Задача в полуполосе для параболического уравнения  высокого порядка с оператором Римана-Лиувилля по  временной переменной Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 3(23). C. 57-66. ISSN 2079-6641

DOI: 10.18454/2079-6641-2018-23-3-57-66

УДК 517.95

ЗАДАЧА В ПОЛУПОЛОСЕ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА С ОПЕРАТОРОМ РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ ПО

ВРЕМЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ *

Л. Л. Карашева

Институт прикладной математики и автоматизации, 360000, г. Нальчик, ул.

Шортанова, 89А

E-mail: k.liana86@mail.ru

В данной работе для параболического уравнения высокого порядка с дробной производной по временной переменной в полуполосе построено представление решения и доказана единственность решения в классе функций быстрого роста.

Ключевые слова: дробная производная Римана-Лиувилля, параболическое уравнение, задача в полуполосе.

© Карашева Л. Л., 2018

MSC 35K25

A PROBLEM IN THE HALF-STRIP FOR HIGHER ORDER PARABOLIC EQUATION WITH TIME FRACTIONAL RIEMANN-LIOUVILLE DERIVATIVE

L. L. Karasheva

Institute of Applied Mathematics and Automation, 360000, Nalchik, Shortanova st., 89A, Russia

E-mail: k.liana86@mail.ru

We construct a representation of the solution for higher order parabolic equation with time fractional derivative in the half-strip and prove uniqueness theorem in the class of fast-growing functions.

Key words: Riemann-Liouville fractional derivative, higher order parabolic equation, problem in the half-strip.

© Karasheva L. L., 2018

*Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 16-01-00462-А)

Введение

Рассмотрим в области D = {(x, t) :0 < x < 0 < t < T} уравнение

д2ии(т t)

Lu(x,t) = D0«u(x,t) + (-1)n dx(2; ) = f(x,t), (1)

где n G N, D®t - оператор дробного (в смысле Римана-Лиувилля) интегродифференцирования порядка а, 0 < а < 1, определяемый соотношением [1, с. 9]

' x у(t)dt а < 0

-аW ,I«+1, а < 0,

Г(—а) 0 |x-t г

DgX9 (t) =

у (x), а = 0,

I (О, а> 0,

где [а] - целая часть числа а е Е, которая удовлетворяет неравенству [ а] < а < [ а] +1.

При а = 1 в работе [2] для уравнения (1) найдено решение задачи Коши в классе неограниченных функций. В работе [3] в виде несобственных интегралов найдено фундаментальное решение параболического уравнения порядка 2п и построена теория потенциалов. Уравнение (1) при п = 1 широко исследовано. В частности для него в работе [4] решена задача Коши для уравнения диффузиии дробного порядка с регуляризованной дробной производной. В работе [5] построено фундаментальное решение, дано решение задачи Коши и доказана теорема единственности в классе функций, удовлетворяющих аналогу условия А.Н. Тихонова. С помощью интегральных преобразований в работе [6] найдено решение диффузионно-волнового уравнения четвертого порядка с регуляризованной дробной производной по времени. В полубесконечной области в работе [9] исследована краевая задача для однородного уравнения (1) при п = 1. В работе [10] для уравнения диффузии дробного порядка с постоянными коэффициентами при младших членах решена задача в полуполосе. Наиболее полную библиографию можно найти в работах [5], [7], [8], [11]. В работе [12] построено фундаментальное решение для уравнения (1), исследованы его свойства и доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

В данной работе для уравнения (1) построено представление решения в полуполосе и доказана единственность решения в классе функций быстрого роста.

Постановка задачи

Регулярным решением уравнения (1) в области D назовем функцию и = w(x,t) имеющую непрерывные производные по переменной x до порядка 2n такую, что t1-au(x,t) g C(D), gm g C(D u J), J = {(x,t) : x = 0,0 < t < T} , (m = 0,1,...,n - 1),

д 2n

|x2u,D"tu g C(D), удовлетворяющую уравнению (1) во всех точках (x,t) g D.

Найти регулярное решение уравнения (1) в области D, удовлетворяющее начальному условию

limD at-1u(x,t) = т(x), x > 0 (2)

и краевым условиям

д 2mu(x, t)

д x2m

= pm(t), 0 < t < T, m = 0,1,2,...,n — 1,

x=0

где т(х) и <т(г) - заданные функции.

В силу линейности задачи (1)-(3), решение можно представить в виде

и(х, г) = г) + и2(х, г),

(3)

(4)

где ui(x, t) является решением задачи Коши в области Q = {(x,t) : < x < 0 < t < T}

Lu1(x, t) = D0>(x, t) + (-!)'

д 2nu(x, t) д x2n

= /(x, t),

(5)

lim D0 V(x, t) = r(x),

t-^ 0 0t

(6)

функции /(х,г) и т(х) можно определить так, что /(х,г) = f (х,г), т(х) = т(х) при х > 0 и продолжаем при х < 0 так, чтобы выполнялись условия существования решения задачи Коши [12, Теорема 1], в частности

lim t(x)exp (—k|x|2n-«) = 0,

2n

lim t1 af(x, t) exp ( —k|x|2n—a ) = 0.

Определив функцию u1(x,t) [12], находим, что функция u2(x,t) является решением однородного уравнения (1), удовлетворяющее условиям

lim 1u2(x, t) = 0,

д2mM2(x, t)

д x2m

= ^m(t) —

д 2mM1(x, t)

x=0

д x2m

m = 0,1,2,..., n — 1.

x=0

Поэтому далее будем рассматривать следующую задачу: найти регулярное

решение уравнения

D«u(x, t) + (—1)

д 2nu(x, t) д x2n

= 0,

удовлетворяющее начальному условию

(7)

limD^11u(x, t) = 0, x > 0

t0

и краевым условиям

д 2mu(x, t)

д x2m

= pm(t), 0 < t < T, m = 0,1,2,...,n — 1.

x=0

(8)

(9)

Вспомогательные утверждения

Рассмотрим функцию [12]

гу__а 1

tа 2n 1 _ / , , _« а а

Г^-^вм^И'-*;-^«, (10)

где

n—1 . (2k-n+1)n ( .(2k-n+1)n \

0n,m(z; ß, Д) = £ eimф iß, Д;ze'^^-nrM , в > -1, Д g C, k=0 v J

ф (в, Д;z) = £ р;Г(вР+Д) - функция Райта [13]. Функция r(x,t) является

фундаментальным решением уравнения (1), для нее справедливы следующие выражения [12]:

dq

—0n,m(z;в, Д) = ©n,m+q(z;в, Д + яв) (q g N, z g C); (11)

^ ©n,m(z; в, Д) = (-1)n+10n,m(z; в, Д + 2пв); (12)

DJ/-10n,m (z/; в, Д) = УД-r-10n,m (z/; в, Д - г) , (13)

при в g (-п,0), (1 - 1+пв)л < | argz|, -п < argz < п, Д g R, у g R;

Djtr(x,t)| < C|x|-et a(1--Y-1exp (-a|x|2П-^-^\ , (14)

где а < öo = (1 - 2П) (f)2n—а cos аn, 0 < а < 2, Y G R q G N U{0}, 0 > 0, C -

некоторая положительная постоянная, не зависящая от х и t;

дq Y дq Y 0, при q = 0,2n - 2,

Г(0+, г) - ^ Г(°-, ^{t^, „р„ q = 2n - - (15)

где q е N, у е R.

Лемма. Для любой функции h(t) е C(0, T) выполняется соотношение t

Г дq * \ * \ ( 0, при q = (2n - 1) (mod 2n), lim / Г(х, t - n)h(n )dn И му>' ^ L j (16)

x^cW dxq \ (-2-^h(t), при q =(2n -1) (mod 2n). v ;

Доказательство. Из (14) при q = (2n - 1) (mod 2n) и t = n видно, что

t

г д q

JS+ydxqГ(х г - n )h(n )dn = a

0

Далее при q = (2n — 1) (mod 2n) рассмотрим равенство

t t t г д q г д q г д q

J dxq^(x,t — n)h(n)dn =J dxqr(x,t — n)[h(n) — h(t)]dn + h(t) j ^X^Г(х,t — П)dn

0 0 0

t—е t \ t

/ + / ) ^(x,t — П)[h(n) — h(t)]dn + h(t)|t — n.

0 t-e,

Из (14) при t = n следует, что

t—е t \ t i

x^+l / + / feГ(Х't — П)[h(n) — h(t)]dП = xlim+/ rГ(х,t — n)[h(n) — h(t)]dП <

О t—е / t—е

t

r d q

< ю(e) lim -— Г(х,t - n)dn < Сю(e), dxq

t-e

где

ю(e)= sup |h(n) -h(t)|, e > 0.

П e(t-e ,t)

Таким образом, учитывая произвольность выбора e и непрерывность функции h(t), получим

t

д q

Г дч

lim — Г(х, t — n )[h(n) — h(t)]dn = О.

xm0+ J дxq О

Тогда с учетом последнего равенства имеем

t t t t с д q г д q

xmo/ äxqГ(х't—n )h(n )dn=h(t) ^r(x't—n )dn. (17)

Так как

t

xm+/ 19Г(х't—n )dn=—Lm^ 0-,2« (—|x|t—a;—2n, ^ =

О

1 n—1 /ГУ

r lim £ ei(2k—п+1)пф (—а; 1; — |x|t

Im v кП i \ 4m

из (17) получим

tt

Г д9 (- 1)n

lim /дхтГ(х,t — n)h(n)dn = ("2^h(t)

xm^J дXq 2

О

□

2n xm0+ k=0 V 2n /2

Теорема существования

Теорема 1. Пусть функции г1 а<т(г) е С(/), тогда решение задачи (7)-(9) представимо в виде

n—1 . д 2j+1

i(x, t) = 2(—1)n £J %— 1—,(n)Г(х, t — n)dn. (18)

i=0 о

Доказательство. Проверим действительно ли функция (18) является решением задачи (7)-(9).

Непосредственной подстановкой функции (18) в уравнение (7) с учетом (12), (13) и (14) можно показать, что функция (18) удовлетворяет уравнению (7). Из (13) и (14) очевидно, что функция (18) удовлетворяет однородному условию (8). Используя формулу дифференцирования (11), неравенство (14) и лемму легко показать, что функция вида (18) удовлетворяет условиям (9). □

Теорема единственности

Теорема 2. В классе функций, удовлетворяющих условию

где р — положительная постоянная, существует не более одного решение задачи

(19)

(20)

удовлетворяющая следующим свойствам

О < hr(x) < 1, hj (x) < const,

h(.i)(x) = 0 при x | (r,r + 1),

(21)

где j = 1,2n, const - постоянная, не зависящая от x и r. Рассмотрим функцию

v(x,t,%,n)= hr(%)D*G(x,t,%,n), X > o,

где

(22)

Пусть и(х,г) - решение однородной задачи (7)-(9), т.е

Домножим уравнение (7) на функцию у(х,г, £, п) и проинтегрируем

t x— £ <»

+ | )v(x,t,%,n^u(%,n)d%dn +

0 \ 0 x+£

t x— £ ro

+ (— l)nJ [ / + / ) v(x,t, %, n)

0 0 x+ £

д 2nu(%, n) d%

2n

d % d n.

Из формулы дробного интегрирования по частям [8, с.15] ь Ь

У g(s)DДsh(s)ds = 1 (д < 0),

a a

и в силу (21),а также равенств

д 2П

hr(§ )А"?G(x, г, §, п) = = I Т^^hr(§)^',§,П) + hr(§)^',§,П),

и (см. (22), (23))

2n— i . 'AnXG(xt, %, n^ d2n—1—ju(%, n)

I (—1) -

j=0

d%'

получим

t / X— £ <»

0 = /[I + / Кt,%,n)

0 0 x+ £

t ¡ X— £ <» '

d% 2n—1— j

a n d2n '

D0n + (—1)n д%2П

% =0

= 0,

u(%, n )d % d n =

J + J )u(%,n)hr(%)

0 0 x+ £ Xt

DO, + (—1)n

д

2n

d%

2n

D—nx G(x, t, %, n )d % dn +

2n 1

+ (—1)V I (—1)'

д '

D—nXGfot, %, n^ d2n—1—j'u(%, n)

d%' d% 2n—1—' 2n—1 (2n)! d(2n—') . , д'

x£

X+£

dn +

0 j=0

t /х- £ 0 \0 x+£/

Перейдем к пределу при £ ^ 0 в последнем равенстве и в силу того, что u(x,t)

+(—1)УU + ¡)u(%,n) I—0 TTt^n—!Ö?d%T2n—j)(%)fG(x,t,%,n)d%dn.

является решением однородной задачи (7)-(9), и так как

Dfn + (-1)n

д

2n

D-nY G(x, t, %, n )= 0,

с учетом равенства (20) и (15) следует, что при x < r

1 (2n)! d(2n-j)

r f 2n—1 (2n)! d (2n—j) д J

D0tXu(x,t)=(—1)n—y J u(%, n) I .(¿-y(x)^G&t, %, n)d%dn.

0 r<% <r+1

Из вида функции G(x,t,%,n) и (14) получим, что

|D-Xu(x,t)|< C f f |и(£,n)|exJ-aii-il^ | dn, (24)

J J \ (t- n) 2«-a

0 r<i<r+1 V V

а , ч 2«-«

где a < ao = (1 - Щ) (2n)2"-" cos2—• Из (19) следует, что при t < to = (J0] " интеграл в правой части (24) при r ^ ^ стремится к нулю. Таким образом w(x,t) = 0 для x g (0, и t < t0.

Далее покажем, что w(x,t) = 0 для любого t > 0. Предположим, что w(x,t) = 0 при t > 0. Обозначим через t1 = inf{t : w(x,t) = 0}. Таким образом, из доказанного следует, что t1 > t0. Рассмотрим функцию p(x,t) = w(x,t1 +1). Учитывая сделанное предположение и определение t1 для любого е > 0 найдется значение x такое, что

p(x, е ) = 0. (25)

Так как w(x, t) = 0 при 0 < t < t1, то

Dotw(x, t) = D>(x, t) = DotP(x, t).

Отсюда следует, что p(x,t) является решением уравнения (7), удовлетворяет начальному условию

lim DO-1 p(x, t) = 0, 0 < t < t0

t^0 0t

и условию (19). Таким образом из доказанного выше следует, что p(x,t) = 0, по крайней мере для 0 < t < t1, а это противоречит (25). Следовательно предположение

не верно и w(x,t) = 0 для любого t > 0.

□

Список литературы

[1] Нахушев А. М., Дробное исчисление и его применение, ФИЗМАТЛИТ, М., 2003, 272 с. [Nahushev A. M., Drobnoe ischislenie i ego primenenie, FIZMATLIT, M., 2003, 272 pp.]

[2] Ладыженская О. А., "О единственности решения задачи Коши для линейного параболического уравнения", Математический сборник, 27(69):2 (1950), 175-184. [Ladyzhenskaya O. A., "O edinstvennosti resheniya zadachi Koshi dlya linejnogo parabolich-eskogo uravneniya", Matematicheskij sbornik, 27(69):2 (1950), 175-184].

[3] Cattabriga L., "Problemi al contorno per equazioni paraboliche di ordine 2n", Rend. Semin. Mat. Univ. Padov, 28 (1958), 376-401.

[4] Кочубей А. Н., "Диффузия дробного порядка", Дифференциальные уравнения, 26:4 (1990), 660-670. [Kochubej A. N., "Diffuziya drobnogo poryadka", Differencial'nye uravneniya, 26:4 (1990), 660-670].

[5] Псху А. В., "Фундаментальное решение диффузионно-волнового уравнения дробного порядка", Изв. РАН Сер. матем., 73:2 (2009), 141-182. [Pskhu A. V., "Fundamental'noe reshenie diffuzionno-volnovogo uravneniya drobnogo poryadka", Izv. RAN Ser. matem., 73:2 (2009), 141-182].

[6] Agrawal O. P., "A general solution for a fourth-order fractional diffusion-wave equation defined in a bounded domain", Computers and Structures, 79 (2001), 1497-1501.

[7] Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J., Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Т. 204, Elsevier Science, 2006, 540 с.

[8] Псху А. В., Уравнения в частных производных дробного порядка, Наука, М., 2005, 199 с. [Pskhu A. V., Uravneniya v chastnyh proizvodnyh drobnogo poryadka, Nauka, M., 2005, 199 pp.]

[9] Геккиева С. Х., "Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной в полубесконечной области", Известия КБНЦ РАН, 2002, № 1(8), 6-8. [Gekkieva S. H., "Kraevaya zadacha dlya obobshchennogo uravneniya perenosa s drobnoj proizvodnoj v polubeskonechnoj oblasti", Izvestiya KBNC RAN, 2002, № 1(8), 6-8].

[10] Мамчуев М. О., "Краевые задачи для уравнения диффузии дробного порядка с постоянными коэффициентами", Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 7:2 (2005), 37-44. [Mamchuev M. O., "Kraevye zadachi dlya uravneniya diffuzii drobnogo poryadka s postoyannymi koehfficientami", Doklady Adygskoj (CHerkesskoj) Mezhdunarodnoj akademii nauk, 7:2 (2005), 37-44].

[11] Мамчуев М. О., Краевые задачи для уравнений и систем уравнений с частными производными дробного порядка, Изд-во КБНЦ РАН, Нальчик, 2013, 200 с. [Mamchuev M. O., Kraevye zadachi dlya uravnenij i sistem uravnenij s chastnymi proizvodnymi drobnogo poryadka, Izd-vo KBNC RAN, Nal'chik, 2013, 200 pp.]

[12] Карашева Л. Л., "Задача Коши для параболического уравнения высокого четного порядка с дробной производной по временной переменной", Сибирские электронные математические известия, 15 (2018), 696-706. [Karasheva L. L., "Zadacha Koshi dlya parabolicheskogo uravneniya vysokogo chetnogo poryadka s drobnoj proizvodnoj po vre-mennoj peremennoj", Sibirskie ehlektronnye matematicheskie izvestiya, 15 (2018), 696706].

[13] Wright E. M., "On the coefficients of power series having exponential singularities", J. London Math. Soc., 8:29 (1933), 71-79.

[14] Wright E. M., "The generalized Bessel function of order greater than one", Quart. J. Math., 11 (1940), 36-48.

Список литературы (ГОСТ)

[1] Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 272 с.

[2] Ладыженская О. А. О единственности решения задачи Коши для линейного параболического уравнения // Математический сборник. 1950. T. 27(69). № 2. С. 175184.

[3] Cattabriga L. Problemi al contorno per equazioni paraboliche di ordine 2n // Rend. Semin. Mat. Univ. Padov. 1958. vol. 28. pp. 376-401.

[4] Кочубей А. Н. Диффузия дробного порядка // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26. №4. С. 660-670.

[5] Псху А. В. Фундаментальное решение диффузионно-волнового уравнения дробного порядка // Изв. РАН Сер. матем. 2009. Т. 73. № 2. С. 141-182.

[6] Agrawal O. P. A general solution for a fourth-order fractional diffusion-wave equation defined in a bounded domain // Computers and Structures. 2001. vol. 79. pp. 1497-1501.

[7] Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Vol. 204 : Elsevier Science, 2006. 540 p.

[8] Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 c.

[9] Геккиева С. Х. Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной в полубесконечной области // Известия КБНЦ РАН. 2002. №1(8). С. 6-8.

[10] Мамчуев М. О. Краевые задачи для уравнения диффузии дробного порядка с постоянными коэффициентами // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2005. Т. 7. № 2. С. 37-44.

[11] Мамчуев М. О. Краевые задачи для уравнений и систем уравнений с частными производными дробного порядка. Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2013. 200 c.

[12] Карашева Л. Л. Задача Коши для параболического уравнения высокого четного порядка с дробной производной по временной переменной // Сибирские электронные математические известия. 2018. № 15. С. 696-706.

[13] Wright E. M. On the coefficients of power series having exponential singularities // J. London Math. Soc. 1933. vol. 8. no. 29. pp. 71-79.

[14] Wright E. M. The generalized Bessel function of order greater than one // Quart. J. Math. 1940. vol. 11. pp. 36-48.

Для цитирования: Карашева Л. Л. Задача в полуполосе для параболического уравнения высокого порядка с оператором Римана-Лиувилля по временной переменной // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 3(23). C. 57-66. DOI: 10.18454/2079-66412018-23-3-57-66

For citation: Karasheva L. L. A problem in the half-strip for higher order parabolic equation with time fractional Riemann-Liouville derivative, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2018, 23: 3, 57-66. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-23-3-57-66

Поступила в редакцию / Original article submitted: 08.06.2018