Оценка фундаментального решения уравнения параболического типа высокого порядка с производной Римана-Лиувилля по временной переменной Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 4-1(16). C. 32-37. ISSN 2079-6641

DOI: 10.18454/2079-6641-2016-16-4-1-32-37

УДК 517.95

ОЦЕНКА ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ

ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ВЫСОКОГО ПОРЯДКА С ПРОИЗВОДНОЙ РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ ПО ВРЕМЕННОЙ

ПЕРЕМЕННОЙ *

Л. Л. Карашева

Институт прикладной математики и автоматизации, 360000, г. Нальчик, ул. Шорта-нова, 89А

E-mail: k.liana86@mail.ru

В данной работе для параболического уравнения высокого порядка с дробной производной по временной переменной получена оценка фундаментального решения.

Ключевые слова: дробная производная Римана-Лиувилля, параболическое уравнение

© Карашева Л. Л., 2016

MSC 35K25

AN ESTIMATE FOR THE FUNDAMENTAL SOLUTION OF HIGH ORDER PARABOLIC EQUATION WITH RIEMANN-LIOUVILLE DERIVATIVE WITH RESPECT TO THE TIME VARIABLE

L. L. Karasheva

Institute of Applied Mathematics and Automation, 360000, Nalchik, Shortanova st., 89A, Russia

E-mail: k.liana86@mail.ru

In this paper we derived an estimate for the fundamental solution of high order parabolic equation with time fractional derivative.

Key words: Riemann-Liouville fractional derivative, parabolic equation.

© Karasheva L. L., 2016

*Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 16-01-00462)

Введение

Рассмотрим в области D = {(x,t) : —о < x < о,t > 0} уравнение

д 2пи

Dotu(x, t ) = (—l)n+1 ^n, (D

д x2n'

где n G N, D®t - оператор дробного (в смысле Римана-Лиувилля ) интегродифферен-цирования порядка а, 0 < а < 1, определяемый соотношением [1, с. 28].

Уравнение (1) при п = 1 широко исследовано. В частности в работе [2] решена задача Коши для уравнения диффузиии дробного порядка с регуляризованной дробной производной. В работе [3] построено фундаментальное решение, дано решение задачи Коши и доказана теорема единственности в классе функций, удовлетворяющих аналогу условия А.Н. Тихонова. В работе [4] найдено решение диффузионно-волнового уравнения четвертого порядка с регуляризованной дробной производной по времени. С помощью интегральных преобразований в работе [5] найдено решение задачи Коши для дробного диффузионно-волнового уравнения. Наиболее полную библиографию можно найти в работах [3], [6], [7]. При а = 1 в работе [8] для уравнения (1) найдено решение задачи Коши для уравнения теплопроводности в классе неограниченных функций. В работе [9] для уравнения (1) решена задача Коши в классе ограниченных функций. В данной работе получена оценка фундаментального решения уравнения (1).

В работе [9] построено фундаментальное решение для уравнения (1) в терминах функции вида

оо

t а—1 Г

r(x, t) =- E i (—a 2ntа; а) cos xa d a, (2)

Ж J а

0

где Ei (—a2nt а; д) - функция типа Миттаг-Леффлера [10, с. 117].

а

Докажем следующую

Лемму. Пусть а> 0, в > 0, f — у + 1 > 0 и

со

v(a, b) = J s "—Yexp(—as—e — bs^ds, 0

тогда для v(a, b) справедливо неравенство

v(a,b) < Cb-1 (а—r+1) exp ^—pab^^J ,

(3)

где C - положительная постоянная, не зависящая от a и b; p < Р0 = аа+в

' a '

ß a+ß + ß a+ß

и может быть выбрано за счет выбора С , как угодно близко к ро.

Доказательство. Пусть е - произвольное, достаточно малое положительное число, тогда функцию у(а,Ь) перепишем в виде

=/ s2-г

о

где f (s) = as-e + (1 - е)bsa.

оо

v(a, b) = j s a-Y exp (-f (s)) exp (-е bs a) ds, (4)

Так как

"__L

ß а+в + ß а+в

а в

inf f (s) = aа+в [(1 - £)аb] а+в

s>0

и учитывая, что sup(-f (s)) = — inff (s), тогда для функции (4) справедливо неравен-

s>0 s>0

ство

/ Г \ /■ а

v(a, b) < exp ( —aа+в [(1 — £)аЬ] а+в в а+в + 0а+р \ / s2—Yexp (—ebsa) ds. (5)

Используя интегральное представление Гамма-функции, вычислим интеграл в (5)

сю

J s а—Y exp (—£ bsа) ds =

а (£ b)

* -_ is1 (2-Y+l)-1e-sds =

а (а—Y+1) J

n 1 - Y+1

а

(£ b)1 (2-Y+l) V2 а а

Подставляя вычесленный интеграл в (5), получим неравенство (3). Лемма доказана. Теорема. Для функции Г(х, t) при 0 < а < 1 справедливо следующее неравенство

а__1 / 1 . 2n а \

|Г(х, t )| < Ctа 2n 1 exp ( — О |x| 2n—а t 2п—а j , (6)

где C - положительная постоянная, не зависящая от x и t,

а

( а \ 2п—а

о <оо=ы ,

причем о может быть выбрано за счет выбора C, как угодно близко к о0. Доказательство.

Используя преобразование Ааv(x) [7]

сю

Аа^v(x) = Jv(t)x?—1 el'lj dt, 0 < а < 1,

0

и учитывая, что

А% 'n exp (Я x) = x%+n—1E1 (Ax%; % + n), где A G C, % G (0,1), n ^ R, функцию r(x, t) можно переписать в виде

сю

r(x, t) = — A ,0 / exp(—a 2nt) cos (xffl) d® = n J

0

СЮ

1

= —Af,0 / (exp(—а2nt + ira)dа. 2n J

(7)

Для функции

G(t, x) = — exp(-t а2n + ira )da 2n J

справедливо следующее неравенство [11]

/ 2n 1

|G(t,r)| < C(S)exp —Х|x|22—11-

t

|x

2n

> S > 0, t > 0.

Из (8) будем иметь

, , ч , 1 / , , 2n 1 \

|G(t, x)| < Ct-2n ехЫ —C0|x|2«-11- in—ij, x e R, t > 0.

Учитывая положительность функции e\'0a(—z) при z > 0 , для функции Г(x,t) получим следующее неравенство

(8)

(9)

|r(x,t)| < CAf ,0t—2nexp

2n

—cm w4 2'—1

t 2n

где Cо < (2п) 2п—1 [2п — 1], C - положительная постоянная из неравенства (9). Используя определение преобразования Aаf (x) [7], получим

|r(x, t)| < Ct—1j s— 2n exp

Irl \ 2n-1

—CM 4

S 2n

_2n_"

e1,a (—

где е1'а(х) - функция Райта [7].

Сделаем замену 5 = s1tа в неравенстве (11)

(10)

(11)

|Г(х, t )| < С а— 0 —1 12" ехр^ — Со|х| 2П—11— 2П—т 2п—^ е1'0а (—51) <151 Для функции Райта справедливо асимптотическое разложение [12]

(12)

е1'р (у) = Ф (—Р, S; y) = Y 2—S e

-S„-y

м-1

£ AmY—m + O(Y—м)

m=0

,y ^

где р е (0 ,1),У = (1 — р)рр/(1 р)у1/(1 р) , коэффициенты Ат зависят от 8 и р. С учетом последнего разложения перепишем (12) в виде

1 1

а— 2n — 1 / г2(1—а) 2n

|Г(х ,t)| < Ctа—2П/ s1

exp

. . 2n а —, 1 . , „ а —

—C0|r| 2П—г t—2П—г s — 2n—1 — (1 — а) а sj—а

dsi =

(1 . 2n а а \

C0 |r| 2n—11 2n—1 ,(1 — а) а ^ «j,

где С - положительная постоянная, не зависящая от х и t.

Учитывая лемму 1, неравенство (13) примет вид (6). Теорема доказана. □

оо

оо

оо

оо

оо

оо

ISSN 2079-6641

Карашева Л. Л.

Список литературы/References

[1] Нахушев А. М., Уравнения математической биологии, Высш. шк., М., 1995, 301 с., [Nakhushev A. M., Uravneniya matematicheskoy biologii, Vyssh. shk., M., 1995, 301 p. (in Russian)].

[2] Кочубей А. Н., "Диффузия дробного порядка", Дифференциальные уравнения, 26:4 (1990), 660-670, [Kochubey A. N. Diffuziya drobnogo poryadka, Differentsial'nye uravneniya, 26:4 (1990), 660-670 (in Russian)].

[3] Псху А. В., "Фундаментальное решение диффузионно-волнового уравнения дробного порядка", Изв. РАН Сер. матем, 73:2 (2009), 141-182, [Pskhu A. V. Fundamental'noe reshenie diffuzionno-volnovogo uravneniya drobnogo poryadka, Izv. RAN Ser. matem., 73:2 (2009), 141-182 (in Russian)].

[4] Agrawal O. P., "A general solution for a fourth-order fractional diffusion-wave equation defined in a bounded domain", Computers and Structures, 79 (2001), 1497-1501.

[5] Ворошилов А. А., Килбас А. А., "Задача Коши для диффузионно-волнового уравнения с частной производной Капуто", Дифференциальные уравнения, 42:5 (2006), 599— 609, [Voroshilov A. A., Kilbas A. A. Zadacha Koshi dlya diffuzionno-volnovogo uravneniya s chastnoy proizvodnoy Kaputo, Differentsial'nye uravneniya, 42:5 (2006), 599—609 (in Russian)].

[6] Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J., Theory and Applications of Fractional Differential Equations, 204, Elsevier Science, 2006, 540 с.

[7] Псху А. В., Уравнения в частных производных дробного порядка, Наука, М., 2005, 199 с., [Pskhu A.V., Uravneniya v chastnykh proizvodnykh drobnogo poryadka, Nauka, M., 2005, 199 p. (in Russian)].

[8] Ладыженская О. А., "О единственности решения задачи Коши для линейного параболического уравнения", Математический сборник, 27(69):2 (1950), 175-184, [ Ladyzhenskaya O. A. O edinstvennosti resheniya zadachi Koshi dlya lineynogo parabolicheskogo uravneniya, Matematicheskiy sbornik, 27(69):2 (1950), 175-184 (in Russian)].

[9] Карашева Л. Л., "Задача Коши для параболического уравнения высокого порядка с производной Римана-Лиувилля по временной переменной", Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 15:2 (2013), 40-43, [Karasheva L. L. Zadacha Koshi dlya parabolicheskogo uravneniya vysokogo poryadka s proizvodnoy Rimana-Liuvillya po vremennoy peremennoy, Doklady Adygskoy (Cherkesskoy) Mezhdunarodnoy akademii nauk, 15:2 (2013), 40-43 (in Russian)].

[10] Джрбашян М.М., Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области, Наука, М., 1966, 672 с., [Dzhrbashyan M. M., Integral'nye preobrazovaniya i predstavleniya funktsiy v kompleksnoy oblasti, Nauka, M., 1966, 672 p. (in Russian)].

[11] Гиндикин С.Г.,Федорюк М. В., "Асимптотика фундаментального решения параболического уравнения с постоянными коэффициентами", УМН, 28:1(169) (1973), 235-236, [Gindikin S. G.,Fedoryuk M. V. Asimptotika fundamental'nogo resheniya parabolicheskogo uravneniya s postoyannymi koeffitsientami, UMN, 28:1(169) (1973), 235-236 (in Russian)].

[12] Wright E. M., "The generalized Bessel function of order greater than one", Quart. J. Math., 11 (1940), 36-48.

Список литературы (ГОСТ)

[1] Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1995. 301 с.

[2] Кочубей А. Н. Диффузия дробного порядка // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26. №4. С. 660-670.

[3] Псху А. В. Фундаментальное решение диффузионно-волнового уравнения дробного порядка // Изв. РАН Сер. матем. 2009. Т. 73. №2. С. 141-182

[4] Agrawal O. P. A general solution for a fourth-order fractional diffusion-wave equation defined in a bounded domain // Computers and Structures. 2001. № 79. С. 1497-1501

[5] Ворошилов А. А., Килбас А. А. Задача Коши для диффузионно-волнового уравнения с частной производной Капуто // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42. №5. С. 599-609

[6] Kilbas A. A., Srivastava H.M., Trujillo J. J., Theory and Applications of Fractional Differential Equations. vol. 204. Elsevier Science, 2006. 540 с.

[7] Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 с.

[8] Ладыженская О. А. О единственности решения задачи Коши для линейного параболического уравнения // Математический сборник. 1950. Т. 27(69). №2. С. 175-184

[9] Карашева Л. Л. Задача Коши для параболического уравнения высокого порядка с производной Римана-Лиувилля по временной переменной // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2013. Т. 15. №2. С. 40-43

[10] Джрбашян М. М., Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. 672 с.

[11] Гиндикин С. Г., Федорюк М. В. Асимптотика фундаментального решения параболического уравнения с постоянными коэффициентами // УМН. 1973. Т. 28. №1(169). С. 235-236

[12] Wright E. M. The generalized Bessel function of order greater than one // Quart. J. Math.1940. №11. С. 36-48

Для цитирования: Карашева Л. Л. Оценка фундаментального решения уравнения параболического типа высокого порядка с производной Римана-Лиувилля по временной переменной // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 4-1(16). C. 32-37. DOI: 10.18454/20796641-2016-16-4-1-32-37

For citation: Karasheva L. L. An estimate for the fundamental solution of high order parabolic equation with Riemann-Liouville derivative with respect to the time variable, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2016, 16: 4-1, 32-37. DOI: 10.18454/2079-6641-2016-16-4-1-32-37

Поступила в редакцию / Original article submitted: 03.12.2016