CC BY
43
DOI: 10.18454/2079-6641-2015-11-2-17-21
УДК 517.95
задача с условием самарского для уравнения дробной диффузии в
полуполосе
Ф.М. Лосанова
Институт прикладной математики и автоматизации, 360000, Республика Кабардино-Балкария, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89а E-mail: [email protected]
В данной работе строится решение нелокальной краевой задачи с условием Самарского для уравнения дробной диффузии в полуполосе.
Ключевые слова: уравнение дробной диффузии, нелокальная задана, условие Самарского, функция типа Райта
© Лосанова Ф.М., 2015
MSC 35К57
problem with conditions samara for fractional diffusion equation in the half
F.M. Losanova
Institute of Applied Mathematics and Automation, 360000, Republic of Kabardino-Balkariya, Nalchik, st. Shortanova, 89a E-mail: [email protected]
In this paper, we construct a solution of a nonlocal boundary value problem with the condition Samarskii for a fractional diffusion equation in the half.
Key wards: fractional diffusion equation, nonlocal problem, Samarskii condition, type function Wright
© Losanova F.M., 2015
Введение
Уравнения дробного порядка исследуются в последнее время весьма интенсивно. Это связано с многочисленными приложениями дробного исчисления в физике, механике, Биологии и т.д.
Уравнения дробного порядка выступают основой математических моделей различных физических процессов во фрактальных средах [1], [2].
Постановка задачи
В области О = {(x, y) :0 < x < <*>, 0 < y < T} рассмотрим уравнение
uxx(У У) - Doyu(y П) = f(x, У), (О
где
DayW(x, п)
1 r-y и(х,п )dtf
Г(—а) J0 (у—п)а+1,
u(x, У),
&DS—"и(х, п),
а < 0, а = 0,
n — 1 < а < n, n є N
- оператор дробного интегродифференцирования (в смысле Римана-Лиувилля) порядка а [1, с. 9], Г(а) - гамма-функция Эйлера, 0 < а < 1.
Краевые задачи с интегральными условиями для параболических уравнений, в том числе с дробной производной, исследовались в работах [3]-[6]. Уравнения вида (1) исследовались в работах [7], [8].
В данной работе строится решение нелокальной краевой задачи с условием Самарского для уравнения (1).
Решение и(х,у) уравнения (1) назовем регулярным в области О, если у1-аи(х,у) є С(О), Uxx(x,у),Dg,u(x, П) є С(О).
Задача. Найти регулярное решение u(x,у) уравнения (1) в области О, удовлетворяющее условиям:
lim1 * * * * * u(x, п) = т(x), 0 < x < <*>, (2)
у^0 у
l
J u(x, y)dx = у (у), 0 < у < T, (3)
0
где т (x), у (у) - заданные непрерывные функции.
Для нахождения решения задачи (1)-(3) воспользуемся представлением решения
задачи с условиями (2), и(0,у) = <р(у) для уравнения (1) [4]
у сю у
u(x, у) = J G% (x, у, 0, п)ф(пУп + JG(x, у, %, 0)т(%)d% — jJ f (%, п)G(x, у, %, п)d%dп,
0 0 0 0
где G(x, у, %, п) Райта [7, с. 22].
(у—п )8 1 2
1,5
'1,8
\x—% I (у—п )8
— e
1,8
1,8
|x+% |
(у—п )8
5
e
М ,8
а ,в
(z)
(4)
функция типа
Для определения неизвестной ф(у) удовлетворим функцию (4) условию (3). Тогда, после элементарных преобразований, будем иметь
сю 1
ф(n) J G% (x, у, 0, n)dxdп + J т(%) J G(x, у, %, 0)dxd% -
о о
о о
у сю 1
JJ f (%, П) JG(x, у, %, п)dxd%dn = W(у).
0 0 о
(5)
Используя формулу дифференцирования функции типа Райта имеем, что [8, с. 26] dxnxMі (cxa) — xM-п-1Є1а-n,8 (cxa) для любых д є R
^ „ % nA_ (у- П)8 1 Гsign(x- %) „о,8 7 |x- %1 ^ , sign(x + %) ^,8 ( |x + %1
G%(x, y, %, П) — ~ і сі еі 8 І - ч с ) + і <- і ei г І
2
|x- %1 1,М^ (у- п)8' |x+%1 1,Му (у- п)
Отсюда при % — 0, учитывая формулу автотрансформации для функции типа Райта [8, с. 24] (z) = е£/ 8 + (z) - r(M;г(8 +e)
имеем
G%(x, y, 0, n) =
(у - n )8 1
0,8
e1,8
x
1 1,0 e1,8
(у - n)8' у - n 18^ (у - n)8
Вычислим внутренний интеграл в первом слагаемом равенства (5)
1 1
(6)
G% (x, у, 0, n)dx — -
1
1,0
у - n
x
у - n
x
Ь81 (у - n )8 ) V - n ^81 (у - n )8
(у- n)8'Jx—о
т x—1
1 2,1
у - n
1,8
(у - n)
8
(7)
Используя формулу автотрансформации для функции типа Райта еще раз из соотношения (7) окончательно получим
/G%(x,у, о,n)dx — (у г-) -(у - n)8 1 е1Д - .
Подставив соотношение (8) в формулу (5), будем иметь
(8)
ф (n)
(у - n)
81
Г(8)
-(у -n )8-Ч8(-
dn — F (у),
где
ю 1 у ю 1
F(у) — W(у) - J т(%) J G(x, у, %, 0)dxd% + JJ f (%, n) J G(x, у, %, n)dxd%dn.
00
00
1
у
8
x
1
у
В силу определения дробного интегродифференцирования, равенство (9) перепишем в виде
У
l
D0yVОО - jФ(П)(у- П)S -
о
(У - п )S'd п = F (у).
(10)
у
С учетом обозначений (у) = уд(-yS), (f *h)(y) = /f(y-п)h(n)dn и
У
/
о
gOO = DoyV (у)
соотношение (10) перепишем в виде
g(y) - (ф * щ)(у)= F(у).
Применив формулу Юд-Е(у) = D0ya^(у) из равенства (12) получим
g(y) - Ф *D0y Юо(у)= F(у).
(11)
(12)
(13)
с с
Учитывая свойство свертки Лапласа f * D0y°g(y) = g * D0y°f (у) из формулы (13)
0y
получим
g(y) - (g* Юо)(у) = F(у).
(14)
Соотношение (14) есть интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода. Решение уравнения (14) представимо в виде
g(y) = F (y) + (F * R)(y),
(15)
где
R(y) = £ у
n=0
S(n+1)-1e1,S(n+1) l(n + !)
1 S yS
1,s v
Из обозначения (11) в силу равенства (15) имеем
Ф (у) = DSyg(y)
или
Ф (у)= D0y[F (y) + (F * R)(y)]. (16)
Теорема. Пусть т(x) є C[0,Ц,у1-а^(у) є C[0,T],y1-af (x, у) є C(Q), f (x,у) удовлетворяет условию Гельдера по переменной x. Тогда решение задачи (2), (3) для уравнения (1) представимо в виде (4), где ф(у) определяется соотношением (16).
Библиографический список
1. Нахушев А.М.Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272с.
2. Учайкин В.В. Метод дробных производных. - Ульяновск: Артишок, 2008. 512 с.
3. Лосанова Ф.М. Нелокальная краевая задача с оператором Капуто// Изв. ВУЗов Северо-Кавказский регион. 2010. № 5 (159). С. 22-25.
4. Лосанова Ф.М. Нелокальная краевая задача для нагруженного уравнения с оператором Капуто // Материалы Всероссийской научной конференции молодых ученых «Современные вопросы математической физики, математической биологии и информатики». 2014. С. 80-81.
5. Геккиева С.Х. Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной в полубесконечной области // "Понтрягинские чтения - XIII". Сб. материалов.- Воронеж, ВГУ, 2002. С. 37.
6. Нахушева З.А. 1-я и 2-я краевые задачи в интегральной постановке для параболического уравнения второго порядка// Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26, № 1. С. 1982-1992.
7. Нахушева В.А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов. М.: Наука, 2006. 173 с.
8. Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М: Наука, 2005. 199 с.
Поступила в редакцию / Original article submitted: 19.09.2015
