Задача с интегральным условием для уравнения дробной диффузии с оператором Капуто Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 4-1(16). C. 38-44. ISSN 2079-6641

DOI: 10.18454/2079-6641-2016-16-4-1-38-44

УДК 517.95

ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ДРОБНОЙ ДИФФУЗИИ С ОПЕРАТОРОМ КАПУТО

Ф.М. Лосанова

Институт прикладной математики и автоматизации, 360000, Кабардино-Балкарская республика, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89 а E-mail: [email protected]

В данной работе рассматривается нелокальная краевая задача с интегральным условием для уравнения дробной диффузии с оператором Капуто. Доказаны теоремы существования и единственности решения поставленной задачи.

Ключевые слова: задача с интегральным условием, уравнение дробной диффузии, частная дробная производная Капуто.

© Лосанова Ф.М., 2016

MSC 34L99

PROBLEM WITH AN INTEGRAL CONDITION FOR FRACTIONAL DIFFUSION EQUATION WITH OPERATOR CAPUTO

F. M. Losanova

Institute of Applied Mathematics and Automation 360000, Kabardino-Balkariya, Nalchik, Shortanova st., 89, Russia E-mail: [email protected]

In this paper we consider a nonlocal boundary value problem with integral condition for the fractional diffusion equation with Caputo operator. The theorem of existence of a solution of the problem.

Key words: There it has proved the existence and uniqueness of solutions of the problem.

© Losanova F.M., 2016

Введение

В области & = {(х,у) : 0 < х < <*>, 0 < у < Т} рассмотрим уравнение

и*х(х, у) - доУФ, у) = /(х, у), (1)

где

у

за , \ 1 [д"(х, П)

^ у) = Г) 1~эПТ

0

- частная дробная производная Капуто порядка а [1, с. 9] (см. [2]), Г(а) - гамма-функция Эйлера, 0 < а < 1.

Оператор с^, впервые был введен в 1967 году итальянским механиком М. Капуто в работе [2] и представлен в его монографии [3]. В работе [4] для многомерного уравнения диффузии дробного порядка с производной Капуто исследована задача Коши. В работе [5] для уравнения (1) рассматривались первая краевая задача в прямоугольной области, задача Коши и краевая задача в бесконечной области, а в [6, с. 104] методом редукции к системе уравнений меньшего порядка построено решение задачи Коши и первой краевой задачи для уравнения (1). Также в работе [6, с. 115] построено общее представление решения уравнения (1) в прямоугольной области, решены основные краевые задачи и найдены соответствующие функции Грина. Для обобщенного уравнения (1) с младшими членами доказан принцип экстремума в работе [7]. Краевые задачи с интегральными условиями для параболических уравнений, в том числе с дробной производной, исследовались в работах [8] - [11].

Постановка задачи

Решение и(х,у) уравнения (1) назовем регулярным в области &, если и(х,у) е С({х > 0, у е (0, Т)}), и(х,у) абсолютно непрерывна как функция переменной у, при каждом фиксированном х, на отрезке [0, Т], и(х,у) имеет непрерывные производные до 2-го порядка по х.

В работе исследуется следующая задача.

В области & требуется найти регулярное решение и(х,у) уравнения (1), удовлетворяющее следующим условиям:

и(х, 0) = т(х), 0 < х < (2)

I

У К (х, у)и(х, у)^х = ^ (у), 0 < у < Т, (3)

0

где т(х), ^(у), К(х, у) - заданные функции.

Без ограничения общности можно считать, что /(х, у) = 0, т(х) = 0. Действительно рассмотрим задачу, решение которой найдено в [5, с. 134]

ихх(х, у) - ¿0у и(х, п) = /(х, у), (4)

и(x, 0) = т(x), 0 < x <

(5)

оо

v(0, y) = 0, 0 < y < T. (6)

Искомое решение будем искать в виде u(x, y) = u(x, y) + и(x, y), где ü(x, y) есть решение задачи

üxx(x, y) - dayü(x, n) = 0, (7)

ü(x, 0) = 0, 0 < x < (8)

i

Jk(x, y)ü(x, y)dx = у(y), 0 < y < T, (9)

0

i

у(y) = у(y) - jK(x, y)v(x, y)dx. 0

Таким образом задача (1)-(3) эквивалента задаче (7)-(9). Поэтому далее будем рассматривать следующую задачу.

В области Q требуется найти регулярное решение u(x,y) однородного уравнения

üxx(x, y) - d§yü(x, n) = 0, (10)

удовлетворяющее следующим условиям:

u(x, 0)= 0, 0 < x < (11)

i

Jk(x, y)u(x, y)dx = у(y), 0 < y < T, (12)

0

где у(y), K(x, y) - заданные функции.

Теорема о существовании и единственности решения задачи

1. Пусть K(x, y) e C(Q), Kx(x, y) e C(Q), K(0, y) ф 0,

Do«-1 ^ e AC[0,T], lim= 0.

Тогда существует регулярное решение уравнения (10) в области удовлетворяющее краевым условиям (11), (12) и представимое в виде

у

у)=1 у—П # (-^ )* (п М. 03)

где ф(у) = оау8(у), а д(у) - является решением интегрального уравнения Воль-терра 2-го рода

у

V 60

g(y) + j G(y, t )g(t )dt =

K(0, y)' 40

I

где 0(у,0 = ^[/(у- ПГ-1^(-)Кх(х, у^х-К(1, у)(у- пГ-1^(-^^)].

Здесь е^'в(г) - функция типа Райта [6, с. 22].

2. Решение задачи (10)-(12) в области & единственно в классе функций, удовлетворяющих для некоторого к > 0 условию

2

и(х, у) = 0(ехр(кх^))

при х ^

Доказательство

Используя представление решения задачи (13) с условиями (12) и и(0,у) = <р(у) для однородного уравнения (10) [5, с. 38] и удовлетворив условию (12), получим

У K(x, y)w(x, y)dx = у K(x, y) J —-n

x

(y - n )

rU (n )dn dx = V (y). (14)

Перепишем (14) в виде

Ki(y, n)ф(П)dndx = V(y),

(15)

где

Ki(y, n )4 y-n <- öT-n)*)

K (x, y)dx.

(16)

Уравнение (15) является интегральным уравнением Вольтерра 1-го рода с ядром К1(у, п) и правой частью ^(у).

Проинтегрировав по частям интеграл в правой части (16), получим

Ki(y, n)= K(0, y)

(y - n)

а—1

Г(а)

- K (/, y)(y - n )а-1#( - ^ )

+

+ У (у - n )а-1e1j( -

(y - n )c

Kx(x, n )dx.

Подставим в (15)

у i у

K(0, у) j Ф(n)dn + /K2(y, n)Ф(n)dn = V(у),

(17)

где

K2(y, n ) = /(y - n )а-1е1,а( - (y-xn^) Kx(^ n )dx - Kft y)(y - n Г-1^ ( - )

y

x

У

К(0, у) -0у>(у) + |К2(у, п)ф(пУп = V(у). (18)

о

В силу формулы дробного интегрирования функции Райта [6, с. 26] и в силу свойств, наложенных на ядро К(х, у), второе слагаемое в левой части уравнения (18)

можно записать в виде

у у у

I К2(у, п )ф (п М п = У -О—а Кз(у, п )ф (п )^п =1 Кз(у, г) (г )Л. (19)

0 0 о

Далее обозначив #(у) = —°уаф(у) с учетом (19), равенство (18) перепишем в виде

у

К(0, у)^(у) +1 Кз(у, гЖг)Л = V(у). (20)

0

Так как по условию К(0, у) ф 0, то соотношение (20) принимает вид

у

£(у) + | К4(у, г )#(г )Л = VI (у), (21)

0

где К4(у, г) = |#4. *М= V(у)

К(0,у)' г'4' К(0,у)-Уравнение (21) является интегральным уравнением Вольтерра 2-го рода. Из теории интегрального уравнения Вольтерра второго рода известно [10, с. 227], что условия, наложенные на К(х, у) и ф(у) обеспечивают существование единственного решения #(у) е Ь[0, Т] уравнения (21), которое выписывается в виде

У

g(y) = v (у) - У R(y, t)v (t,

где Л (у, г) - резольвента ядра Кф(у, г). Учитывая условия теоремы, накладываемые на V(у) и на К(х,у), получим что ф(у) = —^(у). Теорема доказана.

Список литературы/References

[1] Нахушев А. М., Дробное исчисление и его применение, Физматлит, М., 2003, 272 с., [Nakhushev A. M., Drobnoe ischislenie i ego primenenie, Fizmatlit, M., 2003, 272 p. (in Russian)].

[2] Caputo M., "Lineal model of dissipation whose Q is almost frequancy independent", II. Geophys. J. Astronom. Soc., 13 (1967.), 529-539.

[3] Caputo M., Elasticita e Dissipazione, Zanichelli, Bologna, 1969.

[4] Кочубей А.Н., "Диффузия дробного порядка", Дифференциальные уравнения, 26:4 (1990), 660-670, [Kochubey A. N. Diffuziya drobnogo poryadka, Differentsial'nye uravneniya, 26:4 (1990), 660-670. (in Russian)].

[5] Геккиева С. Х., Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений с дробной производной по времени. Дисс. канд. физ.-мат. наук, Научно-исследовательский институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, Нальчик, 2003, [Gekkieva S. Kh. Kraevye zadachi dlya nagruzhennykh parabolicheskikh uravneniy s drobnoy proizvodnoy po vremeni. Diss. kand. fiz.-mat. nauk, Nauchno-issledovatel'skiy institut prikladnoy matematiki i avtomatizatsii KBNTs RAN, Nal'chik, 2003.(in Russian)].

[6] Псху А. В., Уравнения в частных производных дробного порядка, Наука, М., 2005, 199 с., [Pskhu A. V. Uravneniya v chastnykh proizvodnykh drobnogo poryadka, Nauka, M., 2005, 199 p. (in Russian)].

[7] Нахушева В. А., Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов, Наука, М., 2006, 173 с., [Nakhusheva V. A. Differentsial'nye uravneniya matematicheskikh modeley nelokal'nykh protsessov, Nauka, M., 2006, 173 p. (in Russian)].

[8] Нахушева З.А., "1-я и 2-я краевые задачи в интегральной постановке для параболического уравнения второго порядка", Дифференциальные уравнения, 26:1 (1990), 19821992, [Losanova F. M., Nelokal'naya kraevaya zadacha s operatorom Kaputo, Izv. VuZov Severo-Kavkazskiy region, 2010, №5(159), 22-25. (in Russian)].

[9] Лосанова Ф.М., "Нелокальная краевая задача с оператором Капуто", Изв. ВУЗов Северо-Кавказский регион, 2010, №5(159), 22-25, [Losanova F. M. Nelokal'naya kraevaya zadacha s operatorom Kaputo. Izv. VUZov Severo-Kavkazskiy region, 2010, №5(159), 22-25 (in Russian)].

[10] Лосанова Ф.М., "Нелокальная краевая задача для нагруженного уравнения с оператором Капуто", Материалы Всероссийской научной конференции молодых ученых "Современные вопросы математической физики, математической биологии и информатики", 80-81, [Losanova F. M., Nelokal'naya kraevaya zadacha dlya nagruzhennogo uravneniya s operatorom Kaputo, Materialy Vserossiyskoy nauchnoy konferentsii molodykh uchenykh "Sovremennye voprosy matematicheskoy fiziki, matematicheskoy biologii i informatiki, 8081 (in Russian)].

[11] Лосанова Ф.М., "Задача с условием Самарского для уравнения дробной диффузии в полуполосе", Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2015, №2(11), 17-21, [Losanova F. M. Zadacha s usloviem Samarskogo dlya uravneniya drobnoy diffuzii v polupolose, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki, 2015, №2(11), 17-21 (in Russian)].

Список литературы (ГОСТ)

[1] Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.

[2] Caputo M. Lineal model of dissipation whose Q is almost frequancy independent // II. Geophys. J. Astronom. Soc. 1967. Vol. 13. P. 529-539.

[3] Caputo M. Elasticita e Dissipazione. Bologna: Zanichelli. 1969.

[4] Кочубей А. Н. Диффузия дробного порядка // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26. №4. С. 660-670

[5] Геккиева С. Х. Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений с дробной производной по времени. Кандидатская диссертация. Нальчик, Научно-исследовательский институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН. 2003

[6] Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М: Наука, 2005. 199 с.

[7] Нахушева В. А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов. М.: Наука, 2006. 173 с.

[8] Нахушева З.А. 1-я и 2-я краевые задачи в интегральной постановке для параболического уравнения второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26, №1. С. 1982-1992.

[9] Лосанова Ф.М. Нелокальная краевая задача с оператором Капуто // Изв. ВУЗов Северо-Кавказский регион. 2010. №5(159). С. 22-25.

[10] Лосанова Ф.М. Нелокальная краевая задача для нагруженного уравнения с оператором Капуто // Материалы Всероссийской научной конференции молодых ученых "Современные вопросы математической физики, математической биологии и информатики". С. 80-81.

[11] Лосанова Ф.М. Задача с условием Самарского для уравнения дробной диффузии в полуполосе // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2015. № 2 (11). С. 17-21.

Для цитирования: Лосанова Ф. М. Задача с интегральным условием для уравнения дробной диффузии с оператором Капуто // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 4-1(16). C. 38-44. DOI: 10.18454/2079-6641-2016-16-4-1-38-44

For citation: Losanova F. M. Problem with an integral condition for fractional diffusion equation with operator Сaputo, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2016, 16: 4-1, 38-44. DOI: 10.18454/2079-6641-2016-16-4-1-38-44

Поступила в редакцию / Original article submitted: 03.12.2016