Задача с условием Самарского для уравнения дробной диффузии в полуполосе Текст научной статьи по специальности «Математика»

DOI: 10.18454/2079-6641-2015-11-2-17-21

УДК 517.95

задача с условием самарского для уравнения дробной диффузии в

полуполосе

Ф.М. Лосанова

Институт прикладной математики и автоматизации, 360000, Республика Кабардино-Балкария, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89а E-mail: losanovaf@gmail.com

В данной работе строится решение нелокальной краевой задачи с условием Самарского для уравнения дробной диффузии в полуполосе.

Ключевые слова: уравнение дробной диффузии, нелокальная задана, условие Самарского, функция типа Райта

© Лосанова Ф.М., 2015

MSC 35К57

problem with conditions samara for fractional diffusion equation in the half

F.M. Losanova

Institute of Applied Mathematics and Automation, 360000, Republic of Kabardino-Balkariya, Nalchik, st. Shortanova, 89a E-mail: losanovaf@gmail.com

In this paper, we construct a solution of a nonlocal boundary value problem with the condition Samarskii for a fractional diffusion equation in the half.

Key wards: fractional diffusion equation, nonlocal problem, Samarskii condition, type function Wright

© Losanova F.M., 2015

Введение

Уравнения дробного порядка исследуются в последнее время весьма интенсивно. Это связано с многочисленными приложениями дробного исчисления в физике, механике, Биологии и т.д.

Уравнения дробного порядка выступают основой математических моделей различных физических процессов во фрактальных средах [1], [2].

Постановка задачи

В области О = {(x, y) :0 < x < <*>, 0 < y < T} рассмотрим уравнение

uxx(У У) - Doyu(y П) = f(x, У), (О

где

DayW(x, п)

1 r-y и(х,п )dtf

Г(—а) J0 (у—п)а+1,

u(x, У),

&DS—"и(х, п),

а < 0, а = 0,

n — 1 < а < n, n є N

- оператор дробного интегродифференцирования (в смысле Римана-Лиувилля) порядка а [1, с. 9], Г(а) - гамма-функция Эйлера, 0 < а < 1.

Краевые задачи с интегральными условиями для параболических уравнений, в том числе с дробной производной, исследовались в работах [3]-[6]. Уравнения вида (1) исследовались в работах [7], [8].

В данной работе строится решение нелокальной краевой задачи с условием Самарского для уравнения (1).

Решение и(х,у) уравнения (1) назовем регулярным в области О, если у1-аи(х,у) є С(О), Uxx(x,у),Dg,u(x, П) є С(О).

Задача. Найти регулярное решение u(x,у) уравнения (1) в области О, удовлетворяющее условиям:

lim1 * * * * * u(x, п) = т(x), 0 < x < <*>, (2)

у^0 у

l

J u(x, y)dx = у (у), 0 < у < T, (3)

0

где т (x), у (у) - заданные непрерывные функции.

Для нахождения решения задачи (1)-(3) воспользуемся представлением решения

задачи с условиями (2), и(0,у) = <р(у) для уравнения (1) [4]

у сю у

u(x, у) = J G% (x, у, 0, п)ф(пУп + JG(x, у, %, 0)т(%)d% — jJ f (%, п)G(x, у, %, п)d%dп,

0 0 0 0

где G(x, у, %, п) Райта [7, с. 22].

(у—п )8 1 2

1,5

'1,8

\x—% I (у—п )8

— e

1,8

1,8

|x+% |

(у—п )8

5

e

М ,8

а ,в

(z)

(4)

функция типа

Для определения неизвестной ф(у) удовлетворим функцию (4) условию (3). Тогда, после элементарных преобразований, будем иметь

сю 1

ф(n) J G% (x, у, 0, n)dxdп + J т(%) J G(x, у, %, 0)dxd% -

о о

о о

у сю 1

JJ f (%, П) JG(x, у, %, п)dxd%dn = W(у).

0 0 о

(5)

Используя формулу дифференцирования функции типа Райта имеем, что [8, с. 26] dxnxMі (cxa) — xM-п-1Є1а-n,8 (cxa) для любых д є R

^ „ % nA_ (у- П)8 1 Гsign(x- %) „о,8 7 |x- %1 ^ , sign(x + %) ^,8 ( |x + %1

G%(x, y, %, П) — ~ і сі еі 8 І - ч с ) + і <- і ei г І

2

|x- %1 1,М^ (у- п)8' |x+%1 1,Му (у- п)

Отсюда при % — 0, учитывая формулу автотрансформации для функции типа Райта [8, с. 24] (z) = е£/ 8 + (z) - r(M;г(8 +e)

имеем

G%(x, y, 0, n) =

(у - n )8 1

0,8

e1,8

x

1 1,0 e1,8

(у - n)8' у - n 18^ (у - n)8

Вычислим внутренний интеграл в первом слагаемом равенства (5)

1 1

(6)

G% (x, у, 0, n)dx — -

1

1,0

у - n

x

у - n

x

Ь81 (у - n )8 ) V - n ^81 (у - n )8

(у- n)8'Jx—о

т x—1

1 2,1

у - n

1,8

(у - n)

8

(7)

Используя формулу автотрансформации для функции типа Райта еще раз из соотношения (7) окончательно получим

/G%(x,у, о,n)dx — (у г-) -(у - n)8 1 е1Д - .

Подставив соотношение (8) в формулу (5), будем иметь

(8)

ф (n)

(у - n)

81

Г(8)

-(у -n )8-Ч8(-

dn — F (у),

где

ю 1 у ю 1

F(у) — W(у) - J т(%) J G(x, у, %, 0)dxd% + JJ f (%, n) J G(x, у, %, n)dxd%dn.

00

00

1

у

8

x

1

у

В силу определения дробного интегродифференцирования, равенство (9) перепишем в виде

У

l

D0yVОО - jФ(П)(у- П)S -

о

(У - п )S'd п = F (у).

(10)

у

С учетом обозначений (у) = уд(-yS), (f *h)(y) = /f(y-п)h(n)dn и

У

/

о

gOO = DoyV (у)

соотношение (10) перепишем в виде

g(y) - (ф * щ)(у)= F(у).

Применив формулу Юд-Е(у) = D0ya^(у) из равенства (12) получим

g(y) - Ф *D0y Юо(у)= F(у).

(11)

(12)

(13)

с с

Учитывая свойство свертки Лапласа f * D0y°g(y) = g * D0y°f (у) из формулы (13)

0y

получим

g(y) - (g* Юо)(у) = F(у).

(14)

Соотношение (14) есть интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода. Решение уравнения (14) представимо в виде

g(y) = F (y) + (F * R)(y),

(15)

где

R(y) = £ у

n=0

S(n+1)-1e1,S(n+1) l(n + !)

1 S yS

1,s v

Из обозначения (11) в силу равенства (15) имеем

Ф (у) = DSyg(y)

или

Ф (у)= D0y[F (y) + (F * R)(y)]. (16)

Теорема. Пусть т(x) є C[0,Ц,у1-а^(у) є C[0,T],y1-af (x, у) є C(Q), f (x,у) удовлетворяет условию Гельдера по переменной x. Тогда решение задачи (2), (3) для уравнения (1) представимо в виде (4), где ф(у) определяется соотношением (16).

Библиографический список

1. Нахушев А.М.Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272с.

2. Учайкин В.В. Метод дробных производных. - Ульяновск: Артишок, 2008. 512 с.

3. Лосанова Ф.М. Нелокальная краевая задача с оператором Капуто// Изв. ВУЗов Северо-Кавказский регион. 2010. № 5 (159). С. 22-25.

4. Лосанова Ф.М. Нелокальная краевая задача для нагруженного уравнения с оператором Капуто // Материалы Всероссийской научной конференции молодых ученых «Современные вопросы математической физики, математической биологии и информатики». 2014. С. 80-81.

5. Геккиева С.Х. Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной в полубесконечной области // "Понтрягинские чтения - XIII". Сб. материалов.- Воронеж, ВГУ, 2002. С. 37.

6. Нахушева З.А. 1-я и 2-я краевые задачи в интегральной постановке для параболического уравнения второго порядка// Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26, № 1. С. 1982-1992.

7. Нахушева В.А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов. М.: Наука, 2006. 173 с.

8. Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М: Наука, 2005. 199 с.

Поступила в редакцию / Original article submitted: 19.09.2015