Начальная задача для уравнения дробного порядка с постоянными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 4-1(16). C. 21-26. ISSN 2079-6641

DOI: 10.18454/2079-6641-2016-16-4-1-21-26

УДК 517.925.4

НАЧАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ДРОБНОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ *

Ф.Т. Богатырева

Институт прикладной математики и автоматизации, 360000, г. Нальчик, ул. Шорта-нова, 89А

E-mail: [email protected]

В данной работе строится явное представление решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка с операторами Джрбашяна-Нерсесяна.

Ключевые слова: задача Коши, дробная производная, оператор Джрбашяна-Нерсесяна.

(с) Богатырева Ф.Т., 2016

MSC 34L99

INITIAL VALUE PROBLEM FOR FRACTIONAL ORDER EQUATION WITH CONSTANT COEFFICIENTS

F. T. Bogatyreva

Institute of Applied Mathematics and Automation, 360000, Nalchik, Shortanova st., 89A, Russia

E-mail: [email protected]

In this paper we construct an explicit representation of the solution of the Cauchy problem for ordinary differential equation of fractional order with Dzhrbashyan-Nersesyan operators.

Key words: Cauchy problem, fractional derivative, Dzhrbashyan-Nersesyan operator.

© Bogatyreva F.T., 2016

*Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 16-01-00462)

Введение

Пусть

[Ук }0 = {Го, П,..., Гп] (1)

- произвольная совокупность вещественных чисел, подчиненных условию

О < Ук < 1 (к = 0,1,...,п).

Обозначим

к

«к = £ 7] - 1

7=0

и всюду дальше положим

n

an = Е Yj - 1 > °

7=о

Оператор дробного дифференцирования порядка ап, ассоциированный с последовательностью (1) называется оператором Джрбашяна-Нерсесяна и определяется соотношением [1]

^"^(х) = яОТЧг1... «и(х), (2)

где -О0х- оператор дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля порядка у с началом в точке х = 0 определяемый следующим образом [2, с. 9]

х

/-4)+гdt, Y < 0,

Г(-Г) ° |x-t|Y+1

g(x), Y = °,

(^Чо-т Р - 1 < 7 < P, Р е N. Отметим, что частными случаями оператора (2) являются операторы Римана-Лиувилля и Капуто. А именно, в случае, когда [7к}П = [а — п + 1,1,..., 1], оператор Джрбашяна-Нерсесяна совпадает с производной Римана-Лиувилля

„{а—т+1,1,...,1} т^а 1 „ ^

Щх , , , } = D0x, т - 1 < а < m, в случае [7к}П = [1,..., 1, а - п + 1} с производной Капуто

){1

Ох

D{r,-,1,e-Ш+1} = d°X, m- 1 < а < m.

Рассмотрим уравнение

£ ак^0х,Г1,...,Гк }и(х) = / (х), (3)

к=0

где ак- комплексные постоянные, /(х)- заданная функция.

В работе [1] рассматривалась задача Коши для уравнения (3) с переменными коэффициентами. Исследуемая задача эквивалентно сведена к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. Доказана теорема существования и единственности решения. В работе [3] для линейного обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка вида (3) с производными Римана-Лиувилля была сформулирована и решена начальная задача. В работе [4] для уравнения (3), в случае оператора Капуто, решены задачи Дирихле и Неймана.

В данной работе в терминах функции Райта строится явное представление решения задачи Коши для уравнения (3).

1

Постановка задачи и методика ее решения

Регулярным решением уравнения (3) назовем функцию u(x) е L[0,1], такую что

D0XO'ri'"''rj}u(x) е AC[0,1], 0 < j < n — 1, и удовлетворяет уравнению (3) в интервале [0,1].

Задача. Найти регулярное решение уравнения (3) удовлетворяющее условиям lim D{X0,ri'''''rj}u(x) = uj, 0 < j < n — 1. (4)

Обозначим [3]:

сю

Gan (x) = Gln (x, Z0,..., Zn—1, ß0,...ßn—1) = J e—tSa (x, Z0t,..., Zn—1t, ß0,...ßn—\)dt,

0

(x, Z0,..., Zn—1, ßö,...ßn—1) = (Ä1 * h2 * ...hn—1)(x),

x

где (ф* y)(x) = $ф(x — t)y(t)dt — свертка Лапласса функций ф(x) и i^(x),

0

hi = hi(x)= xan 1ф(ßt;an,Zixßi), ß = an — ai, Zi = —s—, i = 0,1,...,n — 1,

an

ф(I, П;¿) = £ и!Г(|"и+п) - функция типа Райта [5].

Для функции ОД имеют место следующие соотношения

ОД (х) = 0(хд-1) при х ^ 0, (5)

БЮ(х)= ОД-у(х), если д > V, (6)

п , , -ап-1

£ БОх0,71.....11 }аО (х)= ап Г——. (7)

к=0 Г (Д - ап)

Доказательства равенств (5) и (6) приведены в работе [3]. Доказательство равенства (7) так же следует из доказательства формулы (37) работы [3]. Теорема. Пусть ап = 0, у0 + уп > 1 и функция /(х) представима в виде

/(х)= Б0пх-18(х), 8(х) е Ь[0,1]. (8)

Тогда в области [0,1] существует единственное регулярное решение задачи (3), (4). Решение имеет вид

х 1

1 1 п-1 п

и(х) = а- Оап (х - г)/№ + - £ т £ атОа"-а"+Дк(х). (9)

—n 0 —n k=0 m=k+1

Доказательство. Пусть и(х) регулярное решение уравнения (3). Умножим обе части уравнения (3) на функцию 0°и+1(х,?) и проинтегрируем по х.

Е /afeGan+1(x-t)D°X°,Y1...,%}u(t)dt = iGan+1(x-1)f(t)dt.

(10)

Обозначим через

Sk = Е aj/Gan+1(x -1 )D j=° 0

°x Y1...,Yj}u(t)dt.

Тогда

S° = a°J Gßn+1(x - t)D°°-1u(t )dt = a° J и(0д5-1Gßn+1(x - t)dt

S1 = S° + a1DT-1 Gßn+1 (x -1 )D°°-1M(t) [ + a1 У w(t )DtY1 ,Y°}Gan+1 (x -1 )dt,

S2 = S1 + a2DX2-1Gan+1 (x - t)D°Y°,Y1}u(t) * + a2 ßS^G^+Hx - t)D°°-1u(t)

+

м (t) d{Y2 , Y1 ,Y°} Gan+1 (x - t)dt.

Повторяя те же рассуждения получим

= 5п-1 + ап^хп-1 Gа«+1(x - г^-^и^)х + апЯ^-^+Чх - г)4№,...,%-2}и(;)

+

+... + anD{tYn,...,Y1}Gan+1(x -1)D°°-1M(t)[ + an У w(t)D{tYn,...,?°}G^+^x -1)dt

Разрешая (11) относительно £п будем иметь

Л

Sn = £f a^ ,Yk-1,...^}G«n+1(x - t)u(t)dt -

k=°i

n m— 1

- Е am Е DiYm,...,%+1}Ga«+1(x- t)D™,.",W}«(t)

m=1 k=°

,...,Yk},

Откуда учитывая (10) приходим к равенству

л

ЕЕ fakD{*,Yk-1,...Y°}Ga"+1(x- t)u(t)dt-k=° i

(11)

n m— 1

Е am Е Dxt

m=1 k=°

(Ym,...,Yk+1^ aK+1

G««+1(x -1 )D{Y°,...,Yk }M(t)[ = J Ga"+1(x -1) f (t )dt

(12)

x

x

x

x

x

x

x

о

x

x

о

x

x

0

x

С учетом начального условия (4) и

n

£ akD^-^G^1 (x -1)= an,

k=0

limD{Jm'-'n+l}Gan+1(x-1)= 0, m = 1,...,n; k = 0,...,m- 1,

t ^x

меняя порядок суммирования, имеем, что

an f u(t )dt - £ uk £ ümGan-am+^k+1 (x) = f Gan+1(x -1) f(t)dt.

0 k=0 m=k+1 0

Разделив всё выражение на an и дифференцируя его по x получаем требуемое представление (9).

Список литературы/References

[1] Джрбашян М.М., Нерсесян А.Б., "Дробные производные и задача Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка", Изв. АН АрмССР. Матем., 3:1 (1968), 3-28, [ Dzhrbashyan M.M., Nersesyan A.B. Drobnye proizvodnye i zadacha Koshi dlya differentsial'nykh uravneniy drobnogo poryadka, Izv. AN ArmSSR. Matem., 3:1 (1968), 3-28 (in Russian)].

[2] Нахушев А.М., Дробное исчисление и его применение, Физматлит, М., 2003, 272 с., [Nakhushev A.M. Drobnoe ischislenie i ego primenenie, Fizmatlit, M., 2003, 272 p.].

[3] Псху А.В., "Начальная задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка", Математический сборник, 202:4 (2011), 111-122, [Pskhu A.V. Nachal'naya zadacha dlya lineynogo obyknovennogo differentsial'nogo uravneniya drobnogo poryadka, Matematicheskiy sbornik, 202:4 (2011), 111-122 (in Russian)].

[4] Гадзова Л.Х., "Задачи Дирихле и Неймана для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка с постоянными коэффициентами", Дифференциальные уравнения, 51:12 (2015), 1580-1586, [Gadzova L.Kh. Zadachi Dirikhle i Neymana dlya obyknovennogo differentsial'nogo uravneniya drobnogo poryadka s postoyannymi koeffitsientami, Differentsial'nye uravneniya, 51:12 (2015), 1580-1586 (in Russian)].

[5] Wright E.M., "On the coefficients of power series having exponential singularities", J. London Math. Soc., 8:1 (1933), 71-79.

Список литературы (ГОСТ)

[1] Джрбашян М. М., Нерсесян А. Б. Дробное производные и задача Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка // Изв. АН АрмССР. Матем. 1968. Т. 3. №1. С. 3-28.

[2] Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.

[3] Псху А. В. Начальная задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка // Математический сборник. 2011. Т. 202. №4. С. 111-122

[4] Гадзова Л. Х. Задачи Дирихле и Неймана для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка с постоянными коеффициентами // Дифференциальные уравнения. 2015 Т. 51. №12. С. 1580-1586

[5] Wright E. M. On the coefficients of power series having exponential singularities // J. London Math. Soc. 1933. Т. 8. no 1. pp.71-79

Для цитирования: Богатырева Ф. Т. Начальная задача для уравнения дробного порядка с постоянными коэффициентами // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 4-1(16). C. 21-26. DOI: 10.18454/2079-6641-2016-16-4-1-21-26

For citation: Bogatyreva F. T. Initial value problem for fractional order equation with constant coefficients, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2016, 16: 4-1, 21-26. DOI: 10.18454/20796641-2016-16-4-1-21-26

Поступила в редакцию / Original article submitted: 02.12.2016