Первая краевая задача для неоднородного уравнения Аллера Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 4-1(16). C. 45-49. ISSN 2079-6641

DOI: 10.18454/2079-6641-2016-16-4-1-45-49

УДК 517.95

ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ АЛЛЕРА

Р. Х. Макаова

Институт прикладной математики и автоматизации, 360000, г. Нальчик, ул. Шорта-нова, 89-а

E-mail: Makaova.Ruzanna@mail.ru

Для неоднородного уравнения Аллера исследуется первая краевая задача. С помощью метода Фурье найдено явное представление регулярного решения.

Ключевые слова: уравнение Аллера, первая краевая задача

© Макаова Р.Х., 2016

MSC 35R11

THE FIRST BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THE NON-HOMOGENEOUS HALLAIRE EQUATION

R. Kh. Makaova

Institute of Applied Mathematics and Automation,89-a Shortanova St, Nalchik, 360000, Russia

E-mail: Makaova.Ruzanna@mail.ru

First boundary value problem is investigated for the Hallaire inhomogeneous equation. With the help of the Fourier method we have found an explicit representation of a regular solution.

Key words: Hallaire equation, first boundary value problem.

© Makaova R. Kh., 2016

Введение

В прямоугольной области П = {(x,y) : 0 < x < r, 0 < y < T} рассматривается уравнение Аллера

ди д2и , д3и г. . ,1Ч

дУ = адХ2 + b дХ2дУ + f (x,y), (1)

где a, b - заданные положительные числа; f(x,y) - известная функция; u(x,y) -значение искомой функции в точке x в момент времени y.

Известно [1], что при определенных допущениях уравнение (1) описывает фильтрацию жидкости в пористых средах и его решение и = u(x,y) интерпретируется как влажность почвы с коэффициентом диффузивности a и коэффициентом влагопро-водности b в точке x почвенного слоя 0 < x < r в момент времени y, 0 < y < T .

Уравнение (1) является уравнением третьего порядка гиперболического типа, хотя по определению Showalter R.E., Ting T.W. [2] его относят к уравнениям псевдопараболического типа. Локальные, нелокальные и смешанные краевые задачи для уравнений псевдопараболического типа исследовались в работах [3]-[8].

Постановка задачи и полученные результаты

Регулярным в области П решением уравнения (1) назовем функцию и = и(х,у) такую, что и е С(П) ПС!(П), ихх, ихху е С(О), удовлетворяющую уравнению (1). Исследуется следующая

Задача. Найти регулярное в области О решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию

и(х, 0) = 0, 0 < х < г, (2)

и граничным условиям

и(0,у)= 0, и(г,у)= 0, 0 < у < Т. (3)

Применяя метод разделения переменных, нетривиальное решение задачи (2)-(3) для однородного уравнения Аллера ищем в виде

и(х, у)= X (х)У (у), (4)

где X (х) - функция только переменного х, У (у) - функция только переменного у. Подставляя предполагаемую форму (4) в однородное уравнение Аллера, получаем

У = X—^ = —А, А > 0 =С0Ш. (5)

Таким образом, для определения функции X(х) из (5), с учетом (3) и (4), приходим к следующей задаче на собственные значения:

X" + »X = 0, д = -А-, (6)

а — ЬА

X(0)= X(г)= 0, 0 < х < г. (7)

При д < 0 задача (6)-(7) имеет только тривиальное решение u(x,y) = 0. Пусть д > 0. Тогда нетривиальные решения задачи (6)-(7) возможны лишь при значениях

(пп\2 „ „

Дп ={-) , п = l, 2,...

Этим собственным значениям соответствуют собственные функции

Xn(x) = Cnsin(^^nx), Cn = const.

Легко заметить, что система {sin(^pnx)}^=1 = {sin(n^x)}^=1 собственных функций задачи (6)-(7) образует полную ортогональную систему в пространстве L2[0,r].

Найдем решение неоднородного уравнения Аллера (1) в виде ряда Фурье по собственным функциям задачи (6)-(7), т.е. в виде

^

u(x,y) = £ Un(y)sin(^jinx), (8)

n=1

где un(y) - пока неизвестные достаточно гладкие функции.

Предположим, что правая часть f (x,y) уравнения (1) допускает разложение в ряд Фурье по собственным функциям задачи (6)-(7):

f (x, y) = £ fn(y)sin( y/~pnx), (9)

n=1

где

r

2

fn(y) = -J f (%, y)sin(^^n% )d %.

г

0

Отметим, что если функция /(х,у) непрерывна в Й, имеет кусочно непрерывную производную в Й и /(0,у) = /(г,у) = 0, то ее всегда можно разложить в равномерно сходящийся ряд Фурье по полной ортогональной системе собственных функций [9].

Из (1), с учетом (8) и (9), имеем ^

£ [(1 + Ьцп)и'п(у) + адпып(у) - /п(у)] $т(^]±пх) = 0.

п=1

Из последнего равенства, при начальном условии (2), приходим к следующей задаче относительно искомой функции ип(у):

(1 + ЬДп)и'п(у) + а^пЫп(у) = /п(у), п = 1,2,...

ип(0) = 0, п = 1,2,... решение которого выписывается по формуле

. у

ип(у) = ТI е ^(у-п]Ш¥п, п = 1,2,... (10)

1 + ЬЦп .)

0

Подставляя выражение (10), из (8) находим решение задачи (2), (3) для уравнения (1) в виде

у г

и(х, у) = ! 10(х, у; , п)/($, П dп, (11)

00

где

го 2 м

0(х,у;§,п) = £ зт+т-те-™(у—п)sin(^Гnx)sin(ЛГní;). (12)

И=1 г(1 + °мп)

Решение (11) сходится равномерно, так как (12) при всех у — п > 0 является рядом,

го

который мажорируется абсолютно сходящимся числовым рядом 2г £ [г2 + Ьп2п2]—

п=1

Равномерная сходимость иу(х,у) доказывается аналогично.

Пусть существует ограниченная производная /хх(х,у). Из представления (12) верно, что 0(х,у; §, п) = 0(§,у;х, п) и 0(0,у; §, п) = 0(г,у; §, п) = 0. Тогда цепочка равенств, полученных последовательным интегрированием по частям доказывает существование производных ихх, ихху:

у г у

ихх(х,у) = ! 10§§ (х,у; §, п)/(§, п¥§ап = / [0§ (х,у; §, п)/(§, п)] 10 ап —

0 0 0

у у г

— | [0(х, у; §, п) /§ (§, п)] 10 ап + / / 0(х, у; §, п )/§§ (§, п )а§ ап =

0 0 0 у г

= ! 10(х, у; §, п )/§§ (§, п )а§ ап,

00

г у г

ихху (х, у) = У 0(х, у; §, у)/§§ (§, у)а § + 1 у 0у(х, у; §, п )/§§ (§, п )а§ а п. 0 0 0 Таким образом, если выполнены дополнительные условия гладкости относительно функции /(х,у), то формула (11) дает регулярное решение задачи (2) - (3) для уравнения (1). Единственность решения исследуемой задачи вытекает из доказанной в работе [10] теоремы.

Заключение

Для неоднородного уравнения Аллера (1) справедлива следующая Теорема. Пусть функция f (x,y) непрерывна в C, имеет кусочно непрерывную производную в C и f (0,y) = f (r,y) = 0, а также существует ограниченная производная fxx(x,y). Тогда единственное регулярное решение задачи (2) - (3) для уравнения (1) выписывается по формуле (11).

Список литературы/References

[1] Нахушев А. М., Задачи со смещением для уравнений в частных производных, Наука, М., 2006, 287 с., [Nahushev A. M., Zadachi so smeshheniem dlja uravnenij v chastnyh proizvodnyh, Nauka, Moscva, 2006, 287 p. (in Russian)].

[2] Showalter R. E., Ting T. W., "Pseudoparabolic partial differential equations", SIAM J. Math. Anal, 1:1 (1970), 1-26.

[3] Barenblatt G. I., Zheltov Iu. P., Kochina I. N., "Basic concepts in the theory of seepage of homogeneous liquids in fissured rocks [strata]", PMM, 24:5 (1960), 852-864.

[4] Coleman B. D., Duffin R. J., Mizel V. J., "Instability, Uniqueness, and Nonexistence Theorems for the Equation on a Strip", Arch. Rat. Mech. Anal., 19 (1965), 100-116.

[5] Yangarber V.A., "The mixed problem for a modified moisture-transfer equation", Journal of Applied Mechanics and Technical Physics., 8:1 (1967), 62-64.

[6] Шхануков М. Х., "О некоторых краевых задачах для уравнений третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах", Дифференц. уравнения, 18:4 (1982), 689-699, [Shhanukov M. H. O nekotoryh kraevyh zadachah dlja uravnenij tret'ego porjadka, voznikajushhih pri modelirovanii fil'tracii zhidkosti v poristyh sredah. Differenc. uravnenija, 18:4 (1982), 689-699 (in Russian)].

[7] Водахова В. А., "Краевая задача с нелокальным условием А.М. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса", Дифференц. уравнения, 18:18 (1982), 280-285, [Vodahova V. A. Kraevaja zadacha s nelokal'nym usloviem A.M. Nahusheva dlja odnogo psevdoparabolicheskogo uravnenija vlagoperenosa, Differenc. uravnenija, 18:18 (1982), 280-285 (in Russian)].

[8] Макаова Р. Х., "Задача Трикоми для одного уравнения смешанного типа", Доклады Адыгской (Черкесской) Международной Академии наук, 17:1 (2015), 22-24, [Makaova R. H. Zadacha Trikomi dlja odnogo uravnenija smeshannogo tipa, Doklady Adygskoj (Cherkesskoj) Mezhdunarodnoj Akademii nauk, 17:1 (2015), 22-24 (in Russian)].

[9] Бугров Я.С., Никольский С.М., Высшая математика, Дрофа, М., 2004, 512 с., [Bugrov Ja.S., Nikol'skij S.M., Vysshaja matematika, Drofa, Moskva, 2004, 512 p. (in Russian)].

[10] Colton D., "Pseudoparabolic Equations in One Space Variable", Journal of Differ. Equations, 12:3 (1972), 559-565.

Список литературы (ГОСТ)

[1] Нахушев А. М.Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006. 287 с.

[2] Showalter R. E., Ting T. W. Pseudoparabolic partial differential equations // SIAM J. Math. Anal. 1970. vol. 1. no 1. pp.1-26

[3] Barenblatt G. I., Zheltov Iu. P., Kochina I.N. Basic concepts in the theory of seepage of homogeneous liquids in fissured rocks [strata] // PMM. 1960. vol. 24. no 5. pp. 852-864

[4] Coleman B. D., Duffin R. J., Mizel V. J. Instability, Uniqueness, and Nonexistence Theorems for the Equation on a Strip // Arch. Rat. Mech. Anal. 1965. vol. 19. pp. 100-116

[5] Yangarber V. A. The mixed problem for a modified moisture-transfer equation // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 1967. vol. 8. no 1. pp.62-64

[6] Шхануков М. Х. О некоторых краевых задачах для уравнений третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18. №4. C. 689-699

[7] Водахова В. А. Краевая задача с нелокальным условием А.М. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18. №18. C.280-285

[8] Макаова Р. Х. Задача Трикоми для одного уравнения смешанного типа // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной Академии наук. 2015. Т. 17. №1. C. 22-24

[9] Бугров Я. С., Никольский С.М. Высшая математика. М.: Дрофа, 2004. 512 c.

[10] Colton D. Pseudoparabolic Equations in One Space Variable // Journal of Differ. Equations. 1972. vol. 12. no 3. pp. 559-565

Для цитирования: Макаова Р. Х. Первая краевая задача для неоднородного уравнения Аллера// Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. №4-1(16). C. 45-49. DOI: 10.18454/20796641-2016-16-4-1-45-49

For citation: Makaova R. Kh. The first boundary value problem for the non-homogeneous Hallaire equation, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2016, 16: 4-1, 45-49. DOI: 10.18454/20796641-2016-16-4-1-45-49

Поступила в редакцию / Original article submitted: 29.11.2016