Краевая задача для нагруженного дифференциального уравнения с оператором Барретта в главной части Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 4(15). C. 7-11. ISSN 2079-6641

DOI: 10.18454/2079-6641-2016-15-4-7-11 МАТЕМАТИКА

УДК 517.95

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ОПЕРАТОРОМ БАРРЕТТА В ГЛАВНОЙ ЧАСТИ

Р. З. Березгова

Институт прикладной математики и автоматизации, 360000, Кабардино-Балкарская республика, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89 а E-mail: [email protected]

В работе исследована краевая задача для нагруженного дифференциального уравнения дробного порядка с оператором Барретта в главной части.

Ключевые слова: оператор Барретта, уравнение дробного порядка, нагруженное уравнение.

(§) Bepe3roBa P. 3., 2016

MATHEMATICS

MSC 35M12

A BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR LOADED DIFFERENTIAL EQUATION WITH THE BARRETT OPERATOR IN THE MAIN PART

R. Z. Berezgova

Institute of Applied Mathematics and Automation 360000, Kabardino-Balkariya, Nalchik, Shortanova st., 89 a, Russia E-mail: [email protected]

In this paper, we study the boundary value problem for loaded differential equations of fractional order with the Barrett operator in the main part.

Key words: Barrett operator, differential equations of fractional order, loaded equation.

© Berezgova R.Z., 2016

Введение

Краевым и начальным задачам для нагруженных дифференциальных уравнений с оператором Барретта посвящены работы [1] — [7].

В данной работе исследуется однозначная разрешимость краевой задачи для нагруженного дифференциального уравнения с оператором Барретта в главной части.

Постановка задачи

Рассмотрим следующее нагруженное дифференциальное уравнение порядка а:

k

Dt и (x, п) - А и (x, t) = £ aj (x, п) и (x, tj) + и (x, t), (1)

j=1

где D« - оператор дробного дифференцирования порядка а e]m — 1,m], m = 1,2,... [8, с.28], А =const, aj(x, t), и (x,t) — заданные непрерывные в области Q = {(x,t) : 0 < x < r, 0 < t < T} функции независимых переменных x и t; t = tj — это фиксированные точки из отрезка [0, T].

Задача 1. Найти решение и = и (x, t) уравнения (1) из пространства L (Q), непрерывное всюду в замыкании Q, за исключением, быть может, отрезка Ir = {(x, 0): 0 < x < r}, удовлетворяющее следующим условиям:

lim D«t—l и (x, п) = V (x), limD«t—m^x,п)= M(x), 0 < x < r,

I = 1,т — 1; т — 1 < а < т; т = 2,3,...

где V (х), д(х) е С[0,г].

Исследование задачи 1

Цель данной работы состоит в исследовании однозначной разрешимости краевой задачи 1.

Докажем следующую теорему.

Теорема. Пусть и (х, г) е С(П \ 1Г) ПЦП) и выполняется условие Е1/а (ЯТа; 1) = 0,

^ к

где Е1/ а (г; д) = £

Гак+д)— функция типа Миттаг-Леффлера [8, 12]. Тогда любое решение задачи 1 является решением нагруженного функционального уравнения

к

и (х, г) = и (V, д, и, Я; х, г)+ £ Л-7' (х, г) и (х, г,), (2)

7=1

где

m—1

U (v, м, и, А;x, t) = £ Vl(x) i=i

t а—lE1/ а (А t а; а — l + 1) —

t а—mE1/ а (А t а; а — m + 1)Tm—lE1/ а [А (T — п )а; m — l + 1]

E1/а (А T а; 1)

+

Краевая задача для нагруженного дифференциального уравнения .. ISSN 2079-6641

д(x)tа-mE1/a(Яt«; а - m + 1) « г « п

() 1/а( ; — + Г (а) D-«Ei/а [Я (t - п)а; а] и(x, п)-

Ei/а (Я T «; 1)

Г(а)tа-mE1/o(Яtа; а - m + 1)D0TmE1/a[Я(T - п)а; а]и(x, п)

Ei/а (ЯTа; 1)

1/а

Aj (x, t) = Г (а) D-« Е1/а [Я (t - п )а; « «j (x, п) -

Г(а)tа-mE1/o(Яtа; а - m + [Я(T - п)а; а]aj(x, п)

Ei/« (Я T а; 1)

Доказательство. Из [2, с. 100] известно, что единственное решение задачи Коши

в нелокальной постановке

lim D« 1 u (x, t) = Vi (x), t-ю 0t

i = 1,m; m- 1 < а < m; m = 1,2,...

для уравнения

D«tu(x, п) - Яu(x, t) = и(x, t)

задается формулой

u (x, t) = £ Vi (x) tа-Е1/а (Яtа; а - i + 1) + Г(а)D°aEi/«[Я(t - п)а; а]и(x, п). (3) i=1

Для уравнения (1) представление (3) запишется в следующем виде:

m- 1

i(x,t) = £ Vi(x)tа-г'Е1/а(Яtа; а - i + 1) + Vm(x)tа-mx

i=1

Г k п

хЕ1/а(Яtа; а - m + 1) + Г(а^¿«Е^«[Я(t - п)а; а] £ aj (x, п) u(x, tj) + и(x, п) . (4)

j=1

Удовлетворяя (4) второму условию задачи 1 будем иметь

m- 1

limD0Tmu(x,п) = £ Vi«Г-^/а(ЯT«;m-i + 1)+

t^T . ,

г=1

r- k

+Vm(x)El/а(ЯTа; 1) + Г(ар-^/«[Я(T - п)а; а] £ aj (x, п) u(x, tj) + и(x, п) = Д(x)

j=1

откуда

Vm(x) = 1

Е1/а (Я T а; 1)

m- 1

д(x) - £ Vi(x)Tm-iEi/a(ЯTа;m- i + 1)

i=1 9

Г k

-Г( a)DormEi/ а [Я (T - п )а; а] £ (x, п) u (x, . + и(x, п)

j=1

Подставляя полученное выражение для Уш(х) в представление (4) будем иметь:

га-г£1/ а (А г а; а- г + 1)-

Ш—1

^ t) = £ Vi(x)

г'=1

t а—mE1/ а (Я t а; а — m + 1)Tm—'iE1/а [Я (T — п )а; ш — i + 1]

Ei/ а (ЯTа; 1)

+

ß (x)t а—mE1/ а (Я t а ;а — m + 1) а Г а п .

+—-E ^ЯTа;1)-1 + Г( а)DTE1/а [Я (t — п)а; а] (x, n) —

Г( а> а—mE1/ а (Я t а; а — m + ^D^TE^ а [Я (T — п)а; а]а. (x, п)

E1/а (Я Tа; 1) +Г ( а) аE1 /а [Я (t — п)а; а] и (x, п) —

Г( а)t а—mE1/ а (Я t а ;а — m + 1)0—^1/ а [Я (T — п )а; а] и (x, п)

(5)

Е1/а (А Та; 1)

С учетом обозначений, введенных выше при формулировке теоремы 1, выражение (5) можно переписать в виде

к

и (х, г) = и (V, д, и, А; х, г) + £ Л-7' (х, г )и(х, г7'). (6)

7=1

Найдем искомые функции и(х,г7'), ' = 1,к, входящие в формулу (6). Для этого перепишем уравнение (6) при г = гь г = г2, ..., г = гк. В результате относительно искомых функций и(х,г'), ' = 1,к придем к следующей системе линейных алгебраических уравнений

к

[1 - Лг(х,гг)] и(х,гг) - £ (1 - й'А7'(х,гг)и(х,г^) = и(V, д, и, А;х,гг), г = 1,2,...,к,

'=1

которая имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля для любого х € [0,г].

В частном случае, когда к = 1 представление (6) примет вид

и (х,г) = и(V, д, и, А;х, г)+ Л(х,г)и(х,г1). (7)

Положив в равенстве (5) г = гь находим

и (V, д, и, А;х, г1) и(х, г1)= 1 - Л(х, г1) ,

при условии, что Л(х,г1) = 1.

Краевая задача для нагруженного дифференциального уравнения . . .ISSN 2079-6641

Таким образом, если коэффициенты а, Я, а(х,задачи 1 таковы, что выполнено

то при к = 1 существует единственное решение задачи 1, которое можно записать в следующем виде:

Список литературы

[1] Barrett J.H., "Differential equation of noninteger", J. Math. Canad., 6:4 (1954), 529-541.

[2] Нахушев А.М., Дробное исчисление и его применение, ФИЗМАТЛИТ, М., 2003, 272 с., [Nakhushev A.M. Drobnoe ischislenie i ego primenenie. Moskva. FIZMATLIT. 2003. 272 (in Russian)].

[3] Нахушева В. А., Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов, Наука, М., 2006, 174 с., [Nakhusheva V. A. Differentsial'nye uravneniya matematicheskikh modeley nelokal'nykh protsessov. Moskva. Nauka. 2006. 174 (in Russian)].

[4] Нахушева В. А., "Задачи Коши и Дирихле в видоизмененной постановке для одного класса нагруженных дифференциальных уравнений дробного порядка", Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 11:1 (2009), 6-9, [Nakhusheva V. A. Zadachi Koshi i Dirikhle v vidoizmenennoy postanovke dlya odnogo klassa nagruzhennykh differentsial'nykh uravneniy drobnogo poryadka. Doklady Adygskoy (Cherkesskoy) Mezhdunarodnoy akademii nauk. 2009. 11:1 6-9 (in Russian)].

[5] Нахушев А.М., Нагруженные уравнения и их применение, Наука, М., 2012, 232 с., [Nakhushev A.M. Nagruzhennye uravneniya i ikh primenenie. Moskva. Nauka. 2012. 232 (in Russian)].

[6] Кажарова Р. З., "Об одной краевой задаче для нагруженного дифференциального уравнения дробного порядка", Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 12:1 (2010), 25-30, [Kazharova R. Z. Ob odnoy kraevoy zadache dlya nagruzhennogo differentsial'nogo uravneniya drobnogo poryadka. Doklady Adygskoy (Cherkesskoy) Mezhdunarodnoy akademii nauk. 2010. 12:1, 25-30 (in Russian)].

[7] Псху А. В., Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка, Издательство КБНЦ РАН, Нальчик, 2005, 186 с., [Pskhu A.V. Kraevye zadachi dlya differentsial'nykh uravneniy s chastnymi proizvodnymi drobnogo i kontinual'nogo poryadka. Nal'chik. Izdatel'stvo KBNTs RAN. 2005. 186 (in Russian)].

[8] Нахушев А.М., Уравнения математической биологии, Высшая школа, М., 1995, 301 с., [Nakhushev A.M. Uravneniya matematicheskoy biologii. Moskva. Vysshaya shkola. 1995. 301 (in Russian) ].

Для цитирования: Березгова Р. З. Краевая задача для нагруженного дифференциального уравнения с оператором Барретта в главной части // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 4(15). C. 7-11. DOI: 10.18454/2079-6641-2016-15-4-7-11

For citation: Berezgova R. Z. A boundary value problem for loaded differential equation with the Barrett operator in the main part, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2016, 15: 4, 7-11. DOI: 10.18454/2079-6641-2016-15-4-7-11

Поступила в редакцию / Original article submitted: 18.10.2016

условие

A (x, ti) = Г (a) Я-«EVa [A (ti - n )a ; a] a (x, n) -

Г(а)tj*-mEi/a(Atf ; a - m + 1)DormEi/a[A(T - n)a; a]a(x, n)

Ei/a (AT« ; 1)

= i,

и (x, t) = U (v, д, и, A ; x, t) + A(x, t )

U (v, д, и, A ;x, ti) i - A(x,ti)