Необходимые нелокальные условия для диффузионно-волнового уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

НЕОБХОДИМЫЕ НЕЛОКАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ДИФФУЗИОННО-ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ

© 2014 М.О. Мамчуев1

В статье исследуется диффузионно-волновое уравнение с производной дробного порядка в смысле Римана — Лиувилля. Вводятся интегральные операторы с функцией Райта в ядре, связанные с исследуемым уравнением, и исследуются свойства этих операторов. В терминах введенных операторов выписаны необходимые нелокальные условия, связывающие следы решения и его производных на границе прямоугольной области. Используя предельные свойства функции Райта, получены необходимые нелокальные условия для волнового уравнения. С помощью свойств интегральных операторов показана однозначная разрешимость задач с интегральным условием Самарского для диффузионно-волнового и волнового уравнений. Решения получены в явном виде.

Ключевые слова: диффузионно-волновое уравнение, волновое уравнение, уравнения с дробными производными,необходимые нелокальные условия, задача Самарского, производная дробного порядка.

Введение

В области И = {(х,у) : 0 <х <1, 0 <у <Т} рассмотрим уравнение

ихх(х,у) - Ваи(х, у) = 0, (1)

где 0 < а < 2, - оператор дробного (в смысле Римана — Лиувилля) интегро-дифференцирования порядка 7 [1, с. 9].

Уравнения с производными дробного порядка возникают в математических моделях, описывающих различные процессы в средах с фрактальной геометрией (см., например [1, гл. 5]).

Уравнение (1) исследовалось в работах многих авторов. Более подробную библиографию по этому вопросу можно найти в монографии [2] и работе [3].

В работе [4] для уравнения (1) было выписано фундаментальное решение Г(х - г, у - 8), где

Г( ) Ув-1 ( 1x1^ (2)

Г(х,у) = — ув) , (2)

в = а/2, в1 в(г) - функция Райта.

■'-Мамчуев Мурат Османович ([email protected]), отдел математической физики фракталов Научно-исследовательского института прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра Российской академии наук, 360000, Российская Федерация, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89а.

Пусть п £ {1,2} выбрано из условия п — 1 < а € п. Регулярным решением уравнения (1) в области П называется функция и = и(х,у) из класса Па-ки(х,у) £ £ С(П), 1 € к € п, иХХ(х,у), и(х,у) £ С(П), удовлетворяющая уравнению (1) во всех точках (х,у) £ П [2, с. 103].

1. Интегральные операторы, связанные с диффузионно-волновым уравнением

Введем в рассмотрение операторы МХ^^ и К-О'у, которые действуют по формулам

Х2

2 (У—^

Х2

М1ХУ V(х) = Ц и(1)у°-1е\в (—¿1,

К-оУм(у) = 2 У м(в)(у — в)0 Мв (— (

(у — в)в

¿в.

(3)

(4)

Справедливы следующие свойства операторов М^ Х'2У и . Свойство 1. Для любых Х1 > 0, Х2 > 0 справедливо равенство

(2П%Х>) (22П90'Х2) м(у) = 2П0+в'Х 1+Х2м(у). (5)

Свойство 2. Пусть а ^ 0, 6 + в > 0, в + в > 0, тогда имеет место равенство

Ь € 0,

П°0'МЬ'У т (х) = 1

М0+в'Ь-а'Ут(х),

хг0+в,а+Ь,у . кг0+в,Ь-а,у М 0Ь + МЬ1

М0+9'а+Ь'У т (х),

т (х), 0 <Ь <1,

Ь > I.

Свойство 3. Пусть у1 и/л(у) £ С[0, Т], V + 6 ^ 0, тогда

Кп0 ио'Хм(у) = 1п -у0 м(у).

х^0

Свойство 4. Пусть т(х) £ С[0, Т], тогда

УПо Поу Мо1 т(х) = 2\0, к<п.

1 т(х) , к = п,

у^о

Свойство 5. Справедливо равенство

(6)

(7)

К-ОУКу*)^ = ±

V

в+в,а _ 0+в,а±1

м(у).

Свойство 6. Имеют место равенства

М0а±Х'ут(х^х = ±^п а \М0+в'а'у —М°о+в'а±1'Л т(х),

N01 Х'у т (х)йх =

М0+вО>у —М0+в'-1'у

(х),

Х\

х

0

т(x)dx = - \NS0+ß'°'y -N+ß'l'y] т(x) +

У

S+ß-l

т(x)dx.

и 01 Гу°г "<н ■ Г(г + в)

о о

Для доказательства свойств 1 и 2 достаточно изменить порядок интегрирования, воспользоваться определениями операторов и М®'Х'У и формулой свертки функций Райта [2, с. 30]

y

/^eй(-р) (У - ^Ч^--

Х2

(y - £)с

S+--1e{;Sa+^-Х1У+Х) , Vxi,x2 > 0.

(8)

Свойство 3 доказано в [2, с. 35]. Свойство 4 следует из формул [2, с. 24-27]

DWy(-cy-ß) = yS-v-1e^y (-cy-ß), c> 0, S + ß > 0,

,,S—V—1„ ß;S — V

(9)

U;S { \ u-aS+ß f, (z) = e > ^

a,ß

a,ß

(z) -

Г(/ - a)r(S + ß)'

1 os ( t \ rU a ~te«ß\-\)dt = - r(S)

(10) (11)

и оценки [2, с. 29]

-к ,S-K U;S

x^ y e\

a,ß

< Cx»-ae-1yS+ße-1

(12)

где в £ [-1,1] при 6 = 0; в £ [0, 2] при л = 1; в £ [-1, 2] при л = 0; С - положительная константа, не зависящая от в.

Для доказательства свойств 5 и 6 достаточно воспользоваться определениями операторов К^Х и №^{Х'У, (10) и формулой [2, с. 27]

DVVx

xr-1euaSß (-cxa) =

ea,ß

(-cxa), / > 0, c> 0.

В силу (6) из свойств 1 и 2 следуют равенства

D-y R0v/(y) = R0vDöS/(y) = Ro+в;X/(У),

D-S N0f;y v (x) = NS+e;X;y v(x).

(13)

(14)

(15)

y

1

о

a

x

ß

y

2. Необходимые нелокальные условия

для диффузионно-волнового уравнения

Справедлива следующая

Теорема 1. Пусть u = u(x,y) регулярное в области О решение уравнения (1), удовлетворяющее условию

lim D ay-k u(x, y) = тк (x), 1 < к < n, 0 <x<l, (16)

y^ Q y

ux £ C([0, l] x (0, T)) и ux(0,y), ux(l,y) £ L[0, T]. Тогда функция u(x,y) удовлетворяет нелокальным условиям:

^(0, у) = К-к+1'°'Ути(г) + их(1, в) — В-их(0, в) + 2П00'Уи(1, в), (17)

к=1 п

1(1,у) = 2^2К—к+1'1'уТк(г) — 2^в^их(0,в) + В-вих(1,в)+2Я°'У;и(0,в). (18)

к = 1

Доказательство. Воспользуемся общим представлением решения уравнения (1) в прямоугольной области [2, е. 116]. Полагая в нем у(х,у; г, в) = Г(х — г, у — в), получим

Х2

п ^к — 1

г(х,у) = ^2(—1)к-1 Тк (г) д^т Г(х — 1,у)А+

7„_ Л "

к=1 Х1

2 У

+ ^2( — 1)г ! [Г(х — Х1,у — в)щ(хи в) — Г^х — Хг, у — в)и(хг, в)]*в. (19)

г=1 о

Используя (2) и то, что в силу (9), (10), (13),

д в^п(х -г) 1 ^ / |х -г - Г(х — г,у — в) =-2-—еЦ—(у—в)

-(у — в)р—\у—1 (_1

двГ(х — г,у — в) = — 22 е1,р ) '

равенство (19) можно переписать в виде

П Х2

I \ 1 ^ С Тк(г) 1,/3—к+1 [ 1х —г1\м,

(х,у) = 2 2^] у— е1в ^—у^) *+

к=1х1

У У

+ 1- !щ(х2„\в\еЦ (-ххи^ав — - !щ(х1\в\еУй (— х — х1д 1*в+

2} (у — в)1—в 1'Ч (у — в)в 2} (у — в)1—в 1-Ч (у — в)в

о о

УУ

1 [и(х2,в) 1,о { х2 — хА , . 1 [ и(х1,в) 1,0 { х — х1 | , /опх

+2 У Т—7-е1Л—(у—вв) *в + ~2 У Т—7-е1Л—(—в ) (20)

оо В терминах операторов (3) и (4) равенство (20) примет вид

<(х,у) = £ +1ХУ Тк (г) + ПвуХ2—Хиг(х2,в) —Пв0уХ—Х1 щ(хх ,в)+

к=1

+П°о'уХ2—Хи(х2, в) + п0'уХ—Х1 и(х1, в). (21)

оУ

Пользуясь тем, что в силу свойства 3 преобразования

Ит К-оу^Ы = 1 Воу И(У), ^ОуХИ(у) = ^(у

Х^о " 2 Х^о "

из (21) получим

п

1 и(хл ,у) = £ К-Хк2+1'Х1'у Тк (г) + К&2—Х1 щ(х2, в) —

2

к=1

п

и

-2щ(хъ 8) + КуХ2-Х1 П(Х2, 8), (22)

1 п

2и(х2,у) = £Мвхк+1х,утк(г) - пв0уХ2-Х1 8)+ к=1

+ 1 Б-щ(х2, 8) + п0УХ2-Х1 и(хи 8). (23)

Переходя в равенствах (22) и (23) к пределам при (х1,х2) ^ (0,1), получим (17) и (18). Теорема 1 доказана.

При а = 1 условия (17) и (18) совпадают с необходимыми нелокальными условиями для уравнения Фурье [5, с. 275].

3. Необходимые нелокальные условия для волнового уравнения

Имеет место следующая лемма [3].

Лемма 1. Пусть функция д(г) абсолютно интегрируема на любом конечном интервале полуоси г > 0, непрерывна в точке г = 1 и растет при г ^ ж не быстрее, чем ехр{аг5}, а > 0, 3 < ■ Тогда

^ то 1

\\rnj д(г)е\'в(-г)й = д(1), \irnj д(г)в\в(-г)сИ = ! д(1)«1. 0 0 0 Используя лемму 1, перейдем в равенствах (17) и (18) к пределу при а ^ 2. Для этого перепишем условия (17) и (18) в следующем виде:

I I

в \ лл , <г\.в-2 1,0-1 I £

>(0,у) = 1 Т1(0ув-1еЦ(--в) «в + 1 Т2(0Ув-2еЦ-1 (-в) «

00 у / \ у

Г их(1,у) 1Ф(__[_А « [ их(0,у)

+ 1(у - п)- е1вК (у - п)р) «п пв)1 (у - п)- «п+

00

у

5

+ У У-П)V (-«п = £ш, (24)

0 г=1 I I

<1,у) = ! Т1(£)ув-1е1в (--) «в + ! Т2(С)ув-2е{'У (- -) «£00 уу

г их(0,у) 1Ф(__[_А «п + I их(1,у) «

I (у - п)1-в е1в{ (у - п)в) «п +Т(в)] (у - п)1-в «п+

00 у5

+ / и-) - (-)в) «п = X * (у). (25)

0 г=1

Далее преобразуем интегралы 1г(у)

I 1/ув

Ш=/ Т1(0ув-1еЦ (-ув) «С = \ Т1(ув п)у213-1еЦ (-п)«п =

то

= J Ti(yßn)y2ß-14'ßß(-n)H(l - yßn)dn,

i i

Ш = j - ß) dt = dyj T2(Oyß-le\:ßß (-yß) dt,

0 0

y

'' ß (- U-F) dn = ! - (l-y - m *) W el ß {~ж

0 i/yß

TO

= j ux (l,y - (l/ß)el:ß(-ß)H(ß - l/yß)dß,

Г и(0,П) i : 0 ( l \ ,

l5(y) = j ei: ß У-T—W) dn =

0

TO

1

Ju(l,y - (l/ß)eßel:ß(-ß)H(ß - l/yß)dß-

0

Пользуясь леммой 1, получим следующие соотношения:

1y

ßim Ii(y) = j n(yn)H(l - yV)ydV = j Ti(ß)H(l - ß)dß =

Ti(ß)H(y - ß)dß, (26)

lim I2(y) = d ¡ T2(ß)H(l - ß)dß = T2(y)H(l - y), (27)

ß^i dy J

0 y

lim 13 (y)= f ux(l,y - l/tú h (t - l/y)dß

ß^i j ß2 0

i y-i

= H(y - l) j Ux(l,y - l/ß)dß = H(y - l) j ux(l,n)dn, (28)

i/y 0

lim I5(y) = u(l,y - l)H(y - l), (29)

ß^i

где H(x) - функция Хевисайда.

Аналогично для слагаемых в правой части (25) получим

i

lim Ji (y)= Í Ti(ß)H(ß)dß, (зо)

ß^i J

i-y

i

lim J2(y) = d Í T2(ß)H(ß)dß = T2(l - y)H(l - y), (31)

ß^i dy J

i-y

0

0

0

0

y-l

lim J3(y) = H(y - l) f ux(0,V)dV, (32)

ß^1 J

0

lim J5(y) = u(0,y - l)H(y - l). (33)

ß^i

Используя соотношения (26) - (33), из (24) и (25) получим необходимые нелокальные условия для волнового уравнения:

l y-l

u(0,y) = j Ti(t)H(y - t)dt + T2(y)H(l - y)+ H(y - l) j ux(l,s)ds-

00 y

- J ux(0, s)ds + u(l, y - l)H(y - l),

0

l y-l

u(l,y)= j Ti(t)H(t)dt + T2(l - y)H(l - y) - H(y - l) j ux(0,s)ds+

l-y 0

y

+ J ux(l,s)ds + u(0,y - l)H(y - l).

0

При y ^ l условия примут вид:

yy

u(0,y)= j ti(t)dt + T2(y) - J ux(0,s)ds, (34)

00 ly

u(l,y)= J Ti(t)dt + T2(l - y)+J ux(l,s)ds. (35)

l-y 0

При y ^ l имеем

y-l y

i(0,y) = J T1(t)dt + J ux(l,s)ds - J ux(0,s)ds + u(l,y - l), (36)

ux(l,s)ds - J ux\

0 0 0 l y-l y

и(1,у) = J тх^А — J ux(0,s)ds + У их(1,а)3,а + и(0,у — I). (37)

0 0 0 Для случая I = Т условия (34) и (35) получены в работе [6].

4. Задача Самарского

4.1. Постановка задачи и формулировка результата

Пользуясь доказанной теоремой 1, исследуем задачу Самарского для уравнения (1) в следующей постановке.

Задача 1. В области П найти решение и(х,у) уравнения (1), удовлетворяющее условию (16) и краевым условиям:

оЛи{0,у) + а2и(1,у) = ф(у), 0 <у < Т, (38)

J u(x,y)dx = p(y), 0 <y < T,

(39)

где Tk(x), ф(у), ц(у) - заданные функции, a1, a2 - заданные числа, причем ai = a2.

Условие (39) принято называть условием Самарского [5, с. 140].

В работе [7] в случае, когда 0 < а < 1, ai = 1, a2 =0, ¡л(у) = const ya—1, а условие (16) задано в локальном виде, задача 1 была исследована методом Фурье.

Обозначим C1,q [0,/] - простанство непрерывно дифференцируемых на [0,/] функций, удовлетворяющих условию Гельдера с показателем q.

Имеет место следующая

Теорема 2. Пусть т1(х) € C[0,/]; т2(х) € Ci'q[0,/], q > —, при n = 2; уп—аф(у) е C[0,T], Daц(у) € C[0,T] и выполняются условия согласования

lim Dа-пф(у) = aiT„(0) + a2Tn(/),

y—у 0 y

(40)

lim Da kц(у) = Tk (x)dx, k = 1,n. y— y

(41)

Тогда существует единственное регулярное в области О решение задачи 1. Решение имеет вид

п то

Tk (x)-

k=1 т= — то

(x,y) = £ ]Г Ne—k+1'2ml+x'y - Nel—k+1'2ml—x'y

то

Ы, rt \ Л \ Ty0,2ml — 2l+x Ty0,2ml — x + 2 R0y — R

г) \ Л Lt-^0,2ml — l+x sT->0,2ml — l — x R0y — R

m=1

0y

m=1

0y

ф0(у), (42)

где

ф0(у) = ——-Ф(у) +--1-ф(y), ф1(у) = ——-Ф(у) +--1-ф(y),

a2 — a1

n

a2 - a1

a1 - a2

a1 - a2

+

^(у) = 2Е Е К-к+1т1'утк(о+4£ ^-утЧ>(у) + (43)

к=1 т= — ж т=1

Доказательство. Интегрируя обе части равенства (1) по х с учетом условия (39), придем к условию

пх(1, у) - пх(0, у) = Dayм(у), 0 < у < Т. (44)

Из (17) и (18) с учетом условий (38) и (44) относительно функции ф(у) = п(0,у) + + п(1, у) получим

-' (45)

ф(у) — 2R 'уФ(п) = Ф(у),

где

Ф(у) = 2^ [Nt0'y + Kk,l,y\ тк(0+2 k=1

v0,0 +v e,l

' 0y + R0y

D°0y My),

5k = в — k +1.

Покажем, что уп—аФ(у) € C[0, T]. Поскольку Tk(x) € C[0,/], то в силу формул (13) и (10) получим

l

<—k+1'x'y Tk (t) = ¡J Tk(t)y— e1S—k+1(— -1—-) dt <

0

0

u

n

^ М ¡у— е]'в-к+1( -Х - ^

" 1, в

М

2в-ке1, 2в-к+1 2 " е1 • в

& = — у"^ '"е

\х - г\

г=\

1=0

где М = тах Тк (х). Из последнего и оценки

же[о , г]

уа-к е1 ; Гк+1 -ху-в)

< Сх-ву(а-к+т+е)-1,

(46)

справедливой в силу (12), следует, что ук к+1;Х,утк(£) £ С[0,Т], к = 1,п. Из

того, что П%уц(у) £ С[0, Т], следует, что В-увВ^р(у), Пву1 В^р(у) £ С[0,Т].

Уравнение (45) является уравнением Вольтерра второго рода. Легко видеть, что его единственное решение можно выписать в виде

ф(у) = 2^ П0Г1ф(п).

Действительно, в силу (5)

то

ф(у) - 2П0оф(п) = +2^2 <ут1Ф(п) - 4 £ ^0^°0ут1Ф(п) =

т=0 уО

т=0

= Ф(у) + 2 £ Кут1Ф(п) - 2 £ п0;Г+1)1*(п) =

т=1

т=0

то

Ф(у) + 2 £ КУТФп) - 2 £ КУТФп) = ф(у).

т=1

Равенство (47) можно записать в виде

у

т=1

Ф(у) = Ф(у) + ш(у -

(47)

где

ш (у) = £

(-1)п

е1;0 е1;в

п1

Из оценки (12) следует

уа-ке1;М

у е1;в\ ув

< С(ш1)-вувв-1, в £ [0, 2].

Из последнего получим

тото

\у1-вш(у)| < су1-ву2в-1£ т=увС £ т■

I I I2 т2 ¿2 т2

п=1 п=1

Таким образом, у1-вШ(у) £ С[0,Т], а уп-аф(у) £ С[0,Т].

Пользуясь (47) и свойствами 1 и 2, запишем решение уравнения (45) в виде

п

Ф(У) = 2^Т. [N0

к=1 т=0

то

+2^2 Ывут1 + <

¿к ;—т1;у + ^0>к ;(т+1)1;у

Тк(0 +

В°0у Ц(у).

у

у

0

т

0

в

у

у

п

т

Из последнего, пользуясь свойством 3, получим (43). После того как найдено ф(у), из системы

и(0, у) + и(1, у) = ф(у), а1п(0, у) + а2и(1, у) = ф(у)

при а1 = а2 однозначно находим и(0,у) и и(1,у),

и(0, у) = ф(у) + ф(у) = ф0(у), (48)

а2 — а1 а2 — а1

и(1, у) = а1 ф(у) +-1-ф(у) = Ф1(у). (49)

а1 — а2 а1 — а2

Очевидно, что функции уп-афо(у),уп-аф1(у) € С[0,Т].

Для того чтобы уп-аи(х,у) € С (О,), необходимо, чтобы выполнялись условия

lim. Ва-пф0(у) = тп(0), lim D^My) = rn(l). (50)

Покажем это. Из равенств (48) и (49) следует, что

L Т

Oy

таУ-пм.у) = тау-пфу +-Da4-nrty), (51)

у а.2 — ai " а2 — ai

Т0-пФ1(у) = ^^ Т0-пф(у) +-Т0-пф(у). (52)

" ai — а,2 ai — a2

Из (43) в силу (14) и (15) имеем

п

та-пф(у) = 2 J2 Е Da0-nNs0t'ml'yтк(о+

п

k=1 т= — то

nn—ß'mlDo0yм(у) + Dß—nDayМ(у). (53)

Равенство (53) вместе с соотношением (7) приводят к

lim Dа—пф(у) = тп(0) + тп(1), (54)

y^ O "

Из (40), (51), (52) и (54) следует (50).

Таким образом, решение задачи 1 редуцируется к решению первой краевой задачи (16), (48), (49), для уравнения (1), которое имеет вид [2, с. 123]

i

dk—1

и(х,у) = ^( — 1)к-1 тк (0) ^^ С(х,у; 0, 0У%+ к=1 0 п У У

+ ! О^(х,у;0,ц)и(0,ц)^ — J О^(х,у; 1,ц)и(1,ц)^, (55)

о о

то

где О(х,у; 0,п) = 12 [Г(2т1 + х — 0,у — п) — Г(2т1 — х — 0,у — г/)].

т=—то

Очевидно, что (55) удовлетворяет уравнению (1) и условиям (16), (38). Покажем, что (55) удовлетворяет условию (39). В терминах операторов (3) и (4) решение (55) можно записать в виде (42) или

п то

и(х,у)=[м^'2т1+х'у—м^'2т1-х'у '-2т1+х'у Тк (х)+

к = 1 т=1

m

k=1

y0,2ml-l-x уп 0,2ml-l+x - R0y

Ф1(у)+

R

m=1

0,2ml-2l+x -T-)0,2ml-x — 'Vi,,

ф0(у)-

(56)

Проинтегрируем равенство (56) на отрезке [0,1] по переменной х. В силу свойств 5 и 6 получим

n ^о

i{x,y)dx = 2^ £(-!)

m+1

k=1 m=1 l

Nl+^'(m+1)l,y + N0+ß'-ml,y

Tk(x) +

11°+"—1 Г

+ Тк{х)3'Х + Жву + Ф(У), (57)

к=1 ( +в) 0 т=1

где ф(у) = ф0(у) + Фч(у) решение уравнения Вольтерра (45). Из (47) имеем

2П0уоф(у) = Б—ф(у) = 2 £ П0ут1 Ф(у).

т=0

Преобразуем последние два слагаемых в правой части (57) с помощью (5)

то

2П0'у0Ф(у)+^(-1)т^°о'Г1Б——ув Ф(У) =

m=1

то

= 2 £ п0ут1Ф(у) + 8 £ (-1)тп0та^ п0у1Ф(у) =

m=0 m=1 s=0

то то m

= 2 £ Rßyml^(y) + 8 £ J2(-1)SR°o^lRß0y^m-s)lФ(у) =

m=0 m=1 s=1

то то m

= 2 £ RoymlФ(у) + 4 £ П^Ф^^—У =

m=0 m=1 s=1

то то то

2П00уОФ(У) + 2 £ П^фу + ^ П^ФЬ) - 4 £ Ry2^Ф(У)

1

1

1

= 2П0у0Ф(у) + 2^2-1)^^) = 2^2(-1)т^-00УП1Ф(у)- (58)

m=1

m=1

Обозначив ¡11 (у) = D-0D$y¡¡(у) и пользуясь свойствами преобразования Rgy0, получим

то то то

2 £ —гпО^Фу = 2 £ мг^иЫ + 2 £ (-1)тп0у{т+1)111(у)+

m=1 m=1 m=1

то n

+2j2(-i)mRßyml2Yl [Nt0'y+Wk,l,y] Tk (o = D-yß 11(у)+

m=0 k=1

n то

+2^J2—!)m Wm +ß'-mly + +ß'(m+1)l'y] Tk(0- (59)

k =1 m=0

m

0

m

m

m

Учитывая, что в силу аналога формулы Ньютона — Лейбница в дробном исчислении [1, с. 11],

в-И1(у) = в-уаваУку) = ку) - £ у™ ва-кКу),

из (57), (58) и (59) получим, что

I I

г " у&к+в-1 г

у и{х,у)ах = к(у) + 22 + в) у тк(х)^х - УШ1 В^у-кк(у) о к=1 [о

Таким образом, функция и(х,у) удовлетворяет условию Самарского при выполнений условий согласования (41). Теорема 2 доказана.

4.2. Задача Самарского для волнового уравнения

Рассмотрим задачу 1 при а = 2, а,1 = 1, а2 =0 и Т < I. В общем случае задача решается аналогично.

Задача 2. Найти решение уравнения

ихх - иуу =0, (60)

удовлетворяющее условиям

и(х, 0) = т(х), иу(х, 0) = х), 0 < х < I, I

и(0, у) = Фо(у), ! и(х,у)ё,х = к(у), 0 < у < Т < I.

о

где т(х), V(х), фо(у), к(у) - заданные функции.

Для волнового уравнения задача 2 методом редукции к задаче с условием Бицадзе — Самарского исследовалась в работе [10]. Из (34) и (35) с учетом равенства

у

J [их(1, э) - их(0, = К(у) - К(0)

у

[их(1, 3) - иху

о

выразим значение и(1, у) через данные задачи 2: у I

и(1,у) = ! V(t)dt + I v(t)dt + т(у) + т(I - у)+ к (у) - К(0) - фо(у) = Ф1(у).

0 1-у

Таким образом, задача 2 свелась к смешанной краевой задаче для уравнения (60), решение которой имеет вид [11, с. 70]

х + у

и(х,у) = т(х + у) + т(х - у) +1 I v(t)dt + Фо(у - х) - ф1(у + х - I), (61)

х-у

где Фо(у) = Фо(у)Н(у), ф (у) = ф1(у)Н(у), Н(у) - функция Хевисайда, причем т(-х) = -т(х), т(21 - х) = -т(х), V(-х) = -V(х), V(21 - х) = -V(х). (62)

Очевидно, что (61) является решением уравнения (60), а также то, что выполняются первые три условия задачи 2.

Покажем, что выполняется четвертое. Проинтегрируем равенство (61) по переменной х в пределах от 0 до I

I I I х+у I

J и(х, у)йх =2 J [т (х + у) + Т (х - у)Цх +2 ^ ! V + J ф0(у - х)йх+

0 0 0 х-у 0

I

+ ^ ф(у + х - 1)йх = II + 12 + 1з + 14. (63)

0

Преобразуя интегралы I¡. (к = 2, 4) с учетом равенств (62), получим

I 1+у 0 1-у 1-у

211 = ! т(г)¿г - ! т(21 - г) ¿г - ^ т(-г) ¿г + J т(г) ¿г = 2 ^ т(г) ¿г, (64)

у I -у -у у

0 1-у у I

212 = J (г + у)и(ь)аъ + I (г + у)и(ь)аъ + ^¿V (г)з,г +у(I - г + у)и (г)з,г+

-у 0 1-у у

1-у у 1-у I

+ У (I - г + у^(г)А = 2 ! ^(г)скь + 2 J yv(t)dt + 2 ! (I - гу(г)в,г, (65) I 0 у 1-у

уу

1з = 1 ф0(у - x)dx = ! ф0(г^г, (66)

00 у у I

14 = J фь(у + х - ^¿х = ! ф1 (г)¿г = !(у - гу(г^г + ^ (у + г - ¿у(^¿г+

00 I у у

х

1-у 0 0 1-у

у I у

+ ! т(в)¿в +У т(в)¿в - ! Ф0 (в) ¿в + ¡¡(у) - ¡¡(0) - ¡¡'(0)у. (67)

0 1-у 0

В силу (64)-(67), из (63) получим

I / у 1-у ¡\

! и(х, у)¿х = II +12 + 1з +14 = J + / + / | т(г)¿г - ц(0)+

0 \0 у 1-у /

/у 1-у I\

+ / +1 + 1 I V(г'^г - № + ¡(у)-

\0 у 1-у )

Из последнего видно, что при выполнении условий согласования

I I

J т^¿х = [¿(0), J V^¿х = [(0),

00

функция (61) удовлетворяет условию

i

j u(x,y)dx = ¡¡(у).

о

Литература

[1] Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.

[2] Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 с.

[3] Псху А.В. Фундаментальное решение диффузионно-волнового уравнения дробного порядка // Известия РАН. Серия математическая. 2009. Т. 73. № 2. С. 141-182.

[4] Геккиева С.Х. Задача Коши для обобщенного уравнения переноса с дробной по времени производной // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2000. Т. 5. № 1. С. 16-19.

[5] Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. M.: Высш. шк., 1995. 301 с.

[6] Нахушева З.А. Об одной задаче А.А. Дезина для уравнения смешанного типа с разрывными коэффициентами // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2006. Т. 8. № 2. С. 49-56.

[7] Нахушева З.А. Видоизмененная задача Самарского для нелокального диффузионного уравнения // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 1997. Т. 2. № 2. С. 36-41.

[8] Псху А.В. Решение краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка методом функции Грина // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39. № 10. С. 1430-1433.

[9] Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. M.: Наука, 2006. 287с.

[10] Бейлин С.А. Смешанные задачи с интегральными условиями для волнового уравнения: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Самара, 2005.

[11] Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 735 с.

References

[1] Nakhushev A.M. Fractional calculus and its applications. M., Fizmatlit, 2003, 272 p. (in Russian)

[2] Pskhu A.V. Fractional partial differential equations. M., Nauka, 2005, 199 p. (in Russian)

[3] Pskhu A.V. Fundamental solution of diffusion-wave equation of fractional order. Izvestiya RAN. Seriia mathemathicheskaia [Proceedings of the RAS. Mathematical Series], 2009, Vol. 73, no. 2, pp. 141-182. (in Russian)

[4] Gekkieva S.Kh. Cauchy problem for generalized equation of displacemant with fractal time derivative. Doklady Adygskoi (Cherkesskoi) Mezhdunarodnoi akademii nauk [Reports of Circassian International Academy of Sciences], 2000, Vol. 5, no. 1, pp. 16-19. (in Russian)

[5] Nakhushev A.M. Equations of mathematical biology. M.: Vysshaiia shkola, 1995, 301 p. (in Russian)

[6] Nakhusheva Z.A. On one A.A.Dezin problem for mixed type equation with disconnected coefficients. Doklady Adygskoi (Cherkesskoi) Mezhdunarodnoi akademii nauk [Reports of Circassian International Academy of Sciences], 2006, Vol. 8, no. 2, pp. 49-56. (in Russian)

[7] Nakhusheva Z.A. Modified problem of Samarskiy for non-local diffusion equation. Doklady Adygskoi (Cherkesskoi) Mezhdunarodnoi akademii nauk [Reports of Circassian International Academy of Sciences], 1997, Vol. 2, no. 2, pp. 36-41 (in Russian)

[8] Pskhu A.V. Solution of boundary value problems for fractional diffusion equation by the Green function method. Differentsial'nye uravneniia [Differential Equations], 2003, Vol. 39, no. 10, pp. 1430-1433. (in Russian)

[9] Nakhushev A.M. Problems with shift for partial differential equations. M., Nauka, 2006, 287 p. (in Russian)

[10] Beylin S.A. Smeshannye zadachi s integral'nymi usloviiami dlia volnovogo uravneniia: dis. ... kand. fiz.-mat. nauk [Mixed problems with integral conditions for wave equation: Candidate's of Physico-Mathematical Sciences Thesis]. Samara, 2005, 111 p. (in Russian)

[11] Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Equations of mathematical physics. M., Nauka, 1972. 735 p. (in Russian)

Поступила в редакцию 20/777/2014; в окончательном варианте — 20/777/2014.

NECESSARY NON-LOCAL CONDITIONS FOR A DIFFUSION-WAVE EQUATION

© 2014 M.O. Mamchuev2

In this article, diffusion-wave equation with fractional derivative in Rieman-n-Liouville sense is investigated. Integral operators with the Write function in the kernel associated with the investigational equation are introduced. In terms of these operators necessary non-local conditions binding traces of solution and its derivatives on the boundary of a rectangular domain are found. Necessary non-local conditions for the wave are obtained by using the limiting properties of Write function. By using the integral operator's properties the theorem of existence and uniqueness of solution of the problem with integral Samarski's condition for the diffusion-wave equation is proved. The solution is obtained in explicit form.

Key words: diffusion-wave equation, wave equation, fractional differential equations, necessary non-local conditions, Samarski's problem, derivative of fractional order.

Paper received 20/777/2014. Paper accepted 20/777/2014.

2Mamchuev Murat Osmanovich ([email protected]), the Dept. of Mathematical Physics of Fractals, Research Institute of Applied Mathematics and Automation of Kabardino-Balkar Scientific Centre of RAS, Nalchik, 360000, Russian Federation