Смешанные краевые задачи для нагруженного диффузионно- волнового уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517-95

СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО ДИФФУЗИОННО-

ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ

MIXED BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR THE LOADED DIFFUSION-WAVE

EQUATION

С.Х. Геккиева S.Kh. Gekkieva

Институт прикладной математики и автоматизации, Россия, 360004, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89 а Institute of Applied Mathematics and Automation, 89 a Shortanova St, Nalchik, 3600004, Russia

E-mail: [email protected]

Аннотация. В работе рассматриваются смешанные краевые задачи для нагруженного диффузионно-волнового уравнения с дробной производной. С помощью функции Грина доказана однозначная разрешимость поставленных задач.

Abstract. The paper deals with the mixed boundary value problem for a loaded diffusion-wave equation with fractional derivative. Using Green's function we proved unique solvability for the set problem.

Ключевые слова: нагруженное уравнение, дробная производная, функция Грина.

Key words: loaded equation, fractional derivative, Green's function.

Введение

Известно [1], что в основе математических моделей нелокальных физико-биологических фрактальных процессов лежат, как правило, нагруженные дифференциальные уравнения с частными производными дробного порядка.

В монографии А.М. Нахушева [1] приведена подробная библиография по нагруженным уравнениям, в том числе по различным применениям нагруженных уравнений как метода исследования задач математической биологии, математической физики, математического моделирования нелокальных процессов и явлений, механики сплошных сред с памятью.

Следует отметить, что к краевым задачам для нагруженных параболических уравнений сводятся, в том числе, задачи, связанные с прогнозом и уровнем грунтовых вод.

Данная работа посвящена исследованию смешанных краевых задач для нагруженного диффузионно-волнового уравнения с дробной производной.

В области Б = {(х, /) :0 < X < 1,0 < ^ < Т} рассмотрим уравнениео

т

Б^ы (х, /) — ы^— ^ ^ (х,/) и (х0,/) = / (х,/), 0 <а< 2 , (1)

к=1

где х0 6(°1) , Ба - оператор дробного дифференцирования Римана-Лиувилля порядка а [2].

Уравнение (1) относится к классу уравнений, предложенных в [3].

В работе [4] с помощью метода функции Грина исследована смешанная краевая задача для нагруженного уравнения теплопроводности.

Краевые задачи для диффузионно-волнового уравнения с дробной производной рассмотрены в монографии [5].

В работах [6, 7] получены решения краевых задач для нагруженного диффузионного уравнения.

Постановка задачи

Решение и (1) уравнения (1) назовем регулярным в области В , если Щ~кп (х,1)е С (В),

к = 1,2; и„ ( х,1), (х, |)е С (В).

Задача 1. В области В требуется найти регулярное решение уравнения (1), удовлетво-

ряющее начальному условию

аa-k

lim Da-ku (х, t) = t(x), k = 1,2, 0 < x < l, (2)

и граничным условиям

u (0, t) = p(t), ux (l,t) = w(t), 0 < t < T,

где Tk (x) ,(p(t) ,f(t) - заданные функции.

Задача 2. В области D требуется найти регулярное решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию (2) и граничным условиям:

u (0,t) = f(t), u(l,t) = p(t), 0 <t <T,

где Tk (x) ,w(t) ,p(t) - заданные функции.

Используя метод функции Грина докажем следующую теорему.

Теорема 1. Пусть ^((t), tk-a¥(t)e C [0, l]. Tk (x)e C [0, l] . tk-af (x, t), tk-aqh (x, t)e C (D) и выполнены условия согласования

limDak(p(t) = t (0), limD^k(t) = Ч (l). Тогда существует единственное регулярное решение задачи 1.

Доказательство. Известно, [5], что функция Грина смешанной краевой задачи для уравнения

D> (x,t =f (x,t)

в области D = {(x, 0: a1 < x < a2, 0 <t < b} имеет вид:

да

Gi (x, 7, j) = £ (-1)" [ (x - £ 7 - j) + Г (x + £ - 2a,, 7 - j)\,

где

( _ J \s + 2"(a2 - a,)| 1, ß = a / 2 ,

Г (s, t)= (tß-1<ß

v

^^ Ъ п\Г(Р-Рп)

- функция типа Райта.

Тогда для решения задачи 1 с помощью функции Грина получим соотношение

I ' 1 п ак-1

и (х, |} = / О^ (х, 1,0,лМл) ¿Л+ / «1 (х, I,1,лМЛ ¿Л+ /£ (-1)к-1 ^к (^)ттк-г О (х,

0 0 0 к=1 II I 1 т

-ЯО1 (х^л)/(^Л)¿^¿Л1к (^Л)О1 (х^Л^Л)и(х0Л)^¿Л • (3)

0 0 0 0 к=1

Отсюда при х ^ х получим интегральное уравнение:

I

и ( х0, |)-| и ( х0,л)К (|,л) = Р (I) (4)

0

с ядром

К (|,л) = (|-л)'-1 к (|,л) ,

где

1 1 да

к (t,)) = - J qk (#,))£

(-1)"

0-# + 2nl\

- е-

-# + 2n/|

и правой частью

' ' _" . ^ -1 F(t) = J(хо,t,0,))^())fl)+JG- (*o,t,/,))^())a)) + JZ(-1)к-1^к (^)'^к-ТG (*о,t,^,0)

-J Jg- (хо, t,£)) / (£)) fl^fl) .

Нетрудно заметить, что уравнение (4) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода, которое безусловно и однозначно разрешимо.

Пусть н ) - резольвента ядра — (|,п), тогда решение уравнения (4) примет вид [8]

u (Хо,t) = F(t) + [я(t,);q)F())d) .

(5)

Принимая во внимание выражение (5), из (3) получаем, что единственное решение задачи 1 дается формулой

I ' I я як—1

ы (х, I) = / ^ (х, 1,0, л )р(л ) + / «1 (х, I, I, п) у (л) ап+/ £ (—!)к—1 тк (^)^-Г-Т « (х, I, 0) —

0 0 0 к=1 II I I т

—{ | «1 (х, I, л) / (£, п) —11 £дк £,п)«(х, I, п) у (п) —

0 0 0 0 к=1

11т Л

|£ ^ (£,п) °1 (х, |,£,п) н (1,5; * у (5) а*. 0 0 к=1 0 Аналогично формулируется и доказывается теорема для задачи 2.

Список литературы

1. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их применения / А.М. Нахушев. - М.: Наука, 2012. - 232 с.

Nakhushev A.M. Loaded equations and their applications / A.M. Nakhushev. - M: Nauka, 2012. -

232 p.

2. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии / А.М. Нахушев. - М.: Высшая школа, 1995. - 301 с.

Nakhushev A.M. Equations of mathematical biology / A.M. Nakhushev. - M: Vysshaja shkola,

1995. - 301 p.

3. Нахушев А.М. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка / А.М. Нахушев // Дифференц. уравнения. - 1976.Т. 12. - №1. - С. 103-108.

Nakhushev A.M. On the Darboux problem for one degenerate loaded integro-differential equation of the second order // Differ. equation. - 1976. - V. 12. - №1. P. 103-08.

4. Дикинов Х.Ж. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения теплопроводности / Х.Ж. Дикинов, А.А. Керефов, А.М. Нахушев // Дифференц. уравнения. 1976. - Т. 12. - №1. - С. 177179.

Dikinov Kh.Zh. On a boundary problem for a loaded heat equation / Kh.Zh.Dikinov, A.A. Kerefov, A.M. Nakhushev // Differ. equation. - 1976. - V. 12. - №1. - P. 177-179.

5. Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка / А.В. Псху. - М.: Наука, 2005. - 199 с.

Pskhu A.V. Partial differential equations of fractional order / A.V. Pskhu. - M.: Nauka, 2005. -

199 p.

6. Геккиева С.Х. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения с дробной производной / С.Х. Геккиева // Материалы Международного Российско-Казахского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». - Нальчик, 2004. - С. 47-49.

Gekkieva S.Kh. On a boundary problem for a loaded equation with fractional derivative / S.Kh. Gekkieva // Proceedings of the International Russian-Kazakh symposium «Mixed type equations and related problems of analysis and informatics». - Nalchik, 2004. - P. 47-49.

7. Геккиева С.Х. Вторая краевая задача для нагруженного уравнения с дробной производной / С.Х. Геккиева // Доклады АМАН. - 2008. - Т. 10. - №2. - С. 17-19.

"=-да

о

0

о

о

о

Gekkieva S.Kh. Second boundary value problem for a loaded equation with fractional derivative / S.Kh. Gekkieva. // Reports of Adyghe (Circassian) International Academy of Sciences. - 2008. - V. 10. -№2. - P. 17-19.

8. Трикоми Ф.Дж. Интегральные уравнения / Ф.Дж. Трикоми; Пер. с англ. - М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1957.

Tricomi F.G. Integral equations / F.G. Tricomi // Interscience publishers, INC., New York, Interscience publishers, LTD., London. 1957.