Нелокальная краевая задача с оператором Капуто Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

НЕЛОКАЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С ОПЕРАТОРОМ КАПУТО

© 2010 г. Ф.М. Лосанова

Научно-исследовательский институт прикладной математики Research Institute of Applied Mathematics and Automation и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра РАН, of Kabardim-Balkar Scientific Centre RAS,

ул. Шортанова, 89 А, г. Нальчик, КБР, 360000, Shortanov St., 89 A, Nalchik, KBR, 360000,

[email protected] niipma333@mail. com

Исследована нелокальная краевая задача со смещением в интегральной постановке для уравнения параболического типа на плоскости. Доказаны принцип экстремума, лемма о тривиальности решения однородной задачи, теорема о единственности и существовании решения задачи.

Ключевые слова: нелокальная краевая задача, нагруженное уравнение, уравнение параболического типа, оператор Ка-путо.

The nonlocal boundary value problem with shift in integral state for parabolic type equation in a plain is studied in this paper. The principle of extremum, lemma on triviality of homogeneous problem solution and theorem of problem solution's uniqueness and existence are proved.

Keywords: nonlocal boundary value problem, loaded equation, parabolic type equation, Caputo operator. Постановка задачи

Рассмотрим нагруженное уравнение

ихх{х, 0+(х,0+ (х, /)+

+ г (х, {)и (х, г)=/(х, /) , (1)

где р(х,г), q(x,г), г(х,г), /(х,г)е ф) - заданные действительные функции,q(x,/)<0,д0^{¡)=—т1—г | ^^ ds-

г(1 -е) 0 (г-

оператор Капуто [1, с. 11], ее]0,1[ в области

0 = {(х,г) :0 < х < 1,0 < г < Т} евклидовой плоскости независимых переменных (х, г).

Пусть О0 = {(х,г) :0<х</, 0< г< Т};

01 = {(х,г) :0<х<а, 0<г<Т};

02 = {(х,г):р<х<1, 0<г<Т}; с = О \ О0.

Задача ^. Найти регулярное в области О решение и = и(х, г) уравнения (1), удовлетворяющее начальному

и (х, 0) = т(х),

(2)

Сформулируем и докажем принцип экстремума для уравнения (1).

Теорема 1. Пусть u = u(x, t) - регулярное решение уравнения (1). Если r(x,t)< 0, f (x,t)> 0 , то

maxu (x,t)=maxu (x,t)> 0. Q a

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что max u (x, t) > max u (x, t) . Отсюда

Q

следует, что существует точка

в кото-

0 < x < l и краевым условиям:

О

A(t)5ot u(0, t)= J B (x,t)u (x, t)dx -

+ jC (x,t)u (x,t)dx + D (t), 0 < t < T; (3)

ß

u (l,t) = p(t), 0 < t < T, (4)

где A(t), D(t)eC[0,T], B(x,t)eC(Ц) , C(x,t)eC(Q2), 0 <S< q< 1, 0 <a < ß <l.

Различные случаи параболического уравнения вида (1) с оператором Римана-Лиувилля в части нагрузки исследовались в работах [1-5] и других авторов. На важность исследования краевых задач с нелокальным условием, содержащим интеграл от искомой функции по пространственным переменным, впервые обратил внимание А.А. Самарский [6]. В дальнейшем подобные задачи для уравнений различных типов исследовались в [7-13].

Единственность решения задачи С q

Под регулярным в области Q решением уравнения (1) будем понимать функцию u = u(x, t), непрерывную в Q вместе с производными uxx (x, t),

dqt u (x, t), ux (x, t) и обладающую следующим свойством: для любой точки x е (0, l) существуют положительные величины к = к(x) и h > q , такие, что

|u (x, t) — u (x, y) < к (t — yf , Vt > y > 0. (5)

рои достигается положительный максимум, т.е.

maxu (x,t) = u (c)> maxu (x,t), u (c)> 0 . (6)

q ct

Так как f (c)> 0, то из (1)

u% + p (C)u4 + q (C)sü,u +r (c)u >0.

Учитывая свойство [14, с. 11] D, (£,) = ^Г^ + SS, u (£ ,)

и [15, с. 56]

t ) =

Do, u

Г(1 -s)

u (ё,л) i

Г(1 -s),S ' r(-s)J (,-t)S

(7)

(8)

,u&t)-u(j,,)dt, в

S + 1

силу (5)

дУи = иМ-иМ + ]и(^)- иЫД. (9)

0у г(1 -еУ г(-е) 0 (л- г) ()

Из допущения (6) следует, что ии)>0, Vг е [0,у]. Тогда на основании (9) получаем ду и > 0. Учитывая последнее неравенство и тот факт, что в точке | 0, и4(§,г1) = 0, г(^,у)и(§,у)< 0, приходим к противоречию в соотношении (7). Следовательно, регулярное в области О решение и(х, г) уравнения (1) ни в какой точке ^ е О0 не может принимать своего наибольшего положительного значения в О, т.е. предположение неверно. Теорема 1 доказана.

Следует заметить, что принцип экстремума для уравнения вида (1) с дробной производной в смысле Римана - Лиувилля доказан В.А. Нахушевой [3, с. 46].

Теорема 2. Пусть г (х,г)< 0, функции В (х, г), С (х, г) удовлетворяют требованию

oR+(l -ß)F <

inf

Г(1 -¿) ie[0, T ]

(A(t )t ~S)

(10)

где R = max \B (x, t), F=max\C (x, t). Тогда задача (3) -

Ql Q2

(5) для уравнения (1) в области Q имеет не более одного решения. Справедлива

Лемма. Пусть r (x, t) < 0 и функции B (x, t), C (x, t) удовлетворяют условию (10). Тогда однород-

CT

0

1

ная по отношению к поставленной задача имеет только тривиальное решение.

Доказательство. Рассмотрим отрезок

I = {(х,t): х = 0,0 < t <T}.

Как следует из теоремы 1, если и(х, ^^ 0, то существует to е I такая, что to - точка, в которой функция u = u(0,t) достигает положительного максимума на отрезке I, т.е. и(0,to) = шах|и| > 0 .

Из соотношения (9) с учетом того, что

краевой задачи (2) - (4) для уравнения (12) запишем в виде

i(0,t0)- u(0,t)> 0,

Vt е[0, t0 ]

получаем

Ö0tU

(0, t )

^ u(0, t0 )t-S i=t0 " r(i - S) "

С другой стороны, из (3) можно сделать вывод, что 1^0u(0,t) < u(0,to)[«Я + (I - Р^].

ч=to

Итак, получаем

1^0 )< и(0, to )[ая + (1-Р)Е]. Если и(0, to) ^ 0 , то

u (x, t)=l^0 (jl)Gg (x, t, 0, r)dr — 0

t

— J^(r)G (x,t,l,r)dj-

0

tl

— JJ f (Г (x,t,#,r)d#dr + 00

11

+ J J p r)uz , r)G(x, t, ^ r)dZ dr + 00 11

+ JJ r (£,r)u (£,r)G (x, t,£,r) d#dr + 00 t

+ Jr(<?)D G(x,t,£0)d£ ,

0

(13)

где

G (x, t,i,r)=Ü—^

E

Я=—да

i,ß

; —£ + 2wl|

H(t0 )

— S

<M + (l — ß)F], или

i,ß el ß

x + C +

^ + 2wl|

(t — r)ß

(z)=E

(г-?)Р

функция Грина; - функция типа

[aR + (l — ß)F ]:

inf

te[0,r ]

(A(t) t "S )

(11)

Г(1 - д) •

Формула (11) противоречит условию (10) теоремы 2, следовательно, ^ не может быть точкой положительного максимума на отрезке I и(х^) = 0. Лемма доказана.

Единственность решения задачи (2) - (4) для уравнения (1) следует из леммы. Теорема 2 доказана.

Существование решения задачи С—

а,Р ' П=0Г(ап + ^)Г(д-рп) Райта; <р0 (t) = и(0, t), Р = —2 .

tl

Рассмотрим слагаемое 11 о(х, t, .

00

Интегрируя по его по частям,

г I г

11 р(§, г/и^ 0(х, t,тт)^ = | [р(1, ?)о{х, t, I, -00 0

tl

— p(0,r)G(x,t,0,rK (r)] dr — JJ[p^(4,r)G(x,t,4,r)

00

Рассмотрим случай, когда q(х,t) = -1. Уравнение условия (3): (1) перепишем в виде

ихх (х, tЬ5- и (х, t)=/ (хt)-

-р (х, t)их (х, t)-г (х,()и (х, t). (12)

Теорема 3. Пусть рх(х, t), г(х, t), /(х,^ е с(о),

г(х, t) < 0 и выполнено условие (10). Тогда решение

нелокальной краевой задачи (2) - (4) для уравнения (12) существует и является единственным.

Единственность решения задачи N-.1 следует из теоремы 2.

Учитывая свойство (8), уравнение (12) можно записать в виде ихх(х, ()- 0-1и(х,{) = /1(х, t), где

/1 (х,0=/(х,t)-р (х,0их(х,0-

+ p(#,т)G#(х,t,#,т)]u(#,т)dтd# . (14)

Неизвестную функцию <0 () находим из краевого

<0 ^) = ы(0, t) = Д-8 Л^) | Б^^)ы(х, t+

0

+ Б-8 A1(t) |С(х, t)ы(х,t)йх + Б-8 A1(t Д) + ф), (15)

Р

где Л^) = 1/Л(?).

Учитывая (14) и (15), после несложных преобразований из (13) получаем интегральное уравнение Фредгольма второго рода

и

ы(х, t)+ Ц ^ *(х,t,^,т)u(^,т)d^dт = ^ (х, t), где 00

- г (х, Ли (х, Л-^Ф^—— .

^ > ^ > г(1 --)

Используя представление 1-й краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка с производной Римана - Лиувилля [4, с. 99], решение нелокальной

K* (x, t,£,r)=K (x,t,4,r)+

rs

K (x, t,4,r)=P4(g,s)G (x, t,£,r)+

Ai 1S)B(§s)D~sS Fi (x,t,0, y), 0<x<a; 0, a< x <ß;

Ai S)C(#,r)DSS Fi (x,t,0,y), ß<x<l;

да

z

+

+ p (g, Jj)Gg (x, t, g,rj)—r (g, jj)G(x, t, g, jj) ,

t

F(x,t)= j[p(l, j)G(x,t,l,j) — Gg(x, t, l,j)]^(j)dj +

11 + jj

00

r(g)j"q

Г(1 — q)

—f (g,j

G (x , t,g, j)dgdj +

+ j Fi (x,t, 0, j)Dj Aj (j)D(j)dj +

- j Fi (x, t, 0, jj)t (0)Dj Aj (jj)d (j)dj

0 г

+| (х, г,0у)г(0) <у,

0

^1(х, г,0,у) = Цг(х,г,0,у) - р(0,7)е(х,г,0,у).

Итак, задача (2) - (4) для уравнения (12) редуцирована к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода, разрешимость которого следует из единственности решения задачи Се .

Литература

1. Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М., 2006. 287 с.

2. Кочубей А.Н. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25, № 8. С. 1359-1368.

3. Нахушева В.А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов. М., 2006. 173 с.

4. Псху А.В. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка. Нальчик, 2005. 186 с.

5. Геккиева С.Х. Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной по времени // Докл. Адыгской (Черкесской) международной академии наук. 1994. Т. 1, № 1. С. 17-18.

6. Самарский А.А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16, № 11. С. 1925-1935.

7. Камынин Л.И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями // Журн. выч. математики и мат. физики. 1964. Т. 4, № 6. С. 1006-1024.

8. Камынин Л.И. О единственности решения краевой задачи с граничными условиями А.А. Самарского для параболического уравнения 2-го порядка // Журн. выч. математики и мат. физики. 1976. Т. 16, № 6. С. 1480-1488.

9. Ионкин Н.И. Решение одной задачи теплопроводности с неклассическими краевым условием // Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15, № 7. С. 1280-1283.

10. Нахушева З.А. Об одной нелокальной задаче для уравнения в частных производных // Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22, № 1. С. 171-174.

11. Нахушева З.А. Обобщенная задача Самарского для параболического уравнения 2-го порядка // Нелокальные задачи для уравнений в частных производных и их приложения к моделированию и автоматизации проектирования сложных систем. Нальчик, 1986. С. 176-178.

12. Нахушева З.А. 1-я и 2-я краевые задачи в интегральной постановке для параболического уравнения второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26, № 1. С. 1982-1992.

13. Пулькина Л.С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40, № 7. С. 887-892.

14. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М., 2003. 272 с.

15. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М., 1995. 301 с.

Поступила в редакцию

23 ноября 2009 г.

0

+