Метод прямых решения первой краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 4-1(16). C. 27-31. ISSN 2079-6641

DOI: 10.18454/2079-6641-2016-16-4-1-27-31

УДК 517.95

МЕТОД ПРЯМЫХ РЕШЕНИЯ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА

С.Х. Геккиева1, Б.М. Керефов2

1 Институт прикладной математики и автоматизации, 360000, г. Нальчик, ул. Шор-танова, 89А

2 Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, 360004, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 173

E-mail: [email protected], [email protected]

В работе исследована первая краевая задача для уравнения диффузии дробного порядка. Методом прямых получено решение в разностной форме.

Ключевые слова: уравнение диффузии, дробная производная, метод прямых.

(с) Геккиева С.Х., Керефов Б. М., 2016

MSC 35E99

METHOD OF LINES SOLUTION FOR SOLUTION OF THE FIRST BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR DIFFUSION EQUATION OF FRACTIONAL ORDER

S. Kh. Gekkieva1, B. M. Kerefov2

1 Institute of Applied Mathematics and Automation, 360000, Nalchik, Shortanova st., 89A, Russia

2 Kabardino-Balkarian State University, 3600004, Nalchik, Chernyshevsky St, 173, Russia

E-mail: [email protected], [email protected]

In the paper we study the first boundary value problem for the diffusion equation of fractional order. A solution in its difference form is obtained by the method of lines.

Key words: diffusion equation, fractional derivative, method of lines.

© Gekkieva S. Kh., Kerefov B.M., 2016 27

ТББЫ 2079-6641 Геккиева С. Х., Керефов Б. М.

Введение

В настоящее время наблюдается заметный рост внимания исследователей к дробному исчислению. В первую очередь это обусловлено многочисленными эффективными приложениями дробного интегро-дифференцирования при описании широкого класса физических и химических процессов, протекающих во фрактальных средах, при математическом моделировании экономических и социально-биологических процессов [1-3]. В монографии [4] приведена подробная библиография по уравнениям в частных производных дробного порядка, в частности, рассматривается диффузионно-волновое уравнение. В работе [5] рассмотрены краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной.

Целью исследования является постановка и решение первой краевой задачи для уравнения диффузии с дробной производной в разностной форме.

Первая краевая задача в разностной форме

В области = (0,1) х (0, Т) рассмотрим первую краевую задачу для уравнения диффузии дробного порядка:

Я^и = (ких)х + f (х, г), к (х, г) > с > 0,

(1)

и (0, г) = и (1, г) = 0, |г=0 = и0 (х). (2)

Будем решать задачу (1)-(2) методом прямых [6]. Получим приближенное решение в виде системы функций, приближенно представляющих искомое решение вдоль прямых х, = ,й, , = 0,1,..., N. Для этого разобьем отрезок [0,1 ] точками х, = ,й, й = у и заменим производные по переменной х на разностные производные:

(к (х, г) их)х ~ (а (х, г) их)х = И (а,+1 и - а,"' Иг-1

И

И

а (х,, г) = к (х, - 0.5И, г) = к. 1 (г).

Тогда для сеточной функции у (х,, г) получим следующую систему уравнений метода прямых:

Я£у (х,, г) = И

а у,+1(г) - у,(г) а у,(г) - у,-1(г) а,+1-т.--а,"

И

И

+ ф (х,, г),

ф(х,, г) = ф(х,, г) + О (й2), а, > с > 0,, = 1, 2, ..., N - 1,

У0 (г) = уу (г) = 0, яа 1у (х,, 0) = и0 (х,),

где у, (г) = у (х,,г), или:

6 я£у (х,, г) + ^ (я£у (х,+1, г) + я£у (х,=1, г)) =

(3)

у,+1 (г) - у, (г) у, (г) - у,- (г) а,+1-;--а,-

И

И

+ 5 ф (х,, г) +12 (ф (хк-1, г) + Ф (хк+1, г)) + О (й4

ai > c > 0,A > 0, i = 1,2, ..., N - 1,

ла -

y0t

У0 (t) = yN (t) = 0, Dt 1y (xi, 0) = uo (Xi) ,

где у, (?) = у (х,,?). При этом (3) дает аппроксимацию уравнения с точностью й2, а (4) - с точностью й4.

Сходимость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка (3), (4) доказывается методом априорных оценок.

Рассмотрим однородную систему уравнений, соответствующую системе (3) при ак = 1, к = 1, 2, ..., N - 1:

Я0а?у = 1 [(Ук+1 (?) - 2ук (?) + Ук-1 (?))], (5)

Уо (?) = УN (?) = о, (*«, 0) = ио (х,-), к = 1, 2, ..., N - 1.

Общее решение системы (5) можно получить методом Фурье в виде [7]

yk,s(t) = £ sin(y*k)csr(k)(0)tа-1Ei/a (-8sta;а), (6)

s=1

где cs - произвольная постоянная, Е1/а (z; v) - функция Миттаг-Леффлера, <5s2 =

4 2.Í п

й2 42/

Аналогично можно получить общее решение однородной системы, соответствующей системе (4) при:

yM(t) = £ sin(yxt)d,r(k)(0)tа-1Е1/а(-5sta;а),

s=1

где - произвольная постоянная, <5? = —-—24—п—— sin2 f—xs).

+ cosП xs) V2/ У

Найдя методом вариации постоянных частное решение неоднородной системы (3), получим ее общее решение как сумму частного решения и построенного общего решения (6) однородной системы. Рассмотрим следующий пример.

Пример. Построить методом прямых приближенное решение задачи

Dot и = Wxx, (7)

и (0, t) = и (п, t) = 0, t=о = sin (x). (8)

Отрезок [0, п] разделим на четыре части и проведем через точки деления прямые. Если Uk(t) (k = 0, 1, 2, 3, 4) - приближенные значения решения на прямых x =

п k

— (k = 0, 1, 2, 3, 4), то для отыскания Uk(t) имеем систему уравнений (5). Таким

образом, общее решение однородной системы получаем из (6). Из начальных условий имеем:

N —1

limt1—ayk,s(t) = limt1—a £ CsT(k)(0)ta—1E1/a (—S2ta; a) sin (^хЛ =

s=1 1

ISSN 2079-6641 Геккиева С. Х., Керефов Б. М.

1 N-i ч

г(а) Т*) =S1"x

Отсюда следует, что cs = i. Таким образом имеем:

N—1

£

s=1

) = Г( a)ta-i £ Ei/ а (-S2t а;а) sin(x),

где 5,2 = -4>sin4I?) ' (s = N - 1).

Как известно [7], точное решение первой краевой задачи для уравнения (6) имеет вид:

( п k \

u(x, t) = £ СкГ( a)ta-1Ei/ a (-Akt а; а) sin ^-yxj,

^ (-Akt а )s ( п k \2

где E1/ а (-Akt а; а) = £ —-г, Ak = I — . Для решения задачи (7)-(8) на пря-

s=i Г ( а + as) \ l /

п

мой x = — имеем: 2

2,0=г( a)ta-'E,/„ (-Як, а; а)=Г( a)t а- £ г^а+О)

Данные, полученные программированием в среде MAPLE, например, при а = 1

п 2

на прямой x = — при аппроксимации уравнения с точностью h2 выглядят следующим

образом (табл. 1):

Таблица 1

t 0.5 1.0

Точное решение 0.4869 0.2421

Приближенное решение 0.5823 0.3025

При аппроксимации уравнения с точностью h4 (табл. 2):

Таблица 2

t 0.5 1.0

Точное решение 0.4869 0.2421

Приближенное решение 0.5005 0.2506

Список литературы/References

[1] Нахушев А.М., Дробное исчисление и его применение, ФИЗМАТЛИТ, М., 2003, 272 с., [Nakhushev A. M. Drobnoe ischislenie i ego primenenie. Moskva. FIZMATLIT, 2003. 272 p. (in Russian)].

[2] Нахушева В. А., Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов, Наука, М., 2006, 173 с., [Nakhusheva V. A. Differentsial'nye uravneniya matematicheskikh modeley nelokal'nykh protsessov. M.: Nauka, 2006. 173 p. (in Russian)].

[3] Таукенова Ф. И., Шхануков-Лафишев М. Х., "Разностные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка", Журнал вычислительной математики и математической физики, 46:10 (2006), 1871-1881, [Taukenova F. I., Shkhanukov-Lafishev M. Kh. Raznostnye metody resheniya kraevykh zadach dlya differentsial'nykh uravneniy drobnogo poryadka // Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki. 200б. vol. 46, no 10. pp. 1871-1881 (in Russian)].

[4] Псху А. В., Уравнения в частных производных дробного порядка, Наука, М., 2005, 199 с., [Pskhu A. V. Uravneniya v chastnykh proizvodnykh drobnogo poryadka. Moskva. Nauka, 2005. 199 p. (in Russian)].

[5] Керефов М. А., Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной, Дис. . . . канд. физ.-мат. наук, Нальчик, 2000, 75 с., [Kerefov M. A. Kraevye zadachi dlya modifitsirovannogo uravneniya vlagoperenosa s drobnoy po vremeni proizvodnoy: Dis. ... kand. fiz.-mat. nauk. Nal'chik, 2000. 75 p. (in Russian)].

[6] Березин И. С., Жидков Н. П, Методы вычислений. Т. 2, ГИФМЛ, 1962, 640 с., [Berezin I. S. Zhidkov N. P. Metody vychisleniy. vol. 2. GIFML. 1962. - 640 p. (in Russian)].

[7] Геккиева С. Х., Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений с дробной производной по времени, Дис. . . . канд. физ.-мат. наук, Нальчик, 2003, 75 с., [Gekkieva S. Kh. Kraevye zadachi dlya nagruzhennykh parabolicheskikh uravneniy s drobnoy proizvodnoy po vremeni: Dis. ... kand. fiz.-mat. nauk. Nal'chik, 2003. 75 p. (in Russian)].

Список литературы (ГОСТ)

[1] Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 272 с.

[2] Нахушева В. А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов. М.: Наука, 2006. 173 с.

[3] Таукенова Ф.И., Шхануков-Лафишев М. Х. Разностные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка // Журнал вычислительной математики и математической физики.2006. Т. 46. № 10. С. 1871-1881

[4] Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 с.

[5] Керефов М. А. Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной. Дис. . .. канд. физ.-мат. наук. Нальчик, 2000.

75 с.

[6] Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Т. 2. ГИФМЛ,1962. 640 с.

[7] Геккиева С. Х. Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений с дробной производной по времени. Дис. . .. канд. физ.-мат. наук. Нальчик, 2003. 75 с.

Для цитирования: Геккиева С. Х., Керефов Б. М. Метод прямых решения первой краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. №4-1(16). C. 27-31. DOI: 10.18454/2079-6641-2016-16-4-1-27-31

For citation: Gekkieva S. Kh., Kerefov B. M. Method of lines solution for solution of the first boundary value problem for diffusion equation of fractional order, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2016, 16: 4-1, 27-31. DOI: 10.18454/2079-6641-2016-16-4-1-27-31

Поступила в редакцию / Original article submitted: 25.11.2016