробного интегро-дифференцирования с одинаковыми началами [9, с. 11; с. 18]:
= ЯаМ), 0 <а<Р;
D:x\t-c\а+'DltvC) = \х-c\'Dа:^\t-c\аv(t), 0 <а< 1, Р<0, с учетом которых из (12)-(14) находим:
ф(x ) = d
d2 d
ф(г ) = d d-l(r4)-Vfe)+hr
r + x
ф(^=d4 DO-VfeHh
Г(2-a-ß)( m + 2
d = r(1-ß)
2
\ m+2
, = r(a+ß) 2 = r(a) '
r + x
d3 = 2 (^
( r + £, 1
V 2 , J,
m
c = —
2
m
= 2"
c <-
m ~2
(15)
(16) (17)
4-ß
d4 =
r(1-a)( m + 24
2
2
a
4
2
4
Из (8) и полученных соотношений (15)-(17), исключая функцию ф(х), относительно функции у(х) получим следующие равенства:
W
bd,
2
v(x)=-£üi 2d3
Ä,
r + x
m
C = ~2,
V"(x)+^ D+V^)-1 v(x )=fo (x), C = - m,
b
где f (x) = - bd-D (r-^(r - t )+ß-4 ^.
(18)
(19)
(20)
Так как (20) получается из (18) при Р = 0, то достаточно найти решения уравнения (18). Для этого введем замену переменной х = г - г . Тогда в силу определения дробного дифференцирования верно, что
¿О© = Аа;Р+Чг - 0, 1 <а + Р+1 < 2, с учетом которого (18) относительно функции д(г) = у(г - г) при /*(г) = /р(г - г) примет вид:
'(z )+^ DT*®-1 q(z )=f*( z).
bd2 0z ^b
(21)
Решение уравнения (2) выписывается в виде [14]:
(
ad1 1
Л
q(z) = f(^)G22 z-$;-bd1,b;1-a-ß,2|d; + 0 V bd2 b
f
,2 ad, 1
Л
+ ajG22 z;--1 ,-;1-a-ß,2
v bd2 b
f
+ a2G1
ad, 1
z;--1 ,-;1-a-ß,2
bd2 b
где
a1 = lim
1 z^0
q'(z )+bdr Doaz+ßq(^) bd2
a
= lim q(z ).
z^0l
(22)
(23)
Здесь
Gkn ((,.--^n;у^.-.у„)=je-Skn^у^Дnt;^...y„)dt;
0
Skn ((,...Д nt; y1,.y n )=(Ä * Ä *•••* hn )(x);
n
Ä = Ä(x)= xki-1ф(уг-,k;Xitxy'), i = Щ; k = £k, уг >0, k >0;
i=1
x
(cp*y)(x ) = |ф( - свертка Лапласа функций 9(x) и y(x);
ф( k;z )=Z" •iW • k) функция Райта.
;=0 7'!Г(у+к )
Из (22) и (23), совершив обратный переход в силу введенной ранее замены переменной, получим:
у(х)= | /р(г-ф22 Г -х-£-Ь^,_;1-а-р,2 ^ +
V
у
2
z
X
зо
+a1G
2 ( ad, 1 _ ( ad, 1 , _ 2 г - x;---,—;1-a-ß,2 + a2G1 г - x;--L,-;1-a-ß,2
l bd2 b J l bd2 b j
или же
v(x) = jfß(tG t - x;-
ad, 1 , _ „ —4-;1-a-ß,2 bd2 b
\
dt +
J
2 ad1 1
+ a1G22 г - x;--1 ,-;1-a-ß,2
bd2 b
+ a2G2
ad1 1
г -x;--1,—;1-a-ß,2
bd2 b
где
a = lim
V'(x)+Odr D0a;ßxV(rЧ) bd2
a
= lim y(x).
(24)
(25)
Из (24), с учетом условия согласования у(г )= 0 и первого условия из (4), получаем, что а2 = 0, а значение а1 однозначно можно найти следующим образом:
j/ßWG,2! f,-bd-, 1,l-a-ß,2
a1 =--(-
G22
ad1 1
г;--1,—;1-a-ß,2
bd2 b
если выполнено условие
G22
г;-
ad1 1
bd2 b
—;1-a-ß,2
bd2 b
* 0.
dt.
(26)
Тогда решения (18) и (20) запишутся соответственно в виде:
г ! J
V(x)=j/p(t)G2[ t-x;--bd-, 1;1-a-ß,2
dt -
G22
ad1 1 „
г - x;--1,—;1-a-ß,2
bd2 b
j/ß(()G22| t;-adr,1-;1-a-ß,2
f
G22
г;-adL,i;1-a-ß,2 bd2 b
bd2 b
dt,
с <-
m
(27)
v(x )=j fO (t )G2 ^ t - x;--1;1 - a,2 ^jdt -
a1
•• Td4-v
G21 г - x;-—d4,—;1-a,2
G2 f г;-;1-a,2
-j fO ((X?22 | t;-b^, ■1;1-a,2'
с = —
m
(28)
По найденному значению у(х), соответствующими равенствами (19), (27) и (28) значение функции ф(х) можно найти из фундаментальных соотношений (8), (15) или (17). После того как функции ф(х) и у(х) найдены, решение задачи (4), (6) для уравнения (2) в области выписывается по формуле [15]:
г
и(х,у)={0(х,у£,0)[[)-Ьф"Й)]] ,
где
G(x,у;^,л)=2Zv^е ^" у " sinU^sin=( г n=11+b^п \
пп
г
г
г
1
г
2
2
А в области О- решение задачи Коши (6), (7) для уравнения (3) выписывается по одной из формул (9)-(11).
Результатом данной работы является следующая
Теорема. Пусть выполнено условие (26). Тогда существует единственное регулярное решение задачи (4), (5) для уравнения (1).
Примечания:
1. Чудновский А.Ф. Теплофизика почв. М.: Наука, 1976. 352 с.
2. Смирнов М.М. Вырождающиеся гиперболические уравнения. Минск: Вышэйшая школа, 1977. 150 с.
3. Showalter R.E., Ting T.W. Pseudoparabolic partial differential equations // SIAM J. Math. Anal. 1970. Vol. 1, No 1. P. 1-26.
4. Colton D. Pseudoparabolic equations in one space variable // Differential Equations. 1972. Vol. 12, No. 3. P. 559-565.
5. Yangarber V.A. The mixed problem for a modified moisture-transfer equation // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 1967. Vol. 8, No. 1. P. 62-64.
6. Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнений третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18, № 4. С. 689-699.
7. Макаова Р.Х. Вторая краевая задача для обобщенного уравнения Аллера с дробной производной Римана-Лиувилля // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2015. Т. 17, № 3. С. 35-38.
8. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1995. 301 с.
9. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
10. Kal'menov T.Sh. A criterion for the uniqueness of the solution of the Darboux problem for a certain degenerate hyperbolic equation // Differential Equations. 1971. Vol. 7, No. 1. P. 178-181.
11. Kal'menov T.Sh. The Darboux problem for a certain degenerate equation // Differential Equations. 1974. Vol. 10, No. 1. P. 59-68.
12. Балкизов Ж. А. Первая краевая задача для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Владикавказский математический журнал.
2016. Т. 18, № 2. C. 19-30.
13. Балкизов Ж. А. Краевая задача для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Сер. Естественные науки. 2016. Вып. 1 (189). С. 5-10.
14. Псху А.В. Начальная задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка // Математический сборник. 2011. Т. 202, № 4. С. 111-122.
15. Макаова Р. Х. Первая краевая задача в нелокальной постановке для обобщенного уравнения Аллера с дробной производной Римана-Лиувилля // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки.
2017. Вып. 4 (211). С. 36-41. URL: http://vestnik.adygnet.ru
References:
1. Chudnovsky A.F. Thermal physics of soils. M.: Nau-ka, 1976. 352 pp.
2. Smirnov M.M. Degenerate hyperbolic equations. Minsk: Vysshaya Shkola, 1977. 150 pp.
3. Showalter R.E., Ting T.W. Pseudoparabolic partial differential equations // SIAM J. Math. Anal. 1970. Vol. 1, No 1. P. 1-26.
4. Colton D. Pseudoparabolic equations in one space variable // Differential Equations. 1972. Vol. 12, No. 3. P. 559-565.
5. Yangarber V.A. The mixed problem for a modified moisture-transfer equation // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 1967. Vol. 8, No. 1. P. 62-64.
6. Shkhanukov M.Kh. On some boundary value problems for third-order equations arising in the modeling of fluid filtration in porous media // Differential Equations. 1982. Vol. 18, No. 4. P. 689-699.
7. Makaova R.Kh. The second boundary value problem for the generalized Hallaire equation with the Rie-mann-Liouville fractional derivative // Reposts of the Adyghe (Circassian) International Academy of Sciences. 2015. Vol. 17, No. 3. P. 35-38.
8. Nakhushev A.M. Equations of mathematical biology. M.: Vyssh. Shk., 1995. 301 pp.
9. Nakhushev A.M. Fractional calculus and its application. M.: Fizmatlit, 2003. 272 pp.
10. Kal'menov T. Sh. A criterion for the uniqueness of the solution of the Darboux problem for a certain degenerate hyperbolic equation // Differential Equations. 1971. Vol. 7, No. 1. P. 178-181.
11. Kal'menov T. Sh. The Darboux problem for a certain degenerate equation // Differential Equations. 1974. Vol. 10, No. 1. P. 59-68.
12. Balkizov Zh.A. The first boundary value problem for a degenerate hyperbolic equation // Vladikavkaz Math. Journal. 2016. Vol. 18, No. 2. P. 19-30.
13. Balkizov Zh.A. A boundary value problem for a hyperbolic equation that degenerates in the interior // News of Higher Schools. North Caucasus Region. Ser. Natural Sciences. 2016. Iss. 1 (189). P. 5-10.
14. Pskhu A.V. Initial-value problem for a linear ordinary differential equation of noninteger order // Mathematical Collection. 2011. Vol. 202, No. 4. P. 111122.
15. Makaova R.Kh. The first boundary value problem in a nonlocal setting for the generalized Hallaire equation with the Riemann-Liouville fractional derivative // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2017. Iss. 4 (211). P. 36-41. URL: http://vestnik.adygnet.ru
