CC BY
21
УДК 517.95
ВНУТРЕННЕКРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛО-ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С ОПЕРАТОРОМ ДРОБНОЙ ДИФФУЗИИ
INTERNAL BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR HYPERBOLIC-PARABOLIC EQUATION CONTAINING FRACTIONAL DIFFUSION OPERATOR
К.У. Хубиев K.U. Khubiev
Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН Россия, 360000, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89 А
Institute of Applied Mathematics and Automation of KBSC RAS, 89 A Shortanov St, Nalchik, 360000, Russia
E-mail: [email protected]
Аннотация
В статье исследуется задача с разрывными условиями сопряжения и нелокальными внутреннекраевыми условиями смещения в гиперболической части области для модельного уравнения гиперболо-параболического типа с оператором дробной диффузии. Доказана теорема существования и единственности решения исследуемой задачи, решение выписано в явном виде.
Abstract
In this paper we investigate a problem with non-continues conjugation condition and with a non-local inner-boundary shift in the hyperbolic part of the mixed domain for a model hyperbolic-parabolic equation with a fractional diffusion operator. The existence and uniqueness of the solution for the problem is proved. The solution is written out in explicit form.
Ключевые слова: нелокальная задача, задача со смещением, внутреннекраевая задача, уравнение смешанного типа, гиперболо-параболическое уравнение, оператор дробной диффузии. Keywords: nonlocal problem, problem with shift, inner boundary value problem, equation of mixed type, hyperbolic-parabolic equation, the fractional diffusion operator.
Интенсивное исследование краевых задач со смещением для гиперболического и смешанного типов уравнений началось с работы [1]. Краевые задачи как с локальным, так и нелокальным смещением для гиперболического и смешанного типов уравнений были объектом исследования многих авторов. В работе [2] были изучены нелокальные задачи для нагруженного гиперболического уравнения и для уравнения Фурье. В работе [3] исследована внутреннекраевая задача с локальным смещением для гиперболического уравнения общего вида. В [4] рассмотрена нелокальная задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Весьма широкий обзор результатов исследований задач со смещением приводится в монографии [5].
Задачи с нелокальными условиями продолжают активно изучаться. В [6] рассмотрены различные внутреннекраевые задачи со смещением для уравнения колебания струны. В [7] для дифференциального уравнения, содержащего уравнение диффузии дробного порядка, исследована в бесконечной области нелокальная задача с разрывными условиями сопряжения. В [8] для уравнения с частной дробной производной Римана— Лиувилля исследована однозначная разрешимость задачи с обобщенным оператором дробного интегро-дифференцирования в краевом условии. В [9] для нагруженного
уравнения гиперболо-параболического типа исследована нелокальная задача с интегральным условием в гиперболической части.
Рассмотрим модельное уравнение смешанного гиперболо-параболического типа с оператором дробной диффузии
0 = \ихх " D0yu, У > 0 (1)
1 ихх " иуу, У < 0
в объединении областей О = , где О+= {(х, у): 0 < х < 1, у > 0}, О" - область,
ограниченная характеристиками АС : х + у = 0, ВС : х - у = 1 уравнения (1) и отрезком [0,1]
прямой у = 0, 0 <а < 1, ) - оператор дробного интегро-дифференцирования Римана-
Лиувилля порядка а с началом в точке а и с концом в точке х [10, с. 14]:
DXt) =
sign(x - а) x p(t)dt
-- I —г, а < 0,
Г(-а) а | x -1 |a+1
p( x), а = 0, dn
signn (x -а)\ваа;пу(г), а > 0, dx
где n -1 <a< n, n e N.
Для уравнения (1) в [11, c. 55] был изучен аналог задачи Трикоми как в области О, так и в областях, где гиперболическая часть также характеристический треугольник, а параболическая часть - верхняя полуплоскость [11, c. 42] и половина верхней полуплоскости [11, с. 51]. В [12] рассматриваются смешанные краевые задачи для нагруженного диффузионно-волнового уравнения с дробной производной. В данной работе для уравнения (1) будем исследовать задачу с нелокальными внутреннекраевыми условиями смещения в гиперболической части.
Обозначим через J интервал 0 < x < 1 прямой y = 0 .
Под регулярным решением уравнения (1) будем понимать функцию u = u(x, y) из
класса y1-au e C(0+), y1-a(y1-au)y e C(Q+ u J), ux e C(0+), u e C(О-) n C2(0"),
удовлетворяющую уравнению (1) в 0+ uO-.
Для уравнения (1) исследуется следующая
Задача. Найти в О регулярное решение u(x, y) уравнения (1), удовлетворяющее условиям
u(0, y) = Pö(y), u(1, y) = p(y), y > 0, (2)
n - j
«Шx)] = I aln-ju[d (x)] + Wn-j(x), (3)
i=1
j = 0,1,...,n-1, xn-j-1 < xn-j, x0 = 0, xn = 1, (P0(y), <n(y),Wn-j(x) - заданные функции, 9x (£) - точка пересечения характеристики x - y = % с характеристикой x + y = xt,
9xq (x) = 6^(x), а\ - заданные действительные числа, а\ = 0 при i = k. На интервале J выполняются условия сопряжения:
lim y1-au(x, y)= lim u(x, y), (4)
y—0+ y —>0-
lim y1-a[y1-au(x,y)]y = lim uy(x,y). (5)
y—0+ y—0-
Отметим, что задача с условиями (3) в гиперболической части области для уравнения Лаврентьева-Бицадзе исследовалась в [4].
Справедлива следующая
Теорема. Если заданные функции y1 a(Po(y), y1 a((y) е C(Q+),
12 1 y/k(х) е C [0,1]nC ]0,1[, k = 1,2,...n, причем yy(0) = lim У _a(o(y), и выполняются
у i0+
условия
ä¥k(х) = äVk+1(х)
lim Täk--lim i är ' (6)
х^^ lkax х i Xk lk +1dX
k .
где lk =1 - ^ak = 0, k = 1,2,...n, то задача (1) - (3) имеет, и притом единственное решение. i=1
Доказательство. Пусть существует решение задачи (1)-(3). Обозначим
через:
т(х) = lim y1_aw(х, y), х е J , (7)
y i0+
п ;
y i0+
И» = lim У1 a(У1 au(х, y))у, х е J
а из условия (2) задачи получим
т(0) = у(0), т(1)= lim y1-a((y) = ((. (8)
y i0+
Функциональное соотношение между т(х) и у(х) для уравнения (1), принесенное из параболической области в работе [11, с. 48] было выписано в виде
у(х)=77^ Т"(х). (9)
Г (а +1)
Решение задачи Коши для уравнения (1) с учетом введенных обозначений и условий сопряжения (4)-(5) в Q" можно представить в виде
u (х, У )=т( х+У) +т( х - У) - 21 W. (10)
2 2 х+y
Удовлетворяя (10) условию задачи (3), получим
х n-j х
т(х) + т(0) - jV(£)ä£ = X аП-j[т(х) + т(х.) - \у(£Щ] + 2Уп-j (х), (11)
0 i=1 xi
хп-j-1 < х < хп-j, j ^Л-^ n - 1.
Дифференцируя тождество (11), получим функциональное соотношение, принесенное из гиперболической области :
n - i .
Т (х) -v( х)= Xa'n-j [Т (х)-у(х)] + 2y'n-j (х). (12)
i=1
ki
Учитывая условие (6) теоремы и используя то, что lk =1 - Xßk = 0 для всех
i=1
k = 1,2,...n, перепишем (12) в виде
Т( х) -v( х) = -f (х), (13)
2y ' (х) 1
где f (х) = — k , xk-1 < х < xk, k = 1,...,n, причем f (х) е C[0,1] n C ]0,1[. Здесь надо
lk
отметить, что условие (6) теоремы обеспечивает непрерывность первых производных решения задачи u(х,у) на характеристиках х-y = х., i = 1,2,...n-1.
Из (13) и (9) получим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка
—г" (х) -Т( х) = / (х). (14)
Г(а +1)
Задача Дирихле (8) для уравнения (14) имеет единственное решение, которое можно записать в виде
т(х) = } 0(х,{)/(№ + 0^х,1)щ- х,0М(0), 0
где 0(х,£) - функция Грина:
'(е- -е-)(1 -
G( х,£) =
eV-1
(,еVх - i)(i - ,v(1-£))
в"-1 :
0 < £ < x,
x <£< 1,
„Vх " 1 „Vх " е-
а#(х,1) = —- а#(х,0) = —-—, - = г(а+1).
? е--1 ? е--1
После нахождения функции т(х) функция у(х) легко определяется из (13), причем т(х) 6 С (/) п С2( /), Кх) е С1/).
Далее задача в области О- решается как задача Коши по формуле (10). В области же О+ решение первой краевой задачи (2), (7) для уравнения (1) задается формулой [13]
у дС У дС 1
и(ху) = 1^1^=0 (Р0(л№п-\-г:гЫ <Мп)аП + М(x,y■¿,0)z(Z)dZ,
0 0 0
где:
Г Г ( е \ Г(а), ® 1,5 | х-£ + 2п | 1,5 | х + £ + 2п |
= (x, у; £ п) = —(у -п) Е (—-—- ^(—-—5-й
2 п=(у -п) (у -п)
с а ю 2к
5 = d2, есаЬ = Е —-. ... - функция Райта, а > Ь [10, с. 23].
к=0 Г(с + ка)Г(а - Ьк)
Теорема доказана.
Список литературы References
1. Нахушев А.М. 1969. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа. Дифференц. уравнения, 5(1): 44-59.
Nakhushev A.M. 1969. Certain boundary value problems for hyperbolic equations and equations of mixed type. Differ. Equations, 5(1): 44-59.
2. Нахушев А.М. 1979. Краевые задачи для нагруженных интегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги. Дифференц. уравнения. 15(1): 96-105.
Nakhushev A.M. 1979. Boundary value problems for loaded integro-differential equations of hyperbolic type and some of their applications to the prediction of ground moisture. Differ. Equations, 15(1): 96-105.
3. Кхан М.Р. 1982. Краевые задачи со смещением для гиперболического уравнения. Дифференц. уравнения, 18(6): 1082-1085.
Khan M.R. 1982. Boundary value problems with displacement for a hyperbolic equation., Differ. Equations, 18(6): 1082-1085.
4. Кхан М.Р. 1984. Об одной нелокальной задаче для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Дифференц. уравнения, 20(4): 710-711.
Khan M.R. 1982. A nonlocal problem for the Lavrent'ev-Bitsadze equation. Differ. Equations, 20(4): 710-711.
5. Нахушев А.М. 2006. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М., Наука, 288.
Nakhushev A.M. 2006. Zadachi so smeshheniem dlja uravnenij v chastnyh proizvodnyh. M., Nauka, 288. (In Russian)
6. Аттаев А.Х. 2014. Краевые задачи с внутреннекраевым смещением для уравнения колебания струны. Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 16(2): 17-19.
Attaev A.Kh. 2014. A boundary value problems with inner shift for the string equation. Reports Adyghe (Circassian) International Academy of Sciences, 16(2): 17-19.
7. Репин О.А. 2015. Краевая задача для дифференциального уравнения с частной дробной производной Римана-Лиувилля. Уфимский математический журнал. 7(3): 70-75.
Repin O.A. 2015. Boundary value problem for partial differential equation with fractional Riemann-Liouville derivative. Ufa Mathematical Journal, 7(3), 67-72.
8. Тарасенко А.В., Егорова И.П. 2017. О нелокальной задаче с дробной производной Римана-Лиувилля для уравнения смешанного типа. Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 21(1): 112-121.
Tarasenko A.V., Egorova I.P. 2017. On nonlocal problem with fractional Riemann-Liouville derivatives for a mixed-type equation. J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci., 21(1): 112-121.
9. Хубиев К.У. 2016. Задача с интегральным условием в гиперболической части для характеристически нагруженного гиперболо-параболического уравнения. Мат. заметки СВФУ, 23(4): 91-98.
Khubiev K.U. 2016. A problem with integral condition in the hyperbolic part for a characteristicly loaded hyperbolic-parabolic equation. Yakutian Mathematical Journal, 23(4): 91-98.
10. Псху А.В. 2005. Уравнения в частных производных дробного порядка. М., Наука, 199.
Pskhu A.V. 2005. Uravnenija v chastnyh proizvodnyh drobnogo poijadka. M., Nauka, 199. (In
Russian).
11. Геккиева С.Х. 2003. Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений с дробной производной по времени. Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Нальчик, 75.
Gekkieva S.Kh. 2003. Kraevye zadachi dlja nagruzhennyh parabolicheskih uravnenij s drobnoj proizvodnoj po vremeni. Dis. ... cand. phys.-math. nauk. Nalchik, 75. (In Russian)
12. Геккиева С.Х. 2016. Смешанные краевые задачи для нагруженного диффузионно-волнового уравнения. Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика, № 6(227), вып. 42: 32-35.
Gekkieva S.Kh. 2016. Mixed boundary value problems for the loaded diffusion-wave equation. Belgorod State University Scientific Bulletin. Mathematics& Physics, №6(227), Iss. 42: 32-35.
13. Псху А.В. 2003. Решение первой краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка. Дифференц. уравнения. 39(9): 1286-1289.
Pskhu A.V. 2003. Solution of the first boundary value problem for a fractional-order diffusion equation. Differ. Equations. 39(9): 1359-1363.
