О математической модели уравнения Аллера Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 4-1(16). C. 56-65. ISSN 2079-6641

DOI: 10.18454/2079-6641-2016-16-4-1-56-65

УДК 517.95 +51-7

О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ УРАВНЕНИЯ

АЛЛЕРА

К. У. Хубиев

Институт прикладной математики и автоматизации, 360000, г. Нальчик, ул. Шорта-нова, 89А

E-mail: khubiev_math@mail.ru

В явном виде выписано решение задачи Гурса для нагруженного уравнения гиперболического типа второго порядка, предложенного в качестве математической модели уравнения Аллера при определенных условиях.

Ключевые слова: Математическая модель уравнения, нагруженное уравнение, уравнение Аллера, задача Гурса.

© Хубиев К. У., 2016

MSC 34L99

ON MATHEMATICAL MODELS OF THE ALLER

EQUATION

K.U. Khubiev

Institute of Applied Mathematics and Automation, 360000, Nalchik, Shortanova st., 89A, Russia

E-mail: khubiev_math@mail.ru

The solution to the Goursat problem is written out explicitly for a hyperbolic second-order loaded equation, proposed as a mathematical model of Aller equation under certain conditions.

Key words: equation mathematic model, loaded equation, Aller equation, Goursat problem.

© Khubiev K.U., 2016

Введение

Уравнение Аллера

Uy = (aux + buxy)x, (1)

является уравнением гиперболического типа, хотя его принято называть уравнением псевдопараболического типа. Уравнение Аллера находит многочисленные применения при математическом моделировании различных физических и биологических процессов [1, с. 261], [2]. Изучению псевдопараболических уравнений и уравнения Аллера, в частности, посвящено много работ, например, [3] - [10].

Выражение П(х,y) = aux + buxy, как правило, интерпретируется как поток процесса, протекающего в одномерной среде 0 < x < l во все моменты времени y от начального y = 0 до расчетного y = T. Если известен поток П(0,y) = f(y) в точке x = 0 для любого момента времени y G [0, T], то уравнение (1) переписывается в виде [11], [1, с. 262], [12, с. 59]:

x

д f

buxy + aux = dyj u(Ç, y)d % + f (y). (2)

0

Одним из эффективных методов приближенного решения краевых задач для дифференциальных уравнений является предложенный А.М. Нахушевым в работе [13] метод редукции к нагруженным интегро-дифференциальным уравнениям [14]. В связи с этим вызывает интерес постановка и исследование краевых задач для нагруженных интегро-дифференциальных уравнений.

Локальные и нелокальные краевые задачи для нагруженных уравнений параболического типа с интегральным усреднением рассматривались в работах многих авторов (см., например, [12], [ 15]-[ 18] и библиографию там).

Исследованию уравнений гиперболического типа вида (2) посвящено меньше работ. В [19] в области Q = {(x, t) : 0 < x < l, 0 < t < T} для существенно нагруженного уравнения

,,„ - u„ - b{x.,) /(T -,M, T)dT = cf., <)

0

доказано существование и единственность решения начально-краевой задачи, получены априорные оценки для решения.

В работе [11] в области О = {г|0 < х < 1, 0 < у < Т} для уравнения, частным случаем которого является уравнение (2),

у х

д [ д ( Ьы = а(г) дх] а (г, П )ы(х, П + Ь(г) ду ] в (г, ^ )ы(£, уЖ + ¡(¿),

00

где Ьы = ыху + А(г)ых + В(г)ыу + С(г)ы, доказаны существование и единственность решения задачи Гурса и нелокальной краевой задачи. Там же показано, что линеаризованное уравнение Аллера можно переписать в виде (2), доказана однозначная разрешимость задачи Гурса для нагруженного гиперболического уравнения с характеристическим вырождением порядка при х = 0:

х

д

x(uxy + XUx)= М^т/ %u(%,y)d%.

д y, 0

В работе [20] получены условия однозначной разрешимости задачи Гурса для нагруженного гиперболического уравнения

д2и в' ди в ди ... .

+ — ^---— = -(У - Б1и(л, у),

dxdy y — x дx y — x дy

в области Q = {z : 0 < x < y < I = const}, где в,в',д = const, в + в' < 1, в < 1, в' < 1, д > —2 = const,

д I д x x I

Biu(x, y) = a(z)^ a (z, n )u (x, n )dn + b(z) Y(z,«),(«, y)d% + / d% / c(z, Z)u(Z)dn. y 0 0 y

В [12, с. 34] для модельного нагруженного уравнения гиперболического типа

x y

Uxy = А

u(t,x0)dt + u(x0, n)dn

выписан спектр однородной задачи Гурса. Для уравнения (2) при а = 0 выписано решение задачи Гурса в явном виде [12, с. 65].

В работах [21], [22] рассмотрены математические модели нагруженного уравнения смешанного гиперболо-параболического типа как с характеристическим, так и с нехарактеристическим изменением типа, исследована смешанная краевая задача для уравнения плоской волны в прямоугольной плоскости. Для предложенных в качестве моделей уравнений смешанного тип были исследованы краевые задачи, выписаны решения задач в явном виде.

В данной работе в качестве математической модели уравнения Аллера в случае, когда известен поток аих(0,у) + Ьиху(0,у) = f(у), рассматривается уравнение (2), которое является нагруженным уравнением гиперболического типа. Для уравнения (2) при Ь = 0 выписано решение задачи Гурса в явном виде.

Постановка задачи

Задача. Найти в области & = {(х,у) : 0 < х < I, 0 < у < Т} решение и(х,у) уравнения (2) из класса С(&) ПС2(&), удовлетворяющее условиям

и(х, 0)= т(х), 0 < х < I, (3)

и(0,у) = ф0(у), 0 < у < Т, (4)

причем т(0) = фо(0).

Основной результат

Справедлива следующая Теорема.

Пусть Ь = 0, т(х) е С[0,I] пC2]0,1[, щ(у) е C[0,Т] ПС2]0,T[. Тогда единственное решение задачи (3)-(4) для уравнения (2) представимо в виде

х у

ы(х,у) = у(х,у) + У г(%,у^х(х - %, 0)й% + У у(х, п^у(0,у - п)йп +

00

х у

+ ! ! У(%, п^ху(х - %,у - п)йпй%, (5)

00

где:

х у у

7(х,у) = т(х) - т(0) + ?0(у)(х- %)т(%)й% - ^¡щШп + ^/(п)йп, (6)

w(x, у) = I е-ф (2,1; гх2)ф (1,1; дгу)йг, (7)

0

~ ткк а ф(р,#;г) = ^ , -г, р > -1 - функция Райта [23, ^ 23], д = --.

к=0 (рк + Ь Доказательство теоремы

x

Обозначая через д = - а, Ь(х, у) = ^ ы(%, у)й % + / (у), из (2) получим

0

ыху - дых = Н(х,у). (8)

Интегрируя уравнение (8) по переменной у от 0 до у, получаем:

у у

ых(х,у) - ых(х, 0) - д^ ых(х, п)йп = IН(х, п)йп, (9)

00

где

1к(х, п)йп = 1 {щ!ы(%, п)й% + /(п)}йп = / {ы(%,у) - ы(%,0)}й% + 1 /(п)йп.

0 0 0 0 0

Интегрируя теперь равенство (9) по переменной х от 0 до х, находим

у х

ы(х,у) - ы(0,у) - ы(х, 0) + ы(0,0) - д ! ы(х, п)йп + Д^ ы(0, п)йп =

о

y

= I(x - Ç)u(Ç,y)dÇ - f (x - Ç)u(Ç, 0)dÇ + x j f (n)dn,

y

x

x

x

откуда, используя обозначение (6), получим уравнение

х у

и(х,у)(х- %)и(%,- . !и(х, п)<1ц = у(х,у). (10)

00

Уравнение (10) является двумерным интегральным уравнением Абеля второго рода и разрешимо единственным образом. Используя обозначение оператора дробного интегродифференцирования В®у [1, с. 28], перепишем уравнение (10) в виде

Ьи = и - О-2и - .О-1 и = у. (11)

В общем случае уравнение (11) исследовано в [24]. Введем в рассмотрение функцию (7):

„—г

w(x,y) = Je tф(2,1;tx2)fy(1,1;¡ity)dt,

где

1 2ч £ (tx2)k ^ 1 , £ (ßty)k

ф(2,1;tx2)=k=0 кЫ)!, ф(1,1;ßty) = E TST •

Учитывая, что

д

—ф (р, д; г) = ф (р, д + р; г), (12)

О- 1д-1ф (р, д; ггр)= гд+е-1ф (р, д + е; ггр), д > 0,

д

\Tt- D-2

имеем

- D0x2) ф (2,1; tx2) = 0, - ßD-1) ф (1,1; ßty) = О,

-О0х2ф (2,1; tx2) ■ ф (1,1; ßty) - ßф(2,1; tx2) ■ Doy1ф (1,1; ßty) =

= _ д

Отсюда получаем

(ф (2,1; tx2^ (1,1; ßty)

Lw = J e

0

ф(2,1;tx2^(1,1;ßty) - д (ф(2,1;tx2)ф(1,1;ßty)

dt =

d_ д t

dt = 1 •

е-г ф (2,1; гх2)ф (1,1;.гу)

дг

0

Рассмотрим двумерную свертку Лапласа интегрируемых функций у(х,у) и п(х,у) [25]:

х у

7(х,у) * п(х,у) = ! У у(%, П)п(х - %,у - п)dпd%. 00

Воспользовавшись свойствами свертки, имеем

х у

у* п = Ьи * п = и * Ьп> = и * 1 = J ! и(%, п)dпd%,

00

оо

t

откуда, после дифференцирования, получаем решение уравнения (11) в виде

u(x, y) = d&y (Y *w) = -¿dyJJ Y (*,n )w(x - *,y - n )d n d * =

0 0

x y

= у(x,y)w(0,0) + J Y(*,y)wx(x - *, 0)d* + J Y(x, n)wy(0,y - n)dn+

x y

х - у

00 х у

+ ! ! У(%, п^ху(х - %,у - п)йпй%.

00

Принимая во внимание, что ф(р,д;0) = . , и, следовательно, ф(р, 1;0) = 1, по-

г (Я)

лучаем

сю сю

w(0,0)= ! е-ф (2,1; 0) ф (1,1;0)йг = ^ е-1йг = 1, 00 откуда следует формула (5):

х у

ы(х,у) = у(х,у) + У Y(%,у^х(х - %, 0)й% + ! у(х, п^у(0,у - п)йп +

x - y

00

x y

+ ! ! Y(%, п^ху(х - %,у - п)йпй%.

00

Таким образом, единственное решение задачи (2) - (4) задается формулой (5). Теорема доказана.

Заметим, что формула (5) может быть преобразована в более удобный в некоторых случаях вид. Действительно, с учетом формулы (12) и принимая во внимание, что

сю

/е-<,кл=к!,имеем

0

сю сю

wx(x, у) = I е-д^ф (2,1; гх2)ф (1,1; дгу)йг = 2х ^ ге~% ф (2,3; гх2)ф (1,1; д гу)йг,

x

00

сю

Wx(x- *,0) = 2(x- *) Ite-tф(2,3;t[x - *]2)ф(1,1;0)dt =

0

1 1 2 k

2(x - *) f te-tф(2,3;t[x - *]2)dt = 2(x - *) jte-t £ ^(2*13) dt 0 0 k=0 )

2(x *) V (x- *)2k 1 ,k+i,-,d, v 2(k + 1)!(x - *)2k+1

= 2(x- *)£kM! 0 ' e dt = £ k!(2k + 2)! =

~ (х- Е

& та-=sh(x - Е >•

Wy (0, y — п) = МеМ(y—п). Таким образом, формулу (5) можно переписать в виде

x

У

u(x,y) = Y(x,y) + J sh(x- Е)y(E,y)dE + J(y n)Y(x, n)dn+

0

0

x y

+ J JWxy(x - Е,y - n)Y(E, П)dn.

(13)

00

x y

x y

Если м = 0, то J J wxy(x — %,y — п)y(%, П)dn= 0, и из (13) получаем о о

x

x

u(x,y) = Y(x,y) + j sh(x - Е)y(E,y)dE = ch(x - Е)y(E ,y)dE. (14)

0

0

Формула (14) совпадает с решением уравнения (10) при м = 0, приведенным в монографии [12, с. 65].

Список литературы/References

[1] Нахушев А.М., Уравнения математической биологии, Высш. шк., М., 1995 301, [Nakhushev A. M., Uravneniya matematicheskoy biologii, Vyssh. shk., M., 1995. 301 p. (in Russian)].

[2] Янгарбер В. А., "Сеточная схема для решения модифицированного уравнения вла-гопереноса", 1966, №8, 46-48, [Yangarber V. A., Setochnaya skhema dlya resheniya modifitsirovannogo uravneniya vlagoperenosa, 1966, №8, 46-48. (in Russian)].

[3] Водахова В. А., "Краевая задача с нелокальным условием А. М. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса", Дифференц. уравнения, 18:2 (1982), 280-285, [Vodakhova V. A., Kraevaya zadacha s nelokal'nym usloviem A. M. Nakhusheva dlya odnogo psevdoparabolicheskogo uravneniya vlagoperenosa, Differents. uravneniya, 18:2 (1982), 280-285 (in Russian)].

[4] Шхануков M.X., "О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах", Дифференц. уравнения, 18:4 (1982), 689-699, [ Shkhanukov M. X. O nekotorykh kraevykh zadachakh dlya uravneniya tret'ego poryadka, voznikayushchikh pri modelirovanii fil'tratsii zhidkosti v poristykh sredakh, Differents. uravneniya, 18:4 (1982), 689-699 (in Russian)].

[5] Солдатов А. П., Шхануков М. Х., "Краевые задачи с общим нелокальным условием А.А. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка", Докл. АН СССР, 297:3 (1987), 547-551, [Soldatov A. P., Shkhanukov M. Kh. Kraevye zadachi s obshchim nelokal'nym usloviem A.A. Samarskogo dlya psevdoparabolicheskikh uravneniy vysokogo poryadka, Dokl. AN SSSR, 297:3 (1987), 547-551. (in Russian)].

[6] Жегалов В. И., Уткина Е.А., "Об одном псевдопараболическом уравнении третьего порядка", Известия Вузов. Математика, 1999, № 10(449), 73-76, [Zhegalov V. I., Utkina E. A. Ob odnom psevdoparabolicheskom uravnenii tret'ego poryadka, Izvestiya Vuzov. Matematika, 1999, №10(449), 73-76 (in Russian)].

[7] Кожанов А. И., "Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Аллера", Дифференц. уравнения, 40:6 (2004), 769774, [ Kozhanov A. I. Ob odnoy nelokal'noy kraevoy zadache s peremennymi koeffitsientami dlya uravneniy teploprovodnosti i Allera, Differents. uravneniya, 40:6 (2004), 769-774 (in Russian)].

[8] Кожанов А. И., Попов Н. С., "О разрешимости некоторых задач со смещением для псевдопараболических уравнений", Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика, 10:3 (2010), 46-62, [Kozhanov A. I., Popov N. S. O razreshimosti nekotorykh zadach so smeshcheniem dlya psevdoparabolicheskikh uravneniy, Vestnik NGU. Seriya: Matematika, mekhanika, informatika, 10:3 (2010), 46-62 (in Russian)].

[9] Макаова Р. Х., "Об одной краевой задаче для обобщенного уравнения Аллера", Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 14:3 (2012), 19-23, [Makaova R. Kh. Ob odnoy kraevoy zadache dlya obobshchennogo uravneniya Allera, Doklady Adygskoy (Cherkesskoy) Mezhdunarodnoy akademii nauk, 14:3 (2012), 19-23 (in Russian)].

[10] Макаова Р. Х., "Вторая краевая задача для обобщенного уравнения Аллера с дробной производной Римана-Лиувилля", Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 17:3 (2015), 35-38, [Makaova R. Kh. Vtoraya kraevaya zadacha dlya obobshchennogo uravneniya Allera s drobnoy proizvodnoy Rimana-Liuvillya, Doklady Adygskoy (Cherkesskoy) Mezhdunarodnoy akademii nauk, 17:3 (2015), 35-38 (in Russian)].

[11] Нахушев А. М., "Нелокальная задача и задача Гурса для нагруженного уравнения гиперболического типа и их приложения к прогнозу почвенной влаги", Доклады АН СССР, 242:5 (1978), 1008-1011, [Nakhushev A.M. Nelokal'naya zadacha i zadacha Gursa dlya nagruzhennogo uravneniya giperbolicheskogo tipa i ikh prilozheniya k prognozu pochvennoy vlagi, Doklady AN SSSR, 242:5 (1978), 1008-1011 (in Russian)].

[12] Нахушев А.М., Нагруженные уравнения и их применения, Наука, М., 2012, 232 с., [Nakhushev A.M. Nagruzhennye uravneniya i ikh primeneniya, Nauka, M., 2012, 232 p. (in Russian)].

[13] Нахушев А.М., "Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод", Дифференц. уравнения, 18:1 (1982), 72-81, [Nakhushev A.M. Ob odnom priblizhennom metode resheniya kraevykh zadach dlya differentsial'nykh uravneniy i ego prilozheniya k dinamike pochvennoy vlagi i gruntovykh vod, Differents. uravneniya, 18:1 (1982), 72-81 (in Russian)].

[14] Нахушев А.М., "О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка", Дифференц. уравнения, 12:1 (1976), 103-108, [Nakhushev A.M. O zadache Darbu dlya odnogo vyrozhdayushchegosya nagruzhennogo integrodifferentsial'nogo uravneniya vtorogo poryadka, Differents. uravneniya, 12:1 (1976), 103-108 (in Russian)].

[15] Ozturk Ilhan, "Boundary value problem for the loaded differential equation of fractional order", Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 1:2 (1995), 12-17, [Ozturk Ilhan. Boundary value problem for the loaded differential equation of fractional order, Doklady Adygskoy (Cherkesskoy) Mezhdunarodnoy akademii nauk, 1:2 (1995), 12-17].

[16] Токова А. А., "Задача с нелокальными краевыми условиями для одного класса нагруженных дифференциальных уравнений в частных производных", 2006, №43, 178181, [Tokova A. A. Zadacha s nelokal'nymi kraevymi usloviyami dlya odnogo klassa nagruzhennykh differentsial'nykh uravneniy v chastnykh proizvodnykh, 2006, №43, 178-181 (in Russian)].

[17] Токова А. А., "Краевая задача с условиями Пуанкаре для линейного нагруженного дифференциального уравнения с частными производными параболического типа", Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 9:1 (2007), 110-112, [Tokova A. A. Kraevaya zadacha s usloviyami Puankare dlya lineynogo nagruzhennogo differentsial'nogo uravneniya s chastnymi proizvodnymi parabolicheskogo tipa, Doklady Adygskoy (Cherkesskoy) Mezhdunarodnoy akademii nauk, 9:1 (2007), 110-112 (in Russian)].

[18] Хуштова Ф.Г., "Нелокальная краевая задача для нагруженного уравнения параболического типа со знакопеременной характеристической формой", Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 13:2 (2011), 71-76, [Khushtova F. G. Nelokal'naya kraevaya zadacha dlya nagruzhennogo uravneniya parabolicheskogo tipa so znakoperemennoy kharakteristicheskoy formoy, Doklady Adygskoy (Cherkesskoy) Mezhdunarodnoy akademii nauk, 13:2 (2011), 71-76 (in Russian)].

[19] Frost M. B., "Solvability of an initial-boundary problem for a loaded wave equation", Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета, 2011, №2(35),

88-81, [ Frost M. B. Solvability of an initial-boundary problem for a loaded wave equation, Vestnik Sibirskogo gosudarstvennogo aerokosmicheskogo universiteta, 2011, №2(35), 8881].

[20] Гогуноков З. Г., "Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук", 5:1 (2000), 20-23, [Khubiev K. U. Ob odnoy modeli nagruzhennogo giperbolo-parabolicheskogo uravneniya v chastnykh proizvodnykh vtorogo poryadka s kharakteristicheskim izmeneniem tipa, Doklady Adygskoy (Cherkesskoy) Mezhdunarodnoy akademii nauk, 17:2 (2015), 48-51. (in Russian)].

[21] Хубиев К. У., "Об одной модели нагруженного гиперболо-параболического уравнения в частных производных второго порядка с характеристическим изменением типа", Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 17:2 (2015), 48-51, [Khubiev K.U. Ob odnoy modeli nagruzhennogo giperbolo-parabolicheskogo uravneniya v chastnykh proizvodnykh vtorogo poryadka s kharakteristicheskim izmeneniem tipa, Doklady Adygskoy (Cherkesskoy) Mezhdunarodnoy akademii nauk, 17:2 (2015), 48-51. (in Russian)].

[22] Хубиев К. У., "О модели нагруженного гиперболо-параболического уравнения в частных производных второго порядка", Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2015, №2(11), 27-38, [Khubiev K.U. O modeli nagruzhennogo giperbolo-parabolicheskogo uravneniya v chastnykh proizvodnykh vtorogo poryadka, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki, 2015, №2(11), 27-38 (in Russian)].

[23] Псху А. В., Уравнения в частных производных дробного порядка, Наука, М., 2005, 199 с., [Pskhu A. V. Uravneniya v chastnykh proizvodnykh drobnogo poryadka, Nauka, Moskva, 2005, 199 p. (in Russian)].

[24] Псху А. В., "Решение двумерного интегрального уравнения Абеля второго рода", Известия КБНЦ РАН, 2016, №6(74), [Pskhu A. V. Reshenie dvumernogo integral'nogo uravneniya Abelya vtorogo roda, Izvestiya KBNTs RAN, 2016, №6(74) (in Russian)].

[25] Диткин В. А., Прудников Ф. П., Операционное исчисление по двум переменным и его приложения, Физматлит, М., 1959, 178 с., [Ditkin V. A., Prudnikov F. P., Operatsionnoe ischislenie po dvum peremennym i ego prilozheniya, Fizmatlit, M., 1959, 178 p. (in Russian)].

Список литературы (ГОСТ)

[1] Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1995. 301 с.

[2] Янгарбер В. А. Сеточная схема для решения модифицированного уравнения влагопере-носа // Доклады академии сельскохозяйственных наук. 1966. № 8. С. 46-48.

[3] Водахова В. А. Краевая задача с нелокальным условием А.М. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, № 2. С. 280-285.

[4] Шхануков М. X. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, № 4. С. 689-699.

[5] Солдатов А. П., Шхануков М. Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием А.А. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка // Докл. АН СССР. 1987. Т. 297, № 3. С. 547-551.

[6] Жегалов В.И., Уткина Е.А. Об одном псевдопараболическом уравнении третьего порядка // Известия Вузов. Математика. 1999. № 10(449). С. 73-76.

[7] Кожанов А. И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Аллера // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, № 6. С. 769-774.

[8] Кожанов А. И., Попов Н. С. О разрешимости некоторых задач со смещением для псевдопараболических уравнений // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2010. Т. 10, вып. 3. C. 46-62.

[9] Макаова Р. Х. Об одной краевой задаче для обобщенного уравнения Аллера // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2012. Т. 14. № 3. С. 19-23.

[10] Макаова Р. Х. Вторая краевая задача для обобщенного уравнения Аллера с дробной производной Римана-Лиувилля // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2015. Т. 17. № 3. С. 35-38.

[11] Нахушев А. М. Нелокальная задача и задача Гурса для нагруженного уравнения гиперболического типа и их приложения к прогнозу почвенной влаги // Доклады АН СССР. 1978. Т. 242, № 5. С. 1008-1011.

[12] Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их применения. М.: Наука, 2012. 232 с.

[13] Нахушев А. М. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, № 1. С. 72-81.

[14] Нахушев А. М. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12, № 1. С. 103-108.

[15] Ozturk Ilhan Boundary value problem for the loaded differential equation of fractional order // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 1995. Т. 1, № 2. С. 12-17.

[16] Токова А. А. Задача с нелокальными краевыми условиями для одного класса нагруженных дифференциальных уравнений в частных производных // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. 2006. № 43. С. 178-181.

[17] Токова А. А. Краевая задача с условиями Пуанкаре для линейного нагруженного дифференциального уравнения с частными производными параболического типа // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2007. Т. 9, № 1. С. 110-112.

[18] Хуштова Ф. Г. Нелокальная краевая задача для нагруженного уравнения параболического типа со знакопеременной характеристической формой // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2011. Т. 13. № 2. С. 71-76.

[19] Frost M. B. Solvability of an initial-boundary problem for a loaded wave equation //Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета. 2011, № 2(35). С. 88-81.

[20] Гогуноков З. Г. Задача Гурса для нагруженного гиперболического уравнения второго порядка // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2000. Т. 5, № 1. С. 20-23.

[21] Хубиев К. У. Об одной модели нагруженного гиперболо-параболического уравнения в частных производных второго порядка с характеристическим изменением типа // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2015. Т. 17, № 2. С. 4851.

[22] Хубиев К. У. О модели нагруженного гиперболо-параболического уравнения в частных производных второго порядка // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2015. № 2(11). С. 27-38.

[23] Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 с.

[24] Псху А. В. Решение двумерного интегрального уравнения Абеля второго рода // Известия КБНЦ РАН. 2016. № 6(74).

[25] Диткин В. А., Прудников Ф. П. Операционное исчисление по двум переменным и его приложения. М.: Физматлит, 1959. 178 с.

Для цитирования: Хубиев К. У. О математической модели уравнения Аллера // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 4-1(16). C. 56-65. DOI: 10.18454/2079-6641-201616-4-1-56-65

For citation: Khubiev K. U. On mathematical models of the Aller equation, Vestnik KRAUNC.

Fiz.-mat. nauki. 2016, 16: 4-1, 56-65. DOI: 10.18454/2079-6641-2016-16-4-1-56-65

Поступила в редакцию / Original article submitted: 17.11.2016